Du Lagrangien à l`équation de Bellman

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Du Lagrangien à l’équation de Bellman
Etude des Modèles de : Gale, Ramsey, et R Crusoé
Jean-Paul K. Tsasa Vangu
Laboratoire d’analyse-recherche en économie quantitative
Décembre 21, 2014
Jean-Paul K. Tsasa (LAREQ)
Décembre 21, 2014
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“Tu me dis, j’oublie...
Tu m’enseignes, je me souviens...
Tu m’impliques, j’apprends.”
Benjamin Franklin
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Présentation Laréq
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Sommaire
1
2
Exposé du problème
3
Résolution par l’approche Lagrangienne
4
Résolution par la programmation dynamique
5
Travail Aspirant-L
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Introduction
Cette présentation s’inscrit dans le cadre de la rubrique “DIVERS” des réunions
LAREQ
L’objectif de cette rubrique est :
d’une part, de faire le parallélisme entre les aspirations exprimées par des chercheurs non-économistes, sur l’orientation des théories économiques
et de l’autre, de motiver les chercheurs-L à converger vers la frontière de recherche
Pour plus de détails, cf. : http://www.lareq.com
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Travail Aspirant-L
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L’analyse macroéconomique moderne s’appuie sur plusieurs résultats de la
théorie microéconomique néoclassique.
D’où, la terminologie :
fondations microéconomiques de la macroéconomie.
Dans cet exposé, nous considérons le modèle de “cake eating” tiré de l’article
de Gale (1967), dont nous encourageons vivement la lecture.
GALE David, 1967, “A Geometric Duality Theorem with Economic Applications,” Review of Economic Studies, 34, 19-24.
Article Stable URL : http://www.jstor.org/stable/2296568
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Richard E. Bellman
Problème de Cake eating (Gale, 1967)
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Le modèle considéré est une version discrète
Il s’agit d’une étude de cas à la fois simple et riche
Dans la pratique, cette illustration nous permettra d’introduire :
d’une part, la formalisation d’un problème d’optimisation dynamique suivant :
l’approche lagrangienne (formulation séquentielle)
l’approche par la programmation dynamique (Equation de Bellman)
de l’autre, les techniques de résolution analytique des problèmes d’optimisation
dynamique, ainsi que des extensions vers d’autres modèles d’analyse
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Problème de Cake eating (Gale, 1967)
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Par ailleurs, à travers cet exercice, nous aurons l’occasion de mettre en valeur
implicitement ou explicitement, plusieurs résultats et concepts mathématiques,
notamment :
le théorème de Karush (1939) et Kuhn-Tucker (1951)
l’équation de Bellman (1957)
les conditions suffisantes de Blackwell (1965)
le théorème de Benveniste-Scheinkman (1979)
le théorème de Berge (1959)
le théorème de l’application contractante (Point fixe de Banach, 1920)
le théorème de l’enveloppe (Zermelo 1894 ; Darboux 1894 ; Knerser 1898)
l’équation d’Euler inter-temporelle
etc.
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Formalisation théorique
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Supposons qu’un ménage représentatif possède un gâteau stockable de taille
k0 à la période t = 0
On suppose que le ménage vit durant une période infinie, t = 0, 1, 2, ...
Pour chaque t, le ménage consomme une quantité donnée, et épargne le reste
Le gâteau se déprécie suivant un taux δ
La fonction d’utilité est de type hyperbolique, avec un taux d’escompte β
Question :
Quelle est la quantité optimale qu’un ménage doit consommer à chaque instant
t pour ne pas mourir de faim durant toute sa période (infinie) de vie ?
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Formalisation mathématique
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Fonction d’utilité instantannée :
u(ct ) =
1−γ
γ
act
+b
1−γ
γ
(1)
Fonction d’utilité multi-périodique :
U (ct ) =
∞
X
β t u(ct )
(2)
t=0
Loi de transition :
kt+1 = (1 − δ)kt − ct ,
(3)
où kt est la taille du gateau à la date t ; ct la quantité du gâteau consommée ;
kt+1 la quantité épargnée telles que kt ≥ 0 et kt+1 ≥ 0
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Problème du ménage
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Après réaménagement, puisque le ménage cherche à maximise son utilité, le
problème devient :
max
{ct ,kt+1 }∞
t=0
∞
X
β
t=0
t1
−γ
γ
act
+b
1−γ
γ
(4)
sujet à (3), avec : ct ≥ 0 ; k0 > 0 ; kt ≥ 0 ; kt+1 ≥ 0, ∀t
Puisque l’horizon est infini, il nous faut imposer une condition technique supplémentaire, appelée condition de transversalité (i.e. l’équivalent de la condition
de no Ponzi game en cas d’horizon fini) :
lim λt kt+1 = 0,
(5)
t→∞
où λt est le multiplicateur dynamique de Lagrange.
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Problème sous forme Lagrangienne
max ∞
{ct ,kt+1 }t=0
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Le problème s’écrit :
∞ X
t=0
βt
1−γ
γ
act
+b
1−γ
γ + λt [(1 − δ)kt − ct − kt+1 ]
(6)
La résolution de ce problème (application du théorème de Karush-Kuhn-Tucker)
nous permettra de dériver l’équation d’Euler intertemporelle
Les arguments sont ct et kt+1
Ainsi, l’équation d’Euler permettra de déterminer les séquences recherchées
∞
(inconnues) : {ct }∞
t=0 et {kt+1 }t=0
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Théorème de Karush-Kuhn-Tucker
(7)
∂L
≡ −λt + (1 − δ)λt+1 = 0, t = 0, 1, 2, ...
∂kt+1
(8)
∂L
≡ (1 − δ)kt − ct − kt+1 = 0, t = 0, 1, 2, ...
∂λt
(9)
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" γ−1 #
∂L
act
t
≡β a
+b
− λt = 0, t = 0, 1, 2, ...
∂ct
1−γ
λt ≥ 0
(10)
kt+1 ≥ 0, t = 0, 1, 2, ...
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Condition de transversalité
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En tirant le multiplicateur de Lagrange de la CPO (7), puis en le substituant
dans (5), la condition de transversalité devient :
lim β t a
t→∞
D’où :
lim β
t→∞
t
act
+b
1−γ
act
+b
1−γ
γ−1
kt+1 = 0
γ−1
(11)
kt+1 = 0
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Dérivation de l’équation d’Euler
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Par ailleurs, en tirant le multiplicateur de Lagrange de la CPO (7) et en le
substituant dans (8), on dérive ainsi l’Equation d’Euler :
act
+b
1−γ
γ−1
= β(1 − δ)
act+1
+b
1−γ
γ−1
(12)
Après calibration, il est possible de résoudre (12) à l’aide d’un logiciel approprié
∗
∞
(e.g. Matlab), et caractériser ainsi {ct∗ }∞
t=0 et donc, {kt+1 }t=0 via (3), étant
donné k0
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Travail Aspirant-L
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Djamal Rebaı̈ne :
Pour la petite histoire, Bellman a choisi le terme programmation dynamique dans
un souci de communication
Son supérieur ne supportait ni le mot “recherche” ni celui de “mathématique”
Alors il lui a semblé que les termes “programmation” et “dynamique” donnaient une
apparence qui plairait à son supérieur
En réalité, le terme programmation signifiait à l’époque plus planification et ordonnancement que la programmation au sens qu’on lui donne de nos jours
En un mot, la programmation dynamique est un ensemble de règles que tout un
chacun peut suivre pour résoudre un problème donné
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Equation de Bellman
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Nous considérons le même modèle, les mêmes données
Distinction variable d’état et variable de contrôle
Variable d’état : kt
Variables de contrôle : ct et kt+1
Equation de Bellman :
V (k) = max
0
[c,k ]
1−γ
γ
ac
+b
1−γ
γ + βV (k 0 )
(13)
sujet à (3), avec : c ≥ 0 ; k0 > 0 ; k ≥ 0 ; k 0 ≥ 0
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Intuition et Terminologie
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Notation (convention) : xt = x et x 0 = xt+1
Intuition : cf. Equation fonctionnelle recursive
Règles de décision (fonction politique) : {c ∗ , k 0∗ } = arg max {V (k)}
Fonction valeur : V (k ∗ )
Problème récursif → Programmation dynamique (Equation de Bellman)
Problème séquentiel → Approche Lagrangienne
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Remarques
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Problème stationnaire (Principe d’optimalité de Bellman)
D’où pas d’indice t sur V : V (k) = Vt (k)
Propriétés de la fonction valeur V (k ∗ ) :
(stricte) croissance (si u l’est strictement)
continuité
stricte concavité
différentiabilité
Ingrédients pour la résolution :
Théorème de Berge
Theorème de Benveniste-Scheinkman (1979)
Théorème de Blackwell (Conditions suffisantes)
Théorème de l’application contractante (Point fixe de Banach)
Théorème de l’enveloppe
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Problème à résoudre
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En substituant (3) dans (13), il vient que :
V (k) =
CPO :
max
k 0 ∈[0,(1−δ)k]
∂V (k)
≡ −a
∂k 0
1−γ
γ
γ
(1 − δ)k − k 0
0
a
+ b + βV (k )
1−γ
(
(1 − δ)k − k 0
a
+b
1−γ
γ−1
∂V (k 0 )
+β
∂k 0
(14)
)
=0
(15)
Pas de condition de transversalité
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Théorème de l’enveloppe et Equation d’Euler
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Théorème de l’enveloppe :
γ−1
∂V (k)
(1 − δ)k − k 0
= a(1 − δ) a
+b
∂k
1−γ
(16)
En décalant, il suit que :
(1 − δ)k 0 − k 00
∂V (k 0 )
=
a(1
−
δ)
a
+b
∂k 0
1−γ
γ−1
(17)
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Dérivation de l’équation d’Euler
Dr
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En substituant (17) dans (15), on dérive ainsi l’équation d’Euler intertemporelle :
γ−1
γ−1
(1 − δ)k 0 − k 00
(1 − δ)k − k 0
+b
= β(1 − δ) a
+b
a
1−γ
1−γ
(18)
Puisque c = (1 − δ)k − k 0 , il vient que les équations (12) et (18) sont
équivalentes
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Travail Aspirant-L
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Sommaire
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Travail Aspirant-L
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Travail Aspirant-L
Modèle de Ramsey
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Considérons à présent un modèle de croissance néoclassique (modèle de croissance optimale), en référence au modèle de Ramsey (1928)
Quelques réaménagements et précautions :
la fonction d’utilité devient plus simple (forme logarithmique) : u(ct ) = ln (ct )
la fonction de production est de type Cobb-Douglas : f (kt ) = ktα
Problème du planificateur
la contrainte de ressource est telle que : kt+1 = f (kt ) − ct + (1 − δ)kt
Ainsi, sous forme Lagrangienne, le problème devient :
max ∞
{ct ,kt+1 }t=0
∞
X
β t ln (ct ) + λt [ktα − ct + (1 − δ)kt − kt+1 ]
(19)
t=0
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Travail Aspirant-L
Aspirant Grace Kiala
Dr
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Travail à faire [1]. Rédiger un papier de 4 à 8 pages pour répondre proprement et
explicitement aux différentes questions.
Appliquez le théorème de Kuhn-Tucker et dérivez l’équation d’Euler
Quelles sont les variables d’état et les variables de contrôle
Ecrivez le problème (19) sous la forme récursive (Equation de Bellman)
Partant du problème récursif, dérivez l’équation d’Euler, après avoir :
calculé les CPO
appliqué le théorème de l’enveloppe
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Travail Aspirant-L
De la fonction CES à la fonction Leontief
Dr
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Dans l’exercice précédent, remarquons que l’aspirant Grace Kiala devra considérer
une fonction d’utilité de type logarithmique
Pour votre gouverne, la fonction d’utilité est un concept utilisé par les économistes
pour décrire mathématiquement les préférences d’un individu ou d’un ménage
représentatif (Debreu, 1954)
Supposons à présent, en référence aux travaux de Arrow, Chenery, Minhas et
Solow (1961, p.230) que nous ayons une fonction d’utilité (à valeur dans R)
définie comme suit :
1
−ρ
−ρ − ρ
ut = γ αc1,t
+ (1 − α)c2,t
,
(20)
avec γ > 0 ; 0 ≤ α ≤ 1 ; ρ ≥ 0
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Travail Aspirant-L
Aspirant Roger Emone
Dr
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explicitement aux différentes questions
Montrez que pour :
ρ → 0, la fonction d’utilité définie par (20) devient :
ut = γ(c1,t )α (c2,t )1−α
(21)
ρ → ∞, la fonction d’utilité définie par (20) devient :
ut = γ min {c1,t , c2,t }
= min
c1,t c2,t
,
γ
γ
(22)
En considérant les mêmes données que dans le modèle de Gale, sauf pour la
fonction d’utilité, où l’on considère à présent (21) : (i) distinguez les variables
d’état et de contrôle ; (ii) dérivez l’équation fonctionnelle de Bellman
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Travail Aspirant-L
Economie à la Robinson Crusoe
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En référence au roman de Daniel Defoe (1719), considérons une économie à
la Robinson Crusoe, où l’individu maximise une fonction d’utilité telle que :
max ∞
{ct ,kt+1 }t=0
∞
X
β t u(ct )
(23)
t=0
sujet à : kt+1 = f (kt ) − ct + (1 − δ)kt
Pour votre gouverne, la fonction de production est un concept technique utilisé
par les économistes pour décrire mathématiquement la relation qui associe la
quantité produite à celle de différents éléments nécessaires à cette production
Contrairement aux exemples précédents, dans ce cas la fonction d’utilité u(ct )
et la fonction de production f (kt ), toutes à valeurs réelles, sont exprimées de
façon générique, i.e. elles ne sont pas été explicitement formalisées
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Travail Aspirant-L
Aspirant Moı̈se Mbikayi
Dr
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explicitement aux différentes questions.
Enoncez le théorème de Benveniste-Scheinkman (1979), et en fournissez une
preuve rigoureuse
En considérant le modèle décrit dans le cas d’une économie à la Robinson
Crusoé :
distinguez les variables d’état et de contrôle
dérivez l’équation fonctionnelle de Bellman
Partant de l’équation de Bellman :
appliquez le théorème de Benveniste-Scheinkman
dérivez l’équation d’Euler
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Ernst F.F. Zermelo

Du Lagrangien à l`équation de Bellman

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