Pricing d`options et méthodes d`arbre

Pricing d’options et méthodes d’arbre
Matthieu Leblanc
Août 2003
Contents
1 Introduction
1
2 Méthodologie
2
3 Qualité de la convergence vers prix et delta
3.1 Options européennes . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Sans détachement de dividendes . . .
3.1.2 Avec détachement de dividendes . . .
3.2 Options américaines . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Sans détachement de dividendes . . .
3.2.2 Avec détachement de dividendes . . .
3.3 Résultat global transversal . . . . . . . . . . .
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5
5
5
7
10
10
12
14
4 Précision prix et delta
14
4.1 Options européennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Options américaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Conclusions
1
16
Introduction
Ce document se consacre à l’étude des méthodes numériques, dites par arbres,
utilisées par X dans le pricing des options standards américaines. Il existe également d’autres techniques, arbre “willow power” de Curran, di¤érences …nies ou
Monte Carlo par exemple. Comme nous envisageons dans un premier temps
unniquement l’amélioration de la méthode utilisée jusqu’ici, un arbre de CoxRoss-Rubinstein, nous ne nous concentrerons que sur ce type de technique.
L’objectif de ce papier est double : permettre de savoir comment se comporte
l’outil de pricing actuel, spécialement en présence de détachement discret de dividende (étude qui ne semble pas avoir été faite dans la littérature académique),
et d’envisager certaines améliorations simples. Ces améliorations doivent aller
dans deux directions : précision et rapidité de calcul, aussi bien pour les prix
1
que pour les grecs. Excepté pour les arbres trinomiaux, toutes les techniques
utilisent un temps de calcul équivalent (précision à la seconde près). Nous nous
appliquons donc à estimer la précision de chacune des méthodes.
Lorsque l’on étudie la littérature sur ce sujet, on constate qu’une méthode n’est
jamais la plus performante dans tous les cas (option out ou in, dividendes ou
non). On pourra donc identi…er la méthode qui fournit l’erreur la plus faible
possible en moyenne, mais aussi la méthode la plus performante dans chacun
des cas possibles.
2
Méthodologie
A…n de comparer les performances des di¤érentes méthodes, il faut disposer de
prix (et de delta) de référence.
La première approche est donc de se placer dans le modèle de Black-Scholes et
de comparer les prix des méthodes approchées à ceux obtenus par la formule de
Black-Scholes. On regarde donc ici le prix d’options européennes.
La deuxième approche consite à comparer les prix des options américaines. Sous
certaines hypothèses, on dispose d’une formule fermée pour les calls américains
en présence de dividendes discrets. C’est donc dans ce contexte que l’on se place
(voir [1] pour plus de détails). Le delta est calculé alors par di¤érences …nies
a…n d’utiliser la même méthode qu’un arbre. Les prix et delta se comparent
alors comme pour les options européennes.
Pour les puts américains,une telle formule n’existe pas. On prendra alors comme
prix de référence, celui obtenu par la méthode la plus courante, l’arbre de Cox
Ross Rubinstein, avec un grand nombre de pas pour assurer une très forte
convergence, on prendra la moyenne des prix et des deltas calculés pour N =
1000 et N = 1001 (certes, cette appproche peut en un sens favoriser à la baisse
les calculs d’erreurs de l’arbre CRR) pour des options de maturité 6 mois.
L’erreur sera mesurée l’écart-type de l’erreur relative.Il est donné par
v
u
m
u1 X
e2
RM SE = t
m i=1 i
Pbi
Pi
où Pi est le vrai prix
Pi
de l’option et Pbi le prix calculé numériquement. m est le nombre d’ensembles de
paramètres utilisés pour une technique numérique. C’est une mesure de l’erreur
adoptée dans de nombreuses études statistiques. On se limite à un seul type
d’erreur pour éviter l’arbitrage entre di¤érentes mesures.
Par exemple si l’on teste calls et puts, out at et in, 2 maturités, 2 dates possibles
de détachement de dividendes, 3 volatilités, on obtient m = 72 ensembles de
paramètres. Si l’on ne regarde que les calls out, on tombe à m = 12 ensembles
où RMSE signi…e Root Mean Square Error et ei =
2
de paramètres. On pourra aussi ne faire varier que le nombre de pas utilisés,
etc.
Ici, on ne fera varier qu’un seul paramètre à la fois et on établira la meilleure
méthode dans chacun des cas. Les méthodes seront classées de 1 à 11, 1 pour
la méthode ayant l’erreur moyenne ou l’écart-type le plus faible, ceci pour deux
échantillons, l’un allant jusqu’au pas 131 (nombre de pas utilisé actuellement
sur une option de maturité 130 jours ouvrés), l’autre allant jusqu’au pas 261.
Le classement global, obtenu par moyenne de ces deux classements donne le
résultat …nal.
Méthodes testées
Nous n’avons pas la prétention d’être exhaustif, même pour les méthodes par
arbres. A…n de limiter les temps de calculs de prix nous limitons volontairement
aux techniques ne demandant le calcul que d’un seul arbre : pas d’utilisation du
calcul de l’option européenne comme contrôle pour le calcul du prix de l’option
américaine équivalente par exemple. Certaines techniques ne sont pas étudiées
comme l’application des extrapolations de Richardson.
La plupart des méthodes sont décrites dans [2]. Tous les arbres considérés sont
recombinants.
- Binomial CRR, arbre standard décrit par Cox, Ross et Rubinstein (1979),
actuellement utilisé pour le pricing des options américaines,
- Binomial HW (BHW), arbre décrit par Hull et White (1988)
- Binomial RB, arbre décrit par Rendleman et Bartter (1979), contenant le
cas particulier de l’arbre JR de Jarrow et Rudd (1983).
- Binomial Tian, arbre décrit par Tian (1993),.
- Binomial LR, arbre décrit par Leisen et Reiner (1998), où l’on s’arrange
pour que le strike soit toujours au centre de l’arbre.
- Binomial BBS, méthode régularisant le prix en introduisant le prix BlackScholes à l’avant dernier rang de l’arbre des prix d’options (voir [3]), l’arbre de
départ étant le Binomial CRR.
- Binomial Average (AVE), c’est une petite exception à notre règle : on
calculera deux arbres de taille n0 et n0 + 1 et on comparera le prix à un arbre
CRR avec N pas. Cette technique vient à l’origine de l’e¤et N pair ou N impair
qui apparait dans les arbres binomiaux et qui provoque une oscillation plus ou
moins importante. On choisira n0 tel que le nombre de noeuds dans les deux
arbres soient identiques au nombre de noeuds dans l’arbre à N 1 pas, soit
p
n0 = 2 + 4 + (N 2 + 3N 4) =2
a…n que les temps de calcul soient similaires.
- Binomial ABMD, arbre décrit par Jabbour et al. (2001) obtenu à partir
d’une modi…cation dite en log dans le choix des paramètres de l’arbre.
- Trinomial Boyle, arbre décrit par Boyle (1988).
- Trinomial KR (TKR), arbre décrit par Kamrad et Ritchken (1991).
3
- Trinomial TBS, idem BBS où l’on modi…e l’avant dernier rang de l’arbre,
partant de l’arbre initial de KR.
Listes des paramètres
Contrat, européen ou américain,
T ype, call ou put,
S, sous-jacent, prix en date de calcul,
K, strike de l’option,
T , maturité, exprimée en année,
v; volatilité (constante),
r, taux d’intérêt continu (constant),
q, taux repo (ou de dividende continu),
t, date de détachement du dividende discret,
D, valeur du dividende détachant en t,
N , nombre de pas de temps utilisé dans l’arbre,
l,pdegré de liberté supplémentaire intervenant dans les arbres trinomiaux,
l = 3=2pest recommandé pour les options ATM (sans dividende) dans l’arbre
KR, l = 3 dans l’arbre Boyle. Nous reviendrons sur ce point plus tard.
Jeux de tests
T = 0:5, K = 100, S = 120,100 ou 80, v = 0:5, r = 0:03, q = 0, t = 0:01; ou
0:49, D = 0 ou 10. Ceci pour des options européennes et américaines, puts et
calls. C’est le détachement de dividendes qui nous intéresse particulièrement
ici. Le taux d’intérêt ou le taux Repo ont la même in‡uence quelque soit la
méthode utilisée.
- Qualité de la convergence vers le prix et le delta
La maturité est …xée à 0:5 année et nous observons la diminution de la taille
de l’intervalle de temps entre deux étapes de l’arbre par une aumentation de
N . Ceci nous montre comment la méthode converge vers le véritable prix et le
véritable delta.
Notons que, dans les méthodes BBS et TBS, pour qu’un dividende ne détache
T
soit N > 50 lorsque t = 0:49
pas entre les pas N 1 et N , il faut que N >
T t
et N > 1 lorsque t = 0:01. Nous prendrons systématiquement N 51 et allant
jusqu’à 261.
- Précision du prix et du delta de l’option.
En pratique, dans le pricing actuel, on choisit toujours N = min(101, nombre
de jours jusqu’à échéance). De plus si N est pair on prend alors N + 1. En
faisant varier la maturité de 1 à 260 jours, on pourra apprécier la qualité des
valeurs obtenues dans des conditions proches de celles utilisées aujourd’hui et
identi…er la méthode la plus performante.
4
3
Qualité de la convergence vers prix et delta
Les erreurs commises sont calculées pour un nombre de pas N = 51 à N = 261
(m = 211). La maturité étant de 6 mois soit 130 jours, nous calculons également
les erreurs pour un nombre de pas allant de N = 51 à N = 131 (m = 81): On
rappelle que, a…n de résumer les résultats sur les erreurs nous établissons un
classement des méthodes pour chaque erreur (soit 2 classements) pour obtenir
ensuite un classement global. Ce dernier classement nous permettra d’exhiber
les méthodes optimales dans chacun des tests.
3.1
Options européennes
Le cas des options européennes n’est pas le plus intéressant directement en
pratique. Mais dans ce cas, nous disposons de formule fermée pour les calls et
les puts qui nous permettent de comparer les résultats de la méthode numérique
au prix théorique vers lequel elle converge.
3.1.1
Sans détachement de dividendes
Nos procédons aux calculs des prix et des deltas pour les 11 méthodes. Pour
les 6 combinaisons suivantes, nous donnons les méthodes plus performantes
que l’arbre CRR, de la meilleure à la moins bonne (un “et” signi…e méthode
équivalente)
n test
S
type
1
80
callout
2
100
callat
3
120
callin
4
80
putin
5
100
putat
6
120
putout
m
ethodes
prix : T BS; BBS; T KR; AV E; Boyle; ABM D
delta : T BS; T KR; BBS; BHW; RB
prix : AV E; T BS; T KR; BBS; T ian
delta : BBS; T KR; AV E; T BS; BHW; RB; LR
prix : T BS; BBS; T KR; Boyle; AV E; T ian; ABM D
delta : BBS; AV E; BHW; T BS; T KR
prix : T BS; BBS; T KR; AV E; Boyle; ABM D
delta : T BS; T KR; BBS; BHW; RB
prix : T BS; BBS; T KR; AV E; Boyle; ABM D
delta : T KR; BBS; T BS; AV E; BHW; RB; LR
prix : T BS; BBS; T KR; Boyle et AV E; T ian; ABM D
delta : BBS; AV E; T BS; BHW; T KR; RB
Les mêmes méthodes reviennent dans les 6 combinaisons.
Pour les prix les 4 approches TBS, BBS, AVE, TKR sont systématiquement
meilleures que la méthode de pricing actuelle.
Pour les deltas, les 4 approches TBS, TKR, BBS, BHW sont systématiquement
meilleure que la méthode de pricing actuelle.
Pour les 10 méthodes et la méthode CRR, nous recalculons une erreur “transversale” sur le prix et le delta obtenus au pas 131 sur chacun des 6 tests (ici m=6).
5
On retient ce nombre de pas car c’est celui utilisé actuellement pour une maturité à 130 jours (maturité de test). De la meilleure technique (celle ayant
l’erreur RMS la plus faible) à la moins bonne, on obtient :
Pour le prix : AVE, Tian, TKR, TBS, BBS, Boyle, ABMD, LR, CRR, RB,
BHW.
Pour le delta : TBS, BBS, TKR, BHW, Boyle, RB, CRR, ABMD, AVE, Tian,
LR.
Les 4 méthodes précedemment retenues dans chacun des cas restent encore
meilleure que l’arbre CRR dans ce cadre.
Au …nal, le meilleur compromis jusqu’ici est l’approche TBS, mais si l’on considère que les méthodes trinomiales requiert plus de calcul pour un même nombre
de pas, la méthode BBS doit être retenue. Il faudrait tester la méthode trinomial dans des conditions de temps de calculs équivalents, nous verrons plus loin
pourquoi ce n’est pas nécessaire.
Les deux graphes ci-dessous montrent comment, dans le contexte du test n 6,
convergent chacune des méthodes (la couleur est fortement conseillée pour apprécier les nuances).
6.9200
6.9100
6.9000
6.8900
prix CRR
prix BS
Prix AVE
prix TBS
6
prix TKR
prix BBS
255
243
231
219
207
195
183
171
159
147
135
123
111
99
87
75
63
51
6.8800
6.8700
6.8600
6.8500
6.8400
-0.2309
-0.2311
-0.2313
-0.2315
delta CRR
delta BS
delta AVE
delta TBS
delta TKR
delta BBS
On constate que les façons de converger pour chaque méthode sont assez distinctes. Les techniques “XBS” lissent la fonction de prix en fonction du pas
(c’est le but de la technique) et améliorent naturellement le calcul du delta.
Prendre la méthode moyenne AVE donne une convergence similaire à l’arbre
TKR. La technique trinomial réduit considérablement l’oscillation de la méthode binomial CRR.
On constate également que dans la méthode CRR (et les méthodes de convergence similaire), l’augmentation du nombre de pas n’améliore pas à coup sûr la
précision, ceci étant du à l’e¤et de convergence en “cône” (oscillations de taille
croissante puis décroissante) que l’on constate ci-dessus.
3.1.2
Avec détachement de dividendes
Lors de détachement de dividendes, on a vu plus haut qu’il fallait imposer un
nombre minimal de pas, ici N = 51, à partir du quel sont calculées toutes les
erreurs. Le dividende discret est …xé à 10; qui est élevé par rapport à la réalité
mais permet de plus facilement constater l’e¤et de son détachement.
7
255
243
231
219
207
195
183
171
159
147
135
123
-0.2307
111
99
87
75
63
51
-0.2305
n test
S
7
80
0:01 callout
8
80
0:49
9
100 0:01
10
100
0:49
11
120
0:01
12
120
0:49
13
80
0:01
14
80
0:49
15
100 0:01
16
100 0:49
17
120 0:01
18
120 0:49
t
type
callat
callin
putin
putat
putout
m
ethodes
prix : BBS; AV E; RB
delta : BBS; BHW; T ian; RB
prix : BBS; AV E; RB
delta : BBS; BHW; T ian; RB
prix : BBS; AV E; ABM D
delta : BBS; BHW; RB; LR
prix : BBS; AV E; AM BC; LR
delta : BBS; BHW; RB; LR
prix : BBS; AV E; T ian; LR; AM BD
delta : BBS; AV E; BHW
prix : BBS; AV E; T ian; LR; ABM D
delta : BBS; AV E; BHW
prix : BBS; AV E
delta : BBS; BHW; T ian; RB
prix : BBS; AV E
delta : BBS; BHW; T ian; RB
prix : BBS; AV E; ABM D; LR
delta : BBS; BHW; RB; LR
prix : BBS; AV E; ABM D; LR
delta : BBS; BHW; RB; LR; AV E
prix : BBS; AV E; T ian; LR; ABM D
delta : BBS; AV E; BHW
prix : BBS; AV E; BHW
delta : BBS; AV E; BHW
Les mauvais résultats globaux des arbres trinomiaux viennent du fait que le
paramètre l doit être choisi en fonction notamment de la position du spot
utilisé dans l’arbre par rapport au strike. Il n’existe pas de formule donnant
le paramètre optimal à utiliser dans chaque condition. Il parait donc di¢cile
d’utiliser les arbres trinomiaux dans d’autres cas que les options sans détachement de dividende avant l’échéance (en fait en tatonnant, on pourra trouver un
paramètre optimal, mais sans exhiber une règle pour le déterminer).
Les techniques qui emmergent sont :
Pour les prix : BBS, AVE
Pour les deltas : BBS, BHW
Pour le pas N = 131, on obtient :
Pour le prix : BBS, CRR, RB, ABMD, BHW, AVE, LR, Tian, TBS, TKR,
Boyle.
Pour le delta : BHW, RB, CRR, ABMD, BBS, AVE, Tian, LR, TBS, TKR,
Boyle.
Ici les performances sont assez di¤érentes et il est plus délicat de trancher.
8
Dans le contexte du test n 12 nous donnons les graphes suivant :
21.2400
21.2200
21.2000
21.1800
21.1600
21.1400
21.1200
prix BS
prix CRR
prix BBS
prix BHW
prix AVE
0.6892
0.6891
0.6890
0.6889
0.6888
delta BS
delta CRR
delta BBS
delta BHW
255
delta AVE
Ici encore, et malgré le détachement de dividende, l’e¤et de lissage voulu dans
la méthode BBS est un succès. CRR, BHW et RB (non représenté) se comportent de façon très similaires, les résultats numériques montrant que la deuxième
9
243
231
219
207
195
183
171
159
147
135
123
111
99
87
75
63
51
0.6887
259
246
233
220
207
194
181
168
155
142
129
116
103
90
77
64
51
21.1000
oscille moins que la première lors de la convergence du delta. AVE se comporte correctement également au niveau du delta grâce au lissage partielle de la
fonction prix que la méthode impose.
3.2
Options américaines
Gardons en mémoire que les valeurs théoriques calculées pour les puts américains
ne sont en réalité que des valeurs approchées calculées avec plus de précision
(plus de décimales correctes).
3.2.1
Sans détachement de dividendes
Dans le cas du call, c’est la situation des tests 1, 2 et 3. Nous n’a¢chons donc
que les cas du put ici.
n test
S
type
19
80
putin
20
100
putat
21
120 putout
m
ethodes
prix : T BS; T KR; BBS; Boyle et AV E; ABM D
delta : T BS; T KR; BBS; AV E; BHW; RB
prix : T KR; AV E; T BS; BBS; T ian; ABM D; LR
delta : T KR; BBS; T BS; AV E; BHW; RB et LR
prix : T BS; BBS; T KR; Boyle; AV E; ABM D
delta : BBS; AV E; BHW; RB
Les méthodes trinimoiales sont à nouveau performantes ici (au moins pour les
prix). On retiendra les techniques systématiquement meilleures que CRR (calls
et puts confondus) :
Pour les prix : TBS, TKR, BBS, AVE
Pour les deltas : BBS, BHW
Pour le pas N = 131, on obtient :
Pour le prix : AVE, TKR, TBS, Tian,BBS, Boyle,ABMD, CRR, LR, RB,
BHW.
Pour le delta : TBS, BBS, TKR, BHW, RB, Boyle, CRR, ABMD, AVE,
Tian, LR.
Les résultats sont ici assez semblables aux précédent. Le meilleur compromis
est encore BBS.
10
Les graphes suivants correspondent au test n 19:
24.2000
24.1900
24.1800
24.1700
24.1600
24.1500
24.1400
prix BS
prix CRR
prix BBS
prix AVE
255
243
231
219
207
195
183
171
159
147
135
123
111
99
87
75
63
51
24.1300
prix TBS
255
243
231
219
207
195
183
171
159
147
135
123
99
87
111
-0.6735
75
63
51
-0.6730
-0.6740
-0.6745
-0.6750
-0.6755
-0.6760
delta BS
delta CRR
delta BBS
delta AVE
Les comportements des convergences sont similaires aux cas précédents.
11
delta TBS
3.2.2
Avec détachement de dividendes
Cette situation est la plus importante en pratique.
n test
S
t
type
22
100
0:01
callat
23
100 0:49
24
120
25
120 0:49
26
80
0:01 callout
27
80
0:49
28
100 0:01
29
100 0:49
30
120
31
120 0:49
32
80
0:01
33
80
0:49
0:01
0:01
callin
putat
putout
putin
m
ethodes
prix : BBS; AV E; ABM D
delta : BBS; BHW; RB; LR
prix : T ian; AV E; BHW; RB; BBS; LR
delta : BHW; RB; BBS; LR
prix : T ian et BHW; RB; BBS
delta : Boyle; T KR; T BS; T ian; BBS; ABM D
prix : BHW; RB; BBS; AV E
delta : BHW; LR; Boyle et BBS; T KR
prix : BBS; AV E; RB
delta : BBS; T ian; BHW; RB
prix : T ian; BHW; BBS; RB
delta : T ian; LR; BHW; BBS; RB
prix : BBS; AV E; ABM D; LR
delta : BBS; BHW; RB et AV E; LR
prix : BBS; AV E; ABM D; LR
delta : BBS; AV E; BHW; RB; LR
prix : BBS; AV E; T ian; LR; ABM D
delta : Boyle; T BS; T KR; T ian; BBS; ABM D; RB; AV E
prix : BBS; AV E; T ian; ABM D; LR
delta : BHW
prix : BBS; AV E; ABM D
delta : BBS; BHW; RB
prix : BHW et T ian; RB; LR
delta : BBS; BHW; RB
Les résultats sont moins tranchés ici, mais les méthodes trinomiales ne sont pas
dans le coup à nouveau. Les techniques systématiquement meilleures que CRR
(calls et puts confondus) :
Pour les prix : BBS
Pour les deltas : il n’y en a pas mais BBS et BHW sont 11 fois meilleurs sur
les 12 tests e¤ectués et quand l’un n’est pas meilleur, l’autre l’est.
Pour le pas N = 131, on obtient :
Pour le prix : LR, Tian, AVE, BBS, BHW, RB, CRR, ABMD, TBS, TKR,
Boyle.
Pour le delta : BHW, RB, CRR, BBS, ABMD, AVE, Tian, LR, TBS, TKR,
Boyle.
Le meilleur compromis pourrait être une combinaison des méthodes BBS et
BHW : en e¤et, BBS est un lissage de la fonction prix de l’arbre CRR et on
pourrait envisager un lissage de l’arbre BHW de la même façon.
On donne les graphes suivant dans le cadre du test n 22:
12
prix BS
prix CRR
prix BBS
prix AVE
259
246
233
220
207
194
181
168
155
142
129
116
103
90
77
64
51
13.2000
13.1800
13.1600
13.1400
13.1200
13.1000
13.0800
13.0600
13.0400
13.0200
13.0000
prix BHW
0.5879
0.5877
0.5875
0.5873
0.5871
0.5869
0.5867
delta BS
delta CRR
delta BBS
delta AVE
255
delta BHW
Ici, les techniques BBS, BHW, et CRR convergent de la même manière (quasi
superposition sur les graphes). En particulier, le lissage de la première méthode
est inexistant.
13
243
231
219
207
195
183
171
159
147
135
123
111
99
87
75
63
51
0.5865
En…n, une remarque sur le test n 24 dont la convergence vers le delta est particulièrement mauvaise : L’erreur RMS 131 jours pour CRR est de 3:84%; la
meilleure méthode étant Boyle qui donnne 1:13%.
3.3
Résultat global transversal
Pour le pas N = 131, on donne les résultats transversaux pour :
les options américaines seules (tests 19 à 33)
- prix : Tian, AVE, BBS, LR, ABMD, CRR, RB, BHW, TBS, TKR, Boyle
- delta : BBS, BHW, RB, CRR, ABMD, AVE, Tian, LR, TBS, TKR, Boyle.
les options américaines et européennes (tests 1 à 33)
- prix : AVE, BBS, Tian, LR, ABMD, CRR, RB, BHW, TBS, TKR, Boyle.
- delta : AVE, BBS, Tian, LR, ABMD, CRR, RB, BHW, TBS, TKR, Boyle.
Pour résumer, l’approche BBS semble le meilleur compromis.
4
Précision prix et delta
Les jeux de tests sont les suivants. K = 100, r = 3%, D = 10, t = 0:5
ans, v = 50%: La maturité varie de 1 à 260 jours. Lorsque le détachement de
dividende est après l’expiration, on n’en tient pas compte. Le nombre de pas N
est choisi comme indiqué plus haut à priori.
Encore un fois les techniques BBS et TBS imposent t < T T =N . Si t = T = 130
ou 131 jours, N = 131 et cette inégalité n’est plus véri…ée. On aumentera alors le
nombre de pas de 1 (pour toutes les techniques bien sûr) pour éviter ce problème
dans ce cas. En pratique cette di¢culté ne se pose pas si l’on impose aucun
détachement de dividende entre les pas N 1 et N .
4.1
Options européennes
test
S
type
1
120
callin
2
100
callat
3
80
callout
4
120
putout
5
100
putat
6
80
putin
m
ethodes
prix : BBS; AV E; T ian; LR; BHW; RB
delta : BBS; BHW
prix : AV E; BBS; T ian; ABM D
delta : BHW; BBS; RB; LR
prix : Boyle; BBS; T ian; BHW; RB
delta : Boyle; T ian; T KR; T BS; BBS; BHW; RB
prix : BBS; T BS; Boyle; T KR; AV E; ABM D
delta : Boyle; T BS; BBS; T KR; BHW; RB
prix : AV E; BBS; T ian; ABM D; LR
delta : BHW; BBS; RB; LR
prix : BBS; AV E; RB
delta : BBS; BHW; RB
14
Remarque 1 Pour les options out, les erreurs RMS sont calculées à partir du
rang où les prix obtenus sont signi…cativement distinguables.
Les techniques systématiquement meilleures que CRR (calls et puts confondus)
:
Pour les prix : BBS
Pour les deltas : BBS et BHW.
4.2
Options américaines
Ici notre règle de choix du pas ne semble pas adaptée. Par exemple, si T = 144
jours (après détachement du dividende) le prix théorique du call est 27:2665.
Si l’on prend N = 145, le prix CRR est alors 27:2067, alors que si N = 144,
le prix CRR est de 27:2507 qui est bien meilleur. Ceci est vrai pour toutes les
méthodes étudiées, pour toutes les maturités au delà de la date de détachement
du dividende. Cela suggère de conserver autant d’itérations qu’il y a de
jours jusqu’à la maturité au lieu de forcer au nombre impair supérieur
lorsqu’un dividende tombe avant l’échéance de l’option. Evidemment
ceci n’est visible que sur les calls, là où l’on dispose d’un formule fermée.
De façon semble t-il plus générale, lorsque la maturité est peu après un détachement de dividende, le nombre de pas d’itération semble largement insu¢sant
: par exemple, dans le cas du test 8 ci-dessous, si T = 131, t = 130, le prix
CRR avec N = 131 est 13:2317 alors que le vrai prix (formule fermée pour les
calls) est 13:3031. Avec N = 1000 le prix CRR passe à 13.2991. Evidemment,
il est impossible de déterminer une règle précise. Ce constat peut être fait pour
toute les méthodes étudiées ici et s’estompe lorsque la maturité augmente. Ceci
suggère d’augmenter le nombre de pas entre la date détachement et la maturité.
Avec ces modi…cations pour les calls nous obtenons :
test
S
type
7
120
callin
8
100
callat
9
80
callout
10
120
putout
11
100
putat
12
80
putin
m
ethodes
prix : BBS; T ian; LR; AV E; ABM D
delta : Boyle; T BS; T KR; BBS; BHW
prix : BBS; AV E; T ian; ABM D
delta : BBS; RB; LR; ABM D
prix : BBS; Boyle; T ian
delta : Boyle; T KR; T ian; T BS; BBS; BHW; RB
prix : BBS; T BS; Boyle; T KR; AV E; ABM D
delta : Boyle; T BS; BBS; T KR; BHW; RB
prix : AV E; T BS; BBS; T KR; T ian; ABM D; LR
delta : T KR; ABM D
prix : BBS; AV E; ABM D
delta : BBS; BHW; RB
Les techniques systématiquement meilleures que CRR (calls et puts confondus)
:
15
Pour les prix : BBS
Pour les deltas : il n’ y en a pas. BBS est meilleure 5 fois sur 6.
5
Conclusions
Nous n’avons étudié que des méthodes d’arbres simples, dont l’implémentation
serait aisée à partir de la méthode utilisée actuellement, l’arbre CRR. Nous pourrons dans un deuxième temps envisager de développer des méthodes d’arbres
plus élaborées : avec une variable de contrôle, par extrapolation,... ou tout
simplement d’autres approches : di¤érences …nies, Monte Carlo...
Deux résultats sont mis en avant :
- la méthode BBS est le meilleur compromis parmi toutes les méthodes et
dans tous les cas examinés ici.
- le choix d’un nombre pas impair systématique n’est pas bon lorsqu’un
dividende détache avant l’échéance d’une option américaine : dans ce cas il
meilleur de conserver un nombre d’itérations égale au nombre de jour jusqu’à
échéance. Plus généralement, augmenter le nombre d’itérations entre la date de
détachement et la maturité peut-être envisagé. Bien que nous n’ayons pas une
règle précise à donner, une dizaine d’itérations supplémentaires judicieusement
placée améliorent les résultats.
References
[1] J. Hull, “Options, Futures and Other Derivatives”, 3ème édition, Prentice
Hall, 1997.
[2] Y. Kwok, “Mathematical Models of Financial Derivatives”, Springer Finance, 1998.
[3] M. Leblanc, “Suggestions et remarques sur les outils de market-making”,
Note interne, 2003.
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