Exercices de colle Lycée Louis Le Grand, MP*2 Semaine 5

Exercices de colle
Lycée Louis Le Grand, MP*2
Semaine 5
Benjamin Schraen
Le 5 Novembre 2003
1
Topologie.
1. Soient E un espace de Banach, F un espace vectoriel normé et (fi )i∈I une famille d’applications linéaires continues de E dans F . Pour n ∈ N, on pose
Ωn = {x ∈ E, ∃i ∈ I, ||fi (x)|| > n}
– Si on suppose la famille (|||fi |||)i∈I non bornée, montrer que pour tout n ∈ N, Ωn est
un ouvert dense de E.
– En déduire le théorème de Banach-Steinhaus : soit il existe C > 0 tel que
∀i ∈ I, |||fi ||| ≤ C
soit il existe x ∈ E tel que la famille (fi (x))i∈I soit non bornée.
P
2
2. Soit (an )n∈N une
de réels telle que pour toute suite
(bn )n∈N de réels vérifiant +∞
n=0 bn <
Psuite
P
+∞
+∞ 2
+∞, la série
n=0 an bn converge. Montrer que
n=0 an < +∞ (on pourra considérer
l’espace des suites réelles de carré sommable muni d’une certaine norme et appliquer le
théorème de Banach-Steinhaus).
3. Dans le plan complexe on note D(a,r) (resp. d(a,r)) la boule ouverte (resp. fermée) de
centre a et de rayon r.
– Montrer qu’il existe une application continue L de D(1,1) dans C telle que pour tout
z ∈ D(1,1), eL(z) = z.
– En déduire que si f est une application continue de D(0,1) dans C∗ , il existe une
application continue g de D(0,1) dans C telle que f = eg .
– Montrer qu’il n’existe pas d’application continue r du disque unité dans C telle que
pour |z| = 1, r(−z) = −r(z).
– En déduire qu’une application continue de la sphère dans le plan prend les mêmes
valeurs en au moins deux points diamétralement opposés.
– Montrer qu’il n’existe pas d’application continue de D(0,1) disque unité S 1 = {z ∈
C, |z| = 1} dont la restriction à S 1 est l’identité. En déduire que toute application
continue de D(0,1) dans lui-même a au moins un point fixe (théorème du point fixe
de Brouwer).
4. Soit G un sous-groupe discret de Rn , on suppose que l’espace vectoriel engendré par G est
Rn .
1
– Montrer que G est fermé dans Rn .
– Si n = 1, montrer qu’il existe a ∈ R tel que G = aZ.
– Dans le cas général, montrer qu’il existe g1 , . . . grP
dans Rn , linéairement indépendants,
tels que G = Zg1 ⊕ · · · ⊕ Zgr (considérer P = { nk=0 αk hk , 0 ≤ αk < 1, si k < n, 0 ≤
αn ≤ 1} où (hn ) est une certaine base de Rn constituée d’éléments de G, observer que
P ∩ G est fini et considérer un élément de P de coordonnée hn strictement positive
et minimale dans P ∩ G).
5. Soit G un sous-groupe de Rn non discret.
– Pour > 0 on note V l’espace vectoriel engendré par B(0,) ∩ G. Montrer qu’il existe
0 > 0 tel V = V0 pour ≤ 0 et V0 n’est pas réduit à {0}.
– Montrer que G ∩ V0 est dense dans V0 .
– Montrer qu’il existe g1 , . . . ,gr dans G tels que G = (G ∩ V0 ⊕ Zg1 ⊕ · · · ⊕ Zgr .
6. En utilisant l’exercice précédent, démontrer le critère suivant : un sous-groupe G de R n est
dense dans Rn si et seulement si la seule forme linéaire prenant des valeurs entières sur
G est la forme nulle (Kronecker). En déduire, si w1 , . . . ,wn sont des réels Q-linéairement
indépendants, la borne supérieure de l’ensemble {a1 cos(w1 t+φ1 )+· · ·+an cos(wn t+φn ), t ∈
R} où les ai sont des réels positifs et les φi des réels.
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Calcul différentiel sur R, révisions de MPSI.
1. Soit f : R −→ R de classe C n telle que f (n) (0) 6= 0. Montrer qu’il existe α > 0 tel que
pour x ∈ [−α,α]\{0}, il existe un unique θx ∈]0,1[ tel que
f (x) =
n−2 (k)
X
f (0)
k=0
k!
xk +
xn−1 (n−1)
f
(xθx )
(n − 1)!
et étudier la limite de θx quand x tend vers 0.
2. Soit f : R −→ R de classe
C 2 telle que f (0) = 0 et f (x) > 0 si x 6= 0. Montrer que f 0 (0) = 0
√
et f 00 (0) ≥ 0 et que si f est dérivable en 0, f 00 (0) = 0. Montrer que si f 00 (0) = 0, alors
pour α > 0 et |x| ≤ α2 , f 0 (x)2 ≤ 2(max[−α,α] |f 00 |)f (x), puis que f est C 1 .
√
Trouver une telle fonction f , C ∞ telle que f (n) (0) = 0 pour tout n ∈ N et telle que f
n’est pas C 2 .
2
00
3.
– Soit f : R −→ R une application
p C telle que f et f soient bornées. Montrer qu’alors
0
0
f est bornée et que ||f ||∞ ≤ 2||f ||∞||f 00 ||∞ (inégalité de Landau).
– Supposons maintenant f C n et que f et f (n) sont bornées, montrer qu’alors f (k) pour
1 ≤ k ≤ n − 1 est bornée.
4. Soient I un intervalle de R non vide et non réduit à un point et f : I −→ R une application
C ∞.
Une application est dite polynomiale si elle coı̈ncide avec un polynôme en tout point de
son domaine de définition.
– On suppose f non polynomiale sur I. Montrer qu’il existe un segment S de I non
vide et non réduit à un point tel que f |S soit non polynomiale, et que f ne s’annule
pas sur S.
– En déduire que f est polynomiale si et seulement si
∀x ∈ I, ∃nx ∈ N, tel que f (nx ) (x) = 0
2
3
Intégration sur un segment.
1. Calculer
lim
n→+∞
Z
1
0
Z
1
...
0
Z
1
1
f ((x1 x2 . . . xn ) n ) dx1 dx2 . . . dxn
0
2. Soit f une fonction continue et intégrable de ]0,1] dans R. Montrer que
Z
1
f (t) dt =
0
En déduire une expression simple de
3. Calculer pour ρ ∈ R\{−1,1}
Z
lim (1 − q)
q→1,q<1
R1
(t−1)
0 ln(t)
+∞
X
q n f (q n )
k=0
dt.
π
0
ln(1 − 2ρ cos(θ) + ρ2 ) dθ
4. Le but de cet exercice est de démontrer la transcendance de e.
P
(n)
– Soit P un polynôme à coefficients réels. On pose D(P ) =
. Si α ∈ R,
n≥0 P
montrer que
Z
1
eα D(P )(0) = D(P )(α) +
αe−αx P (αx) dx
0
– Soit p un nombre premier. Montrer que si P ∈ Z[X],
D(
QX p−1
)(0) ∼
= Q(0) [p]
(p − 1)!
P
– Supposons maintenant par l’absurde que e soit transcendant. Soit Q = nk=0 ak X k
p
X p−1 Πn
k=1 (X−k)
son polynôme minimal à coefficients dans Z, on pose Pp =
. Montrer
(p−1)!
que D(Pp )(k) est divisible par p pour 1 ≤ k ≤ n.
R1
– Montrer que 0 ek(1−t) Pp (kt) dt tend vers 0 quand p tend vers l’infini et 1 ≤ k ≤ n, et
conclure.
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