Equations de Hamilton-Jacobi et contr^ole optimal

Equations de Hamilton-Jacobi
et contro^ le optimal
Radu Ignat et Arnaud Basson
Expose de ma^trise sous la direction de
Beno^t Perthame
11 juin 2001
Table des matieres
Introduction
2
1 Methode des caracteristiques
2
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
E quations caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cas du probleme de Cauchy { Lien avec la mecanique .
Conditions au bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Construction de la solution au voisinage de la frontiere .
Singularite au bout d'un temps ni . . . . . . . . . . . .
2 Solutions de viscosite { Probleme d'unicite
2.1
2.2
2.3
2.4
Introduction aux solutions generalisees .
Solutions de viscosite . . . . . . . . . . .
Coherence avec les solutions classiques .
Unicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Theorie du contr^ole { Programmation dynamique
3.1
3.2
3.3
3.4
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Introduction a la theorie du contr^ole . . . . . . . . . .
Programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . .
E quation de Hamilton-Jacobi-Bellman . . . . . . . . .
Existence d'une solution pour un Hamiltonien convexe
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2
3
3
4
6
7
. 7
. 8
. 9
. 10
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12
12
13
14
17
Conclusion
21
References
21
1
Introduction
Le but de cet expose est d'etudier la denition des solutions des equations de HamiltonJacobi. On montre d'abord que la notion classique de solution est insusante, en utilisant la
methode des caracteristiques qui met en evidence l'apparition des singularites. On s'interesse
ensuite a la denition de solutions generalisees. On introduit la notion de solutions de viscosite, et
on etudie leurs proprietes (existence et unicite). Pour prouver l'existence des solutions de viscosite
on passe par l'intermediaire de la theorie du contr^ole des equations dierentielles ordinaires qui
fournit une solution pour un Hamiltonien convexe.
Reference : le texte de cet expose s'appuie essentiellement sur 5].
1 Methode des caracteristiques
On etudie le probleme de Dirichlet pour l'equation de Hamilton-Jacobi :
H (ru(x) u(x) x) = 0 dans U
u=g
sur ; @U
(1)
ou U est un ouvert de Rn , H : Rn R Rn ! R est une fonction donnee (le Hamiltonien),
et u : U ! R est la fonction inconnue. On impose une condition au bord sur une partie de
@U . On note : H (p z x), avec p = (p1 : : : pn ), et x = (x1 : : : xn ) rp H = (Hp1 : : : Hpn ),
rx H = (Hx1 : : : Hxn ). On supposera en outre que toutes les donnees sont des fonctions regulieres.
1.1 E quations caracteristiques
La methode des caracteristiques consiste a introduire des chemins dans U (appeles caracteristiques) le long desquels on va resoudre l'equation. Plus precisement, on va ecrire l'equation
veriee par u le long du chemin, et on prendra des chemins qui partent d'un point frontiere ou on
conna^t la valeur de u gr^ace a g pour avoir une condition initiale. Toutefois, comme l'equation
(1) fait intervenir ru, on sera contraint de rajouter une equation pour pouvoir calculer non
seulement u le long du chemin, mais aussi son gradient.
Considerons donc une solution reguliere u de l'equation, et un chemin ~x : I ! U (I intervalle
de R). On note
~x(s) = (x1 (s) : : : xn (s))
z (s) = u(~x(s))
p~(s) = ru(~x(s)) = (p1 (s) : : : pn (s))
et les derivees par rapport a s seront notees avec un point. On a
z_ (s) =
p_i (s) =
Or dxd i (H (ru u x)) = 0, i.e.
n @H
X
n @u
X
j
(~x)x_
j =1 @xj
n @2u
X
j
@xj @xi (~x)x_ :
j =1
u + @H (ru u x) @u + @H (ru u x) = 0
(ru u x) @x@ @x
@p
@xi @xi
j
i
j @z
j =1
On obtient donc un systeme ferme d'equations sur z , p~, ~x en imposant
2
@H (p~ z ~x):
x_ j (s) = @p
j
2
En eet, on deduit de ces egalites le systeme des 2n +1 equations caracteristiques de l'EDP (1) :
8
>
< (a) p~_ = ; @H
@z (p~ z ~x)p~ ; rx H (p~ z ~x)
z_ = p~ rp H (p~ z ~x)
>
: (b)
(c) ~x_ = rp H (p~ z ~x)
(2)
En resume :
Proposition 1.1 Si H est de classe C 1 et u est une solution de classe C 2 de l'EDP (1) sur U
et si ~x est un chemin dans U satisfaisant (2c) alors (2a) et (2b) sont veries.
1.2 Cas du probleme de Cauchy { Lien avec la mecanique
Voyons la forme des equations caracteristiques dans le cas du probleme de Cauchy :
@u + H (r u x) = 0
x
@t
dans U R
(3)
U est un ouvert de Rn , H : Rn R ! R est donnee (on notera respectivement p et x ses variables)
et u : U R ! R est la fonction inconnue (de variables x et t). On ajoute une condition initiale :
u(x 0) = g(x) sur U:
C'est un cas particulier du probleme de Dirichlet en dimension n +1, en eet l'equation se reecrit
H~ (ru u y) = 0
avec
H~ (q z y) = pn+1 + H (p x)
y = (x t) 2 Rn R q = (p pn+1 ) 2 Rn R:
Les equations caracteristiques s'ecrivent donc :
~p_ = ;rx H (p~ ~x)
(4)
p_n+1 = 0
z_ = ~q rq H = ~p rp H + pn+1
~x_ = rp H
(5)
et t_ = 1 ce qui permet d'identier le temps t et la variable s. Les equations (4) et (5) sont appelees
les equations de Hamilton. En mecanique analytique 2le chemin ~x(t) represente la trajectoire, p~
l'impulsion et H l'Hamiltonien est l'energie : H = 2p~m + V (~x). Les equations de Hamilton ne
sont autres que ~p = m~v et ~p_ = ;rV . On a pn+1 = ;H (p~ ~x) et p_n+1 = 0, ce2 qui traduit
la conservation de l'energie. Enn, z represente l'action, on a z_ = p~ ~v ; H = 2p~m ; V = L le
Lagrangien, et on retrouve bien que l'action z est l'integrale du Lagrangien (pour plus de details,
cf. 1]).
1.3 Conditions au bord
On revient au cas du probleme de Dirichlet. On veut resoudre l'equation en construisant la
solution u le long des chemins ~x veriant les equations caracteristiques, en partant du bord de
U . On va donc etudier la construction de u au voisinage d'un point x0 de @U . Pour simplier, on
suppose qu'au voisinage de ce point, la frontiere de U est \droite", i.e. incluse dans Rn;1 f0g,
et que U est \au dessus" de @U i.e. localement contenu dans Rn;1 R+ . On peut toujours, si
U est susamment regulier, se ramener a ce cas par un dieomorphisme local qui \aplatit" la
frontiere de U , car un tel dieomorphisme ne modie pas la forme de l'equation (1).
3
On cherche des conditions initiales pour les equations caracteristiques : p~(0) = p0 , z (0) = z 0 ,
et ~x(0) = x0 . Necessairement, z 0 = g(x0 ). On veut avoir
u(x1 : : : xn;1 0) = g(x1 : : : xn;1 0) (condition de Dirichlet)
d'ou
@u 0 @g 0
@xi (x ) = @xi (x ) 1 i n ; 1
et de plus il faut H (p0 z 0 x0 ) = 0 pour realiser l'equation. Ceci fournit n equations pour
p01 : : : p0n :
8 z0 = g(x0)
< 0
0
: pHi (=p0 gzxi0(xx0)) = 0 1 i n ; 1
Si le triplet (p0 z 0 x0 ) verie ces conditions, il est dit admissible. Remarquons que x0 est donne,
z 0 et les n ; 1 premieres composantes de p0 sont determines de fa%con unique, mais pour p0n il
peut y avoir zero, une ou plusieurs solutions.
On suppose dans la suite que (p0 z 0 x0 ) est admissible. Cependant on a besoin de conditions
initiales pour les equations caracteristiques non seulement pour le chemin partant de x0 , mais
aussi pour tous les points frontiere au voisinage de x0 . On recherche donc, pour y = (y0 0) 2 @U
au voisinage de x0 , un triplet (q(y) g(y) y) admissible : la fonction q doit verier les equations
qi (y) = gxi (y) (1 i n ; 1)
H (q(y) g(y) y) = 0:
Proposition 1.2 Soit (p0 z0 x0 ) un triplet tel que H (p0 z0 x0 ) = 0. On suppose que
Hpn (p0 z 0 x0 ) =
6 0. Alors il existe une fonction q reguliere, denie au voisinage de x0 dans
@U telle que pour tout y proche de x0 , le triplet (q(y) g(y) y) soit admissible.
Demonstration. On applique le theoreme des fonctions implicites a la fonction G(p y) denie au
voisinage de (p0 x0 ) et a valeurs dans Rn par
Gi (p1 : : : pn y1 : : : yn ) = pi ; gxi (y1 : : : yn;1 0) (1 i n ; 1)
Gn (p1 : : : pn y1 : : : yn ) = H (p g(y1 : : : yn;1 0) y):
On a G(p0 x0 ) = 0 la matrice
0
B
@p G(p0 x0 ) = B
B@
1
0
0
...
1
0
..
.
0
Hp1 (p0 z 0 x0 ) Hpn;1 (p0 z 0 x0 ) Hpn (p0 z 0 x0 )
1
CC
CA
est inversible si et seulement si Hpn (p0 z 0 x0 ) 6= 0. Alors au voisinage de x0 on tire p fonction
(reguliere) de y (de fa%con unique). En se restreignant aux y = (y0 0), on obtient la fonction q
cherchee.
1.4 Construction de la solution au voisinage de la frontiere
Soit (p0 z 0 x0 ) un triplet admissible tel que Hpn (p0 z 0 x0 ) 6= 0. D'apres le theoreme de
Cauchy-Lischitz, on peut resoudre les equations caracteristiques (2) pour chaque y = (y0 0) au
voisinage de x0 avec comme donnee initiale (q(y) g(y) y). On obtient donc des fonctions p~(y s),
z (y s) et ~x(y s).
Lemme 1.3 L'application (y s) 7! ~x(y s) est inversible au voisinage de (x0 0) : Il existe un
intervalle ouvert I contenant 0, un voisinage ouvert W de x0 dans Rn;1 et un voisinage ouvert
V de x0 dans Rn veriant : pour tout x dans V , il existe un unique (y s) 2 W I tel que
x = ~x(y s) de plus les applications x 7! s et x 7! y sont regulieres.
4
Demonstration. Il sut de prouver que la dierentielle
de ~x en (x0 0) est inversible, et le theoreme
i
@x (x0 0) = ij car ~x(y 0) = (y 0), et par (2c),
d'inversion locale fournit le resultat. On a @y
j
i
0
0
0
x_ = Hpi (p z x ) donc
01
BB
0
D~x(x 0) = B
B@
0
0
...
Hp1 (p0 z 0 x0 )
..
.
..
.
1
0 : : : 0 Hpn (p0 z 0 x0 )
1
CC
CC
A
est inversible.
On peut maintenant construire la solution u de l'equation (1), en posant
u(x) = z (y(x) s(x)) = z (~x;1 (x))
~v(x) = ~p(y(x) s(x)) = p~(~x;1 (x)):
(6)
(7)
Theoreme 1.4 Sous les hypotheses suivantes :
(i) (p0 z 0 x0 ) est admissible,
(ii) Hpn (p0 z 0 x0 ) 6= 0,
(iii) Les fonctions p~, z , ~x sont solutions des equations caracteristiques avec les conditions initiales p~(y 0) = ~q(y), z (y 0) = g(y), ~x(y 0) = y,
la fonction u denie ci-dessus est reguliere et verie
H (ru u x) = 0 dans V
u=g
sur ; \ V:
Demonstration. 1. Posons
f (y s) = H (p~(y s) s(y s) ~x(y s)):
La fonction f est nulle au voisinage de (x0 0) en eet f (y 0) = H (q(y) g(y) y) = 0 et par (2) :
@f = @~p r H + @z @H + @~x r H
@s
@s p @s @z @s x
= rp H p~_ + @H
@z p~ + rx H
= 0:
Donc H (~v(x) u(x) x) = 0.
2. Montrons que ~
v(x) = ru(x) sur V . On a
;1 @z @yi @z @s
@u = nX
@xj i=1 @yi @xj + @s @xj :
@z = ~p @~x (voir
En utilisant les equations caracteristiques (2b) et (2c) et en admettant que @y
@yi
i
etape 3. de la preuve), on en deduit que
;1
!
@u = p~ nX
@~x @yi + @~x @s
@xj
i=1 @yi @xj @s @xj
@~x = p :
= p~ @x
j
j
3.
@z = ~p @~x . Pour ce faire, on note
Montrons le resultat admis en 2. : @y
@yi
i
@z ; p~ @~x :
ri (y s) = @y
@y
i
5
i
@g ; ~q(y ) ei = @g ; q i (y ) = 0. Il reste a prouver que r_ i = 0. On a
On a ri (y 0) = @y
@yi
i
or z_ = ~p ~x_ donc
On en deduit que
@ri = @ 2 z ; @~p @~x ; p~ @ 2~x @s @s@yi @s @yi
@s@yi
@ 2 z = @~p @~x + p~ @ 2~x :
@yi @s @yi @s
@yi @s
@ri = @~p @~x ; @~p @~x
@s
@yi @s @s @yi
@~p r H + @H p~ @~x + r H @~x :
= @y
p
x
@z @yi
@yi
i
Comme H (p~ z ~x) = 0, on a egalement
et il vient
@~p
@z @H @~x
@yi rp H + @yi @z + @yi rx H = 0
@ri = @H p~ @~x ; @z = ; @H ri :
@s @z
@yi @yi
@z
Ainsi pour tout y, ri est solution d'une equation dierentielle lineaire et s'annule en s = 0, d'ou
ri = 0.
4. Enn, u = g sur ; : ceci est evident par construction de u.
Remarque : regularite des fonctions : dans tous les calculs precedents, il sut de supposer H et
g de classe C 2 , et on obtient alors des solutions ~x, p~, z , u, etc, de classe C 2 gr^ace aux proprietes
de regularite dans les theoremes d'inversion locale et de Cauchy-Lipschitz (voir 5]).
Cas du probleme de Cauchy :
ut + H (rx u x) = 0:
Un triplet (p0 p0n+1 z 0 x0 ) est admissible si z 0 = g(x0 ), p0 = rg(x0 ) et p0n+1 = ;H (p0 x0 ).
La condition H~ pn+1 6= 0 est toujours veriee. Ainsi pour construire u, il reste a resoudre les
equations de Hamilton (4) et (5) et a integrer l'equation
z_ = p~ rp H + pn+1 :
1.5 Singularite au bout d'un temps ni
La construction precedente, faite au voisinage de tout point x0 de @U (les recollements des
voisinages des dierents points de @U se font bien), donne une solution u denie au voisinage de
la frontiere de U . Dans le cas du probleme de Cauchy, on obtient une solution u denie pour t
proche de 0. Cependant, en general, on ne peut prolonger cette solution a tout l'ouvert U . Plus
precisement, les singularites se produisent lorsque des caracteristiques s 7! ~x(s) issues de points
x0 distincts se croisent (cf. g. 1) on a alors \2 valeurs" pour le gradient de u.
6
Donnons un exemple : U = B(0 1) dans R2 ,
H (p z x) = jpj2 ; 1
i.e. l'equation s'ecrit
jruj2 = 1
avec la condition au bord u = 0 sur C(0 1). On a ~p_ = 0, z_ = 2jp~j2 et ~x_ = 2p~. Soit x0 2 C(0 1),
on a z 0 = 0 et p0 = ;x0 , d'ou
~p = ;x0 ~x = ;2tx0 + x0 z = 2t
donc les caracteristiques sont les rayons orientes vers l'origine, et u = 1 ; jxj. On voit que ru a
une singularite a l'origine.
Dans le cas du probleme de Cauchy, on considere par exemple l'equation
ut + jrx uj2 = 0 (x 2 R2 )
avec la condition initiale
u(0 x) = 1 +1jxj2 :
On trouve alors
0
p~ = p0 = (1 +;j2xx0 j2 )2 z = z 0 + tp0 et ~x = x0 + 2tp0. Ainsi, on voit que les caracteristiques se croisent en un temps ni,
d'ou une discontinuite de ru.
2 Solutions de viscosite { Probleme d'unicite
Dans cette partie on etudie l'existence, l'unicite et quelques proprietes pour un type de
solutions generalisees (faibles) du probleme de Cauchy pour l'equation de Hamilton-Jacobi :
@u + H (rx u x) = 0 dans Q = Rn ]0 1
@t
(8)
u=g
sur @Q = Rn ft = 0g
Ici les donnees sont les fonctions continues H : Rn Rn ! R et g : Rn ! R et on cherche
u : Rn 0 +1! R, u = u(x t). Par la methode des caracteristiques, on a vu qu'en general,
il n'existe pas de solution reguliere denie pour tout t 0. Pour eliminer cet inconvenient,
M. Crandall et P.-L. Lions ont introduit la notion de solution de viscosite. Notons que l'on peut
traiter aussi le probleme de Dirichlet associe a l'equation de Hamilton-Jacobi (cf. 3], 4]), mais
pour simplier l'etude, on se restreint ici au probleme de Cauchy.
2.1 Introduction aux solutions generalisees
La premiere idee est de regulariser (8) (qui est une EDP non lineaire du premier ordre)
pour avoir un nouveau probleme qui possede une solution reguliere (cette methode s'appelle la
viscosite evanescente ). On considere donc, pour " > 0, le probleme suivant :
@u" + H (rx u" x) ; "&x u" = 0 dans Q
@t
u" = g
sur @Q
(9)
On admet que (9), qui est une EDP quasilineaire parabolique du second ordre, a une solution
reguliere u" sur Q. De plus, on trouve des estimations uniformes pour ses solutions i.e. pour tout
K compact de Q, il existe c > 0 tel que
ku" kL1(K ) krx u" kL1(K ) 7
@u" @t L1(K ) c
pour tout " > 0 susamment petit (ici on a suppose que H et g sont regulieres) (cf. 7]). Donc
la famille fu" g" est localement bornee et equicontinue, d'ou par le theoreme d'Ascoli, l'existence
d'une sous-suite "j ;! 0 telle que u"j ;! u localement uniformement sur Q, et la limite u est
dans C (Rn 0 +1). Bien evidemment, on s'attend a ce que u soit une solution \faible" du
probleme (8) mais on sait seulement que u est continue dans Q et on n'a pas d'information sur
rx u et @u
@t (dans quel sens ces derivees existent-elles ?).
Dans les annees 1960, plusieurs auteurs ont montre l'existence d'une fonction u continue et
localement lipschitzienne sur Q qui satisfait
@u + H (rx u x) = 0 p.p. dans Q
@t
u=g
sur @Q
(10)
Malheureusement, ce type de solution generalisee est trop faible pour qu'on ait l'unicite et la
stabilite par passage a la limite dans L1 . En eet, considerons le probleme
@u + @u 2 = 0 p.p. dans R]0 +1
@t
@x
sur R ft = 0g
u=0
Il existe au moins deux solutions : la solution nulle, mais aussi la fonction
v(x t) =
si jxj t
;t + jxj si jxj < t:
0
Un autre exemple dans ce sens est le premier exemple du paragraphe 1.5 :
ju0 j = 1
u(0) = u(1) = 0
p.p. dans ]0 1
(11)
Ici on peut construire une innite des solutions generalisees : pour n 1,
un (x) =
x ; 2nj;1 si x 2 22nj 2j2+1
n
n;1 ; 1:
j +1
2j +1 2j +2 j = 0 1 ::: 2
2n;1 ; x si x 2
2n 2n
On remarque que 0 un (x) 21n sur 0 1]. Donc un ;! 0 uniformement sur 0 1], mais 0 n'est
pas solution de (11).
Pour avoir l'unicite, on va introduire une nouvelle notion de solution appelee solution de
viscosite.
2.2 Solutions de viscosite
L'idee qui est apparue au debut des annees 1980 consiste a xer une fonction test reguliere
' et de passer de (9) a (8) quand " tend vers 0, en mettant les derivees sur ' et en utilisant le
principe du maximum pour u ; '.
Denition 2.1 Une fonction u :
Rn 0 1! R est appelee sous-solution de viscosite
(resp. sur-solution de viscosite) du probleme (8) si :
i. u est bornee et uniformement continue,
ii. u = g sur Rn ft = 0g,
iii. pour tout ' 2 C 1 (Rn ]0 1), si u ; ' a un maximum local en (x0 t0 ) 2 Rn ]0 1,
alors
't (x0 t0 ) + H (rx '(x0 t0 ) x0 ) 0
(resp. si u ; ' a un minimum local en (x0 t0 ) 2 Rn ]0 1, alors
't (x0 t0 ) + H (rx '(x0 t0 ) x0 ) 0):
Si u est a la fois sous-solution et sur-solution alors on dit que u est une solution de viscosite de
(8).
8
Motivation : On va montrer que la solution u construite avec la methode de la viscosite evanescente est en fait une solution de viscosite. On va verier la condition iii. (la condition ii.
est bien s^ur satisfaite, mais pour avoir i. on doit demander des hypotheses supplementaires sur
H , voir 7]). Soit ' 2 C 1 (Rn ]0 1), on suppose que u ; ' a un maximum local strict en
(x0 t0 ) 2 Rn ]0 1. On montre que pour "j > 0 assez petit, u"j ; ' a un maximum local en
(x"j t"j ) 2 Rn ]0 1 et
lim (x t ) = (x0 t0 ):
j !1 "j "j
En eet, il existe r > 0 tel que
max
(u ; ') < (u ; ')(x0 t0 )
@B
ou B = B ((x0 t0 ) r) Rn+1 . Or u"j ;! u uniformement sur B d'ou
max@B (u"j ; ') < (u"j ; ')(x0 t0 )
pour "j assez petit. Donc u"j ; ' atteint un maximum local en un point de B note (x"j t"j ) en faisant tendre r vers 0, on obtient le resultat. On a de plus
rx u"j (x"j t"j ) = rx '(x"j t"j )
On en deduit que
@u"j (x t ) = @' (x t )
@t "j "j @t "j "j
&u"j (x"j t"j ) &'(x"j t"j ):
@' (x t ) + H ;r '(x t ) x = " &u"j (x t ) " &'(x t ):
x "j "j "j
j
"j "j
j
"j "j
@t "j "j
Comme ' reguliere et H continue, en faisant tendre "j vers 0, il vient
@' (x t ) + H (r '(x t ) x ) 0:
x 0 0 0
@t 0 0
Pour le cas general, i.e. lorsque u ; ' a un maximum local en (x0 t0 ), on prend
'~(x t) = '(x t) + jx ; x0 j2 + (t ; t0 )2
de sorte que u ; '~ ait un maximum local strict en (x0 t0 ), d'ou
@ '~ (x t ) + H (r '~(x t ) x ) 0:
x 0 0 0
@t 0 0
Comme les derivees du premier ordre de ' et '~ coincident en (x0 t0 ), on obtient iii. (pour le
minimum local, on applique la m^eme technique).
2.3 Coherence avec les solutions classiques
Ici on va verier que la notion de solution de viscosite est coherente avec celle de solution
classique de (8).
D'abord, on remarque que toute solution u 2 C 1 (Rn 0 1) qui satisfait (8) et qui est
bornee et uniformement continue, est une solution de viscosite.
On montre maintenant la reciproque i.e. toute solution de viscosite reguliere est une solution
classique.
Lemme 2.2 Soit u : Rn ! R une fonction continue et soit x0 2 Rn tel que u est dierentiable
en x0 . Alors il existe v 2 C 1 (Rn ) telle que u(x0 ) = v(x0 ) et u ; v a un maximum strict en x0 .
9
Preuve. On se ramene au cas x0 = 0, u(0) = 0, rx u(0) = 0 en considerant
u~(x) = u(x + x0 ) ; u(x0 ) ; rx u(x0 ) x:
Puis on ecrit u(x) = jxj1 (x), avec 1 : Rn ! R continue et 1 (0) = 0. On pose pour r 0
2 (r) = xmax
j (x)j:
2B(r) 1
La fonction 2 : 0 1 ! 0 1 est continue, croissante et 2 (0) = 0. Finalement on considere
v(x) =
Z 2jxj
jxj
2 (r)dr + jxj2 :
Cette fonction satisfait les conditions demandees : v(0) = u(0), rx v(0) = rx u(0) et 8x 6= 0,
u(x) ; v(x) < u(0) ; v(0).
Theoreme 2.3 Soit u une solution de viscosite de (8) et (x0 t0) 2 Rn ]0 1 un point ou u
est dierentiable. Alors ut (x0 t0 ) + H (rx u(x0 t0 ) x0 ) = 0.
Preuve. En appliquant le lemme precedent, on trouve v 2 C 1 telle que u ; v a un maximum
strict en (x0 t0 ). Soit (" )" la suite usuelle regularisante de Rn+1 . On pose '" = " v. Alors
'" 2 C 1 (Q) et '" ;! v, rx '" ;! rx v, '"t ;! vt uniformement au voisinage de (x0 t0 ).
On deduit que u ; ' a un maximum local en un point (x" t" ), avec (x" t" ) ;! (x0 t0 ) quand
" ;! 0. Par suite,
@'" (x t ) + H (r '" (x t ) x ) 0:
x
" " "
@t " "
En faisant tendre " vers 0, comme les derivees de u et v co(ncident en (x0 t0 ), on obtient :
@u (x t ) + H (r u(x t ) x ) 0:
x 0 0 0
@t 0 0
Pour l'inegalite inverse, on raisonne de m^eme a l'aide d'une fonction v~ 2 C 1 telle que u ; v~ a un
minimum strict en (x0 t0 ).
2.4 Unicite
Le but de cette section est de montrer l'unicite de la solution de viscosite pour le probleme
(8). On va traiter un cas plus general : pour T > 0, on considere le probleme
@u + H (rx u x) = 0
@t
u=g
sur Rn ]0 T ]
sur Rn ft = 0g
(12)
On dit que u est une solution de viscosite de (12) si u est bornee et uniformement continue,
u = g sur Rn ft = 0g et u verie les inegalites de la denition 2.1 quand u ; ' a un maximum
ou un minimum local en (x0 t0 ) 2 Rn ]0 T . En fait, gr^ace au lemme suivant, on peut admettre
que t0 = T sans rien changer.
Lemme 2.4 Soit u une solution de viscosite de (12) et ' telle que u ; ' ait un maximum (resp.
minimum) local en (x0 t0 ) 2 Rn ]0 T ]. Alors 't (x0 t0 ) + H (rx '(x0 t0 ) x0 ) 0 (resp. 0).
Preuve. Supposons que u ; ' ait un maximum local en (x0 T ). Comme precedemment, on peut
supposer qu'il s'agit d'un maximum local strict. Pour x 2 Rn et 0 < t < T , posons
'" (x t) = '(x t) + T "; t :
Alors pour " > 0 susamment petit, u ; '" a un maximum local en (x" t" ) ou 0 < t" < T , et
(x" t" ) ;! (x0 T ). Par denition,
@'" (x t ) + H (r '" (x t ) x ) 0
x
" " "
@t " "
10
d'ou
@' (x t ) + " + H (r '(x t ) x ) 0:
x " " "
@t " " (T ; t" )2
Si " tend vers 0, on obtient
@' (x T ) + H (r '(x T ) x ) 0:
x 0
0
@t 0
On montre maintenant l'unicite des solutions de viscosite :
Theoreme 2.5 Si H satisfait les hypothese de type Lipschitz suivantes :
(p x) ; H (q x)j cjp ; qj
9c > 0 8x y p q 2 Rn jjH
H (p x) ; H (p y)j cjx ; yj(1 + jpj)
alors il existe au plus une solution de viscosite de (12).
Preuve. 1. Supposons qu'il existe deux solutions de viscosite u et u~ de (12) telles que
sup (u ; u~) = > 0:
Rn0T ]
On xe ", 2 ]0 1 et on considere pour x y 2 Rn , t s 2 0 T ] la fonction
;
;
(x y t s) = u(x t) ; u~(y s) ; (t + s) ; 1 jx ; yj2 + (t ; s)2 ; " jxj2 + jyj2 :
"2
Alors il existe (x0 y0 s0 t0 ) 2 R2n 0 T ]2 tel que
(x0 y0 s0 t0 ) = R2nmax
(x y s t):
0T ]2
2.
On peut choisir " 2 ]0 1 petits pour que
(x0 y0 s0 t0 ) nsup (x x t t) 2 :
R 0T ]
Comme u et u~ sont bornees et que (x0 1y0 t0 s0 ) (0 0 0 0), on a : jx0 ; y0j jt0 ; s0 j = O(")
quand " ;! 0 et " (jx0 j + jy0 j) = O(" 2 ). En utilisant (x0 y0 t0 s0 ) (x0 x0 t0 t0 ) et les
estimations precedentes, on obtient jx0 ; y0 j jt0 ; s0 j = o(").
3. On note ! (:) (resp !
~ (:)) le module d'uniforme continuite de u (resp. u~), i.e.
ju(x t) ; u(y s)j ! (jx ; yj + jt ; sj) pour x y 2 Rn et t s 2 0 T ], avec !(r) ;! 0 quand r ;! 0. En utilisant les conditions initiales,
on deduit des majorations precedentes que
u(x t ) ; u~(y s ) !(t ) + !~ (t ) + !~ (o(")) :
0 0
0 0
0
0
2
Si " > 0 est assez petit, on aura 4 !(t0 ) + !~ (t0 ), d'ou t0 > 0. Pareillement s0 > 0.
4. On prend
;
;
'(x t) = u~(y s ) + (t + s ) + 1 jx ; y j2 + (t ; s )2 + " jxj2 + jy j2 :
0
0
0
"2
Alors la fonction (x t) 7! (x y0 t s0 ) = (u ; ')(x t) a un maximum en (x0 t0 ), d'ou
@' (x t ) + H (r '(x t ) x ) 0
x 0 0 0
@t 0 0
0
et par suite
0
0
+ 2(t0";2 s0 ) + H "22 (x0 ; y0 ) + 2"x0 x0 0:
11
De m^eme si on prend
;
;
'~(y s) = u(x0 t0 ) ; (t0 + s) ; "12 jx ; y0 j2 + (t0 ; s)2 ; " jx0 j2 + jyj2 alors la fonction (y s) 7! ;(x0 y t0 s) = (~u ; '~)(y s) a un minimum en (y0 s0 ) d'ou
@ '~ (y s ) + H (r '~(y s ) y ) 0
x 0 0 0
@t 0 0
2
2(
t
0 ; s0 )
; + "2 + H "2 (x0 ; y0 ) ; 2"y0 y0 0:
5.
On deduit de 4. que
2
2
2 H "2 (x0 ; y0) ; 2"y0 y0 ; H "2 (x0 ; y0 ) + 2"x0 x0 :
En utilisant les hypotheses sur H , il vient
j
x
0 ; y0 j
c" (jx0 j + jy0 j) + cjx0 ; y0j 1 + "2 + " (jx0 j + jy0 j) :
Lorsque " tend vers 0, comme jx0 ; y0 j = o(") et "(jx0 j + jy0 j) = O("1=2 ), on arrive a une
contradiction : 0 < 0.
References : on trouvera des theoremes d'unicite plus elabores dans 3], 4], 7].
3 Theorie du contr^ole { Programmation dynamique
On a vu qu'une methode pour montrer l'existence d'une solution de viscosite est de regulariser
(8) par(9), de prouver l'existence d'une solution reguliere u" pour (9) et ensuite de faire de bonnes
estimations uniformes sur u" . Cependant cette methode necessite des connaissances technique
sur les bornes de la solution de l'equation de la chaleur, ce qui n'est pas le but de cet expose.
On va montrer | dans un cas moins general | l'existence d'une solution viscosite pour (8)
a l'aide de la theorie du contr^ole pour les equations dierentielles ordinaires et de la methode
de programmation dynamique. Une chose remarquable est que la denition de la solution de
viscosite est une consequence des conditions optimales de la theorie du contr^ole.
3.1 Introduction a la theorie du contr^ole
Dans cette section, on va etudier la contr^olabilite de la solution x de l'EDO :
x_ (s) = f (x(s) (s)) dans ]0 t
(13)
x(t) = x:
Ici, x 2 Rn est le point terminal de la solution x() a l'instant terminal t T , ou T > 0 est
xe f : Rn A ! Rn est une fonction donnee qui est bornee, continue et lipschitzienne par
rapport a la premiere variable et A est un sous-ensemble compact de Rm . La fonction est le
contr^ole, i.e. une facon d'ajuster les parametres de A quand le temps decroit (dans notre cas) et
qui aecte la dynamique du systeme donnee par (13). On note
A = f : 0 T ] ! A j est mesurableg
l'ensemble des contr^oles admissibles. Il resulte des hypotheses ci-dessus que pour tout contr^ole
2 A, l'EDO (13) a une solution unique, lipschitzienne sur l'intervalle 0 t] et qui verie
l'equation presque partout sur ]0 t. On dit que cette solution x = x est la reponse du systeme
au contr^ole et x(s) est l'etat du systeme a l'instant s.
12
Notre but est de trouver le contr^ole qui rend le systeme optimal. Pour denir le sens du
mot \optimal", on doit introduire un critere de co^ut. Pour x 2 Rn et 0 t T , on considere
pour chaque contr^ole 2 A le co^ut :
Cxt () =
Zt
0
h (x(s) (s)) ds + g (x(0))
ou x = x la solution de (13) et h : Rn A ! R, g : Rn ! R sont des fonctions donnees qui
verient pour un C > 0 les conditions :
8 jh(x a)j C jg(x)j C
<
n
: jjhg((xx) a;) g;(yh)(jyaC)jjx ;C jyxj:; yj 8x y 2 R 8a 2 A
De plus, on suppose que h est continue sur Rn A. Maintenant on veut trouver (si c'est possible)
un contr^ole qui minimise la fonction de co^ut parmi les contr^oles admissibles, pour chaque
donnee x 2 Rn , t 2 0 T ].
3.2 Programmation dynamique
La methode de la programmation dynamique consiste a resoudre le probleme precedent en
considerant la fonction
n
u(x t) = inf
2A Cxt () (x 2 R 0 t T ):
L'idee est de montrer que cette fonction est solution d'une EDP du type de (12) et ensuite de
prouver la reciproque, c'est a dire, a l'aide d'une solution de l'EDP (12), trouver le contr^ole
optimal.
Soit x 2 Rn et 0 < t T .
Theoreme 3.1 Soit 0 < < t on denit la fonction
u~(x t) = inf
2A
Z t
h (x(s) (s)) ds + u(x( ) )
ou x = x est la solution de l'EDO (13) pour le contr^ole . Alors u~ = u.
Preuve. 1. On montre l'inegalite u u~. Soit 1 2 A et soit x1 la solution de l'EDO
x_ 1(s) = f (x1 (s) 1(s)) sur ]0 t
x1(t) = x:
On xe " > 0 et on choisit 2 2 A tel que
u(x1 ( ) ) + " ou
On denit le contr^ole
et soit x3 la solution de
Z
0
h (x2 (s) 2 (s)) ds + g ((x2 (0))
x_ 2 (s) = f (x2 (s) 2 (s)) sur ]0 x2 ( ) = x1( ):
3 (s) =
2 (s) si 0 < s < 1 (s) si < s < t
x_ 3(s) = f (x3 (s) 3(s)) sur ]0 t
x3(t) = x:
Par unicite des solutions pour l'EDO (13), on deduit :
x3 (s) = xx21((ss)) sisi 0 << ss << t:
13
Par denition, on obtient :
u(x t) Cxt (3 ) =
Z
0
Zt
0
h(x3 (s) 3 (s)) ds + g(x3 (0))
h(x2 (s) 2 (s)) ds +
u(x1 ( ) ) + " +
Zt
Comme 1 etait arbitraire, on deduit
u(x t) inf
2A
Z t
Zt
h(x1 (s) 1 (s)) ds + g(x2 (0))
h(x1 (s) 1 (s)) ds:
h(x(s) (s)) ds + u(x( ) ) + "
ou x est solution de (13). En faisant tendre " vers 0, il en resulte que u(x t) u~(x t).
2. Pour l'in
egalite inverse, on xe " > 0 et on choisit 4 2 A tel que
u(x t) + " ou
Zt
0
h(x4 (s) 4 (s)) ds + g(x4 (0))
x_ 4(s) = f (x4(s) 4 (s)) pour 0 < s < t
x4(t) = x:
Or
u(x4 ( ) ) donc on a
Z
u(x t) + " inf
2A
0
h(x4 (s) 4 (s)) ds + g(x4 (0))
Z t
h(x(s) (s)) ds + u(x( ) )
ou x = x est solution de (13). Ainsi u(x t) u~(x t).
3.3 E quation de Hamilton-Jacobi-Bellman
On va montrer a l'aide du theoreme precedent que la fonction u donnee par la methode de
la programmation dynamique est une solution de viscosite de l'EDP (12). Pour cela, on doit
verier d'abord que u est bornee et uniformement continue.
Lemme 3.2 Il existe C > 0 tel que ju(x t)j C et
u(x t) ; u(^x t^) C ;jx ; x^j + jt ; t^j pour tous x x^ 2 Rn , et tous 0 t t^ T .
Preuve. 1. Des hypotheses faites sur h et g, on deduit que u est bornee sur Rn 0 T ].
2. Montrons le caract
ere lipschitzien en x. Soit x x^ 2 Rn et 0 t T . Soit " > 0 xe. Alors
il existe ^ 2 A tel que
u(^x t) + " ou x^ est la solution de l'EDO
On deduit que
u(x t) ; u(^x t) Zt
0
Zt
0
h(x^(s) ^(s)) ds + g (x^(0))
x^_ (s) = f (x^(s) ^(s)) sur ]0 t
x^(t) = x^:
h (x(s) ^(s)) ds + g (x(0)) ;
14
Zt
0
h (x^(s) ^(s)) ds ; g (x^(0)) + "
ou x est la solution de
x_ (s) = f (x(s) ^(s)) sur ]0 t
x(t) = x:
Comme f est lipschitzienne, par l'inegalite de Gronwall on obtient
jx(s) ; x^(s)j C jx ; x^j
pour tout s 2 0 t]. De la, comme g et h sont lipchitziennes, on deduit que
u(x t) ; u(^x t) C jx ; x^j + ":
Le m^eme raisonnement avec les r^oles de x et x^ inverses implique
ju(x t) ; u(^x t)j C jx ; x^j
pour tous x x^ 2 Rn et tout 0 t T .
3. Montrons le caract
ere lipschitzien en t. Soit x 2 Rn et 0 t^ < t T . On xe " > 0 et on
choisit 2 A tel que
Zt
u(x t) + " h (x(s) (s)) ds + g (x(0))
0
ou x est la solution de (13). On prend ^(s) = (s + t ; t^) pour 0 s t^ et on considere la
solution x^ du probleme
x^_ (s) = f (x^(s) ^(s)) sur ]0 t^
x^(t^) = x:
Ceci implique x^(s) = x(s + t ; t^). On obtient alors :
u(x t^) ; u(x t) Z t^
h(x^(s) ^(s)) ds + g(x^(0)) ;
Z t;t^
0
Zt
0
h(x(s) (s)) ds ; g(x(0)) + "
;
h(x(s) (s)) ds + g(x(t ; t^)) ; g(x(0)) + "
0
C jt ; t^j + ":
On prend maintenant ^ tel que
u(x t^) + " ou
Z t^
0
h (x^(s) ^(s)) ds + g (x^(0))
x^_ (s) = f (x^(s) ^(s)) sur ]0 t^
x^(t^) = x:
On denit
^(0)
si 0 s t ; t^
^(s + t^ ; t) si t ; t^ s t
et on prend pour x la solution de (13). Alors x(s) = x^(s + t^ ; t) sur ]t ; t^ t. Par consequent,
(s) =
u(x t) ; u(x t^) Zt
h(x(s) (s)) ds + g(x(0)) ;
Z t;t^
0
Z t^
0
h(x^(s) ^(s)) ds ; g(x^(0)) + "
h(x(s) (s) ds + g(x(0)) ; g(x(t ; t^)) + "
C jt ; t^j + ":
=
On a obtenu que
0
u(x t) ; u(x t^) C jt ; t^j
pour tous 0 t^ t T , et tout x 2 Rn .
15
Theoreme 3.3 La fonction u est la solution de viscosite de l'EDP suivante :
(
;f (x a) ru(x t) ; h(x a) = 0 dans Rn ]0 T ut (x t) + max
a2A
u=g
sur Rn f0g:
(14)
L'equation (14) est appelee equation de Hamilton-Jacobi-Bellman. Son Hamiltonien est
;
H (p x) = max
f (x a) p ; h(x a) :
a2A
Notons qu'il est convexe par rapport a p et verie les hypotheses du theoreme d'unicite 2.5.
Demonstration. 1. Soit v 2 C 1 (Rn ]0 T ) une fonction telle que u ; v ait un maximum local
en un point (x0 t0 ) 2 Rn ]0 T . On va montrer par l'absurde que
;
vt (x0 t0 ) + max
f (x0 a) rv(x0 t0) ; h(x0 a) 0:
a2A
Si ce n'etait pas le cas, il existerait a 2 A et > 0 tels que, pour tout (x t) au voisinage de
(x0 t0 ), on ait
vt (x t) + f (x a) rv(x t) ; h(x a) :
On prend constant egal a a. Soit x la solution de
x_ (s) = f (x(s) a) 0 < s < t0
x(t0 ) = x:
Soit < t0 , susamment proche de t0 de sorte que pout tout s 2 t0 ] on ait
vt (x(s) s) + f (x(s) a) rv(x(s) s) ; h(x(s) a) et
u(x0 t0 ) ; u(x( ) ) v(x0 t0 ) ; v(x( ) )
Z t0 d ;
ds
v
(
x
(
s
)
s
)
ds
Z
t ;
vt (x(s) s) + f (x(s) a) rv(x(s) s) ds:
0
Or on a, d'apres le theoreme 3.1,
u(x0 t0 ) Zt
0
h(x(s) a) ds + u(x( ) )
et on obtient une contradiction :
0 < (t0 ; ) Zt ;
vt (x s) + f (x a) rv(x s) ; h(x a) ds 0:
0
2. Soit v 2 C 1 (Rn ]0 T ) une fonction telle que u ; v ait un minimum local en un point
(x0 t0 ) 2 Rn ]0 T . On va montrer par l'absurde que
;
vt (x0 t0 ) + max
f (x0 a) rv(x0 t0) ; h(x0 a) 0:
a2A
Si ce n'etait pas le cas, il existerait > 0 tel que pout tout a 2 A et tout (x t) au voisinage de
(x0 t0 ), on ait
vt (x t) + f (x a) rv(x t) ; h(x a) ;:
Soit < t0 , susamment proche de t0 de sorte que pour tout 2 A et tout s 2 t0 ] on ait
vt (x(s) s) + f (x(s) a) rv(x(s) s) ; h(x(s) a) ;
u(x0 t0 ) ; u(x( ) ) v(x0 t0 ) ; v(x( ) )
16
ou x est solution de
x_ (s) = f (x(s) (s)) 0 < s < t0
x(t0) = x0 :
C'est possible car f et par suite x_ sont bornes donc x(s) tend vers x0 quand s tend vers t0 ,
uniformement par rapport a . On a alors
u(x0 t0 ) ; u(x( ) ) Zt ;
vt (x(s) s) + f (x(s) (s)) rv(x(s) s) ds:
0
En choisissant dans le theoreme 3.1 tel que
u(x0 t0 ) u(x( ) ) +
Zt
0
h(x(s) (s) ds ; (t0 2; ) on obtient une contradiction :
Z t0 ;
vt (x s) + f (x ) rv(x s) ; h(x ) ds ;(t0 ; ):
; (t02; ) 3.
Le fait que u = g sur Rn f0g est une consequence immediate de la denition de u.
Remarque : On a montre ainsi que la fonction u, qui minimise le co^ut, est l'unique solution de
viscosite du probleme (14) pour l'equation de Hamilton-Jacobi-Bellman. On s'interesse maintenant a la reciproque : comment peut-on trouver le contr^ole optimal a partir de cette EDP ?
Voici l'idee de la construction du contr^ole optimal. E tant donnes une date nale 0 < t T et
un etat nal x 2 Rn , on considere l'EDO optimale
x_ (s) = f (x (s) (s)) sur ]0 t
(15)
x (t) = x:
ou pour tout temps s, on choisit (s) 2 A tel que
f (x (s) (s)) ru(x(s) s) ; h(x (s) (s)) = H (ru(x (s) s) x (s)):
Autrement dit, quand le systeme est dans l'etat x (s) a l'instant s, on choisit la valeur du contr^ole
optimal (s) qui atteint le maximum dans la denition du hamiltonian H de l'EDP (14). On
dit que est le contr^ole retroactif (feedback control). On verie aisement que cette methode
genere la trajectoire de co^ut minimal, au moins dans les regions ou u et sont regulieres (pour
que l'equation ci-dessus ait bien un sens) mais l'interpretation de cette equation quand ru
n'existe pas est problematique (cf. 2]).
3.4 Existence d'une solution pour un Hamiltonien convexe
En s'inspirant de ce qui precede, on va montrer l'existence d'une solution de viscosite dans
le cas ou le Hamiltonien ne depend que de p et est convexe :
ut + H (ru) = 0 dans Rn ]0 1
(16)
u(t = 0) = g
sur Rn f0g
Pour cela on va se ramener a une equation de Hamilton-Jacobi-Bellman gr^ace a la transformation
de Legendre.
On suppose que H : Rn ! R est convexe (donc continu) et tel que
H (p) ;;;;! +1
(17)
jpj jpj!1
et que g est lipschitzienne.
On appelle transformee de Legendre de H la fonction suivante, appele Lagrangien :
;
L(q) = H (q) = supn q p ; H (p) (q 2 Rn )
p2R
17
(18)
2
Exemple : reprenons le Hamiltonien de la mecanique H (p x) = 2pm + V (x). Sa transformee de
Legendre par rapport a p est
2
2
L(q x) = sup (q p ; 2pm ; V (x)) = 21 mq2 ; V (x) = p2m ; V (x):
p
Le maximum est atteint pour p = mq. Ainsi q est la vitesse.
Proposition 3.4 Le Lagrangien est convexe et verie aussi la propriete (17). De plus H est la
transformee de Legendre de L : H = L .
Les fonctions H et L sont dites fonctions convexes duales.
Demonstration. Pour tout p, l'application q 7! q p ; H (p) est lineaire ce qui entra^ne la convexite
de L. Soit C > 0 et q 6= 0. On a
;
L(q) = supn q p ; H (p)
p2R
C jqj ; H (C jppj ) (p = C jppj )
C jqj ; max H
B (0C )
donc lim inf jqj!1 Lj(qqj) C pour tout C 2 R. Montrons maintenant que H = L . On a
L(q) + H (p) p q d'ou H (p) L (p). Par ailleurs, on a
;
L (p) = supn q p ; supn q r ; H (r)
q 2R
= supn rinf
q2R 2Rn
;q r(2pR; r) + H (r):
H etant convexe, il existe s 2 Rn tel que pour tout r,
H (r) H (p) + s (r ; p)
Il vient donc
;
L (p) rinf
s (p ; r) + H (r) = H (p):
2Rn
On est ainsi ramene a une equation du type Hamilton-Jacobi-Bellman. On pose donc
u(x t) = inf
Zt
0
L(w_ (s)) ds + g(w(0)) j w 2 C 1 (0 t]) w(t) = x :
Proposition 3.5 Si t 6= 0, on a
u(x t) = ymin
tL
2Rn
x ; y t
+ g(y) :
L'expression au second membre de (19) s'appelle la formule de Hopf-Lax.
Demonstration. Pour y 2 Rn et w(s) = y + st (x ; y) on trouve
u(x t) tL
donc on a
x ; y
t
+ g(y)
u(x t) yinf
tL x ;t y + g(y) :
2Rn
Reciproquement, si w est C 1 , on a, par l'inegalite de Jensen
Zt
Zt
L 1t w_ (s) ds 1t L(w_ (s)) ds
0
0
18
(19)
d'ou l'on tire
Zt
tL x ; tw(0) + g(w(0)) L(w_ (s)) ds + g(w(0))
0
inf tL
y2Rn
x ; y t
+ g(y) u(x t):
Lemme 3.6 Pour tout x et tout s < t on a
x ; y u(x t) = ymin
(
t
;
s
)
L
+
u
(
y
s
)
:
2Rn
t;s
Demonstration. Fixons y 2 Rn et s 2 ]0 t, et soit z 2 Rn tel que
Par convexite, on a
et par suite
u(y s) = sL y ;s z + g(z ):
L x ;t z 1 ; st L xt ;; sy + st L y ;s z :
x ; y
u(x t) (t ; s)L t ; s + u(y s)
Comme ceci est valable pour tout y, on obtient
x ; y +
u
(
y
s
)
:
u(x t) ymin
(
t
;
s
)
L
2Rn
t;s
Pour prouver l'inegalite inverse, considerons w 2 Rn tel que
x ; w
u(x t) = tL t + g(w):
; Soit y = st x + 1 ; st w. On a
x ; y x ; w y ; w (t ; s)L t ; s + u(y s) (t ; s)L
t + sL s + g(w)
u(x t):
et on obtient l'inegalite cherchee.
Lemme 3.7 La fonction u est lipschitzienne sur Rn 0 +1 et u = g sur Rn f0g.
Demonstration. On xe t > 0, x, x0 2 Rn . Soit y 2 Rn tel que
tL x ; y + g(y) = u(x t):
t
On a alors, en notant kg le rapport de Lipschitz de g,
x 0 ; (x 0 ; x + y ) x ; y 0
0
u(x t) ; u(x t) tL
+ g(x ; x + y) ; tL
; g (y )
kg jx0 ; xj:
t
t
Montrons maintenant que u est lipschitzienne en t. On commence par traiter le point t = 0. Soit
x 2 Rn et t > 0. On a
x ; y
u(x t) = ymin
tL t + g(y)
2Rn
g(x) + t zmin
f;k jz j + L(z )g
2Rn g
g(x) ; t w2max
maxfw z ; L(z )g
B (0kg ) z2Rn
g(x) ; t max H B (0kg )
19
par ailleurs u(x t) tL(0) + g(x), d'ou
ju(x t) ; g(x)j Ct:
Par un calcul analogue, on prouve que u est lipschitzienne en t pour t > 0 : si t0 < t, on a
0 )L x ; y + u(y t0 ) ; u(x t0 )
u(x t) ; u(x t0 ) = ymin
(
t
;
t
0
n
2R
tx;;ty jx ; yj (t ; t0 ) ymin
L t ; t0 ; t ; t0 kg
2Rn
;(t ; t0 ) w2max
maxfw z ; L(z )g
B (0kg ) z2Rn
;C (t ; t0 ):
et d'autre part,
0 )L x ; y + u(y t0 ) ; u(x t0 )
u(x t) ; u(x t0 ) = ymin
(
t
;
t
n
2R
t ; t0
0
(t ; t )L(0)
ce qui acheve la demonstration.
Theoreme 3.8 On suppose que H ne depend que de p, est convexe et que H (p)=jpj tend vers
+1 lorsque jpj tend vers +1 On suppose de plus que g est bornee et lipschitzienne. Alors
l'equation
ut (x t) + H (ru(x t)) = 0 dans Rn ]0 T u=g
sur Rn f0g
(20)
admet comme solution de viscosite la solution donnee par la formule de Hopf-Lax (19).
Demonstration. 1. Soit L la fonction duale de H . L verie les m^emes proprietes que H :
L(q) ;;;;! +1:
(21)
jqj jqj!1
On a vu que u est lipschitzienne et qu'elle verie la condition initiale. Elle est de plus bornee
car g l'est.
2. Soit v 2 C 1 (Rn ]0 1) telle que la fonction u ; v ait un maximum local en un point
(x0 t0 ) 2 Rn ]0 1. Par le lemme 3.6, on a pour t < t0 et (x t) au voisinage de (x0 t0 ),
x + u(x t)
u(x0 t0 ) (t0 ; t)L xt0 ;
0;t
x0 ; x v(x0 t0 ) ; v(x t) (t0 ; t)L t ; t :
0
Pour x ; x0 = (t ; t0 )q, on obtient
vt (x0 t0 ) + rx v(x0 t0 ) q L(q)
et ceci pour tout q 2 Rn , d'ou
vt (x0 t0 ) + H (rx (x0 t0 )) 0:
3. Supposons que u ; v ait un minimum local en (x0 t0 ). Par l'absurde, s'il existe > 0 tel
qu'au voisinage de (x0 t0 ) on ait
vt (x t) + H (rv(x t)) ; < 0
20
alors on a, toujours au voisinage de (x0 t0 ), par dualite de H et L,
vt (x t) + rv(x t) q ; L(q) pour tout q 2 Rn . Par le lemme 3.6 on a, pour h assez petit et pour un certain x1 ,
x ; x u(x0 t0 ) = hL 0 1 + u(x1 t0 ; h):
h
Ensuite on calcule...
v(t0 x0 ) ; v(x1 t0 ; h) =
=
Z1 d;
v
(
sx
0 + (1 ; s)x1 t0 + (s ; 1)h) ds
Z01 ;ds
rv(sx0 + (1 ; s)x1 t0 + (s ; 1)h) (x0 ; x1 )
0
+v (sx + (1 ; s)x t + (s ; 1)h)h ds:
t
0
1
0
En posant q = x0 ;h x1 , on obtient pour h assez petit
x0 ; x1 ; h
v(t0 x0 ) ; v(x1 t0 ; h) hL
h
u(t0 x0 ) ; u(x1 t0 ; h) ; h
ce qui est impossible. Ainsi on a prouve que
vt (x0 t0 ) + H (rv(x0 t0 )) 0:
Conclusion
Les theoremes precedents montrent que les solutions de viscosite constituent la notion adaptee
de solution faible des equations de Hamilton-Jacobi. Cette methode peut s'appliquer a une classe
plus generale d'equations que celles etudiees ici, notamment on peut traiter certaines equations
du second ordre et obtenir des resultats similaires (cf. 3]). En ce qui concerne les applications
des equations de Hamilton-Jacobi, citons la mecanique, comme on l'a vu plus haut, mais aussi
l'optique (equation eikonale), les probabilites (cf. 6]) et la geometrie (par exemple l'etude des
mouvements de surface) (cf. 3]).
References
1] V. Arnold. Methodes mathematiques de la mecanique classique. E ditions Mir, 1976.
2] M. Bardi and I. Capuzzo-Dolcetta. Optimal control and viscosity solutions of HamiltonJacobi-Bellman equations. Birkh(auser, 1997.
3] M. Bardi, M. G. Crandall, L. C. Evans, H. M. Soner, and P. E. Souganidis. Viscosity solutions
and applications. Lecture notes in Mathematics. Springer, 1997.
4] G. Barles. Solution de viscosite des equations de Hamilton-Jacobi. Springer-Verlag, 1994.
5] L. C. Evans. Partial dierential equations. AMS Press, 1998.
6] W. H. Fleming and H. M. Soner. Controlled Markov processes and viscosity solutions. Springer, 1993.
7] P.-L. Lions. Generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations. Research Notes in Mathematics 69. Pitman Advanced Publishing Program, 1982.
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