METHODE DES DEPLACEMENTS

METHODE DES DEPLACEMENTS
n
DEFINITIONS
u
u
Co : structure cinématique de référence
(= la structure de départ complètement fixée);
m : degré d’indétermination cinématique
(= le nombre de blocages simples à effectuer);
Dehard 2002
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
DEFINITIONS
u
u
Co : structure cinématique de référence
(= la structure de départ complètement fixée);
m : degré d’indétermination cinématique
(= le nombre de blocages simples à effectuer);
1
Dehard 2002
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
DEFINITIONS
u
u
Co : structure cinématique de référence
(= la structure de départ complètement fixée);
m : degré d’indétermination cinématique
(= le nombre de blocages simples à effectuer);
2,3,4
1
Dehard 2002
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
DEFINITIONS
u
u
Co : structure cinématique de référence
(= la structure de départ complètement fixée);
m : degré d’indétermination cinématique
(= le nombre de blocages simples à effectuer);
2,3,4
5,6,7
m= 7
1
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METHODE DES DEPLACEMENTS
n
DEFINITIONS
Dj (j=1 à m) : inconnues cinématiques;
(= les déplacements des nœuds struct. réelle);
u Pi (i=1 à m) : forces extérieures agissant aux
nœuds et associées aux déplacements Di ;
u
D2
D5
D6
D3
D4
D1
Dehard 2002
P2
D7
P3
P7
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
REMARQUES
u
u
n
i et/ou j désignent donc un DDL (3 par nœud);
outre les forces Pi , il existera des forces
extérieures agissant entre les noeuds;
BUT DE LA METHODE DES
DEPLACEMENTS
u
Déterminer les m inconnues cinématiques
d’une structure d’indétermination
cinématique m !
Dehard 2002
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Définition du coefficient de rigidité kij :
u
u
la réaction produite au blocage i dans la
direction i par un déplacement unitaire Dj =1
exercé au blocage j dans la direction j;
donné par le théorème du déplacement unité :
k ij =
∫
Str
u
 dφ   dφ 
EI    ds +
 ds  i  ds  j
∫
Str
 du   du 
EA    ds +
 ds  i  ds  j
∫
Str
 dv   dv 
GA '     ds
 ds  i  ds  j
en vertu du th. de Betty-Maxwell, kij = kji
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METHODE DES DEPLACEMENTS
n
y
Exemple :
D2
D3
D7
D4 2,3,4
D1
k22
k42
k12
Dehard 2002
D5
5,6,7
x
1
k52
D2 =1
D6
k64
k24
k34
k44
k74
D4 =1
k14
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
y
Exemple :
D2
D3
D7
D4 2,3,4
D1
k21
D6
D5
5,6,7
x
1
k66
k36
k46
k76
k41
D1 =1
k11
Dehard 2002
D6 =1
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Définition du coefficient kiP :
u
u
la réaction produite au blocage i dans la
direction i par les forces extérieures
appliquées entre les nœuds;
donné par le théorème du déplacement unité :
k iP =
∫
Str
n
 dφ   dφ 
EI    ds +
 ds  i  ds  P
∫
Str
 du   du 
EA    ds +
 ds  i  ds  P
∫
Str
 dv   dv 
GA '     ds
 ds  i  ds  P
Les kij et kiP se déterminent dans la structure
cinématique de référence et se rapportent à la
structure entière, donc en axes globaux !
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METHODE DES DEPLACEMENTS
n
y
Exemple :
D2
D3
D4 2,3,4
D1
k3P
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D7
D6
D5
5,6,7
x
1
k4P
k7P
k6P
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Equation générale de la méthode des déplacements
Dans la structure cinématique de référence, soit le
blocage i (=3) :
y
k33
2,3,4
5,6,7
D3 =1
1
Dehard 2002
x
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Equation générale de la méthode des déplacements
Dans la structure cinématique de référence, soit le
blocage i (=3) :
y
k33.D3
2,3,4
5,6,7
D3
1
Dehard 2002
x
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Equation générale de la méthode des déplacements
Dans la structure cinématique de référence, soit le
blocage i (=3) :
y
k33.D3
k34
2,3,4
5,6,7
D4 =1
1
Dehard 2002
x
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Equation générale de la méthode des déplacements
Dans la structure cinématique de référence, soit le
blocage i (=3) :
y
k33.D3
k34.D4
2,3,4
5,6,7
D4
1
Dehard 2002
x
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Equation générale de la méthode des déplacements
Dans la structure cinématique de référence, soit le
blocage i (=3) :
y
k36
k33.D3
k34.D4
2,3,4
5,6,7
D6 =1
1
Dehard 2002
x
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Equation générale de la méthode des déplacements
Dans la structure cinématique de référence, soit le
blocage i (=3) :
y
k36.D6
k33.D3
k34.D4
2,3,4
5,6,7
D6
1
Dehard 2002
x
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Equation générale de la méthode des déplacements
Dans la structure cinématique de référence, soit le
blocage i (=3) :
y
k37
k33.D3
k34.D4
k36.D6
2,3,4
5,6,7
D7 =1
1
Dehard 2002
x
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Equation générale de la méthode des déplacements
Dans la structure cinématique de référence, soit le
blocage i (=3) :
y
k37.D7
k33.D3
k34.D4
k36.D6
2,3,4
5,6,7
D7
1
Dehard 2002
x
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Equation générale de la méthode des déplacements
Dans la structure cinématique de référence, soit le
blocage i (=3) :
y
k37.D7
P3
k36.D6
P
2,3,4
5,6,7
k33.D3
k34.D4
k3P
1
Dehard 2002
x
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Equation générale de la méthode des déplacements
y
k37.D7
P3
k36.D6
k33D3
k34.D4
2,3,4
5,6,7
k3P
1
x
Au blocage i dans la direction i, on a, au total:
u les réactions produites par chaque déplacement
inconnu Dj , soit kij.Dj et au total : Σ kij.Dj
u
Dehard 2002
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Equation générale de la méthode des déplacements
y
k37.D7
P3
k36.D6
k33D3
k34.D4
2,3,4
5,6,7
k3P
1
u
u
x
la réaction produite par les forces extérieures
appliquées entre noeuds, soit kiP ;
une éventuelle force extérieure Pi ;
Dehard 2002
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Equation générale de la méthode des déplacements
y
k37.D7
P3
k36.D6
k33D3
k34.D4
2,3,4
k3P
1
u
5,6,7
x
Toutes ces réactions et forces sont repérées
dans le système d’axes globaux !
Dehard 2002
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Equation générale de la méthode des déplacements
Pour que la structure cinématique de référence
représente la structure réelle, il faut donc :
m
∑
k ij .D j + k iP = Pi pour i=1, 2, …m
j=1
= expression de l’équilibre des noeuds
u
Sous forme matricielle :
[K ]{D} = {P}
avec [K] : matrice de rigidité
de la structure (axes globaux)
Dehard 2002