2010-2011 Cours de Master I G.Henkin Analyse complexe

2010-2011
Cours de Master I
G.Henkin
Analyse complexe (Fonctions holomorphes, fonctions speciales)
Part II,B. Fonctions holomorphes sur surfaces de Riemann
4. Fonctions elliptiques. Équation de Weierstrass.
Définition. Fonction f ∈ M(C) s’appelle elliptique, si il existe w1 , w2 ∈ C
Im w1 /w2 6= 0 telles que f est (w1 , w2 )- périodique, i.e.
:
f (z + k1 w1 + k2 w2 ) = f (z) ∀ z ∈ C et ∀ (k1 , k2 ) ∈ Z2 .
Cettes fonctions portent le nom ”elliptique” grâce au fait que
la première fonction de
R w q a2 −εξ2
tel type était la fonction w(z) inverse à la fonction z(w) = 0
a2 −ξ 2 dξ, qui calcule la
ξ2
a2
longueur d’un arc d’ellipse
+
η2
b2
= 1 avec excentricité ε.
Proposition. (Hermite 1848). Soient f une fonction méromorphe, (w1 , w2 )- périodique et ∆ξ,w1 ,w2 un parallélogramme des périodes avec les sommets ξ, ξ + w1 , ξ + w2 ,
ξ + w1 + w2 tels que
Pf ∩ b∆ξ,w1 ,w2 = ∅.
Alors,
X
Res (f, z) = 0.
z∈Pf ∩∆ξ,w1 ,w2
Preuve. La proposition découle du théorème des résidus sur surface de Riemann
(Part II, A). On donne ici la preuve qui n’utilise pas la notion de surface de Riemann.
(w1 , w2 )-périodicité de f implique que
Z
ξ+w1
f (ξ) dξ =
ξ
et
Z
ξ+w1 +w2
f (ξ) dξ
ξ+w2
ξ+w2
f (ξ) dξ =
ξ
Donc,
Z
Z
ξ+w1 +w2
f (ξ) dξ.
ξ+w1
Z
f (ξ) dξ = 0.
b∆ξ,w1 ,w2
D’après le théorème de résidu nous avons
X
z∈Pf ∩∆ξ,w1 ,w2
1
Res (f, z) =
2πi
1
Z
b∆ξ,w1 ,w2
f (ξ) dξ = 0.
Proposition d’Hermite implique que dans un parallélogramme ∆ξ,w1 ,w2 une fonction f
méromorphe, (w1 , w2 )- périodique telle que Pf ∩ b∆ξ,w1 ,w2 = ∅ admet au moins deux pôles
simples, où un pôle est double.
Proposition. (Fonctions de Weierstrass, Eisenstein 1847, Weierstrass 1863). Pour
toutes w1 , w2 ∈ C : Im w1 /w2 6= 0 il existe une fonction méromorphe P(z) = Pw1 ,w2 (z),
z ∈ C, avec les propriétés suivantes:
i)
P(z + k1 w1 + k2 w2 ) = P(z), z ∈ C, (k1 , k2 ) ∈ Z2
ii)
P(z) = P(−z)
iii)
lim (P(z) − 1/z 2 ) = 0
z→0
iv)
P(z) 6= ∞ ∀ z 6= k1 w1 + k2 w2 , (k1 , k2 ) ∈ Z2 .
Définition. La fonction z 7→ P(z) s’appelle la fonction de Weierstrass.
Preuve. On pose
P(z) =
1
+
z2
X
(k1 ,k2 )6=(0,0)
£
¤
1
1
−
.
(z + k1 w1 + k2 w2 )2 (k1 w1 + k2 w2 )2
Cette série converge vers la fonction méromorphe sur C puisque pour tout compact G ⊂
C\ ∪(k1 ,k2 ) {k1 w1 + k2 w2 } ∃ une constante C > 0 telle que
¯
sup ¯
z∈G
¯
1
1
C
¯≤
−
.
2
2
(z + k1 w1 + k2 w2 )
(k1 w1 + k2 w2 )
|k1 w1 + k2 w2 |3
La formule pour P(z) implique directement les propriétés i)-iv).
Théorème (Liouville 1847). Toute fonction f méromorphe, (w1 , w2 )-périodique
(Im w1 /w2 6= 0) peut être représentée dans la forme
f (z) = R1 (P(z)) + P 0 (z)R2 (P(z)),
où P(z) est la fonction méromorphe avec les propriétés i)-iv); R1 (w), R2 (w) sont les
fonctions rationnelles.
Preuve. La fonction z 7→ P(z) admet un seul pôle double sur ∆−(w1 +w2 )/2,w1 ,w2 .
Soit b ∈ C telle que P(z) 6= b sur b∆−(w1 +w2 )/2,w1 ,w2 . D’après le théorème de résidu logarithmique la fonction P(z) admet la valeur b (avec la multiplicité) sur ∆−(w1 +w2 )/2,w1 ,w2
exactement deux fois. On suppose que P(z) 6= b sur b∆−w1 /2,w1 ,w2 /2 . Alors, la fonction P(z) étant paire, admet la valeur b sur la moitié ∆−w1 /2,w1 ,w2 /2 du parallélogramme
∆−(w1 +w2 )/2,w1 ,w2 exactement 1 fois. Soient f la fonction paire elliptique, (w1 , w2 )-pério2
dique et a, b des nombres complexes tels que f (z) 6= a et f (z) 6= b sur b∆−w1 /2,w1 ,w2 /2 . On
note
A = {α1 , . . . , αm } = {z ∈ ∆−w1 /2,w1 ,w2 /2 : f (z) = a}
B = {β1 , . . . , βm } = {z ∈ ∆−w1 /2,w1 ,w2 /2 : f (z) = b},
où chaque αj et βk est écrite tant de fois que il y a la multiplicité des racines αj et βk .
On considère la fonction
F (z) =
¡ f (z) − a ¢¡ P(z) − P(β1 ) ¢ ¡ P(z) − P(βm ) ¢
...
.
f (z) − b P(z) − P(α1 )
P(z) − P(αm )
D’après la construction on a PF = ∅ et ZF = ∅ sur ∆−w1 /2,w1 ,w2 /2 . D’après le théorème
de Liouville nous avons F (z) ≡ const et, donc, f (z) = R1 (P(z)).
Si f est la fonction elliptique, (w1 , w2 )- périodique impaire, alors f /P 0 (z) est la fonction elliptique paire et, donc,
f (z) = P 0 (z)R2 (P(z)).
Théorème est prouvé.
Les fonctions elliptiques sont liées avec les intégrales elliptiques classiques grâce au
théorème fondamental suivant.
Théorème. (Weierstrass). La fonction méromorphe z 7→ P(z) avec les propriétés
i)-iv) satisfait l’équation différentielle de Weierstrass:
¡ P 0 (z) ¢2
= P 3 (z) − g2 P(z) − g3 = (P − l1 )(P − l2 )(P − l3 ),
2
où
g2 = 15
X
(k1 w1 + k2 w2 )−4 ; g3 = 35
(k1 ,k2 )6=(0,0)
X
(k1 w1 + k2 w2 )−6 .
(k1 ,k2 )6=(0,0)
De plus,
l1 = P(w1 /2), l2 = P((w1 + w2 )/2), l3 = P(w2 /2),
g3 = l1 l2 l3 , g2 = −l1 l2 − l2 l3 − l3 l1 .
Inversement, une fonction méromorphe satisfaisante à l’équation de Weierstrass et ayante
un pôle pour z = 0 est la fonction z 7→ P(z) avec les propriétés i)-iv).
Preuve. Soit z 7→ P(z) la fonction avec les propriétés i)-iv). Le zéro est un seul pôle
de P et P 0 sur ∆−(w1 +w2 )/2,w1 ,w2 . Donc, pour montrer que
(P 0 )2 − 4P 3 + 4g2 P + 4g3 ≡ 0,
il suffit montrer que la fonction (P 0 )2 − 4P 3 + 4g2 P + 4g3 n’admet pas de pôle en z = 0 et
même s’annule en z = 0.
3
Au voisinage de z = 0 nous avons les développements suivants:
1
+ c1 z 2 + c2 z 4 + . . .
z2
2
P 0 (z) = − 3 + 2c1 z + 4c2 z 3 + . . .
z
4
8c1
(P 0 (z))2 = 6 − 2 − 16c2 + O(z 2 )
z
z
1
3c
1
P 3 (z) = 6 + 2 + 3c2 + O(z 2 ).
z
z
P(z) =
En dérivant terme à terme la série, définissant la fonction P(z), on obtient l’expression
pour g2 et g3 en termes de périodes w1 , w2 . Puisque g2 = −l1 l2 − l2 l3 − l3 l1 = 5c1 et
g3 = l1 l2 l3 = 7c2 , on obtient que (P 0 )2 − 4P 3 + 4g2 P + 4g3 = (P 0 )2 − 4P 3 + 20c1 P + 28c2
n’admet pas de pôle en z = 0 et s’annule en z¡ = 0.
¢
Pour montrer que l1 = P(w1 /2), l2 = P (w1 + w2 )/2 , l3 = P(w2 /2) il suffit vérifier
que la fonction P 0 s’annule en les points w1 /2, (w1 + w2 )/2, w2 /2 (modulo w1 Z + w2 Z) et
seulement dans ces points. Soient z (1) = w1 /2, z (2) = (w1 + w2 )/2, z (3) = w2 /2. Alors,
P 0 (z (j) ) = P 0 (−z (j) ) à cause de la périodicité de P 0 et P 0 (z (j) ) = −P 0 (−z (j) ) parce que P 0
est une fonction impaire, donc P 0 s’annule en z (j) , j = 1, 2, 3.
Inversement, soit z 7→ P̃(z) une fonction méromorphe sur C satisfaisante à l’équation
de Weierstrass et ayante un pôle pour z = 0. Alors, les fonctions P(z) et P̃(z) au voisinage
du point z = 0 coinçident avec la fonction w(z), inverse à la fonction suivante
z=
Z
[∞,w]
dξ
p
,
3
2 ξ − g2 ξ − g3
où [∞, w] un chemin au voisinage de w = ∞, joignant ∞ et w, une détermination de
p
ξ 3 − g2 ξ − g3 est choisie continue sur [∞, w]. Par théorème de l’unicité les fonctions
P(z) et P̃(z) coinçident sur C.
Corollaire. La fonction de Weierstrass z 7→ P(z) est la fonction inverse à la fonction
multiforme définie par intégrale suivante
Z
dξ
p
,
z=
[∞,P] 2 ξ 3 − g2 ξ − g3
où [∞, P] un chemin sur p
C joignant ∞ et P, evitant les points (des branchement) l1 , l2 ,
l3 , une détermination de ξ 3 − g2 ξ − g3 est choisie continue le long de [∞, P].
Théorème ( Clebsch).
Soient Γ = w1 Z + w2 Z un sous-groupe discret du C tel que Im w1 /w2 6= 0; z 7→ P(z)
la fonction méromorphe Γ- périodique de Eisenstein-Weierstrass;
g2 = 15
X
(k1 w1 + k2 w2 )−4 ; g3 = 35
(k1 ,k2 )6=(0,0)
X
(k1 w1 + k2 w2 )−6 .
(k1 ,k2 )6=(0,0)
4
Alors, les racines du polynöme P 3 − g2 P − g3 sont distincts et pour tout point (z1 , z2 ) de
la courbe algébrique: V = {(z1 , z2 ) ∈ C × C : z22 − 4(z13 − g2 z1 − g3 ) = 0} il existe z ∈ C
et un seul (modulo w1 Z + w2 Z) tel que z1 = P(z), z2 = P 0 (z).
Preuve
Puisque P 0 possède un unique pôle triple dans chaque parallélogramme de périodes,
théorème de résidu logarithmique montre que P 0 possède au plus trois zéros distincts
dans chaque parallélogramme de périodes. Ces sont donc les trois points z (1) = w1 /2,
z (2) = (w1 + w2 )/2, z (3) = w2 /2 (modulo Γ).
Théorème de résidu logarithmique implique aussi que la fonction P prend dans chaque
parallélogramme de périodes au plus deux fois (et au minimum 1 fois) une valeur donnée.
Soit, z = z (j) , j = 1, 2, 3, alors P 0 (z (j) ) = 0 et l’équation P(z) = P(z (j) ) admet z (j) comme
racine double, i.e. P ne prend qu’une fois la valeur P(z (j) ) dans un parallélogramme de
périodes et ces trois valeurs sont distincts. Si z 6= z (j) , j = 1, 2, 3 (modulo Γ), alors 2z 6∈ Γ,
P(z) = P(−z) et P 0 (z) = −P 0 (−z). La fonction paire P prend exactement deux fois toute
valeur de la forme P(z). La fonction impaire P 0 prend les valeurs differentes en z et −z.
Donc, on obtient que ∀ (z1 , z2 ) ∈ V ∃ et unique z ∈ C : z1 = P(z), z2 = P 0 (z).
Définition (l’espace projectif complexe CP n ).
On désigne par z = (z0 , z1 , . . . , zn ) les coordonnées dans Cn+1 . Dans Cn+1 \{0} on
considère la relation d’équivalence suivante: z ∼ z 0 ssi il existe λ ∈ C∗ tel que z 0 = λz. On
désigne par CP n l’espace topologique quotient {z ∈ Cn+1 \{0}}/(z ∼ λz). On note par
(z0 : z1 : . . . : zn ) = [z] la classe d’équivalence de (z0 , z1 , . . . , zn ). On peut identifier [z]
avec la droite complexe dans Cn+1 passant par zéro. On dit que (z0 , z1 , . . . , zn ) sont les
coordonnées homogènes du point [z] ∈ CP n .
L’espace CP n est un espace compact muni d’un atlas des cartes analytiques (ϕj , Uj )
suivant:
Uj = {(z0 : . . . : zn ) ∈ CP n : zj 6= 0},
¡ z0
ẑj
zn ¢
ϕj : Uj → Cn , ϕj : (z0 : . . . : zn ) 7→
,..., ,...,
.
zj
zj
zj
L’espace CP 1 est la sphère de Riemann C ∪ {∞}.
Définition (courbe algébrique, courbe elliptique projective).
On appelle par courbe algébrique projective l’ensemble V̄ des points de CP 2 , dont les
coordonnées homogènes satisfont à l’équation V̄ = {z = (z0 : z1 : z2 ) ∈ CP 2 : P (z) = 0},
où P un polynôme homogène en coordonnées (z0 , z1 , z2 ) tel que grad P (z) 6= 0 sur V̄ . Les
courbes algébriques dans CP 2 déterminées par polynômes de degrés 3,4 s’appellent des
courbes elliptiques. Toute courbe elliptique est biholomorphe à la courbe de la forme
V̄ = {(z0 : z1 : z2 ) ∈ CP 2 : z22 z0 = 4(z13 − g2 z1 z02 − g3 z03 ).
On muni V̄ par la structure complexe naturele: l’ouvert {[z] ∈ CP 2 : z0 6= 0} sur V̄
peut être identifié en fixant z0 = 1 avec la courbe affine V = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : z22 =
4(z13 − g2 z1 − g3 )}. Le complémentaire de V dans V̄ consiste d’un tel point ”l’infini” de
coordonnées homogènes (0, 0, z2 ), z2 6= 0. Au voisinage de ce point on peut prendre comme
la coordonné locale la fonction z1 /z2 .
5
Corollaire
En conditions du théorème précédent on considère T = C/Γ un tore complexe. Alors,
i) application z 7→ {P(z), P 0 (z)}, z ∈ T \{0} réalise isomorphisme conforme des surfaces de Riemann ouvertes: T0 = T \{0}, mod Γ, et V = {(z1 , z2 ) ∈ C × C : z22 =
4(z13 − g2 z1 − g3 )}.
ii) l’application z 7→ (P(z), P 0 (z)), z ∈ T , réalise isomorphisme conforme des surfaces
de Riemann compactes: T et V̄ .
Exercice 1.
Montrer que toute fonction méromorphe sur une courbe algébrique projective V̄ ⊂
CP 2 est rationnelle, i.e. rationnelle sur chaque carte
Uj = {(z0 : z1 : z2 ) ∈ CP 2 ∩ V̄ : zj 6= 0}, j = 0, 1, 2.
5. Intégrales elliptiques. Théorèmes d’addition.
Définition
R
f (ξ)dξ s’appelle intégrale
Une fonction (multiforme) définie par formule F (z) =
[z0 ,z]
p
elliptique si f (ξ) est une fonction rationnelle de z et de GN (z), GN (z) = a0 (z−α1 ) . . . (z−
αN ), N ≤ 4, [z0 , z] un chemin joignant z0 et z, evitant les points α1 , . . . , αN .
Soient (z, w) ∈ C2 . On pose p(z) = 4(z 3 − g2 z − g3 ) = 4(z − z1 )(z − z2 )(z − z3 ), où
les racines z1 , z2 , z3 sont distinctes, i.e. 4g23 6= 27g32 , f (z, w) = w2 − p(z). On considère la
courbe algebrique:
V = {(z, w) ∈ C2 : f (z, w) = 0}.
Sur la courbe V il y a une structure analytique naturelle d’une surface de Riemann: au
voisinage du point (z0 , w0 ) ∈ V tel que w0 6= 0, on prend z comme coordonnée locale;
au voisinage du point (z0 , w0 ) tel que w0 = 0 on a p0 (z0 ) 6= 0 et donc on peut prendre w
comme coordonnée locale. L’application ϕ : V → C qui au couple (z, w) associe z ∈ C
est holomorphe et donc (V, ϕ) est une surface de Riemann au-dessus de C. À une valeur
de z sur cette surface correspondent deux valeurs de w distinctes si p(z) 6= 0. La fonction
V → C qui au couple (z, w) associe w est aussi holomorphe sur V . Sur V on a relation
wdw = (6z 2 − 2g2 )dz. Alors, la forme différentielle ω sur V définie par ω = dz/w au
voisinage des points (z0 , w0 ) ∈ V tels que w0 6= 0 et par ω = dw/(6z 2 − 2g2 ) au voisinage
des points (z0 , 0) ∈ V est une forme holomorphe sur V . Puisque ω est une forme fermée
elle admet une primitive au voisinage de chaque point de V globalement cette primitive
est une fonction multiforme.
Sur V l’intégrale de ω le long d’un chemin fermé γ n’est pas nulle si ce chemin n’est
pas homotope à un point.
Définition
La valeur de l’intégrale d’une forme holomorphe ω le longR d’un chemin fermé γ sur
une surface de Riemann X s’appelle une période de l’intégrale ω.
γ
pSur la courbe V on considère un chemin γz,w , joignant ∞ avec un point (z, w) =
(z, p(z)), dépendant (localement) de (z, w) de manière continue.
6
def
Exercice 2 Montrer que la fonction de Weierstrass est la fonction u 7→ z(u) = P(u),
inverse à la fonction (multiforme), définie par la formule
u(z) =
Z
γz,w
dz
=
w
Z
z
∞
dz
p
.
p(z)
(∗)
On considère une droite dépendante de parametre (ξ, η) ∈ (C2 )0 :
C1ξ,η = {(z, w) ∈ C2 : w = ξ + ηz}.
def
On pose F (z, ξ, η) = (ξ + ηz)2 − p(z).
La droite C1ξ,η intersecte la courbe V génériquement en points {z (j) (ξ, η), w(j) (ξ, η)},
j = 1, 2, 3, qui satisfont les équations
F (z (j) , ξ, η) = (ηz (j) + ξ)2 − p(z (j) ) = 0,
(∗∗)
w(j) = ξ + ηz (j) , j = 1, 2, 3.
Théorème d’addition pour l’intégrale elliptique (Euler,1752).
Au voisinage de tout (ξ, η) ∈ (C2 )0 l’égalité suivante est valid
3
X
u(z
(j)
(ξ, η)) =
j=1
3 Z
X
j=1
z (j) (ξ,η)
∞
dz
p
= const = 0 modulo periodes.
p(z)
Preuve.
Il suffit montrer que
3
3
∂ X
∂ X
(j)
u(z (ξ, η)) =
u(z (j) (ξ, η)) = 0.
(
(
∂ξ j=1
∂η j=1
Nous avons en utilisant (**) et la formule de dérivé de la fonction implicite
F (z (j) (ξ, η), ξ, η) ≡ 0
3
∂ X
(
u(z (j) (ξ, η)) =
∂η j=1
3
3
X
¢
¡X
∂z (j) (ξ, η) ± (j)
w (ξ, η) = −
∂η
j=1
j=1
3
3
X
X
2(ηz (j) + ξ)z (j)
=−
−
(j) , ξ, η)
w(j) ∂F
∂z (z
j=1
j=1
7
∂F
(j)
, ξ, η)
∂η (z
∂F
(j) , ξ, η) · w (j)
∂z (z
2z (j)
.
∂F
(j) , ξ, η)
∂z (z
=
On pose h(z) = F (z, ξ, η) et g(z) = z. Par la formule d’interpolation classique d’EulerLagrange (ou par théorème des résidus) pour tous polynômes g, h, tels que deg g ≤ deg h−2
P g(z )
on a j h0 (zjj ) = 0, où {zj } sont les zéros de h. Puisque dans notre cas deg g = deg h−2 = 1,
on obtient l’égalité
3
3
X
∂ X
u(z (j) (ξ, η)) = −
(
∂η j=1
j=1
2z (j)
= 0.
∂F
(j) , ξ, η)
(z
∂z
Le calcul pareil implique aussi l’égalité
3
3
X
∂ X
(j)
(
u(z (ξ, η)) = −
∂ξ j=1
j=1
2
∂F
∂z
(z (j) , ξ, η)
= 0.
Théorème d’addition pour la fonction elliptique de Weierstrass.
Pour tous u1 , u2 , u3 ∈ C tels que u1 + u2 + u3 = 0 (uj 6= k1 w1 + k2 w2 , j = 1, 2, 3,
(k1 , k2 ) ∈ Z2 ) les valeurs z(uj ) de la fonction elliptique de Weierstrass u 7→ z(u) en points
{uj } satisfont la relation suivante
z(u1 ) + z(u2 ) + z(u3 ) =
1 ¡ z 0 (u2 ) − z 0 (u1 ) ¢2
.
4 z(u2 ) − z(u1 )
Preuve.
p Soit u 7→ z(u) la fonction inverse a intégral elliptique (*). ∀ u ∈ C on fixe0 w(u) =
p(z(u)) comme dans la définition (*). Si u1 6= u2 par Clebsch on a {P(u1 ), P (u1 )} 6=
{P(u2 ), P 0 (u2 )} et ∃! (ξ, η) tel que P 0 (uj ) = ξ + ηP(uj ), j = 1, 2. La condition
u1 + u2 + u3 = 0 et théorème d’Euler implique
w(uj ) = ξ + ηz(uj ), j = 1, 2, 3.
Par (**) F (z(uj ), ξ, η) = 0, j = 1, 2, 3, et le polynôme p(z) ne contient pas le terme avec
z 2 , nous avons l’égalité
z(u1 ) + z(u2 ) + z(u3 ) =
D’après l’équation de Weierstrass on a
1 ¡ w(u2 ) − w(u1 ) ¢2
η2
=
.
4
4 z(u2 ) − z(u1 )
d
du z(u)
z(u1 ) + z(u2 ) + z(u3 ) =
= w(u). Donc,
1 ¡ z 0 (u2 ) − z 0 (u1 ) ¢2
.
4 z(u2 ) − z(u1 )
Théorème d’addition d’Abel.
On considère la courbe V = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : Φ(z1 , z2 ) = 0}, et une famille de courbes
Γa = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : z2 = g(z1 , a)}, où Φ(z1 , z2 ) le polynôme irreductible des variables
(z1 , z2 ) ∈ C2 et g(z1 , a) le polynôme de variable z1 ∈ C et de parametre a ∈ Cl .
8
On suppose que ∀ a le degré du polynôme ϕ(z1 , a) = Φ(z1 , g(z1 , a)) par rapport à
(1)
(µ)
z1 égale µ. On désignons les racines de ϕ(z1 , a) = 0 par z1 , . . . , z1 qui serons autant de
(k)
(k)
fonctions de a. On note z2 = g(z1 , a).
(k)
(k)
Alors, l’intersection V ∩ Γa consist des points z (k) (a) = (z1 (a), z2 (a)), k = 1, . . . , µ.
Théorème (Abel,1826).
Soient R(z1 , z2 )dz1 la forme rationnelle sur V , z 0 ∈ V , [z 0 , z (k) ] un chemin sur V ,
joignant z 0 et z (k) (a), dépendant de parametre a de manière continue. Alors, la fonction
R z(k) (a)
P
J(a) = µk=1 z0
R(z1 , z2 )dz1 admet la représentation suivante
N
X
J(a) = r(a) +
cν ln rν (a),
ν=1
où r, rν sont les fonctions rationnelles de a et cν ∈ C, ν = 1, 2, . . . , N .
Preuve.
On montre que la différentielle de J(a) est rationnelle. On a
dJ(a) =
l
X
∂J(a)
λ=1
où
µ
∂aλ
daλ ,
∂z
∂J(a) X
=
R(z (k) ) 1 .
∂aλ
∂aλ
(k)
k=1
(k)
Puisque ϕ(z1 (a), a) ≡ 0 nous avons
(k)
(k)
(k)
∂z1
∂ϕ(z1 , a) ± ∂ϕ(z1 , a)
=−
,
(k)
∂aλ
∂aλ
∂z
1
±
(k)
(k)
λ = 1, 2, . . . , l; k = 1, 2, . . . , µ. Alors, les fonctions ∂z1 (a) ∂aλ sont rationnelles en z1 et
(1)
(µ)
a1 , . . . , al , ça implique que les fonctions ∂J(a)
∂aλ sont rationnelles en z1 , . . . , z1 et a1 , . . . , al .
(1)
(µ)
d’équaEn plus, les fonctions ∂J(a)
∂aλ sont symmetriques par rapport à racines z1 , . . . , z1
tion ϕ(z1 , a) = 0 dont les coefficients sont rationnelles en a.
Donc, les coefficients de la forme dJ(a) sont rationnelles en a1 , . . . , al . Il reste verifier
(par recurrence) que rationalité de la forme dJ(a) implique la représentation annoncée
pour J(a).
Définition.
La forme R(z1 , z2 )dz1 sur la courbe algebrique V = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : Φ(z1 , z2 ) = 0}
s’appele
de la première espece si ∀ z 0 , z ∈ V ∃ un chemin [z 0 , z] ⊂ V tel que l’intégale
R
0
[z 0 ,z] R(z1 , z2 )dz1 est uniformement bornée par rapport à z , z ∈ V .
Corollaire.
9
Si dans les conditions du théorème d’Abel la forme R(z1 , z2 )dz1 est de la première
espece, alors dans la conclusion du théorème on obtient J(a) ≡ const.
Notation.
On note par Γ = Γ(w1 , w2 ) et on appelle par réseau Γ(w1 , w2 ) dans C le sous-groupe
additif de C engendré par w1 , w2 ∈ C : Im w1 /w2 6= 0, i.e.
Γ = {z ∈ C : z = k1 w1 + k2 w2 , k1 , k2 ∈ Z}.
Proposition (sur la fonction ζ de Weierstrass).
Soit Γ = Γ(w1 , w2 ) un réseau dans C. Alors,
i) la série suivante
¸
X ∙ 1
1
z
1
+
+ +
z
z − w w w2
06=w∈Γ
converge normalement vers la fonction ζ(z) = ζ(z, w1 , w2 ) méromorphe en z ∈ C et
1
(w1 , w2 ) ∈ U, où U = {(w1 , w2 ) ∈ C2 : Im w
w2 6= 0}
ii) le produit suivant
z
Y
(1 − z/w) exp (z/w + (1/2)(z/w)2 )
06=w∈Γ
converge vers la fonction σ(z) = σ(z, w1 , w2 ) holomorphe en z ∈ C et (w1 , w2 ) ∈ U.
On a σ 0 (z)/σ(z) = ζ(z).
iii) la fonction de Weierstrass z 7→ P(z) satisfait la relation suivante
¡ σ 0 (z) ¢0
P(z) = −ζ 0 (z) = −
σ(z)
iv) ∀ w ∈ Γ la fonction ζ(z + w) − ζ(z) ne dépend pas de z, mais dépend de w et de Γ.
Preuve
i) La série pour ζ(z) = ζ(z, w1 , w2 ) converge normalement sur tout compact de C × U
comme la série pour P(z) dans la proposition de Eisenstein, Weierstrass.
ii) Convergence de la série pour ζ(z) implique le convergence du produit pour σ(z) et la
formule
σ 0 (z)
.
ζ(z) =
σ(z)
iii) Dérivation de la série pour ζ(z) nous donne
ζ 0 (z) = −P(z).
iv) ∀ w∗ ∈ Γ nous avons ζ(z + w∗ ) − ζ(z) =
P
06=w∈Γ
10
w∗
w2
6= 0.
Exercice 3 Montrer que
¡ π 2 ¡ z ¢2 ¢
w1
exp
sin (πz/w1 ),
π
6 w1
σ(z, ∞, ∞) = z,
π 2 ¡ z ¢2
π
z
+
cos π ,
ζ(z, w1 , ∞) =
3 w1
w1
w1
ζ(z, ∞, ∞) = 1/z,
σ(z, w1 , ∞) =
¡ π ¢2 £
1¤
1
,
−
w2 →∞
w1
(sin πz/w1 )2 3
1
lim
P(z,
w
,
w
)
=
.
1
2
w1 →∞
z2
w2 →∞
lim P(z, w1 , w2 ) =
Exercice 3 montre que la théorie des fonctions elliptiques contient la théorie des fonctions trigonométriques comme le cas dégénéré.
Exercice 4. Montrer que ∀ n ∈ Z la fonction z 7→ P(nz) est la fonction rationnelle
de P(z).
Formule de Cauchy-Pompeiu sur tore complexe.
Théorème.
Soient τ → ζ(τ ) = ζ(τ, w1 , w2 ) la fonction ζ de Weierstrass et ∆0 le parallélogramme
2
2
2
, w1 −w
, −w12+w2 , w1 +w
. Alors, pour toute fonction
des périodes avec les sommets − w1 +w
2
2
2
u (w1 , w2 )- périodique et lisse sur C la formule suivante est valide
Z
1
¯ ) ∧ dτ, z ∈ ∆0 .
u(z) = const −
ζ(τ − z)∂u(τ
2πi
τ ∈∆0
Preuve.
D’après théorème de Green-Riemann et la définition de la fonction ζ de Weierstrass
on a:
Z
Z
1
1
¯ ) ∧ dτ.
ζ(τ − z)u(τ )dτ = u(z) +
ζ(τ − z)∂u(τ
2πi
2πi
τ ∈∆0
τ ∈b∆0
D’après la formule ζ 0 (z) = −P(z) il existent constantes η1 , η2 telles que
ζ(τ + w1 ) = ζ(τ ) + η1 et ζ(τ + w2 ) = ζ(τ ) + η2 .
La fonction u est (w1 , w2 )- périodique, alors
Z
Z
¯
ηj ∂udτ = ηj
udτ = 0, j = 1, 2.
τ ∈∆0
τ ∈b∆0
11
Ca implique que les fonctions
Z
Z
1
1
¯
u1 (z) =
ζ(τ − z)∂u(τ ) ∧ dτ et u2 (z) =
2πi
2πi
τ ∈∆0
ζ(τ − z)u(τ )dτ
τ ∈b∆0
sont (w1 , w2 )- périodique.
La fonction u2 (z) est en plus holomorphe, donc, égale const par théorème de Liouville.
¯
Corollaire. (Exercice)(Solution ∂-équation
sur tore complex).
±
Soient τ → t(τ ) application canonique de C sur T = C {k1 w1 + k2 w2 } et ζ(τ, w1 , w2 )
la fonction ζ de Weierstrass. Alors, pour toute f ∈ C0,1 (T ) la fonction
Z
1
ζ(τ − z)f (t(τ )) ∧ dτ, z ∈ C
u(z) = −
2πi
τ ∈∆0
¯ ) = f (t(τ )), τ ∈ C ssi
est (w1 , w2 )- périodique sur C et satisfait l’équation ∂u(τ
Z
f ∧ dτ = 0.
τ ∈∆0
Exercice 5. Soit V̄ = {z ∈ CP 2 : P (z) = 0} une courbe algébrique projective.
Montrer que
(N − 1)(N − 2)
.
dimC H 1,0 (V̄ ) = dimC H 0,1 (V̄ ) =
2
Indication. Par exercice 1 toute (1,0)-forme f méromorphe sur V̄ est rationnelle.
Alors, sur la courbe algébrique affine V = {w ∈ C2 : P (1, w1 , w2 ) = 0} la forme f admet
la représentation suivante
¯
Q(w)dw1
∂P
, si
6 0,
=
f ¯V =
∂P
∂w
2
∂w2
¯
Q(w)dw2
∂P
et f ¯V = −
, si
6= 0,
∂P
∂w
1
∂w
1
¯
où Q un polynôme de (w1 , w2 ). La forme f ¯V se prolonge holomorphiquement sur V̄ ssi
deg Q ≤ deg P − 3. Alors,
dimC H 1,0 (V̄ ) = dimC {Q : deg Q ≤ deg P − 3} = (N − 1)(N − 2)/2.
Exercice 6.
Montrer que si dans les conditions du Théorème d’Abel
¯
Q(z1 , z2 )dz1
,
R(z1 , z2 )dz1 ¯V = ∂Φ
(z
,
z
)
1
2
∂z2
12
où deg Q ≤ deg Φ − 3, alors dans la conclusion du Théorème d’Abel on a J(a) ≡ const
(modulo periodes).
Indication
Si dans les conditions du théorème d’Abel la courbe est une partie affine de la courbe
projective lisse,
¯ alors on pourra montrer que sous la condition deg Q ≤ deg Φ − 3 la forme
R(z1 , z2 )dz1 ¯V est la forme de la première espece.
Exercice 7
On pose C+ = {z ∈ C : Im z > 0}. On considère la fonction w(z) définie dans C+
par intégrale elliptique:
Z
dξ
p
w(z) =
, 0 < c < 1,
(1 − ξ 2 )(1 − c2 ξ 2 )
[0,z]
prisé le long d’un chemin [0, z], joignant 0 et z dans C+ . On prend la détermination
continue du radical égale à 1 pour ξ = 0.
i) Montrer que z 7→ w(z) se prolonge en une fonction continue dans C̄.
ii) Montrer que z 7→ w(z) définit un isomorphisme de C+ sur le rectangle ouvert ayant
pour sommets les points −a, a, −a + ib, a + ib, où
Z 1
Z 1/c
dt
dt
p
p
a=
, b=
.
2
2
2
2
(1 − t )(1 − c t )
(t − 1)(1 − c2 t2 )
0
1
En outre w(±1) = ±a, w(±1/c) = ±a + bi, w(∞) = bi.
iii) Montrer que l’on peut prolonger la fonction inverse z = z(w) en une fonction
méromorphe (w1 , w2 ) périodique de périodes w1 = 4a, w2 = 2ib dans le plan de la variable
u.
Définition. La fonction d’Abel est la fonction x 7→ λ(x), x ∈ [−a, a], inverse à la
fonction, définie par la formule
Z 1
Z λ
√
dy
dt
p
p
1 = 1.
, a=
, 0 < c < 1,
x=
(1 − y 2 )(1 − c2 y 2 )
(1 − t2 )(1 − c2 t2 )
0
0
Exercice 8. Montrer que la fonction d’Abel est la restriction sur [−a, a] de quelque
fonction elliptique.
Exercice 9∗ . Demontrer que la fonction mesurable x 7→ λ(x), x ∈ R, est la fonction
d’Abel ssi
λ2 (x) − λ2 (y)
; x, y ∈ R.
λ(x + y) · λ(x − y) =
1 − c2 λ2 (x) · λ2 (y)
Bibliographie
H.Cartan. Théorie élementaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables
complexes, 1961, chap. V,VI
P.Griffiths, J.Harris, Principles of algebric geometry, John Wiley, 1978, chap.II § 2
13