X - MOAD

Modélisation des ondes
de surface
en présence d’un fond aléatoire
A. de Bouard, W. Craig, P. Guyenne, C. Sulem
1
Position du problème
Fluide irrotationnel, incompressible et non visqueux, occupant un
domaine
S(β, η) = {(x, y), −h + β(x) < y < η(x)}
η(t, x) : élévation de la surface
β(x) : variation du fond / valeur moyenne
• pas de dépendance de la surface ni du fond / variable transverse :
ondes unidimensionnelles
• fluide évoluant sous la seule action de la gravité (pas d’effet de
tension de surface)
2
But :
Obtenir un modèle pour l’évolution de la surface libre dans
l’approximation ondes longues, faible amplitude
λ : longueur d’onde , λ À h
a : amplitude typique, a ¿ h
h2
a
∼ 2
Balance effets non linéaires et dispersifs :
h
λ
Particularité :
On autorise des variations de β(x) sur des échelles ¿ λ
3
Large littérature (physique et mathématique) sur
modélisation des ondes en présence de fond variable
• En général variations du fond sur mêmes échelles que la longueur
d’ondes, mais pas nécessairement de petite amplitude
◦ Fond déterministe : ondes longues à système de type
Boussinesq, avec coefficients variables (1-D ou 2-D) :
Peregrine (J. Fluid. Mech., 1967), ..., Mei-Liu (Ann. Rev. F. M.,
1993), ..., Chen (Math. Comp. Simul., 2003), Chazel (2007)
◦ Fond aléatoire (problème non linéaire) :
Howe (J. Fluid. Mech., 1971), Mei-Hancock (J.Fluid Mech., 2003),
Pihl-Mei-Hancock (2-D) (Phys. Rev.E, 2002)
4
Ondes longues : Grataloupe-Mei (Phys. Rev.E, 2003), Mei-Li
(Phys. Rev. E, 2004)
• Si variations du fond sur des échelles ¿ λ, nécessité structure
supplémentaire pour décrire le modèle uniquement sur les grandes
échelles; ondes longues :
◦ Fond périodiques (variations d’ordre un)
Rosales-Papanicolaou (1-D) (Stud. Appl. Math., 1983),
Craig-Guyenne-Nicholls-Sulem (Proc. Roy. Soc. London A, 2005)
(formulation hamiltonienne, 1-D ou 2-D + variations sur 2 échelles)
◦ Fond aléatoire (1-D), processus stationnaire, ergodique
Rosales-Papanicolaou (1983) : β(x) = ∂x µ(x), µ processus
stationnaire
5
Formulation de Bernoulli
u(t, x, y) : vitesse du fluide; u = ∇ϕ
rappel : S(β, η) = {(x, y), −h + β(x) < y < η(x)}
On prendra β aléatoire β(x) = β(x, ω) (régulière)
Equations pour (ϕ, η) :


∆ϕ = 0 dans S(β, η)




 ∂ ϕ = −gη − 1 |∇ϕ|2 en y = η(t, x)
t
2

∂t η = ∂y ϕ − ∂x η.∂x ϕ en y = η(t, x)




 ∇ϕ.~n(β) = 0 en y = −h + β(x)
où g est la gravité, ~n(β) = √
1
(∂x β, −1)
1+|∂x β|2
sortante au fond.
6
est la normale
Formulation hamiltonienne (Zakharov)
On note ξ(x) = ϕ(x, η(x)) le potentiel sur la surface. Le système
d’équations d’évolution précédentes s’écrit alors sous la forme
hamiltonienne :

∂t 

η
ξ
=
où
H(η, ξ) =


1
2
Z Z
Z
=
∂S
0
I
−I
0


∂η H
∂ξ H
η(x)
 = J∇H(η, ξ)
1
|∇ϕ(x, y)| dxdy +
2
−h+β(x)
1
∂ϕ
dσ +
∂n
2
2
Z
gη 2 (x)dx
Z
gη 2 (x)dx
puisque ϕ est solution de l’équation de Laplace dans S(β, η).
7
Remarque : il suffit de connaı̂tre le potentiel à la surface : si ξ(x)
donné, on résoud en ϕ l’équation



 ∆ϕ = 0 dans S(β, η)
(S)
∇ϕ.~n = 0 en y = −h + β(x)



ϕ(x, η(x)) = ξ(x) en y = η(x)
et on note G(β, η), l’opérateur de Dirichlet-Neumann, qui à ξ
associe
G(β, η)ξ(x) = ∇ϕ(x, η(x)).~n(η)(1 + |∂x η|2 )1/2 .
On suppose, par exemple, β(x, ω) ≤
h
2
pour tout (x, ω).
L’hamiltonien s’écrit
Z
Z
g 2
1
ξ(x)G(β, η)ξ(x)dx +
η (x)dx
H(ξ, η) =
2
2
8
Décomposition de l’opérateur de Dirichlet-Neumann
• si β ≡ 0, η ≡ 0, alors G(0, 0)ξ = D tanh(hD)ξ (où D = i∂x )
• si η ≡ 0, β 6= 0, on obtient formellement
µ
¶
cosh((y + h)D)
(0)
ϕ (x, y) =
ξ (x) + (sinh(hD)L(β)ξ)(x)
cosh(hD)
où L(β) opérateur linéaire, dépendant de manière non linéaire et
non locale de β.
Graig-Guyenne-Nicholls-Sulem (2005) : L’opérateur L(β) se
décompose formellement à l’ordre deux en
L(β) = L1 (β) + L2 (β) + O(β 3 ) où

 L (β) = −sech(hD)βsech(hD)D
1
 L2 (β) = sech(hD)βD sinh(hD)L1 (β)
9
• A l’ordre 0 en η, G(0) ξ = D tanh(hD)ξ + DL(β)ξ.
• A l’ordre un en η : on fixe ξ(x); si ϕ(x, y) = ϕ(0) (x, y) + ϕ(1) (x, y)
est le potentiel résolvant le système (S), tronqué à l’ordre un en η,
alors
ϕ(1) (x, 0) = −η∂y ϕ(0) (x, 0) = −η(x)(G(0) ξ)(x).
De plus, à l’ordre un,
∇(ϕ(0) + ϕ(1) ).~n(η)
= ∂y ϕ(0) (x, 0) − ∂x ϕ(0) (x, 0)∂x η + η∂y2 ϕ(0) (x, 0)
+∂y ϕ(1) (x, 0) + o(η 2 )
= G(0) ξ + D(ηDξ) − G(0) ηG(0) ξ + o(η 2 )
• A l’ordre l : on obtient une formule pour Gl par récurrence ;
Craig-Guyenne-Nicholls-Sulem, 2005; Craig-Sulem, 1992 pour le
fond plat.
10
Remarque : Chazel (2007) : développement rigoureux de
l’opérateur de D.N. à l’ordre deux (mais avec bornes régulières
sur β)
En reportant les développements précédents dans l’hamiltonien, et
après intégration par parties :
Z
Z
1
1
H(η, β)(ξ, η) =
(ξD tanh(hD)ξ + gη 2 )dx −
β|Dsech(hD)ξ|2 dx
2
2
Z
1
+
ξ(DηD − D tanh(hD)ηD tanh(hD))ξdx
2Z
1
−
(Dsech(hD)ξ)βD tanh(hD)βDsech(hD)ξdx
2
+O(β 3 ξ 2 ) + O(ηβξ 2 ) + O(η 2 ξ 2 ) .
11
Changement d’échelle :
• On se place à l’échelle de la longueur d’onde λ À h; pour
simplifier on fixe h = O(1); on pose ε = λ1 et X = εx
• Balance effets non linéaires et dispersifs: ha ∼ a ∼ ε2 d’où
r
g
˜
η(x) = ε2 η̃(X), ξ(x) = εξ(X)
(aλ
∼ ε) et t̃ = εt
h
• Variations du fond en O(ε) Ã supérieures à celles de l’élevation
de la surface : β(x, ω) = εβ̃(x, ω) (β̃ et ∂x β̃ sont supposées bornées,
uniformément en ω)
• Développement multi-échelle : D Ã Dx + εDX à l’ordre ε5
(ordre usuel pour tenir compte effets non linéaires + dispersifs)
12
On obtient :
H(η, β; ε) =
Z
4 Z
ε3
ε
(h|DX ξ|2 + gη 2 )dX −
β(x)|DX ξ|2 dX
2 Z
2
ε5
h3
4
ξ)dX
+
(ξDX ηDX ξ − ξDX
2 Z
3
³
´
ε5
−
β(x)Dx tanh(hDx )β(x) |DX ξ|2 dX + o(ε5 ) .
2
Il faut donc déterminer le comportement pour ε ¿ 1 de
Z +∞
β(X/ε; ω)|DX ξ(X)|2 dX
−∞
et de
Z
+∞ ¡
¢
βDx tanh(hDx )β (X/ε)|DX ξ(X)|2 dX .
−∞
Cas périodique à Craig-Guyenne-Nicholls-Sulem, 2005.
13
Modélisation du fond : (Ω, F, P), espace probabilisé
◦
β = β(x, ω) processus stationnaire, à moyenne nulle :
• ∀x ∈ R,
E(β(x)) = 0
• β(., ω) variable aléatoire à valeurs dans C 1 (R) et ∀y ∈ R,
L(τy β) = L(β)
avec τy β(x, ω) = β(x − y, ω)
◦ Propriété de mélange (décorrélations sur les grandes échelles)
A ∈ F ne dépendant que de {β(x), x ≥ 0} et B ∈ F ne dépendant
que de {β(x), x ≤ 0} alors
p
|P(A ∩ τy (B)) − P(A)P(B)| ≤ ϕ(y) P(A)P(B)
où
Z
+∞
ϕ1/2 (y)dy < +∞
et
−∞
14
ϕ(y) = O(|y|−α ),
α>0
Conséquences :
• β est ergodique donc
Z X/ε
ε
β(u)du → 0,
X 0
p.s.
on en déduit (intégration par parties)
Z +∞
¡X ¢
β
|DX ξ(X)|2 dX → 0,
ε
−∞
quand ε → 0
p.s.
quand
ε→0
• Le processus β(x)Dx tanh(hDx )β(x) est également stationnaire
et ergodique (au moins dans un sens faible) et donc
Z +∞
¡X ¢
¡X ¢
β
(Dx tanh(hDx )β)
|DX ξ(X)|2 dX
ε
ε
−∞
converge vers
Z +∞
E[β(0)Dx tanh(hβ)(0)]
|DX ξ(X)|2 dX
−∞
15
• On a mieux : théorème central limite (fonctionnel) :
√ Z X/ε
ε
à Yε (β)(X) =
β(y)dy, alors Yε (β) * B(., ω) en loi
σβ 0
où β est un mouvement brownien sur R et
Z +∞
σβ = 2
ρβ (y)dy, ρβ (y) = E(β(y)β(0)) = E(β(x + y)β(x))
0
Formellement :
Z
Z
¡X ¢
√
√
f (X)dX = εσβ ∂X B(X)f (X)dX + o( ε)
β
ε
Remarque : si β(x, ω) = ∂x γ(x, ω) où γ processus stationnaire
(mélangeant) alors σβ = 0 et
Z
Z
¡X ¢
2
β
f (X)dX = ε3/2 σγ ∂X
B(X)f (X)dX + o(ε3/2 )
ε
16
Le régime Boussinesq :
On injecte l’asymptotique précédente dans l’hamiltonien H (ordre 5
en ε)
´
3 Z ³
ε
3/2
2
2
2
H=
(h − ε σβ Γω (X) − ε a)|DX ξ| + gη dX
2 Z
ε5
h3
4
+
(ξDX ηDX ξ − ξDX
ξ)dX + o(ε5 ).
2
3
où
a := E(βDx tanh(hDx )β) = (Dy tanh(hDy )ρβ )(0)
et Γω = ∂X Bω est un bruit blanc (! seulement C −α avec α > 1/2).
Formellement,
h0 (X) = h − ε3/2 σβ Γω (X) − ε2 a
joue le rôle d’une profondeur “effective” stochastique.
17
Changement de variable : (η, ξ) → (η, u) où u = ∂x ξ (vitesse
du fluide à la surface)
Z
ε3
ε 2 h3
2
2
H1 (η, u) =
(h0 (X)u + gη ) − (
(∂X u)2 − ε2 ηu2 )dX
2
3
d’où (avec changement d’échelle)


 

η
∂η H1
−3  0




, J1 = ε
∂t
= J1
u
∂ u H1
−∂X
et donc

 ∂η =
t

∂t u =
2
3
2h
−∂X ((h0 (X) + ε η)u) − ε
3

−∂X
0
,
3
u,
∂X
−g∂X η − ε2 u∂X u .
Problèmes :
• Système déterministe (h0 =cste) linéairement mal posé
2
• ∂X h0 (X) comporte un terme ∂X
Bω très irrégulier
18
Le régime KdV :
Equation de KdV obtenue à partir de q
la formulation hamiltonienne
en se plaçant dans le repère Y = X − g h̃ t, où h̃ est la profondeur
effective. Ici :
h̃ = h0 (X) = h − ε3/2 σβ ∂X Bω − ε2 a
à impossible de justifier le changement de variables (irrégularité
de h0 )
Ã
utilisation d’une profondeur “effective” régularisée :
¡X ¢
− ε2 a
hε (X) = h − εβ
ε
Changement de variable : (η, ξ) → (η, u), où u = ∂X ξ, et
h0 (X) remplaçée par hε (X)
3 Z
3
ε
ε
2
2
2 h
à H1 (η, u) =
(hε (X)u + gη ) − ε ( (∂X u)2 − ηu2 )dX
2
3
19
Changements de variables successifs :
µ ¶1/4
µ
¶1/4
hε
g
η=
(r + s),
u=
(r − s)
4g
4hε
à Nouvelle forme hamiltonienne avec hε remplaçée par h dans
les termes en O(ε5 ). On note
r
3
h
g
1 ³ g ´1/4
c1 =
,
c2 =
3
4h
2 4h
alors
h√
³
´i
2
2
r − ∂X
s) + 12 c2 (3r2 − 2rs − s2 )
∂t r = −∂X ghε r + ε2 c1 (∂X
h√
³
´i
2
2
− 41 ∂Xhεhε ghε s + ε2 c1 (∂X
s − ∂X
r) + 12 c2 (−r2 − 2rs + 3s2 )
´i
h√
³
1
2
2
∂t s = ∂X ghε s + ε2 c1 (∂X
s − ∂X
r) + 2 c2 (−r2 − 2rs + 3s2 )
h√
³
´i
2
2
+ 41 ∂Xhεhε ghε r + ε2 c1 (∂X
r − ∂X
s) + 12 c2 (3r2 − 2rs − s2 )
20
Nouveau changement d’échelle sur s : s1 = ε−3/2 s (traduit le
fait que l’on regarde des ondes se propageant vers la droite) : si
s1 = O(1) alors s ¿ r (pas de “backscattering”).
hp
i
2
∂t r = −∂X
ghε (X)r + ε2 (c1 ∂X
r + 32 c2 r2 )
√
1 3/2 ∂x β(X/ε)
1 ∂x β(X/ε) 2
2
ε (c1 ∂X
r + 12 c2 r2 )
−4ε
gh
s
+
ε
1
hε
4
hε
i
hp
1
1/2
2
2
∂ t s1 = ∂ X
ghε (X)s1 − ε (c1 ∂X r + 2 c2 r )
√
3
1 −3/2 ∂x β(X/ε)
1 ∂x β(X/ε) 1/2
2
2
r
+
+4ε
gh
r
+
ε
(c
∂
c
r
).
ε
1
2
X
hε
4
hε
2
Formellement
r
ε−3/2 ∂x β(X/ε)
et
ε3/2 ∂x β(X/ε)
r
g
r → σβ
h
r
g 2
(∂X Bω )(X) r
h
r
g
g
2
s1 = ε σ(∂x β) (∂X Bω )
s1 + o(ε2 ) = o(ε2 )
hε
h
21
D’où les équations à l’ordre principal :
hp
2
∂t r = −∂X
ghε (X)r + ε2 (c1 ∂X
r + 32 c2 r2 )
∂t s1 = ∂X
hp
i
ghε (X)s1 +
1
4
pg
−3/2
ε
∂x β(X/ε)r
h
Remarque : Au premier ordre,
p g −3/2
√
1
∂t s1 = ghs1 ∂X + 4 h ε
∂x β(X/ε)r
car
r
r
p
¡X ¢
1 g ¡ ¡ X ¢¢
1 g
∂X ( ghε (X) =
∂X εβ
+o(1 ) =
(∂x β)
+o(1 )
2 h
ε
2 h
ε
¡X ¢
et (∂x β) ε tend vers 0 (faiblement, p.s.)
On vérifie ainsi qu’à l’ordre principal, si s1 (0, X) est régulier alors
Z t
E
s21 (σ, x)dσ ≤ C, pour t = O(1)
0
22
Equations de KdV à coefficients aléatoires :
³p
´
3
3
r = ∂X R Ã ∂t R = −
ghε (X)∂X R + ε2 (c1 ∂X
R + c2 (∂X R)2 )
2
Changement de coordonnées : caractéristiques régularisées

³
ε
ε¢
2
2
ε ¢´
p
p
¡
¡

dX
ε
X
ε
a
ε
X


= cε (X) = ghε (X) ∼ gh 1 −
β
−
− 2 β2
dt
2h
ε
2h
8h
ε


 X ε (0) = Y
alors
X ε (t, Y ) = X 0 (t) + εX 1 (t) + ε2 X 2 (t) + o(ε2 )
où
X 0 (0) = Y,
X j (0) = 0,
A l’ordre 0 :
0
X (t) = Y +
23
p
gh t
∀j ≥ 1
En utilisant la stationnarité de β, on obtient finalement
√
p
ε
X ε (t, Y ) = Y + gh t −
σβ (gh)1/4 Bω (t) − ε2 αt + o(ε2 )
2h
où
´
1
√ ³a
2
+
E(β)
α = gh
2 8h
Remarque : Cette expression de X ε (t, Y ) est à comprendre “en
loi” (dépendance en Y de la réalisation de Bω(Y ) (t)); néanmoins,
dX ε
dY = 1 + O(ε) et le changement de variable est justifié à ω fixé.
On obtient pour r l’expression :
√
p
ε
σβ (gh)1/4 Bω (t) + εα2 t)
r(t, X) = q(ε2 t, X − ght +
2h
où q est solution de l’équation de KdV :
∂t q = c1 ∂Y3 q + 3c2 q∂Y q
24
à r vérifie l’équation de “Korteweg-de Vries-Burgers”
stochastique :
∂t r +
√
gh∂X r
=
3
ε2 (c1 ∂X
r + 3c2 r∂X r − α∂X r)
√
1 2 2
dBω
+ εγ ∂X r + εγ(∂X r)
2
dt
où
r ³
´
g a
1
+
E(β)2
α=
h 2 8h
et
1
σβ (gh)1/4
γ=
2h
Cas particulier : si r(0, x) = ϕc (X) est une onde solitaire alors
p
√
2
2
r(t, X) = ϕc (X − ght − cε t − ε αt + εγBω (t))
et
√
2h
√ |ϕc |L1
max E(r(t, X)) ≤
X∈R
σβ (gh)1/4 εt
25
Conclusion
Si initialement bien préparées, u et η se decomposent en deux
ondes :
• Une onde régulière r se propageant vers la droite avec une vitesse
√
égale à gh au premier ordre, modifiée à l’ordre suivant par un
bruit blanc, et qui est diffusée en moyenne
√
• Une onde s se propageant vers la gauche, à la vitesse − gh au
premier ordre, fortement stochastique et vérifiant à l’ordre principal
Z t
E
s2 (σ, x)dσ ≤ ε3 C
0
pour des temps d’ordre un
26
Problèmes ouverts
• Description plus précise de la composante s1 (backscattering)
Au premier ordre : s1 très irrégulier, mais à moyenne nulle.
Peut-on conserver cette propriété à l’ordre suivant ?
• Dérivations d’autres systèmes de type Boussinesq (non
hamiltoniens) auxquels on puisse donner une sens...
´
³
X
α
• Cas multi-échelle (en cours) : β ε , ε X
α > 1/2
Ã
pas d’influence sur la dérivation précédente
• Ondes 2 − D : variations transverses seulement sur des échelles
plus longues que la longueur d’onde transverse ?
27