x - Free

Durée 4h
T STI
BAC BLANC 2009-2010
La calculatrice et le formulaire sont autorisés
Exercice 1 ( 5 points)
1. (a) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes C l’équation d’inconnue z :
z 2 − 2z + 4 = 0.
On désigne par z1 la solution de partie imaginaire positive et par z2 l’autre solution.
(b) Déterminer le module et un argument de chacune des solutions.
(c) En déduire le module et un argument de z12 et de z22 .
(d) Calculer ces deux nombres sous forme algébrique.
2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal O;~i, ~j d’unité graphique 1 cm.
On désigne par A, B, A0 et B0 les points d’affixes respectives :
√
√
√
zA = 1 + i 3 ; zB = 1 − i 3 ; zA0 = −2 + 2i 3
√
et zB0 = −2 − 2i 3.
(a) Placer ces points dans le plan complexe.
(b) Déterminer et justifier la nature du quadrilatère AA0 B0 B.
(c) Soit Ω le point d’affixe −2.
Calculer les distances ΩA et ΩA0 .
En déduire que les points A, B, A0 et B0 sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Exercice 2 (4 points )
Dans un atelier de réparation un technicien s’occupe des ordinateurs en panne qui lui arrivent. Les composants
à l’origine de la panne peuvent uniquement être : l’alimentation, la carte graphique ou le processeur. Une panne
simultanée de deux ou trois composants est possible. Le technicien chargé de la détection des pannes établit le
diagnostic d’un ordinateur à l’aide d’un triplet utilisant les initiales des composants, surmontées d’une barre en
cas de panne.
Par exemple : (A ; CG ; P) signifie que l’alimentation et la carte graphique fonctionnent et que la panne provient du processeur.
1. Etablir la liste des sept diagnostics possibles sur un ordinateur en panne.
2. On suppose que les sept diagnostics ont la même probabilité d’être établis. Quelle est la probabilité pour
qu’un seul des composants soit en panne ?
3. Le tableau suivant donne le coût des composants à remplacer :
Composant
Prix en e
Alimentation
80
Carte graphique
160
Processeur
80
Le coût d’une réparation est celui du remplacement des pièces auquel il faut ajouter un forfait de maind’oeuvre de 25 e indépendant du nombre de composants à remplacer.
(a) Soit X la variable aléatoire qui à chaque ordinateur en panne associe le coût de la réparation. Donner la
liste des valeurs possibles de X.
(b) Donner dans un tableau la loi de probabilité de X.
(c) Calculer l’espérance mathématique de X. Arrondir le résultat à l’unité.
(d) Quel devrait être le coût du forfait de la main-d’œuvre, arrondi à l’unité, pour que le prix moyen d’une
réparation soit de 200 e ?
Durée 4h
T STI
Exercice 3 (Probleme 11 pts)
Le plan est muni d’un repère orthogonal O;~i, ~j (unités graphiques : 1 cm sur l’axe des abscisses et 4 cm sur l’axe
des ordonnées).
Partie A : Recherche d’une fonction
Soit g une fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
g(x) = a(ln x)2 + b ln x + c,
où a, b et c sont trois réels.
Déterminer a, b et c, sachant que sa courbe représentative dans le repère O;~i, ~j passe par les points A(1; 2),
B(e; 0) et C e3 ; 2 .
Partie B : Etude d’une fonction
Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
f (x) = (ln x)2 − 3 ln x + 2.
1. (a) Calculer la limite de f en 0.
(b) Calculer la limite de f en +∞. On pourra remarquer que pour tout x de ]0 ; +∞[, on a :
f (x) = ln x(ln x − 3) + 2.
2. (a) Montrer que :
f 0 (x) =
2 ln x − 3
.
x
où f 0 désigne la fonction dérivée de f .
(b) Etudier le signe de f 0 (x) selon les valeurs de x.
(c) Dresser le tableau de variations de f sur ]0 ; +∞[.
3. (a) Résoudre dans R l’équation d’inconnue X :
X 2 − 3X + 2 = 0.
(b) En déduire les solutions exactes dans ]0 ; +∞[ de l’équation : f (x) = 0.
(c) Déduire, des questions 2.c. et 3.b., le signe de f (x) lorsque x varie dans l’intervalle ]0 ; +∞[.
4. On note Γ la courbe représentative de f dans le repère O;~i, ~j .
(a) Déterminer une équation de la tangente ∆ à la courbe Γ au point d’abscisse e.
(b) Tracer la courbe Γ et la tangente ∆.
Partie C : Primitive
1. Montrer que la fonction, définie sur ]0 ; +∞[, par :
x 7−→ x(ln x)2 − 5x ln x + 5x,
est une primitive sur ]0 ; +∞[ de la fonction x 7−→ (ln x)2 − 3 ln x.
2. En déduire la primitive F de f sur ]0 ; +∞[ qui s’annule pour x = 1.
CORRIGE
EXERCICE I (5 points )
1°) a) z 2 − 2 z + 4 = 0 Equation du 2e degré
Δ = b 2 − 4ac = −12 ( négatif ). L’équation admet donc 2 solutions complexes conjuguées :
z1 =
{
D’où S = 1 + i
−b + i Δ
=
2a
3,1 + i 3
2 + i 12 2 + i 2 3
=
= 1 + i 3 et z2 = z1 = 1 − i 3
2
2
}
a + b = 1+ 3 = 4 = 2
a 1
cos θ = =
r 2
b
3
π
donc θ =
sin θ = =
r
2
3
b) Pour z1 = 1 + i 3 : r =
c)
2
2
π
z1 = 2
arg z1 =
z2 = 2
arg z2 = −
3
π
3
z1 = z1 = 4
2
2
arg z1 = 2 arg z1 =
2
2π
3
z2 = z2 = 4
2
2
arg z2 = 2 arg z2 = −
2
(
z1 = 1 + i 3
2
)
2
2π
3
= 1 + 2i 3 − 3
z1 = −2 + 2i 3
2
2
et z2 = z1 = 2 − 2 i 3
2
2°) a) voir figure
b) Les points A et B d’une part, et A’ et B’ d’autre part, sont symétriques par rapport à l’axe (Ox) car les
affixes de ces points sont conjuguées.
Les côtés [AB] et [A’B’] sont donc parallèles ( car orthogonaux à une même droite )
ABA’B’ est donc un trapèze.
De plus, par symétrie, AA’ = BB’ donc ABA’B’ est un trapèze isocèle.
(
)
c) ΩA = zΩ − z A = −2 − 1 + i 3 = −3 − i 3 = 9 + 3 = 12 = 2 3
(
)
ΩA’ = zΩ − z A ' = −2 − −2 + 2i 3 = −2i 3 = 2 3
Ω est sur l’axe des abscisses, donc par symétrie ΩA = ΩB et ΩA’ = ΩB’
donc ΩA = ΩB = ΩA’ = ΩB’ = 2 3
donc A, B , A’ et B’ appartiennent au cercle C de centre Ω et de rayon 2 3 .
EXERCICE II (4 points )
1°) Nous pouvons utiliser un arbre ( voir ci-dessous )
Les 7 diagnostics sont :
A CG P ; A CG P ; A CG P ; A CG P ; A CG P ; A CG P ; A CG P .
Le cas A CG P est bien sûr à éliminer car on ne cherche pas à réparer un ordinateur qui fonctionne.
2°) Il y équiprobabilité donc P (A) =
card A
;
card Ω
Or ici, il y a 3 cas où 1 seul des composants est en panne : A CG P ; A CG P ; A CG P .
3
Donc p = .
7
3°) a)
CG
+25 €
+25 €
+25 €
+25 €
+25 €
+25 €
+25 €
P (80€)
P
P (80€)
P
P (80€)
P
A
CG (160€)
CG
A (80€)
P (80€)
CG (160€)
X = 105 €
X = 185 €
X = 265 €
X = 105 €
X = 185 €
X = 265 €
X = 345 €
Les valeurs possibles de X sont donc : 105, 185, 265 et 345.
b)
xi
pi = p(X = xi)
105
2
7
5
c) E ( X ) =
∑p ×x .
i
i
E (X) =
i =1
185
2
7
265
2
7
345
1
7
1455
208 €
7
d) Il faudrait retirer environ 8 € à chaque valeur de X pour que le prix moyen d’une réparation soit de 200
€
E n effet E (X – 8 ) = E (X) – 8
Le forfait serait alors de 17 €.
PROBLEME (11 points )
Partie A : g ( x) = a ( ln x ) + b ln x + c
2
La courbe passe par A ( 1 ; 2) donc g (1) = 2 donc a ( ln1) + b ln1 + c = 2 donc c = 2
2
La courbe passe par B ( e ; 0) donc g (e) = 0 donc a ( ln e ) + b ln e + c = 0 donc a + b + c = 0
2
donc a + b = −2 (1)
(
3
La courbe passe par C ( e3 ; 2) donc g (e3 ) = 2 donc a ln e
)
2
+ b ln e3 + c = 2 or ln e3 = 3ln e = 3
donc 9a + 3b + c = 2 donc 9a + 3b = 0 ou encore 3a + b = 0 (2)
La 1e équation nous donne b = −2 − a et en remplaçant dans la 2e équation, on obtient : 3a − 2 − a = 0
Donc 2a = 2 ou encore a = 1 , puis b = −3 et rappelons que c = 2 .
On peut écrire alors : g ( x) = ( ln x ) − 3ln x + 2 .
2
Partie B : f ( x) = ( ln x ) − 3ln x + 2
2
1°) a) lim ln x = −∞ , donc lim ( − 3 ln x ) = + ∞ et lim ( ln x ) = +∞
2
x →0
x→ 0
x→0
et donc par somme :
lim f ( x ) = +∞
x→ 0
C f admet donc la droite d’équation x = 0 pour asymptote ( verticale )
b) f ( x) = ( ln x ) − 3ln x + 2 = ln x ( ln x − 3) + 2
2
lim ln x = +∞ ( cours ) donc lim ( ln x − 3) = +∞ donc
x→+∞
x→+∞
2°) a) f '( x ) = 2 (ln x ) ×
1
1
ln x 3 2 ln x − 3
− 3× = 2
− =
x
x
x
x
x
lim f ( x) = +∞
x→+∞
f '( x ) =
donc
2 ln x − 3
x
b) et c) Comme x > 0, f '( x ) est du signe de 2 ln x − 3 ,
x
3
3
2 ln x − 3 ≥ 0 ⇔ ln x ≥ ⇔ x ≥ e 2
2
f '( x)
f ( x)
2
3
3
⎛
⎞
f (e ) = ⎜ ln e 2 ⎟ − 3ln e 2 + 2
⎝
⎠
3
2
2
e
0
3
2
−
+
+∞
+∞
−
2
1
4
3
3
9 9
9 18 8
1
⎛3
⎞
⎛3⎞
= ⎜ ln e ⎟ − 3 × ln e + 2 = ⎜ ⎟ − 3 × + 2 = − + 2 = − + = −
4
2
2
4 2
4 4 4
⎝2
⎠
⎝2⎠
3°) a) X 2 − 3 X + 2 = 0
Δ = b 2 − 4ac = 1
S = {1; 2 }
b) f ( x) = 0 ⇔ ( ln x ) − 3ln x + 2 ⇔ X 2 − 3 X + 2 = 0
2
X 2 − 3 X + 2 = 0 en posant X = ln x
X = 1 ou X = 2
ln x = 1 ou ln x = 2
x = e ou x = e 2
{
S = e ; e2
}
+∞
x
c)
f ( x)
3
e
0
+∞
−
Signe de f
+
+∞
+∞
e2
e2
1
4
−
+
4°) a) Equation de Δ : y = f '(e) ( x − e) + f (e)
1
soit
y = − ( x − e) + 0
e
1
Equation de Δ : y = − x + 1
e
b) graphe
PARTIE C
1°) Notons u ( x) = x ( ln x ) − 5 x ln x + 5 x .
2
1 ⎛
1⎞
2
u '( x ) = ( ln x ) + x × 2 ( ln x ) − ⎜ 5ln x + 5 x × ⎟ + 5
x ⎝
x⎠
u '( x) = ( ln x ) + 2 ( ln x ) − 5ln x − 5 + 5 = ( ln x ) − 3 ( ln x )
2
2
2°) f ( x) = ( ln x ) − 3ln x + 2
2
F ( x) = u ( x) + 2 x + k donc F ( x) = x ( ln x ) − 5 x ln x + 7 x + k
2
F (1) = 0 donc 7 + k = 0 donc k = −7
F ( x) = x ( ln x ) − 5 x ln x + 7 x − 7
2