Exercice sur la théorie du portefeuille Tracking error optimale

Exercice sur la théorie du portefeuille
Tracking error optimale
Philippe Bernard
Ingénierie Economique & Financière
Université Paris-Dauphine
Février 2006
On considère un univers de titres constitué de trois titres risqués dont les
rendements nets, les volatilités (écart-types), et les coe¢ cients de corrélation
sont les suivants :
titres
growth stocks
value stocks
actif monétaire
rend.
espérés (%)
10
6
2
volatilité
(%)
16
8
1
growth
stocks
1
0:2
0
value
stocks
0:2
1
0
actif
monétaire
0
0
1
On suppose que l’investisseur donne au gérant un benchmark equipondéré
des trois actifs.
1. Déterminez le rendement espéré, la volatilité du benchmark ainsi que
ses covariances avec les trois autres titres.
2. A l’aide des réponses à la première question, déterminé les rendements
excédentaires espérés (E [e
rj reB ] où j est l’un des titres, B le benchmark) des titres ainsi que les covariances de leurs rendements excédentaires (cov(e
rj reB ; rei reB )).
3. On suppose que l’investisseur a comme critère d’évaluation
2
reB ]
E [e
rp
2
(e
rp
reB )
où 2 (e
rp reB ) est le carré de la tracking error du gérant. A l’aide des
résultats précédants, déterminer l’ensemble des couples (tracking error,
rendement excédentaire espéré) qui sont e¢ cients (ou optimaux pour
une avaleur de ).
4. Déterminer la tracking error optimale que l’on doit donner au gérant
si = 5.
Les résultats complets sur la feuille Excel de l’exercice. La logique de résolution est celle de l’exercice 2 en substituant aux rendements les rendements
excédentaires.
Quelques indications supplémentaires :
Si l’on note !
r le vecteur colonne des rendements espérés des titres, !
xB
la composition du benchmark et la matrice de covariance des rendements
des trois titres, alors les covariances entre les titres et le benchmark sont
données par :
cov (e
rj ; reB ) =
=
3
X
i=1
xB;i :cov (e
rj ; rei )
(i) :
1
!
xB
où (j) est la ligne j de la matrice de covariance. Par conséquent le vecteur
des covariances entre les titres et le benchmark (noté !B ) est donné par :
2
3
cov (e
r1 ; reB )
! = 4 cov (e
r2 ; reB ) 5 = :!
xB
B
cov (e
r3 ; reB )
La covariance entre les rendements excédentaires de deux titres i et j est
donnée par :
cov(e
rj
Or :
cov(e
rj ; rei
et donc :
cov(e
rj
reB ; rei
reB ; rei
reB ) = cov(e
rj ; rei
reB ) = cov(e
rj ; rei )
cov(e
rB ; rei
Cas particulier :
2
reB ) =
2
j
+
2
B
2
B
cov(e
rB ; rei
cov(e
rj ; reB )
reB ) = cov(e
ri ; reB )
reB ) = cov(e
rj ; rei ) +
(e
rj
reB )
reB )
2
B
cov(e
ri ; reB )
cov(e
rj ; reB )
2cov(e
rj ; reB )
Si l’on redé…nit dans l’exercice 2 :
–!
r comme le vecteur des rendements excédentaires espérés,
– comme la matrice de covariance des rendements excédentaires,
alors le problème de l’investisseur est de …xer la tracking error que devra
respecter le gérant. Ce dernier pourra ainsi dévier du benchmark qui lui
est donné comme référence tant que la volatilité résiduelle ne dépasse pas
sa tracking error imposée. Comme celle-ci a été optimalement choisie par
l’investisseur, le gérant qui cherchera à maximiser son rendement résiduel
moyen sous sa tracking error sera en fait conduit à sélectionner le couple
(tracking error, rendement excédentaire espéré) optimal pour l’investisseur.
Par conséquent, le seul problème à résoudre est de déterminer la solution du
problème :
8
rp reB )
rp reB ] 2 2 (e
< max E [e
sous la contrainte
:
u1 + u 2 + u3 = 0
où ui est l’écart de la part l’actif i dans le portefeuille à la part dans le
benchmark (mesurant la sur- ou la sous-pondération de l’actif par rapport
au benchmark) et où :
E [e
rp reB ] = !
r :!
u
2
2
(e
rp
avec :
reB ) = !
uT !
u
2
3
u1
!
u = 4 u2 5
u3
(!
r et étant encore une fois dé…nis par rapport aux rendements excédentaires par rapport au benchmark).
Les conditions marginales sont identiques à celles du problème moyennevariance :
100
:!
u =!
r
!
1 )!
u =
1
(
=100
1!
r
1!
1)
Comme dans le problème classique moyenne - variance, la solution est une
1!
1!
combinaison de de deux vecteurs
r et
1 . Cependant la contrainte
à utiliser pour évaluer numériquement est naturellement :
!T !
1 u =0)
1
(
=100
Le reste est similaire à l’exercice 2.
3
1!
r
1!
1)=0