Géométrie affine et euclidienne Michel Raibaut

Géométrie affine et euclidienne
Michel Raibaut
CHAPITRE 1
Géométrie affine
Dans tout le chapitre la lettre K désignera un corps commutatif. Par exemple le corps des nombres réels R, le
corps des nombres complexes C ou un corps fini.
1. Généralités sur les espaces affines
1.1. Notion d’espace affine.
Exemple 1.1. Considérons dans R2 , la droite affine D d’équation y = 2x + 1. Cette droite est l’ensemble des
points
x
0
1
D=
∈ R2 ; y = 2x + 1 =
+R
.
y
1
2
L’équation y = 2x + 1 est une équation implicite de la droite D. L’écriture
0
1
D=
+R
.
1
2
est un paramétrage de la droite D.
On constate que cette droite peut-être vu comme un point
0
1
au quel on “ajoute” la droite linéaire R
1
2
.
Pour tout point (x, y) ∈ D, on a y − b = 2(x − a)
x
a
1
=
+ (x − a)
y
b
2
Cette droite linéaire est unique, on l’appelle direction de la droite affine D son équation implicite est y = 2x.
Exemple 1.2. Considérons dans R3 le plan affine d’équation implicite
P : x + y + z = 1.
Un paramétrage de P est
 
  




0
1
0
 x

P =  y  ∈ R3 ; x + y + z = 1 =  0  + R  0  + R  1  .


z
1
−1
−1
 




0
1
0
Le plan affine P est la “somme” du point A =  0  avec le plan vectoriel R  0  + R  1  .
1
−1
−1
Ce plan vectoriel ne dépend pas du point, on l’appelle direction du plan affine et son équation implicite est
x + y + z = 0.
Exemple 1.3. L’ensemble des primitives de la fonction x → sin(x) + x2 est
1
1
{x 7→ cos(x) + x3 + C | C ∈ R} = {x 7→ cos(x) + x3 } + R
3
3
Cet ensemble est là encore un point de l’espace des solutions x 7→ cos(x) + 31 x3 au quel on “ajoute” une droite
linéaire.
Les solutions de léquation y” = sin(x) + x2 sont
1
1
{x 7→ −sin(x) + x4 + Cx + D | (C, D) ∈ R2 } = {x 7→ −sin(x) + x4 } + R2
12
12
1 4
Cet ensemble est là encore un point de l’espace des solutions x 7→ −sin(x) + 12
x au quel on “ajoute” un plan.
1
~ +) formé d’un ensemble non vide X
Définition 1.4 (Espace affine). On appelle espace affine un triplet (X, E,
~
(l’ensemble des points), d’un espace vectoriel E (l’espace des vecteurs) et d’une application +
~ →
+ : X ×E
X
(A, ~u) 7→ A + ~u
qui vérifie les propriétés suivantes :
~ × E,
~ (A + ~u) + ~v = A + (~u + ~v )
(1) ∀(A, ~u, ~v ) ∈ X × E
~ (A + ~u = A ⇔ ~u = 0)
(2) ∀(A, ~u) ∈ X × E,
~ A + ~u = B.
(3) ∀(A, B) ∈ X × X, ∃~u ∈ E,
~ est appelé direction de l’espace affine (X, E,
~ +).
L’espace vectoriel E
Remarque 1.5. Si B = A + ~u alors A = B − ~u. On déduit cela de l’axiome 1 :
B − ~u = (A + ~u) − ~u = A + (~u − ~u) = A.
~ +) un espace affine, A et B deux points. Si B = A + ~u et B = A + ~v alors ~u = ~v .
Proposition 1.6. Soit (X, E,
Démonstration. En effet par ce qui précède et par les axiomes nous avons
A = B − ~u = (A + ~v ) − ~u = A + (~v − ~u).
Par l’axiome 2 nous obtenons alors ~v = ~u.
Remarque 1.7. Les axiomes de cette définition traduisent le fait que l’application + est une action de groupe,
~ sur l’ensemble X. Plus précisément, l’axiome 1 et la
transitive et libre du groupe additif de l’espace vectoriel E
~
~ +) sur X. L’axiome 3
partie (⇐) de l’axiome 2 définissent l’application + : E × X → X comme une action de (E,
impose que l’action soit transitive et la partie (⇒) de l’axiome 2 impose que l’action soit libre. Dans le cas présent,
l’axiome 2 peut-être remplacé par l’axiome :
~ | ∀A ∈ XA + ~u = A} = {~0}.
{~u ∈ E
Supposons qu’il existe ~u et un point A, tel que A = A + ~u. Montrons que pour tout B on a B = B + ~u, ce qui
conduira à ~u = ~0. En effet par transitivité il existe ~v tel que B = A + ~v . Donc
B + ~u = (A + ~v ) + ~u = A + (~v + ~u) = A + (~u + ~v ) = (A + ~v ) + ~u = A + ~u = B
~ Cet axiome est appelé fidélité de
On notera qu’on utilise de manière cruciale la commutativité de l’addition de E.
l’action.
~ +) un espace affine. Les “points” de l’espace affine sont les éléments de X. Les
Mise en garde 1. Fixons (X, E,
~ Les points et les vecteurs sont donc des objets
“vecteurs” de l’espace affine sont les éléments de l’espace vectoriel E.
~ Toutefois, il est psychologiquement
de nature différente d’où l’emploi pédagogique des lettres différentes X et E.
~ plutôt que E.
~ Ceci n’est jamais qu’une notation et si on
plus agréable de noter la direction de l’espace affine X
~
l’emploie il faudra faire attention à ne pas confondre les points de X et les vecteurs de X.
~ = E, +) où l’opération + est la loi additive de
Exemple 1.8. Un espace vectoriel E induit un espace affine (E, E
l’espace vectoriel. Dans cet exemple les éléments de E ont donc les deux sens “points” et “vecteurs” mais dans le
premier cas il n’y a pas d’origine fixée, alors que dans le deuxième, le vecteur nul ~0 est privilégié par la structure.
Exemple 1.9 (Solutions d’un système linéaire avec second membre). Considérons une matrice A de taille n. Soit
B un vecteur de K. On considère le système :
AX = B.
Notons que si B n’appartient pas à l’image de la matrice alors ce système n’a pas de solutions.
Si B appartient à l’image de la matrice, alors ce système a des solutions et l’ensemble de ses solutions est un espace
affine noté S dirigé par le noyau de la matrice ker A
+ : S × ker A → S
(S, X)
7→ S + X
Cette application est bien définie car
A(S + X) = AS + AX = B + 0 = B.
2
On vérifie immédiatement les axiomes précédents. L’unique chose à noter étant que pour deux solutions S1 et S2
leur différence appartient au noyau :
AS1 = B, AS2 = B ⇒ A(S1 − S2 ) = 0.
~ +) un espace affine. Pour tout couple de points (A, B) de X, il existe un unique
Proposition 1.10. Soit (X, E,
−→
~ tel que B = A + ~u. Classiquement on notera ce vecteur −
vecteur ~u de E,
AB. Les points A et B sont confondus si
−−→
et seulement si AB = ~0.
Démonstration. Soit (A, B) un couple de points de X. Par définition d’un espace affine, l’axiome 3 certifie
l’existence d’un vecteur ~u ∈ E, tel que B = A + ~u. Montrons que ce vecteur est unique. Pour cela considérons
~ tel que B = A + ~v . Montrons que ~u = ~v . En effet, par l’axiome 1 nous avons,
~v ∈ E
B − ~v = (A + ~v ) − ~v = A + (~v − ~v ) = A
et nous avons aussi
B − ~v = (A + ~u) − ~v = A + (~u − ~v ),
donc
A = A + ~u − ~v
−−→
donc par l’axiome 2 nous avons ~u = ~v . Supposons que les points A et B sont confondus, alors A = A + AB donc
−−→
−−→
par l’axiome 2 (ou par ce qui précède) AB est nul. Réciproquement si AB est nul alors par définition de ce vecteur
A et B sont confondus.
~ +) un espace affine. Pour tout triplet (A, B, C) de points de
Proposition 1.11 (Relation de Chasles). Soit (X, E,
X on a
−−→ −−→ −→
AB + BC = CA.
Démonstration. Soit (A, B, C) un triplet de points de X. Par définition nous avons les relations suivantes :
−−→
−−→
C = B + BC, B = A + AB
donc par l’axiome 1 on a
−−→
−−→
−−→ −−→
C = (A + AB) + BC = A + (AB + BC).
−→
Par ailleurs on a aussi C = A + AC, donc par la proposition précédente ou par l’axiome 2 on obtient l’identité de
Chasles.
1.2. Vectorialisation.
~ +) un espace affine. On a précédement mis en garde sur la confusion entre “points”
Mise en garde 2. Soit (X, E,
et “vecteurs” qui ne sont pas de même nature. Néanmoins, si l’on fixe un point a de X, alors on peut se repérer
par rapport au point A que l’on considère comme origine. Ce procédé s’appelle vectorialisation.
~ +) un espace affine. Soit A un point de X. L’application
Proposition 1.12. Soit (X, E,
~
ϕA : X → E
−−→
B 7→ AB
~
est une bijection de l’ensemble des points X sur l’ensemble des vecteurs E.
~ nous avons ϕA (A + ~u) = ~u. Pour
Démonstration. Remarquons tout d’abord que pour tout vecteur ~u de E
~ → X et nous
montrer que l’application ϕA est une bijection, nous construisons une application inverse ψA : E
montrons que ϕA ◦ ψA = IdX et ψA ◦ ϕA = IdE~ . Il suffit de considérer l’application ψA (~u) = A + ~u. En effet soit
~ on a
~u ∈ E,
ϕA (ψA (~u)) = ϕA (A + ~u) = ~u.
Réciproquement soit B un point de X on a
−−→
−−→
ψA (ϕA (B)) = ψA (AB) = A + AB = B.
~ +) un espace affine. Soit A un point de X. L’ensemble des points
Proposition 1.13 (Vectorialisation). Soit (X, E,
X a une structure de K-espace vectoriel :
3
(1) La loi interne que nous noterons +A est définie par
+A : X × X →
X
−−→ −→
(B, C) 7→ B +A C := A + (AB + AC)
(2) La loi externe que nous noterons .A est définie par
.A : K × X →
X
−−→
(λ, B) 7→ λ.A B := A + λAB
Cet espace vectoriel est appelé vectorialisé de X au point A, on le note XA .
Démonstration. Soit A ∈ X. On considère l’application,
~
Φ : X → E
−−→
B 7→ AB
Cette application est une bijection et permet de transporter la structure, en particulier
−−→ −→
B +A C = Φ−1
A (AB + AC)
et
−−→
λ.A B = Φ−1
A (λ.AB).
~ +, .).
Ainsi (X, +A , .A ) est un K espace vectoriel et ΦA est un isomorphisme entre (X, +A , .A ) et (E,
→ On peut aussi vérifier les 8 axiomes :
• (X, +A ) est un groupe commutatif.
~ on a pour tout point B et C de X
Commutativité. Par commutativité de la loi + de E
−−→ −→
−→ −−→
B +A C = A + (AB + AC) = A + (AC + AB) = C +A B
~ on a
Associativité. Par associativité de la loi + de E
−−→ −→
(B +A C) +A D = (A + (AB + AC)) +A D
−−→ −→
−−→
−−→
−→ −−→
−→ −−→
= A + ((AB + AC) + AD) = A + (AB + (AC + AD)) = B +A (A + (AC + AD)) = B +A (C +A D).
Neutre. On vérifie que A est élément neutre pour +A : pour tout B ∈ X
−−→ −→
−−→
B +A A = A + (AB + AA) = A + AB = A = A +A B
−−→
Symétrique. On vérifie que C := A + BA est l’opposé de B pour la loi +A :
−−→ −−→
C +A B = B +A C = A + (AB + BA) = 0.
• Vérifions les axiomes de la loi externe .A : soit λ et µ deux scalaires et B et C deux points :
~ on obtient la distributivité de .A sur +A :
– En utilisant la distributivité de . sur + pour E
−−→ −→
−−→ −→
−−→
−→
λ.A (B +A C) = λ.A (A + (AB + AC)) = A + λ.(AB + AC) = A + λAB + λAC = λ.A B +A λ.A C.
~ : (λ + µ)~u = λ~u + µ~u on obtient :
– En utilisant l’axiome de E
−−→
−−→
−−→
(λ + µ).A B = A + (λ + µ)AB = A + (λAB + µAB) = λ.A B +A µ.A B
~ : (λµ)~u = λ(µ~u) on obtient
– En utilisant l’axiome de E
−−→
−−→
(λµ).A B = A + (λµ)AB = A + λ(µAB) = λ.A (µ.A B)
~ : 1.~u = ~u on obtient
– En utilisant l’axiome de E
−−→
−−→
1.A B = A + (1.AB) = A + AB = B.
Par construction l’application ΦA est un morphisme, ce morphisme est aussi bijectif, c’est donc un isomorphisme.
4
Notation 1.14. Lorsque l’on choisit de privilégier un point A de X, on notera X (et on pensera à X) sous la
forme
~
X = A + E.
En effet tout élément M de X s’écrit de manière unique sous la forme
−−→
M = A + AM .
1.3. Dimension.
~ +) est par définition celle de sa direction E.
~
Définition 1.15. La dimension d’un espace affine (X, E,
1.4. Repères affines, coordonnées affines.
~ +) un espace affine. Un repère affine de X, noté R = (O, B), est la
Définition 1.16 (Repère affine). Soit (X, E,
~
donnée d’un point O de X, appelé origine du repère, et d’une base B de la direction E.
~ +) un espace affine de dimension finie d muni d’un
Définition 1.17 (Coordonnées en dimension finie). Soit (X, E,
repère affine R = (O, B). Notons ~e1 , . . ., ~ed , les vecteurs de la base B. Pour tout point A de X, il existe un unique
d-uplet de scalaires (λi ) ∈ Kd , tel que
d
X
A=O+
λi~ei .
i=1
Ces scalaires sont appelés coordonnées de A dans le repère R = (O, B). On notera [A]R le vecteur des coordonnées
de A dans le repère R. Avec les notations précédentes [A]R = (λi ).
−→
Remarque 1.18. Les coordonnées de A dans le repère R = (O, B) sont aussi les coordonnées du vecteur OA dans
P
−→
la base B. En effet nous avons d’une part A = O + OA et d’autre part A = O + di=1 λi~ei , nous en déduisons donc
P
−→
l’égalité OA = di=1 λi~ei .
Remarquons que le fait que l’espace affine soit de dimension finie importe peu on peut donc généraliser :
~ +) un espace affine muni d’un repère affine R = (O, B). Ecrivons la
Définition 1.19 (Coordonnées). Soit (X, E,
base B sous la forme (~ei )i∈I . Pour tout point A de X, il existe une unique famille de scalaires (λi ) ∈ KI , telle que
A=O+
d
X
λi~ei .
i∈I
Ces scalaires sont appelés coordonnées de A dans le repère R = (O, B). Les coordonnées de A dans le repère
−→
R = (O, B) sont aussi celles du vecteur OA dans la base B.
~ +) un espace affine de dimension d, muni de deux repères
Formules de changements de repère. Soit (X, E,
0
0
0
affines R = (O, B) et R = (O , B ).
Soit A un point de X. Notons ~e1 ,..., ~ed , les vecteurs de la base B et f~1 ,..., f~d , les vecteurs de la base B 0 . Considérons
les coordonnées de A dans les repères R et R0 :
A=O+
d
X
xi~ei
i=1
et
0
A=O +
d
X
yj f~j .
j=1
Les formules de changement de repère permettent d’exprimer les coordonnées (xi ) de A dans le repère R en fonction
des coordonnées (yi ) de A dans le repère R0 . L’idée étant de partir de l’expression de A dans le repère R0 et de
faire apparaître le point O et les vecteurs (~ei ).
Notons tout d’abord que les vecteurs de la base B 0 s’expriment en fonction de ceux de la base B :
∀j ∈ {1, . . . , d} f~j =
d
X
i=1
5
ai,j ~ei .
Notons aussi que l’origine O0 du repère R0 a comme tout point de X des coordonnées dans le repère R, nous les
notons (o0i ) :
d
X
0
O =O+
o0i~ei .
i=1
Par conséquent nous avons
A = O0 +
Pd
= (O +
Pd
+
Pd
= (O +
Pd
+
Pd
Pd
= (O +
Pd
0e ) +
i
i=1 oi~
Pd
P
= O+
~
j=1 yj fj
0e )
i
i=1 oi~
0e )
i
i=1 oi~
Pd
i=1
j=1 yj (
j=1
P
d
0
j=1 oi
i=1
Pd
ei )
i=1 ai,j ~
ei
i=1 yj ai,j ~
d
j=1 yj ai,j
~ei
+ yj ai,j ~ei
P
= O + di=1 xi~ei
Par unicité 1.6, nous obtenons l’égalité des vecteurs :
d X
d
d
X
X
0
( (oi + yj ai,j )~ei =
xi~ei .
i=1 j=1
i=1
Par unicité de la décomposition d’un vecteur sur une base nous obtenons :
∀ i ∈ {1, . . . , d}, xi =
d
X
o0i + yj ai,j .
j=1
D’une manière bien plus maniable nous écrirons ces relations sous forme matricielle :

  0  


x1
o1
a1,1 . . . a1,d
y1
 .   .   .


. 

 
 
 . 
 . = . + .


.  . 

 
 
.
 .   .   .
.  . 
xd
o0d
ad,1 . . . ad,d
yd
Nous pouvons alors introduire quelques notations
Notations 1.20. Notons :
• [A]R le vecteur des coordonnées de A dans le repère R ; ci-dessus [A]R = (xi ).
• [A]R0 le vecteur des coordonnées de A dans le repère R0 ci-dessus [A]R0 = (yi ).
• [B 0 ]B la matrice exprimant les vecteurs de la base B 0 dans la base B ; ci-dessus [B 0 ]B = (ai,j ).
La relation précédente s’écrit donc
[A]R = [O0 ]R + [B 0 ]B .[A]R0 .
1.5. Points affinement libres, affinement générateurs, base affine.
~ +) un espace affine. Soit (ai )i∈I une famille non vide de points de E. Les propriétés
Proposition 1.21. Soit (X, E,
suivantes son équivalentes :
−−−→
~
(1) il existe i0 ∈ I tel que la famille (Ai0 Ai )i∈I\{i0 } soit libre (resp, génératrice, resp une base) dans E.
−−−→
(2) pour tout i0 ∈ I la famille (Ai0 Ai )i∈I\{i0 } est libre (respectivement génératrice, respectivement une base)
~
dans E.
On dit dans ce cas que la famille (Ai )i∈I est affinement libre (respectivement génératrice, respectivement une base)
~
de E.
Démonstration. Le deuxième point implique le premier. Prouvons la réciproque.
6
−−−→
• Supposons pour cela qu’il existe un élément i0 de I tel que la famille (Ai0 ai )i∈I\{i0 } soit libre. Fixons i1 ∈ I
−−−→
et montrons que la famille (Ai1 ai )i∈I\{i1 } est libre. Pour cela considérons une famille de scalaires (λi )i∈I\{i1 }
vérifiant
X
−−−→
λi Ai1 ai = 0,
i∈I\{i1 }
et montrons que pour tout i ∈ I \ {i1 }, le scalaire λi est nul. Utilisons la relation de Chasles pour faire
intervenir l’élément i0 , et ainsi l’hypothèse :
P
P
−−−→
−−−−→ P
−−−→
i∈I\{i1 } λi Ai0 Ai
i∈I\{i1 } λi Ai1 Ai0 +
i∈I\{i1 } λi Ai1 ai =
= −
−−−−→ P
−−−→
λ
Ai0 Ai1 + i∈I\{i1 } λi Ai0 Ai
i
i∈I\{i1 }
P
−−−→
est libre donc nous obtenons que pour tout élément i de I \ {i0 , i1 },
Par hypothèse la famille (Ai0 Ai )i∈I\{i0 } P
le scalaire λi est nul ainsi que la somme i∈I\{i1 } λi . En particulier nous en tirons que λi0 est nul. La famille
−−−→
(Ai1 Ai )i∈I\{i1 } est ainsi libre.
−−−→
• Supposons qu’il existe un élément i0 de I tel que la famille (Ai0 Ai )i∈I\{i0 } soit génératrice. Fixons i1 ∈ I
−−−→
~ et
et montrons que la famille (Ai1 Ai )i∈I\{i1 } est génératrice. Pour cela considérons un vecteur ~u de E,
−−−→
montrons qu’il est combinaison linéaire des vecteurs de la famille (Ai1 Ai )i∈I\{i1 } . Par hypothèse, ce vecteur
−−−→
est combinaison linéaire des vecteurs de la famille (Ai0 Ai )i∈I\{i0 } , donc il existe une famille de scalaire
(λi )i∈I\{i0 } telle que :
X
−−−→
~u =
λ i Ai0 Ai .
i∈I\{i0 }
Par la relation de Chasles faisons intervenir l’élément i1 :
P
−−−→
~u =
i∈I\{i0 } λi Ai0 Ai
P
−−−→ P
−−−−→
=
i∈I\{i0 } λi Ai1 Ai +
i∈I\{i0 } λi Ai0 Ai1
=
P
−−−→
i∈I\{i0 ,i1 } λi Ai1 Ai
−
P
−−−−→
i∈I\{i0 } λi Ai1 Ai0
−−−→
cette dernière égalité montre que le vecteur ~u est une combinaison linéaire de la famille (Ai1 Ai )i∈I\{i1 } .
~ étant par définition une famille à la fois libre et génératrice, l’assertion sur les bases résulte
• Une base de E
directement des deux assertions précédentes.
1.6. Sous-espace affine.
~ +) un espace affine. Soit Y une partie non vide de X. On dit que Y est un sous
Définition 1.22. Soit (X, E,
~ +) si et seulement si il existe un point A ∈ Y tel que
espace affine de (X, E,
−−→
{AM | M ∈ Y }
~ En ce cas :
est un sous espace vectoriel de E.
−−→
~
Y = A + {AM | M ∈ Y } = A + sous espace vectoriel de E.
On notera que la première égalité est toujours vraie !
~ +) un espace affine. Soit Y une partie non vide de X. Les assertions suivantes
Proposition 1.23. Soit (X, E,
sont équivalentes :
~ +), autrement dit :
(1) Y est un sous espace affine de (X, E,
−−→ ~
~
il existe A ∈ Y tel que l’ensemble {AM ∈ E
| M ∈ Y } est un sous espace vectoriel de E
−−→ ~
~
(2) pour tout A ∈ Y , l’ensemble {AM ∈ E | M ∈ Y } est un sous espace vectoriel de E
−
→
−
→
~ tel que Y = A + FA
(3) il existe un point A de Y et un sous espace vectoriel FA de E
7
−
→
→
~ tel que Y = A + −
(4) pour tout point A de Y , il existe un sous espace vectoriel FA de E
FA .
~ +), alors pour tout point A et B de Y on a l’égalité de sous espaces
Si Y est un sous espace affine de (X, E,
~ :
vectoriels de E
−−→
−−→
{AM | M ∈ Y } = {BM | M ∈ Y }
~ Y ce sous espace, et on l’appelle direction de Y . Pour tout point A de Y on a donc la décomposition :
On note alors E
~
~ +), le triplet (Y, E
~ Y , +) est un espace affine.
Y = A + EY . Muni de la loi + induite par la loi + de (X, E,
Démonstration. Montrons l’équivalence des assertions. Pour cela on prouve une chaîne d’implications. Nous
avons directement (4) ⇒ (3) et (2) ⇒ (1). Montrons alors (3) ⇒ (2) puis (1) ⇒ (4).
(3) ⇒ (2)Analyse du problème (au brouillon) Supposons qu’il existe un point A de Y et un sous espace
−
→
→
−−→ ~
~ tel que Y = A+−
vectoriel FA de E
FA . Fixons un point B ∈ Y et montrons que l’ensemble {BM ∈ E
|M ∈Y}
~
est un sous espace vectoriel de E.
Par définition d’un sous espace vectoriel, il s’agit donc de montrer que pour tout point L, N de Y et pour
−→ −−→
−→ −−→ −−→
tout scalaire λ de K, λBL + BN il existe un point P de Y tel que λBL + BN = BP .
Raisonnons par condition nécessaire : si un tel point P existe alors
−→ −−→ −−→
λBL + BN = BP
équivaut à
−−→
−→ −−→ −→
λBA + λAL + AN = AP .
Ainsi si on montre l’égalité :
−−→
F~A = {AM | M ∈ Y }
−−→
−→ −−→
−−→
alors le vecteur λBA + λAL + AN ∈ {AM | M ∈ Y }, car F~A est un sous espace vectoriel, ce qui fournit
l’existence d’un tel point P .
Synthèse (au propre) Montrons l’égalité
−−→
F~A = {AM | M ∈ Y }
Remarquons que l’on a par hypothèse
−−→
Y = A + F~A = A + {AM | M ∈ Y }
L’unicité de la décomposition point-vecteur permet de conclure.
−−→
(En effet : si ~u ∈ F~A , alors notons M le point A + ~u appartenant à Y et par unicité ~u = AM ce qui
−−→
−−→
montre l’inclusion F~A ⊂ {AM | M ∈ Y }. Réciproquement pour tout point M de Y , M = A + AM , or par
−−→
hypothèse Y = A + F~A donc il existe un vecteur ~u ∈ F~A tel que M = A + ~u et par unicité on a AM = ~u
d’où l’autre inclusion.)
−−→
−→ −−→
Soit B, L, N des points de Y et λ un scalaire, le vecteur −λAB + λAL + AN appartient à F~A qui est
−→
~ égal à {−
un sous espace vectoriel de E
AM | M ∈ Y }, donc il existe un point P de Y tel que
−−→
−→ −−→ −→
−λAB + λAL + AN = AP ,
et on déduit par la relation de Chasles que pour tout point B de Y
−→ −−→ −−→
λBL + BN = BP ,
et donc que pour tout point B de Y ,
−→ ~
{BL ∈ E
|M ∈Y}
~
est sous espace vectoriel de E.
−→
~ := {−
~ | M ∈ Y } est un sous espace
(1) ⇒ (4) Supposons qu’il existe A ∈ Y tel que l’ensemble V
AM ∈ E
~ Fixons un point B ∈ Y et montrons Y = B + V
~ . On veut montrer une égalité entre deux
vectoriel de E.
ensembles, on procède donc par double inclusion.
−→
~ . Soit C un point de Y . Nous avons C = B + −
• Montrons Y ⊂ B + V
BM et par Chasles C = B + ~v avec
−−→ −−→
~ car V
~ est un espace vectoriel.
~v = AM − AB qui appartient V
8
−→
~ ⊂ Y . Soit ~v un vecteur de V
~ . Par définition il existe un point M de Y tel que ~v = −
• Montrons B + V
AM .
On a donc la chaîne d’égalité
−−→
−−→
−−→
B + ~v = B + AM = (A + AB) + AM .
−−→ −−→
−→ −−→
~ il existe un point N ∈ Y tel que −
Le vecteur AB + AM appartenant à l’espace vectoriel V
AB + AM =
−−→
AN . On conclut par la chaîne d’égalités
−→ −−→
−−→
~ =A+−
B+V
AB + AM = A + AN = N ∈ Y.
Supposons que Y est un sous espace affine et montrons que l’espace vectoriel F~A ne dépend pas de A. En effet soit
B un autre point de Y nous avons par la relation de Chasles
−−→ −−→ −−→
BM = AM − AB
−−→
or F~A est un espace vectoriel donc BM ∈ F~A . Par conséquent nous F~B ⊂ F~A et par symétrie F~A ⊂ F~B .
Remarque 1.24. On retiendra qu’un sous espace affine (au même titre qu’un espace affine ) est totalement
déterminé par la donnée d’un point et de sa direction.
~ +) un espace affine. Soit Xi une famille de sous espaces affines. L’intersection
Proposition 1.25. Soit (X, E,
T
T
~
~
i∈I EXi .
i∈I Xi est soit l’ensemble vide, soit un sous espace affine de (X, E, +) dirigé par l’intersection
T
Démonstration. Supposons que l’intersection i∈I Xi est non vide. Considérons un point A dans cette
−→
~ X où E
~ X est l’espace vectoriel {−
intersection. Par la proposition précédente, pour tout i ∈ I, Xi = A + E
AM |
i
i
M ∈ Xi }. Montrons alors l’égalité
\
\
~X .
Xi = A +
E
i
i∈I
i∈I
T
ceci prouvera par la proposition précédente que i∈I Xi est un sous espace affine.
~ X ⊂ ∩i∈I Xi . En effet pour tout j ∈ I, nous avons
Procédons par double inclusion. Montrons que A + ∩i∈I E
i
~X
~X ⊂ A + E
A + ∩i∈I E
j
i
donc
~ X ⊂ ∩j∈I (A + E
~ X ) = ∩j∈I Xj .
A + ∩i∈I E
j
i
−→
~ X . Soit M ∈ ∩i∈I Xi nous avons M = A + −
Réciproquement, montrons l’inclusion ∩i∈I Xi ⊂ A + ∩i∈I E
AM . Pour
i
−−→
−→
~ X donc −
tout point i ∈ I, M appartient à Xi , par unicité de la décomposition AM appartient à E
AM appartient à
i
T
T
~
~
~
i∈I EXi . L’intersection
i∈I EXi est un sous espace vectoriel de E comme intersection de sous espaces vectoriels
de E.
Remarque 1.26. L’union de deux sous espaces affines n’est en général pas un sous espace affine. C’est déjà le cas
au niveau des sous espaces vectoriels. On introduit donc la notion de sous espace engendré.
~ +) un espace affine. Soit Y une partie de X. On appelle
Définition 1.27 (Sous espace affine engendré). Soit (X, E,
~ +) engendré par Y l’intersection de tous les sous espaces affines de (X, E,
~ +) contenant
sous espace affine de (X, E,
~
Y . C’est le plus petit sous espace affine de (X, E, +) dont l’espace des points contient Y .
~ +) un espace affine. Soit (Ai )i∈I une famille (non vide) de points de X. L’espace affine
Exemple 1.28. Soit (X, E,
engendré par cette famille est égal à
−−→ −−−→
Ai0 + Vect{Ai0 Ai | i ∈ I},
quelque soit le i0 choisi dans I.
En effet cet espace affine contient l’ensemble des points Ai , de plus la direction de tout sous espace affine
−−−→
contenant les points Ai contient les vecteurs Ai0 Ai .
9
1.7. Parallélisme, intersection.
~ +) un espace affine. Soit Y et Z deux sous espaces affines de direction E
~ Y et E
~ Z . On
Définition 1.29. Soit (X, E,
~Y = E
~ Z . On dit que ces sous espaces sont faiblement parallèles
dit que ces sous espaces sont parallèles si l’on a E
~
~
si l’on a EY ⊂ EZ .
~ +) un espace affine.
Théorème 1.30. Soit (X, E,
(1) Pour tout point A de X, pour tout sous espace affine Y , il existe un unique espace affine Z passant par A
et parallèle à Y .
(2) Si deux sous espaces affines sont parallèles, ils sont disjoints ou confondus.
(3) Si deux sous espaces affines sont faiblement parallèles alors l’un des deux est inclus dans l’autre ou ils
sont disjoints.
~ +). Le sous espace
Démonstration.
(1) Soit A un point de X et fixons un sous espace affine Y de (X, E,
~
~Y = E
~Z.
affine A + EY passe par A et est parallèle à Y . Si Z est un autre espace affine convenable alors, E
~Z = A + E
~Y = Y .
En ce cas Z = A + E
~Y = E
~ Z . Supposons ces deux
(2) Considérons Y et Z deux sous espaces affines parallèles. Par conséquent E
~ Y = A+ E
~ Z = Z.
sous espaces non disjoints. Soit A un point dans l’intersection nous avons donc Y = A+ E
~Y ⊂ E
~ Z . Supposons
(3) Considérons Y et Z deux sous espaces affines faiblement parallèles. Par exemple E
~Y ⊂
ces deux sous espaces non disjoints. Soit A un point dans l’intersection nous avons donc Y = A + E
~
A + EZ = Z.
Remarque 1.31. Dans un espace affine, par un point A passe une unique droite D0 parallèle à une droite donnée
D.
→
−
Démonstration. Si une telle droite existe, sa direction est celle de D, D et passant par A elle est entièrement
→
−
déterminée : D0 = A + D . Réciproquement cette droite convient.
~ +) un espace affine. Soit Y et Z deux sous espaces affines. Soit A ∈ Y et B ∈ Z.
Théorème 1.32. Soit (X, E,
On a équivalence entre
(1) Y ∩ Z 6= ∅
−−→ ~
~
(2) AB ∈ E
Y + EZ
Démonstration. Supposons que l’intersection Y ∩ Z soit non vide. Considérons un point M ∈ Y ∩ Z. Les
−−→
~ Y , de même les points B et M appartiennent
points A et M appartiennent à Y donc le vecteur AM appartient à E
−−→
−→ −−→ −−→ ~
~ Z . Par la relation de Chasles −
~
à Z donc le vecteur M B appartient à E
AB = AM + M B ∈ E
Y + EZ .
−−→
~
~
Réciproquement supposons que le vecteur AB appartiennent à EY + EZ . Par conséquent il s’écrit sous la forme
−−→
AB = ~u + ~v
Comme Y et Z sont deux espaces affines, notons N le point de Y défini par A + ~u et M le point de Z défini par
−−→
−−→
−−→ −−→ −−→
B − ~v . Montrons que M = N . Nous avons ~u = AN et ~v = M B ainsi que AB = AN + M B or par la relation de
−−→ −−→ −−→ −−→
−−→
Chasles AB = AN + N M + M B, donc N M = 0 donc les points N et M sont égaux donc l’intersection de Y et Z
est non vide.
Remarque 1.33. En dimension 3 et pour deux droites non parallèles D1 = A + K~u et D2 = B + K~v on en déduit
que
−−→ −−→
−−→
D1 ∩ D2 6= ∅ ⇔ AB ∈ Vect(~u, ~v ) ⇔ (AB, ~u, ~v ) est liée.
~ +) un espace affine. Soit Y et Z deux sous espaces affines tels que E
~ Y et E
~ Z soient
Corollaire 1.34. Soit (X, E,
~ En ce cas Y ∩ Z est un point.
deux sous espaces supplémentaires de E.
~ Y et E
~ Z sont deux sous espaces
Démonstration. Considérons deux points A et B de Y et Z, les espaces E
−−→
~
~
~
supplémentaires de E donc le vecteur AB appartient à EY + EZ donc par le théorème 1.32 l’intersection est non
−−→
vide. Si A et B sont deux points d’intersection alors AB appartient à l’intersection EY ∩ EZ qui est nulle car les
espaces sont en somme directe. Les ensembles Y et Z s’intersectent en un unique point.
10
~ +) un espace affine de dimension finie. Soit Y et Z deux sous espaces affines.
Proposition 1.35. Soit (X, E,
(1) Si Y ∩ Z 6= ∅ alors
dim < Y ∪ Z >= dim Y + dim Z − dim(Y ∩ Z).
(2) Si Y ∩ Z = ∅ alors
~Y ∩ E
~Z) + 1
dim < Y ∪ Z >= dim Y + dim Z − dim(E
où < Y ∪ Z > est l’ensemble des points de l’espace affine engendré par Y et Z.
Démonstration. Par définition la dimension dim < Y ∪ Z > est la dimension de la direction de < Y ∪ Z >.
Nous devons donc l’identifier.
~ Y et
• Si l’intersection est non vide, alors considérons un point M de l’intersection Y ∩ Z. On a donc Y = M + E
~
~
~
Z = M + EZ . Montrons que < Y ∪ Z >= M + EY + EZ .
On procède par double inclusion : tout d’abord nous avons
~Y + E
~ Z et Z ⊂ M + E
~Y + E
~Z,
Y ⊂M +E
~Y + E
~ Z , donc par définition, < Y ∪ Z >⊂ M + E
~Y + E
~Z.
donc Y ∪ Z ⊂ M + E
~
Réciproquement, si on note E<Y ∪Z> la direction de < Y ∪ Z >, alors
~ <Y ∪Z> .
< Y ∪ Z >= M + E
~Y ⊂ M + E
~ <Y ∪Z> donc E
~Y ⊂ E
~ <Y ∪Z> et de même E
~Z ⊂ E
~ <Y ∪Z> , ce qui entraîne E
~Y + E
~Z ⊂
Or Y = M + E
~
E<Y ∪Z> . La formule suit de la formule analogue en algèbre linéaire.
• Supponsons l’intersection vide. Considérons A ∈ Y , B ∈ Z et montrons que la direction de < Y ∪ Z > est
−−−−−−−→ ~
−→
~ Z ⊕ K−
< Y ∪ Z > = EY + E
AB.
Si c’est le cas alors la formule suit.
−−−−−−→ ~
−−−−−−−→
−−→ −−−−−−−→
−−→ −−−−−−−→
~Y ⊂ −
~
~
Remarquons que E
< Y ∪ Z >, E
Z ⊂ < Y ∪ Z > et KAB ⊂ < Y ∪ Z > donc EY + EZ ⊕ KAB ⊂ < Y ∪ Z >.
−→
~Y + E
~ Z + K−
Réciproquement A + E
AB est un sous espace affine de X, qui contient Y et Z donc qui contient par
définition le sous espace affine engendré < Y ∪ Z >. Ceci fournit donc l’égalité
−−−−−−−→ ~
−→
~ Z + K−
< Y ∪ Z > = EY + E
AB.
−−→
~Y + E
~ Z alors
Il reste à montrer que la somme est directe. Si le vecteur AB appartient à E
−−→
AB = ~u + ~v
~ Y et ~v ∈ E
~ Z . Par conséquent on a
avec ~u ∈ E
−−→
A + (~u + ~v ) = A + AB = B
ce qui donne
A + ~u = B − ~v
or A + ~u appartient à Y , B − ~v appartient à Z et Y ∩ Z = ∅, contradiction.
2. Applications affines et groupe affine
2.1. Application affines.
~ +) et (Y, F~ , +) deux espaces affines.
Définition 2.1. Soit (X, E,
~ +) et (Y, F~ , +) si elle vérifie l’une des deux
Une application f : X → Y est dite affine entre les espaces(X, E,
assertions équivalentes :
~ → F~ tels que
– il existe un point A ∈ X et une application linéaire f~ : E
−−→
∀M ∈ X, f (M ) = f (A) + f~(AM )
~ → F~ telle que
– il existe une application linéaire f~ : E
~ f (A + ~u) = f (A) + f~(~u).
∀A ∈ X, ∀~u ∈ E,
11
Si telle est le cas l’application f~ est uniquement déterminée par :
−−−−−−−→
−−→
f~(AM ) = f (A)f (M ).
L’application linéaire f~ est appellée partie linéaire de l’application affine f .
Remarque 2.2. Avec les notations précédentes, s’il existe un point A de X tel que pour tout point M de X nous
ayons
−−→
f (M ) = f (A) + f~(AM ),
alors pour tout couple de points (B, M ) de X nous avons
−−→
f (M ) = f (B) + f~(BM ).
Une application affine est totalement déterminée par l’image d’un point et par sa partie linéaire.
Démonstration. En effet nous avons
nous avons alors
et par linéarité on obtient
−−→
f (B) = f (A) + f~(AB)
−−→
−−→
f (M ) = f (B) + f~(AM ) − f~(AB).
−−→ −−→
−−→
f (M ) = f (B) + f~(AM − AB) = f (B) + f~(BM ).
~ +), (Y, Y
~ , +) et (Z, Z,
~ +) trois espaces affines, f : X → Y et g : Y → Z
Proposition 2.3. Considérons (X, X,
−−→
deux applications affines. L’application g ◦ f est une application affine de partie linéaire ~g ◦ f~ = g ◦ f .
Démonstration. Soit (A, M ) un couple de point de X. Il s’agit de montrer que
−−→ −−→
(g ◦ f )(M ) = (g ◦ f )(A) + g ◦ f (AM ).
→
− −−→
Nous avons f (M ) = f (A) + f (AM ), en appliquant g nous obtenons
−−→ −−→
−−→
g(f (M )) = g(f (A)) + ~g (f~(AM )) = (g ◦ f )(A) + g ◦ f (AM ).
Proposition 2.4. Soit f : X → Y une application affine. L’application f est injective (respectivement surjective,
respectivement bijective) si et seulement si f~ est injective (respectivement surjective, respectivement bijective).
Démonstration. Montrons l’équivalence pour l’injectivité. Fixons deux points A et B et un troisième point
−→
−−→
O. Nous avons f (A) = f (O) + f~(OA) et f (B) = f (O) + f~(OB). Nous concluons alors que f (A) = f (B) si et
−→
−−→
seulement si f~(OA) = f~(OB) donc f est injective si et seulement si f~ est injective.
Montrons l’équivalence pour la surjectivité. Soit B un point de Y . Fixons un point O de X. Il existe un point
~ tel que f (O) + f~(~u) = B c’est à dire
A de X tel que f (A) = B si et seulement si il existe un vecteur ~u de X
−
−
−
−
→
−
→
f~(~u) = f (O)B , en ce cas A = O + ~u et ~u = OA. Ceci montre que f est sujective si et seulement si f~ est surjective.
L’équivalence pour la bijectivité provient des deux précédentes équivalences.
2.2. Point fixe. Soit f : X → X une application affine. Si l’application f a un point fixe A, alors pour tout
point M de X nous avons
−−→
−−→
f (M ) = f (A) + f~(AM ) = A + f~(AM )
L’application f s’identifie alors avec f~.
~ +) un espace affine de dimension finie. Si 1
Théorème 2.5. Soit f : X → X une application affine où est (X, X,
n’est pas valeur propre de f~ alors f a un unique point fixe.
12
Démonstration. Rappelons que “1 n’est pas valeur propre de f~” signifie que le noyau ker(f~ − id) est réduit
~ étant de dimension finie, par le théorème du rang
à {0} autrement dit l’application f~ − id est injective. L’espace X
on en conclue que f~ − id est une bijection.
Montrons l’existence d’un point fixe.
Analyse. Fixons une origine O de X. Supposons qu’un point A soit un point fixe. On a alors
−→
−→
−→
A = O + OA, f (A) = f (O) + f~(OA), et A = f (O) + f~(OA)
−→
donc A = O + Of~(O) + f~(OA) c’est à dire par unicité
−−−−→
−→
−→
f~(OA) − OA = −Of (O).
−−−−→
−→
Si A est point fixe alors le vecteur OA est nécessairement un antécédent du vecteur −Of (O) par l’application f~−id.
L’endomorphisme f~ − id étant injectif par hypothèse est donc surjectif par le théorème du rang cet antécédent
existe et il est unique. Ceci nous donne un candidat.
Synthèse. Fixons une origine O de X. L’endomorphisme f~ − id étant injectif par hypothèse est donc surjectif
−−−−→
par le théorème du rang, il existe un unique vecteur ~u tel que f~(u) − u = −Of (O). Notons A le point O + ~u et
montrons que f (A) = A. En effet
−−−−→
f (A) = f (O + ~u) = f (O) + f~(~u) = f (O) + u − Of (O) = O + ~u = A.
−−→
Montrons l’unicité du point fixe. Soit A et B deux points fixes montrons que A = B ou encore AB = 0.
−−→
−−→
−−→
Nous avons alors f (A) = A et f (B) = B. En particulier nous avons f~(AB) = AB, donc AB appartient au noyau
−
−
→
ker(f~ − id) qui par hypothèse est nul. Donc AB est nul et A est égal à B.
2.3. Translations et homothéties.
~ +) un espace affine. Soit ~u un vecteur de E.
~ On appelle translation de vecteur ~u notée
Définition 2.6. Soit (X, E,
t~u , l’application affine définie par
t~u (A) = A + ~u
−→
Sa partie linéaire est l’identité idE~ .
Remarque 2.7. Comme on l’a dit précédemment nous n’avons pas le choix pour la partie linéaire car :
−−−−−−→
−−→
f~(AB) = f (A)f (B)
−−−−−−→ −−→
−−→
−−→
−−→
or f (A) = A + ~u = B + ~u + AB = f (B) + AB donc f~(AB) = f (A)f (B) = AB.
~ +) un espace affine. L’ensemble des translations muni de la composition d’applicaProposition 2.8. Soit (X, E,
~ +).
tions affines forment un groupe isomorphe au groupe additif (E,
~ on a
Démonstration. En effet on vérife que pour deux vecteurs ~u et ~v de E
t~u+~v = t~u ◦ t~v .
L’application ~u 7→ t~u est alors un isomorphisme.
~ +) un espace affine. Soit λ ∈ K∗ un scalaire non nul et O un point de X. On appelle
Définition 2.9. Soit (X, E,
homothétie de centre O et de rapport λ l’application affine définie par :
f (O + ~u) = O + λ~u
→
−
Sa partie linéaire est donc f~ = λ id. En particulier O est point fixe et on a pour tout point A,
−→
f (A) = O + λOA.
~ +) → (X, E,
~ +) une application affine.
Proposition 2.10. Soit (f, f~) : (X, E,
13
~
(1) f est une translation si et seulement si f~ = id.
~ avec λ 6= 1.
(2) f est une homothétie distincte de l’identité si et seulement si f~ = λid
~ Fixons un point O de X. Pour tout point
Démonstration. Soit f une application affine de partie linéaire id.
−→
A on a f (A) = f (O) + OA donc
−−−−→ −→
−−−−→
f (A) = O + f (O)O + OA = A + f (O)O.
−−−−→
L’application affine f est donc la translation de vecteur f (O)O.
~ Par le théorème 2.5 il existe un unique point fixe de f noté
Soit f une application affine de partie linéaire λid.
−→
−→
O. Pour tout point A on a f (A) = f (O) + λOA = O + λOA. Ce qui montre que f est une homothétie.
Les autres implications résultent des définitions des translations et homothéties.
La partie linéaire d’une homothétie et d’une translation étant une homothétie linéaire on en déduit :
Proposition 2.11. L’image par une translation ou une homothétie d’un sous espace affine est un sous espace
affine qui lui est parallèle.
~ +) un espace affine. L’ensemble
Proposition 2.12. Soit (X, E,
~ ∪ {hΩ,λ | (Ω, λ) ∈ X × K},
{t~u , | ~u ∈ E}
~ appelé groupe des homothéties-translations.
est un sous groupe de GA(X, E),
~ +) un espace affine. Rappelons que pour une application affine f : (X, E)
~ →
2.4. Groupe affine. Soit (X, E,
~ l’application f est bijective si et seulement si sa partie linéaire f~ est inversible.
(X, E),
~ +) un espace affine. L’ensemble des applications affines inversibles muni de la loi de
Définition 2.13. Soit (X, E,
~
composition forment un groupe que l’on appelle groupe affine. On le note GA(X, E).
Proposition 2.14. L’application partie linéaire
~ → GL(E)
~
GA(X, E)
f
7→ f~
~ +).
est surjective, son noyau est le groupe des translations isomorphe au groupe additif (E,
~ Fixons un point O de X et
Démonstration. Montrons la surjectivité. Soit f~ une bijection linéaire de E.
considérons l’application
−→
f (A) := O + f~(OA).
L’application (f, f~) est une application affine de partie linéaire f~.
Par la remarque ci-dessus montrons que l’application f~ → f ainsi définie est un morphisme. Considérons deux
isomorphismes f~ et ~g , considérons f : A 7→ O + f~(OA) et g : A 7→ O + ~g (OB) et montrons que pour tout point A
de X,
−→
(g ◦ f )(A) = O + (~g ◦ f~)(OA).
−−−−→
−→
Remarquons que le point O est fixe par f et par g et de plus pour tout A, Of (A) = f~(OA). Faisons le calcul nous
avons
−−−−→
−→
g(f (A)) = g(O) + ~g (Of (A)) = O + ~g (f~(OA))
ce qui est le résultat souhaité.
Montrons l’injectivité. Considérons deux vecteurs ~u et ~v , si pour tout point A (remarquons qu’ici il en suffit
d’un) nous avons t~u (A) = t~v (A) alors A + ~u = A + ~v donc par unicité ~u = ~v .
14
2.5. Applications affines, repères affines, matrice d’une application affine.
~ +) et (Y, F~ , +) deux espaces affines. Soit (A, (~ei )i∈I ) un repère affine de l’espace
Théorème 2.15. Soit (X, E,
~
affine (X, E, +). Soit B un point de Y et (ui )i∈I une famille de vecteurs de F~ . Il existe une unique application
affine f telle que f (A) = B et pour tout i ∈ I, f~(~ei ) = ui .
Démonstration. Supposons qu’un tel f existe et montrons son unicité. En effet pour tout point M de X,
−−→
on décompose le vecteur AM sur la base (~ei )i∈I :
−−→ X
AM =
xi~ei .
i∈I
P
−−→
De l’égalité M = A + AM = A + i∈I xi~ei nous obtenons
X
X
X
f (M ) := f (A) + f~(
xi~ei ) = f (A) +
xi f (~ei ) = B +
xi ui .
i∈I
i∈I
i∈I
Réciproquement une application f définie par la dernière égalité vérifie les conditions d’où l’existence.
Remarque 2.16. Nous rappelons qu’une application linéaire est totalement définie par l’image des vecteurs d’une
base. Une application affine est totalement définie par l’image d’un point et par la donnée de sa partie linéaire.
~ +) et (Y, F~ , +) deux espaces affines. Soit (Ai )i∈I une base affine de X et (Bi )i∈I une
Corollaire 2.17. Soit (X, E,
~ +) → (Y, F~ , +) tel que pour tout i ∈ I,
famille de points de Y . Il existe une unique application affine f : (X, E,
f (Ai ) = Bi .
−−−→
Démonstration. En effet fixons i0 un élément de I, par définition d’une base affine (Ai0 , (Ai Ai0 )i∈I\{i0 } ) est
un repère affine. Par le théorème précédent il existe une unique application affine (f, f~) qui envoie le point Ai0 sur
−−−→
−−−→
le point Bi0 , dont la partie linéaire envoie la base (Ai Ai0 )i∈I\{i0 } sur la famille de vecteurs (Bi Bi0 )i∈I\{i0 } . Pour
tout point i ∈ I, on obtient
−−−→
−−−→
−−−→
f (Ai ) = f (Ai0 + Ai0 Ai ) = f (Ai0 ) + f~(Ai0 Ai ) = Bi0 + Bi0 Bi .
L’application (f, f~) convient. Réciproquement, si deux applications linéaires (f, f~) et (g, ~g ) conviennent elles coinci−−−→
dent en Ai0 et leur partie linéaire coincident sur la base (Ai Ai0 )i∈I\{i0 } , par le théorème précédent, les applications
affines sont égales.
Corollaire 2.18. L’image d’un repère affine par un élément du groupe affine est un repère affine. L’image d’une
base affine par un élément du groupe affine est une base affine.
Démonstration. Ceci provient du fait que l’image d’une base par une application linéaire inversible est une
base.
~ +) un espace affine de dimension m et (Y, F~ , +) un espace
Matrice d’une application affine Soit (X, E,
~
~
affine de dimension n. Soit (f, f ) : (X, E, +) → (Y, F~ , +) une application affine. Fixons RA,B→
u1 , . . . , ~um ))
− = (A, (~
E
~
~
un repère affine de (X, E, +) et RB,B→
v1 , . . . , ~vn )) un repère affine de (Y, F , +). On écrit tout point M de
− = (B, (~
F
X en coordonnées dans le repère RA,~u :
m
X
−−→
M = A + AM = A +
xj ~uj
j=1
On écrit ensuite son image par f dans le repère RB,~v :
m
X
−−→
f (M ) = f (A) + f~(AM ) = f (A) +
xj f~(~uj ).
j=1
→ , B−
→ ). Nous obtenons alors pour tout j ∈ {1, . . . m}
Ecrivons (ai,j ) la matrice de f~ dans les bases (B−
E
F
f~(~uj ) =
n
X
i=1
15
ai,j ~vi
Décomposons :
f (M ) = f (A) +
Pm
= f (A) +
Pn
Pn
j=1 xj (
vi )
i=1 ai,j ~
Pm
vi
j=1 xj ai,j )~
i=1 (
P
−−−−→ P
vi
= B + Bf (A) + ni=1 ( m
j=1 xj ai,j )~
P
P
P
= B + ni=1 ci~vi + ni=1 ( m
vi
j=1 xj ai,j )~
−−−−→
où les ci sont les coordonnées du vecteur Bf (A) dans la base BF~ (ou encore les coordonnées du point f (A) dans
le repère RB,B→
− ). Ainsi nous obtenons :
F
f (A +
m
X
xj ~uj ) = B +
j=1
n
X
(ci +
i=1
m
X
xj ai,j )~vi = B +
n
X
j=1
yi~vi .
i=1
Matriciellement nous avons






y1
.
.
.
yn


 
 
=
 
 
que nous pouvons écrire sous la forme

y1
 .

 .

 .

 yn
1

a1,1 . . .
.
.
.
an,1 . . .

 
 
 
=
 
 
 
a1,m
.
.
.
an,m
a1,1 . . .
.
.
.
an,1 . . .
0 ...






x1
.
.
.
xm
a1,m c1
.
.
.
.
.
.
an,m cn
0
1


 
 
+
 
 








x1
.
.
.
xm
1
c1
.
.
.
cn














Cette dernière matrice est la matrice de l’application affine (f, f~) dans les repères RA,B→
− et RB,B→
−.
E
F
2.6. Formes affines et sous-espaces affines.
~ +) un espace affine sur un corps K. On appelle forme affine toute application affine
Définition 2.19. Soit (X, E,
à valeurs dans K. Sa partie linéaire est donc une forme linéaire.
Remarque 2.20. Si l’espace affine est de dimension finie égale à n et (A, (~ei )) est un repère affine alors une forme
affine sécrit en coordonnées sous la forme suivante :
n
n
n
X
X
X
x=A+
xj e~j 7→ f (A) +
xj f~(~ej ) = a +
xj bj .
j=1
j=1
j=1
~ +) un espace affine de dimension finie d et f une forme affine non constante (autreDéfinition 2.21. Soit (X, E,
ment dit f~ est non nulle). Le lieu des zéros de f est un espace affine de codimension 1. Ce lieu de zéros est appelé
~ et une 1 de ses équations est f = 0.
hyperplan affine, sa direction est un hyperplan vectoriel de E
Démonstration. En effet notons Z(f ) l’ensemble des zéros de f et fixons un point A ∈ Z(f ) vérifions que
Z(f ) = A + ker f~.
−−→
En effet tout point M de X s’écrit M = A + AM , et son image par f s’écrit
−−→
−−→
f (M ) = f (A) + f~(AM ) = f~(AM ).
−−→
Par conséquent f (M ) = 0 si et seulement si le vecteur AM ∈ ker f~, d’où l’égalité. Ainsi le lieu des zéros de f est
un sous espace affine dirigé par le noyau de f~. Le noyau d’une forme linéaire non nulle est un sous espace vectoriel
de codimension 1, c’est à dire qu’il admet un supplémentaire de dimension 1. En effet, la forme est non nulle donc
1. En effet l’équation d’un hyperplan affine n’est pas unique, chercher des exemples.
16
il existe un vecteur ~u ne l’annulant pas, supposons en particulier f (u) = 1 et vérifions alors que le noyau de f~ et
la droite engendré par le vecteur ~u sont supplémentaires. Leur intersection est nulle car f~ ne s’annule par sur ~u.
Montrons que pour tout vecteur ~v , il existe un vecteur w
~ du noyau ker f~ et un scalaire λ tel que ~v = w
~ + λ~u.
~
~
Analyse Supposons la décomposition trouvée, alors en appliquant f on obtient : f (~v ) = λ car f~(w)
~ = 0 et
~
f (~u) = 1 et nécessairement on a w
~ = ~v − f (~v )~u.
Synthèse Tout vecteur ~v se décompose en
~v = (~v − f (~v )~u) + f (~v )~u
avec ~v − f (~v )~u ∈ ker f~, car f~(w)
~ = 0 et f~(~u) = 1.
Dans K3 une droite est donnée par deux équations :
ax + by + cz = d
a0 x + b0 y + c0 z = d0
a b c
tel que la matrice
soit de rang 2. Plus généralement on a :
a0 b0 c0
~ +) un espace affine de dimension n. Considérons Y une partie de X. On a alors
Théorème 2.22. Soit (X, E,
l’équivalence entre
(1) Y est l’ensemble des points d’un sous espace affine de dimension p,
(2) Y est l’intersection de n − p hyperplans affines dont les parties linéaires des équations sont linéairement
indépendantes.
Démonstration. Supposons que Y soit un sous espace affine de dimension p. Notons F~ sa direction, c’est un
~ de dimension p. Considérons une base (~e1 , . . . , ~ep ) de F~ . Par le théorème de la base incomplète,
sous espace de E
~ On considère la base duale ϕ
on complète cette base en une base (~e1 , . . . , ~en ) de E.
~ 1, . . . , ϕ
~ n . Par définition, les ϕ
~i
~
sont des formes linéaires ϕ
~ i : E → K vérifiant ϕ
~ i (~ej ) = δ(i, j) où δ est le symbole de Kronecker, avec δ(i, j) = 0 si
i 6= j et δ(i, i) = 1. Par conséquent
F~ = ∩ni=p+1 ker ϕ
~ i.
Fixons un point A de Y et considérons les formes affines pour i ∈ {p + 1, . . . , n}, (fi , f~i ) définie par fi (A) = 0 et
f~i = ϕ
~ i . Notons que les parties linéaires f~p+1 , . . . , f~n sont linéairement indépendantes. Ainsi nous avons
Y = A + F~ = A + ∩ni=p+1 ker f~i
or par définition fi (A) = 0 donc
Y = ∩ni=p+1 {M ∈ X | fi (M ) = 0}.
Ceci montre que Y est intersection de n − p hyperplans affines dont les parties linéaires des équations sont linéairement indépendantes.
Réciproquement supposons que Y est une intersection de n − p hyperplans affines d’équations fi = 0 avec
i ∈ {1, .., n − p} et dont les parties linéaires forment une famille libre. Montrons que Y est un espace affine de
dimension p.
~ Tout point M de X s’écrira alors
Analyse Fixons un point A dans X et une base (~e1 , . . . , ~en ) de E.
M =A+
n
X
λi~ei
i=1
et son image par fj pour j ∈ {1, . . . , n − p}
fj (M ) = fj (A) +
n
X
λi f~j (~ei )
i=1
Nous souhaitons déterminer les points M tels que fj (M ) = 0 il est donc primordial de considérer une base (~ei )
adaptée à l’évaluation sur les (f~j ). On utilise comme ci-dessus la notion de base duale.
17
~ notée (f~1 , . . . , f~n ),
Synthèse La famille (f~1 , . . . , f~n−p ) étant libre on la complète en une base du dual de E
~
~
puis on prend (~e1 , . . . , ~en ) comme base anté-duale de (f1 , . . . , fn ). Par conséquent pour tout (i, j) ∈ {1, . . . , n}2 ,
f~j (~ei ) = δ(i, j). Fixons un point A dans X. Tout point M de X s’écrira alors sous la forme
M =A+
n
X
λi~ei
i=1
et son image par fj pour j ∈ {1, . . . , n − p}
fj (M ) = fj (A) +
n
X
λi f~j (~ei ) = fj (A) + λj .
i=1
Ainsi M ∈ Y si et seulement si pour tout j ∈ {1, . . . , n − p} on a λj = −fj (A). Par conséquent
o
n P
p
~i (A)~ei + Pn
(λ
)
∈
K
λ
~
e
Y =
A − n−p
f
i i∈{n−p+1,...,n}
i=n−p+1 i i
i=1
est un espace affine de dimension p.
3. Barycentre
3.1. Notion de barycentre.
~
Théorème 3.1. Soit
P (X, E, +) un espace affine (Ai )i∈I une famille finie de points de X et (λi )i∈I une famille de
scalaires telle que i∈I λi 6= 0. Il existe un unique point G ∈ X tel que
X −−→
λi GAi = ~0.
i∈I
Ce point est appellé barycentre du système (Ai , λi ).
Démonstration. Fixons une origine O de l’espace affine.
Analyse Si un tel point existe alors par la relation de Chasles on a
X −−→ X −−→
(
λi )GO +
λi OAi = ~0,
i∈I
Nécessairement on a donc
i∈I
−−→
1
OG = P
i∈I
λi
(
X
−−→
λi OAi ).
i∈I
Synthèse Fixons une origine O de l’espace affine et considérons le point G défini par
X −−→
1
G=O+ P
(
λi OAi ).
i∈I λi i∈I
P
−−→
On vérifie la relation i∈I λi GAi = ~0. L’analyse précédente prouve l’unicité d’un tel point.
P
P
−−−→
Remarque 3.2. Si l’on a i λi = 0, alors on vérifie aisément que la somme i∈I λi M Ai ne dépend pas de M .
~ +) un espace affine et G le barycentre d’un système de points (Ai , λi )i∈I . Pour tout
Proposition 3.3. Soit (X, E,
point M de X on a la relation
X −−→ X −−−→
(
λi )M G =
λi M A i .
i∈I
i∈I
Démonstration. Il suffit d’appliquer la relation de Chasles à la définition de G.
~ +) un espace affine et G le barycentre d’un système
Théorème 3.4 (Associativité des barycentres). Soit (X, E,
de points (Ai , λi )i∈I . Considérons une partition de I :
I = I1 t · · · t Il
P
et supposons que pour tout j ∈ {1, . . . , l}, la somme des poids i∈Ij λi est non nulle, on la notera µj . On peut
donc considérer le barycentre du système de points (Ai , λi )i∈Ij , on le note Gj et on l’appelle barycentre partiel. Le
point G est le barycentre du système (Gj , µj ).
18
Démonstration. A montrer
−−→
Pl
j=1 µj GGj
l
X
= ~0. En effet par définition des µj nous avons
l
−−→ X X −−→
µj GGj =
(
λi )GGj
j=1
j=1 i∈Ij
Par la proposition qui précède on a
l
X
l
−−→ X X −−→
µj GGj =
(
λi GAi )
j=1
j=1 i∈Ij
Comme la famille Ij est une partition de I (chaque élément de I apparaît une fois et une seule) on a
l
X
−−→ X −−→ ~
µj GGj =
λi GAi = 0.
j=1
i∈I
~ +) un espace affine et (Ai )i∈I une famille de points de A. Si le
Définition 3.5 (Isobarycentre). Soit (X, E,
cardinal de I est non nul dans le corps des scalaires K (ce qui est toujours le cas si K = Q, R, C, mais ne l’est plus
si par exemple K = Z/5Z) alors on appelle isobarycentre de la famille de points (Ai )i∈I le barycentre du système
{(Ai , 1), i ∈ I}.
~ +) un espace affine. Supposons la caractéristique du corps K
Définition 3.6 (Milieu de deux points). Soit (X, E,
différente de 2. Le milieu de de deux points distincts A et B est le barycentre du système {(A, 1), (B, 1)}.
Définition 3.7 (Médiane d’un triangle). Supposons dans cette définition que la caractéristique du corps de base
~ +) et trois points A, B et C non alignés. Par hypothèse
est différente de 2 et 3. On considère un espace affine (X, E,
sur le corps K, les milieux des côtés du triangle ABC existent ainsi que le centre de gravité G isobarycentre des
points A, B et C. On appelle médiane toute droite passant par un sommet du triangle et par le milieu du côté
opposé. Ces médianes concourent au point G.
Démonstration. En effet notons A0 le milieu de BC. Par associativité du barycentre, le point G est barycentre
des points {(A, 1), (A0 , 2)} ce qui montre qu’il appartient à la médiane. L’assertion suit.
Remarque 3.8. Si le corps K est de caractéristique 3, par exemple K = Z/3Z alors les trois médianes du triangle
ABC sont parallèles ! En effet si on appelle A0 le milieu de BC, B 0 le milieu de AC et C 0 celui de AB on a
−−→0 −−→0 −−→0
AA = BB = CC . Par exemple :
−−→ −−→ −→
−−→
−−→ −−→ −−→
2AA0 = AB + AC = 3AB + BA + BC = 2BB 0
−−→ −−→
par la relation de Chasles et par le fait que 3 est nul dans K, et l’on obtient l’égalité AA0 = BB 0 car 2 est inversible
dans K.
3.2. Barycentres, sous-espaces affines, applications affines. Cette partie montre que la notion de barycentre est l’invariant fondamental de la géométrie affine. La longueur est l’invariant fondamental de la géométrie
euclidienne, l’angle est l’invariant fondamental de la géométrie conforme, et le birapport est l’invariant fondamental
de la géométrie projective.
Théorème 3.9 (Les barycentres caractérisent les applications affines). Considérons f : X → Y une application
affine. L’image par f du barycentre d’un système (Ai , λi ) est le barycentre du système (f (Ai ), λi ). Réciproquement,
toute application f qui respecte ainsi la notion de barycentre est une application affine.
Démonstration. En effet notons G le barycentre du système (Ai , λi ). A montrer
X −−−−−−−→
λi f (G)f (Ai ) = ~0
i∈I
En effet on applique f~ à la relation
−−→ ~
i∈I λi GAi = 0 par linéarité on obtient
X
−−→
λi f~(GAi ) = ~0
P
i∈I
19
−−−−−−→
−−→
puis on utilise le fait que pour tout couple de points A, B, f~(AB) = f (A)f (B).
Considérons une application f : X → Y tel que pour tout barycentre G d’un système de points (Ai , λi ), f (G)
est le barycentre du système de points (f (Ai ), λi ). Montrons que l’application f est affine. Montrons qu’il existe
−−−−−−→
−−→
une application linéaire f~ telle que pour tout couple de points A, B, f~(AB) = f (A)f (B).
~ et posons
Fixons pour cela un point O de X, considérons un vecteur ~u de E
−−−−−−−−−−→
f~(~u) := f (O)f (O + ~u)
−−−−−−−→
−−→
En particulier pour tout point M , on a f~(OM ) = f (O)f (M ). Montrons qu’un tel f~ est linéaire. Soit λ un scalaire
et ~v un autre vecteur. Montrons que
f~(λ~u + ~v ) = λf~(~u) + f~(~v )
c’est à dire
−−−−−−−−−−−−−−→
−−−−−−−−−−→ −−−−−−−−−−→
f (O)f (O + λ~u + ~v ) = λf (O)f (O + ~u) + f (O)f (O + ~v )
Nécessairement f (O) doit être le barycentre du système
{(f (O + λ~u + ~v ), −1), (f (O + ~u), λ), (f (O + ~v ), 1)}.
c’est le cas, car f conserve le barycentre et O est le barycentre du système
{(O + λ~u + ~v , −1), (O + ~u, λ), (O + ~v , 1)}.
Remarquons enfin que par la relation de Chasles ceci entraîne que pour tout couple de points A, B,
−−−−−−→
−−→
f~(AB) = f (A)f (B).
~ +) un espace affine et Y une
Théorème 3.10 (Les barycentres caractérisent les sous espaces affines). Soit (X, E,
~ +) si et seulement si tout barycentre de système de
partie de X. L’ensemble Y est un sous espace affine de (X, E,
points de Y appartient à Y .
~ +). Considérons G le baryDémonstration. En effet supposons que Y soit un sous espace affine de (X, E,
centre du système (Ai , λi )i∈I où les Ai appartiennent à Y . Montrons que G appartient à Y . Fixons un point O
dans Y , on a alors
X −−→
−−→
1
(
λi OAi ),
OG = P
i∈I λi
i∈I
ce qui montre que G appartient à Y .
Réciproquement, supposons Y stable par barycentrage. Fixons un point O de Y . Montrons que pour tout
−→ −−→
couple (A, B) de Y pour tout scalaire λ le point O + λOA + OB appartient à Y . Notons G un tel point on a
−−→
−→ −−→
−OG + λOA + OB = 0
ce qui se réécrit par la relation de Chasles
−−→
−→ −−→
λOG + λAG + BG = 0
et montre que le point G est le barycentre du système de points {(O, −λ), (A, λ), (B, 1)} ce qui par hypothèse
montre que le point G appartient à Y .
3.3. Coordonnées barycentriques.
~ +) un espace affine de dimension n. Soit (Ai )i∈{0,...,n} une base affine. Pour tout
Définition 3.11. Soit (X, E,
point M de X il existe une unique famille de scalaires (λi )i∈{0,...,n} tel que M soit le barycentre du système (Ai , λi )
P
avec la condition ni=0 λi = 1. La famille (λi )i∈∈{0,...,n} est appelée coordonnées barycentriques du points M par
rapport aux points (Ai ).
20
−−−→
~ donc le
Démonstration. Montrons l’existence. Par définition la famille (A0 Ai )i∈{1,...,n} est une base de E,
−−−→
vecteur A0 M se décompose sur cette base :
n
−−−→ X −−−→
A0 M =
αi A0 Ai .
i=1
Par la relation de Chasles on obtient alors
(1 −
n
X
n
−−−→ X −−−→ ~
αi )M A0 +
αi M Ai = 0,
i=1
i=1
ce qui montre que M est le barycentre du sysème
{A0 , λ0 = 1 −
n
X
αi } ∪ {(Ai , λi = αi ), i ∈ {1, ..., n}},
i=1
P
avec ni=0 λi = 1.
Montrons l’unicité. Supposons que l’on ait deux familles convenables de scalaires (λi )i∈{0,...,n} et (λ0i )i∈{0,...,n} .
Montrons que ces familles sont égales. Nous avons les relations
n
X
n
X
−−−→
−−−→
λi M Ai = ~0, et
λ0i M Ai = ~0.
i=0
i=0
Par la relation de Chasles on fait intervenir l’élément 0 et on obtient :
n
n
X
−−−→ X −−−→ ~
(
λi )M A0 +
λ i A0 Ai = 0
i=0
et
i=1
n
n
X
−−−→ X 0 −−−→ ~
λi A0 Ai = 0.
(
λ0i )M A0 +
i=0
i=1
P
P
En utilisant le fait que ni=0 λi = ni=0 λ0i = 1, en faisant la différence de ces deux expressions, puis en utilisant le
−−−→
fait que la famille (A0 Ai )i∈{1,...,n} est libre on obtient que pour tout i ∈ {1, ..., n}, λi = λ0i . Ceci induit par ailleurs
λ0 = 1 −
n
X
λi = 1 −
i=1
n
X
λ0i = λ00 .
i=1
4. Les théorèmes fondamentaux
4.1. Théorème de Thales.
−→ −→
~ +). Les vecteurs −
Notation 4.1. Considérons trois points alignés A, B, C d’un espace affine (X, E,
AB et AC sont
−
→
−−→
−→
donc colinéaires : il existe un unique scalaire λ ∈ K, tel que AB = λAC. On notera ce scalaire AB
−→ .
AC
Commençons par le cas du plan
Théorème 4.2 (Thalès-Plan). Dans un plan affine on considère deux droites concourantes D et D0 en un point
noté O. On considère deux points distincts A et B et deux points distincts A0 et B 0 sur D0 . Si les droites (AB) et
(A0 B 0 ) sont parallèles alors on a les égalités
−−→0
−−→0
−→
OA
OA
AA
−−→ = −−→0 = −−→0 .
OB
OB
BB
Réciproquement, si
−−→0
−→
OA
OA
−−→ = −−→0
OB
OB
alors les droites (AA0 ) et (BB 0 ) sont parallèles.
21
Démonstration. En effet si les deux droites sont parallèles considérons l’homothétie centrée 0 qui envoie le
point A sur B. L’image d’une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle. Par conséquent l’image
de la droite (AA0 ) est la droite passant par B et parallèle à (AA0 ) c’est donc (BB 0 ). Donc l’image du point A0
−−→
−−→
est le point B 0 et celle du vecteur AA0 est BB 0 . Les trois rapports sont donc égaux au rapport de l’homothétie.
Réciproquement considérons l’homothétie centrée en O qui envoie le point A sur B. Si l’on a l’égalité
−−→0
−→
OA
OA
−−→ = −−→0
OB
OB
alors l’image de A0 est le point B 0 et l’image de la droite (AA0 ) est (BB 0 ), elles sont donc parallèles.
~ +) un espace affine. Considérons trois hyperplans affines parallèles H, H0 ,
Théorème 4.3 (Thalès). Soit (X, E,
00
0
H et deux droites affines D et D non parallèles à ces hyperplans. Chaque droite coupe les hyperplans en unique
point. Notons alors
A = H ∩ D, B = H0 ∩ D, C = H” ∩ D
et
A0 = H ∩ D0 , B 0 = H0 ∩ D0 , C 0 = H” ∩ D0 .
Alors on l’égalité des rapports :
−−
→
−−→
A0 B 0
AB
−→ = −−
→
AC
A0 C 0
−−→
Démonstration. L’idée est de se ramener au cas plan. Pour cela on considère la translation de vecteur AA0 .
Ce vecteur appartient à la direction commune des trois hyperplans parallèles, qui de fait sont stables sous cette
translation. L’image de la droite D est la droite parallèle à D passant par A0 on la note D”. Elle coupe H0 en
−−→ −−−→
−→ −−−→
un point B” et H” en un point C”. Par translation nous obtenons les égalités AB = A0 B” et AC = A0 C” d’où
l’égalité des rapports
−−0−→
−−→
A B”
AB
−→ = −−0−→ .
AC
A C”
Ceci prouve le théorème dans le cas où les droites D et D0 sont parallèles, c’est à dire D0 = D”. Si ce n’est pas le
cas alors notons P le plan affine engendré par les droites D0 et D”. Par la formule de la dimension ce plan affine
→
− →
−
coupe chaque hyperplan en une droite, les droites obtenues sont parallèles de direction H ∩ P . Le théorème de
Thalès dans un plan affine fournit alors le résultat.
Théorème 4.4 (Pappus - forme affine). On considère dans un plan affine deux droites D et D0 munies chacune de
trois points A, B, C et A0 , B 0 , C 0 . On suppose que les droites (AB 0 ) et (BC 0 ) sont parallèles, et les droites (A0 B)
et (B 0 C) sont parallèles. Les droites (AA0 ) et (CC 0 ) sont parallèles.
Démonstration. Supposons les droites D et D0 concourantes en un point O. Considérons l’homothétie h
centrée en O qui envoie A sur B et l’homothétie notée h0 centrée en O qui envoie B sur C. Les droites (AB 0 ) et
(BC 0 ) étant parallèles on en déduit que l’image par h du point B 0 est le point C 0 . Les droites (A0 B) et (B 0 C)
étant parallèles on en déduit que l’image par h0 du point A0 est le point B 0 . La composée h0 ◦ h est une homothétie
envoyant A sur C. Notons que l’on a h0 ◦ h = h ◦ h0 , donc l’image de A0 par h0 ◦ h est C 0 . Ainsi l’image de la droite
(CC 0 ) est la droite (AA0 ). Ces droites sont donc parallèles.
Si les droites D et D0 sont parallèles alors on a deux parallélogrammes BCB 0 A0 et ABC 0 B 0 on en déduit donc
les relations vectorielles
→ −−→ −−→
−→ −−→ −−→ −−
AC = AB + BC = B 0 C 0 + A0 B 0 = A0 C 0 .
Par conséquent ACC 0 A0 est un parallélogramme donc les droites AA0 et CC 0 sont parallèles.
Théorème 4.5 (Desargues). Soit ABC et A0 B 0 C 0 deux triangles d’un espace affine sans sommets communs. Si
les droites AB et A0 B 0 sont parallèles, ainsi que les droites AC et A0 C 0 et les droites BC et B 0 C 0 alors les droites
AA’, BB’ et CC’ sont concourantes ou parallèles.
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Démonstration. Supposons que ces droites ne sont pas parallèles, montrons qu’elles sont concourantes.
Supposons par exemple que les droites AA0 et BB 0 ne sont pas parallèles. Les droites AB et A0 B 0 étant parallèles
les quatres points A, B, A0 et B 0 appartiennent à un même plan affine. Les droites AA0 et BB 0 étant non parallèles
elles sont concourantes en un point O. Considérons alors l’homothétie centrée en O qui envoie le point A sur A0 .
Elle envoie le point B sur le point B 0 . Montrons que l’image du point C par h est le point C 0 , ceci montrera que
les droites AA0 , BB 0 et CC 0 concourent en O. En effet l’image h(C) est l’intersection de la droite h(AC) et de la
droite h(BC). Ces droites passent respectivement par A0 et B 0 et sont respectivement parallèles à AC et BC, ce
sont donc A0 C 0 et B 0 C 0 , d’où h(C) = C 0 .
Théorème 4.6 (Théorème fondamental de la géométrie affine). On suppose ici que le corps de base est R. Soit
f : X → Y une bijection entre espace de points de deux espaces affines de même dimension plus grande que 2. Si
cette bijection conserve l’alignement alors c’est une application affine.
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