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Chapitre 8: Le champ magnétique Exercices
Chapitre 8 : Le champ magnétique Exercices En coordonnées cartésiennes, comme à l’exemple 8.3c, l’énoncé de la question implique E1. que → − − → B = 0,6 × 10−4 j T, si 1 G = 10−4 T. → − → (a) On donne − v = −106 k m/s et q = e. Au moyen de l’équation 8.2, en se rappelant que → − − → → − k × j = − i , on obtient ³ →´ ³ − →´ − → − − → → v × B = e −106 k × 0,6 × 10−4 j =⇒ F B = q− ´ ³ ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ − → − → → − − → F B = 1,6 × 10−19 −106 0,6 × 10−4 k × j = 9,60 × 10−18 i N Donc FB = 9,60 × 10−18 N, vers l’est → − → (b) On donne − v = −106 i m/s et q = −e. Au moyen de l’équation 8.2, en se rappelant que → − − → − → i × j = k , on obtient ³ → −´ ³ →´ − → − → − → v × B = −e −106 i × 0,6 × 10−4 j =⇒ F B = q− ´ ³ ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ − → − → → − − → i × j = 9,60 × 10−18 k N F B = −1,6 × 10−19 −106 0,6 × 10−4 E2. Donc FB = 9,60 × 10−18 N, vers le haut → − → − → − → − → − On donne q = −e, − v = −106 j m/s, F B = 3,2 × 10−15 i N et → v ⊥ B. Comme la force est orientée selon l’axe des x positifs et qu’elle est perpendiculaire au champ magnétique, on conclut que le champ magnétique est parallèle à l’axe des z, c’est→ − → − à-dire B = ±B k . Si on insère toutes les quantités dans l’équation 8.2, on obtient ³ → − →´ ³ − →´ − → − − → → =⇒ v × B =⇒ 3,2 × 10−15 i = (−e) −106 j × ±B k F B = q− ³ ´ ¡ ¢ → − − → → − 3,2 × 10−15 i = e 106 (±B) j × k (i) → − − → − → Comme j × k = i , l’équation (i) permet d’affirmer que le champ magnétique doit être orienté selon l’axe des z positifs et que ¡ ¢ 3,2×10−15 3,2 × 10−15 = e 106 B =⇒ B = (1,6×10 −19 )(106 ) =⇒ B = 0,0200 T, selon l’axe des z positifs E3. En coordonnées cartésiennes, comme à l’exemple 8.3c, l’énoncé de la question implique que → − → − B = −0,12 × 10−4 k T, si 1 G = 10−4 T. On donne aussi v = 2,7 × 106 m/s à 45◦ au sud (−y) de l’est (+x) et q = e. Les composantes de la vitesse sont v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 1 ¢ ³ √2 ´ − ¢ ³ √2 ´ − → ¡ → → − → ¡ − − → 6 v = v cos (45◦ ) i − v sin (45◦ ) j = 2,7 × 106 i − 2,7 × 10 j =⇒ 2 2 ³ ´ → − → − − → v = 1,91 × 106 i − 1,91 × 106 j m/s Si on insère toutes les quantités dans l’équation 8.2, on obtient ³ → − →´ ³ − →´ − → − − → → v × B = e 1,91 × 106 i − 1,91 × 106 j × −0,12 × 10−4 k F B = q− ¡ ¢³ → − →´ ³ − →´ − − → (i) F B = e 102 1,91 i − 1,91 j × −0,12 k Rappelons que, selon la section 2.5 du tome 1, le produit vectoriel de deux vecteurs correspond à → − → − → − → − − → v × B = (vy Bz − vz By ) i + (vz Bx − vx Bz ) j + (vx By − vy Bx ) k (ii) Si on utilise l’équation (ii), la force magnétique calculée à l’équation (i) est ¡ ¢h → − → − →i − − → F B = e 102 (−1,91 (−0,12)) i + (−1,91 (−0,12)) j + (0) k =⇒ ¢¡ ¢³ ¡ → − →´ ³ − → − →´ − − → F B = 1,6 × 10−19 102 0,229 i + 0,229 j = 3,66 i + 3,66 j × 10−18 N Le module de cette force est q FB = (3,66 × 10−18 )2 + (3,66 × 10−18 )2 = 5,18 × 10−18 N E4. Et, d’après ses composantes, on constate qu’elle est dirigée au nord de l’est . → − → − On donne q = 1 µC, v = 106 m/s et B = 5,00 × 10−2 j T, si 1 G = 10−4 T. Au moyen de la figure 8.45, on voit que → − → − − → v 1 = v i = 1 × 106 i m/s → − − → − → Au moyen de l’équation 8.2, en se rappelant que i × j = k , on obtient ³ →´ ³ − →´ − → − − → → =⇒ v 1 × B = q 1 × 106 i × 5,00 × 10−2 j F B1 = q − ³ ´ ¢¡ ¢¡ ¢ − ¡ → − → → − − → → − i × j =⇒ F B1 = 0,0500 k N F B1 = 1 × 10−6 1 × 106 5,00 × 10−2 Selon la figure 8.45, on trouve ¢ ³ √2 ´ − ¢ ³ √2 ´ − ¡ → ¡ → → − → − → − 6 v 2 = −v cos (45◦ ) i + v sin (45◦ ) j = − 1 × 106 i + 1 × 10 j =⇒ 2 2 ´ ³ → − → − − → v 2 = −7,07 × 105 i + 7,07 × 105 j m/s → − − → → − → − − → Au moyen de l’équation 8.2, en se rappelant que i × j = k et que j × j = 0, on obtient ³ → − →´ ³ − →´ − → − − → → v 2 × B = q −7,07 × 105 i + 7,07 × 105 j × 5,00 × 10−2 j =⇒ F B2 = q − ´ ³ ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ − → − → → − → − − → i × j =⇒ F B2 = −0,0354 k N F B2 = 1 × 10−6 −7,07 × 105 5,00 × 10−2 D’après la figure 8.45, on obtient ¢ ³ √2 ´ − ¢ ³ √2 ´ − → ¡ → → − → ¡ − → − 6 i − 1 × 10 k =⇒ v 3 = v cos (45◦ ) i − v sin (45◦ ) k = 1 × 106 2 2 ´ ³ → − → − − → v 3 = 7,07 × 105 i − 7,07 × 105 k m/s 2 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4 © ERPI E5. Au moyen de l’équation 8.2, en faisant appel à l’équation (ii) de l’exercice 3, on trouve ³ → − →´ ³ − →´ − → − → − → =⇒ F B3 = q − v 3 × B = q 7,07 × 105 i − 7,07 × 105 k × 5,00 × 10−2 j ³ ´ ³ ´ ¡ ¢ → − → − → − − → F B3 = q 103 7,07 i − 7,07 k × j =⇒ ¡ 3¢ h → − →i − − → (7,07 (5,00)) i + (7,07 (5,00)) k =⇒ F B3 = q 10 ³− ¡ ¢¡ ¢³ → − →´ → − →´ − → − → − =⇒ F B3 = 0,0354 i + k N F B3 = 1 × 10−6 103 35,4 i + 35,4 k → − On cherche le champ magnétique B, dont l’orientation conduit aux situations décrites dans ces deux figures : °− ° °→ ° ° ° ° ° °→ ° °− ° → → v 1 ° = °− v 2° . L’énoncé de la question indique que ° F B1 ° = ° F B2 ° et °− Comme la charge est positive, la direction de la force magnétique est est identique à celle → − → − → − → → → de − v × B. Selon la règle de la main droite, il faut tourner de − v 1 à B ou de − v 2 à B dans un plan perpendiculaire à chacun des vecteurs forces. Dans les deux figures, une flèche → − → − indique le sens nécessaire pour obtenir l’orientation adéquate de F B1 et F B2 . Dans les deux cas, la rotation s’effectue dans le plan xy. De plus, °− ° °→ ° °→ ° °→ ° °→ ° °− ° v 1 ° sin θ1 = |q| °− v 2 ° sin θ2 =⇒ θ1 = θ2 ° F B1 ° = ° F B2 ° =⇒ |q| °− Ainsi, le champ magnétique ne peut se trouver qu’à mi-chemin entre les deux vecteurs → − → → vitesse pour que l’angle θ entre − v et B soit le même dans les deux cas. Comme − v 1 est → v 2 est orientée selon l’axe des y positifs, on conclut à 30◦ de l’axe des x positifs et que − → − que B est dans le plan xy, à 60,0◦ de l’axe des x E6. On donne q = −0,25 µC et v = 2 × 106 m/s. D’après la figure 8.46, on note que les composantes de la vitesse sont ¢ ³ √2 ´ − ¢ ³ √2 ´ − → ¡ → → − → ¡ − − → 6 i + 2 × 10 k =⇒ v = v cos (45◦ ) i + v sin (45◦ ) k = 2 × 106 2 2 ´ ³ → − → − − → v = 1,41 × 106 i + 1,41 × 106 k m/s v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 3 Le module du champ magnétique est B = 0,03 T, mais son orientation est inconnue. → − → − → − (a) On donne B = B k = 0,03 k T. Au moyen de l’équation 8.2, en se rappelant que − → − → → − → → − − i × k = − j et que k × k = 0, on obtient ³ → − →´ ³ − →´ − → − → − → v × B = q 1,41 × 106 i + 1,41 × 106 k × 0,03 k F B = q− =⇒ ³ ´ ¡ ¢ ¡ ¢ → − → − − → → − − → =⇒ F B = 0,0106 j N F B2 = −0,25 × 10−6 1,41 × 106 (0,03) i × k → − → − (b) On donne F B = 4 × 10−3 j N. Comme la force magnétique est orientée selon l’axe des y positifs, le champ magnétique doit se trouver dans le plan xz pour être perpendiculaire → − → à la force. On cherche l’angle θ entre − v et B au moyen de l’équation 8.1 : ¡ ¢¡ ¢ FB = |q| vB sin θ =⇒ 4 × 10−3 = 0,25 × 10−6 2 × 106 (0,03) sin θ =⇒ sin θ = 4×10−3 (0,25×10−6 )(2×106 )(0,03) = 0,2667 =⇒ θ = arcsin (0,2667) Les deux solutions de cette équation sont θ = 15,5◦ et 164,5◦ . → − → − − Comme F B est orientée selon l’axe des y positifs et que q < 0, → v × B est orientée selon → − → l’axe des y négatifs. La règle de la main droite implique une rotation de − v vers B en direction de l’axe des z positifs de la figure 8.46. Si on choisit la première valeur de θ, en E7. E8. rappelant que 45◦ − 15,5◦ = 29,5◦ , alors on en déduit que → − → v B est orienté à 29,5◦ de l’axe des z positifs dans le plan xz, en direction de − ³ − ´ → → − → − → On donne q = −4 µC, − v = 2,0 i − 3,0 j + 1,0 k × 106 m/s et → → − →´ − − → ³ − B = 2,0 i + 5,0 j − 3,0 k × 10−2 T. Au moyen de l’équation 8.2, en faisant appel à l’équation (ii) de l’exercice 3, on obtient ¡ ¢³ − → → − →´ ³ − − → → − →´ − → − − → → v × B = q 104 2,0 i − 3,0 j + 1,0 k × 2,0 i + 5,0 j − 3,0 k =⇒ F B = q− h ¡ ¢ → − → − F B = q 104 (−3,0 (−3,0) − 1,0 (5,0)) i + → − →i − (1,0 (2,0) − 2,0 (−3,0)) j + (2,0 (5,0) − (−3,0) (2,0)) k =⇒ ¡ ¢¡ ¢³ − → → − →´ − → − =⇒ F B = −4 × 10−6 104 4,0 i + 8,0 j + 16,0 k ³ ´ → − → − → − → − F B = −0,160 i − 0,320 j − 0,640 k N ³ − ³ − → →´ − → − → →´ − → − → On donne q = −2 µC, − v = − i + 3 j × 106 m/s et F B = 3,0 i + j + 2,0 k N. Le champ magnétique inconnu ne possède que deux composantes, soit → − → − − → B = By j + Bz k Au moyen de l’équation 8.2, en faisant appel à l’équation (ii) de l’exercice 3, on obtient − → → − → F B = q− v × B =⇒ ³ − ³ → − →´ ³ − − → →´ − → − → →´ − =⇒ 3,0 i + j + 2,0 k = q −1,0 × 106 i + 3 × 106 j × By j + Bz k 4 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4 © ERPI ³ − ¢³ → − → →´ ¡ − → − →´ ³ − − → →´ − 3,0 i + j + 2,0 k = −2,0 × 10−6 −1,0 × 106 i + 3 × 106 j × By j + Bz k =⇒ ³ − → →´ − → − → →´ ³ − − → →´ ³ − − =⇒ 3,0 i + j + 2,0 k = 2,0 i − 6,0 j × By j + Bz k i ³ − ´ h → − → − → − → − → → − 3,0 i + j + 2,0 k = −6,0Bz i − 2,0Bz j + 2,0By k Lorsque deux vecteurs sont égaux, les composantes doivent être égales. On en conclut E9. facilement que By = 1,0 T et Bz = −0,5 T, c’est-à-dire ³ → − →´ − − → B= 1,00 j − 0,500 k T ³ − → − → →´ − → − → − On donne q = −e, B = −1,2 k T et F B = −2 i + 6 j × 10−13 N. → − → − → La vitesse inconnue ne possède que deux composantes, soit − v = vx i + vy j . Au moyen de l’équation 8.2, en faisant appel à l’équation (ii) de l’exercice 3, on obtient → − − → → v × B =⇒ F B = q− ³ − ³ − → →´ ³ − →´ − → →´ − =⇒ −2 i + 6 j × 10−13 = q vx i + vy j × −1,2 k ´ ³ ³ ³ − ´ ¡ ¢ → − → − →´ − → → − =⇒ −2 i + 6 j × 10−13 = −1,6 × 10−19 vx i + vy j × −1,2 k ´ ³ ´ ³ − ´ ³ ¡ ¢ → − → − → − → → − =⇒ −2 i + 6 j = −1,6 × 10−6 vx i + vy j × −1,2 k i ³ − ´ h ¡ ¢ → − → − → → − −2 i + 6 j = −1,6 × 10−6 vy (−1,2) i − vx (−1,2) j Lorsque deux vecteurs sont égaux, les composantes doivent être égales, ce qui implique que vx = −6 (−1,6×10−6 )(−1,2) = −3,13 × 106 m/s −2 (−1,6×10−6 )(−1,2) = −1,04 × 106 m/s ³ → − →´ − → Donc − v = −3,13 i − 1,04 j × 106 m/s → − → − → − → E10. On donne q = −e, − v = 106 i m/s et F B = 4 × 10−14 j N. → − (a) Sans faire de calculs, on sait que B doit se trouver dans le plan xz pour être perpendi→ − culaire à F B . Pour en savoir plus, on utilise l’équation 8.2, en faisant appel à l’équation vy = (ii) de l’exercice 3 : → − → − → F B = q− v × B =⇒ ³ − → − →´ ³ − → → − →´ − =⇒ 4 × 10−14 j = q 106 i × Bx i + By j + Bz k h ¡ ¢ − ¢ ¢ ¡ ¡ → − → →i − 4 × 10−14 j = −1,6 × 10−19 − 106 Bz j + 106 By k Lorsque deux vecteurs sont égaux, les composantes doivent être égales, ce qui confirme que By = 0 et permet de calculer que Bz = 4×10−14 (−1,6×10−19 )(−106 ) = 0,250 T Il est impossible de déduire quoi que ce soit sur la composante Bx du champ magnétique, v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 5 car elle n’apparaît pas dans cette équation. → − En résumé, B est dans le plan xz, Bx est inconnu et Bz = 0,250 T → − → (b) Si le module de la force est maximal, c’est que l’angle entre − v et B est de 90◦ . En tenant E11. E12. E13. 6 compte de la solution de la partie (a), il s’ensuit que Bx = 0 et que → − − → B = 0,250 k T → − On donne q = e, et B est inconnu. ³ − → − → →´ − → − → → v 2 est orientée selon Si − v 1 = 2 i + 3 j × 106 m/s, F B1 = −1,28 × 10−13 k N. Si − → − l’axe des z positifs, F B2 est orientée selon l’axe des x positifs. → − → Comme q > 0, la force magnétique est orientée dans le même sens que le produit − v × B. → − → L’information sur − v 1 et F B1 permet de conclure que le vecteur champ magnétique se → − → trouve dans le plan xy et que Bz = 0. Toutefois, l’information sur − v 2 et F B2 permet de → − déduire que B doit être perpendiculaire à l’axe des x, ce qui implique que Bx = 0. Des → − → − deux situations, on conclut que B = By j . Au moyen de l’équation 8.2, en se rappelant → − − → − → → − − → que i × j = k et que j × j = 0, on obtient → − − → → v 1 × B =⇒ F B1 = q − ³ → − → − →´ ³ − − →´ =⇒ −1,28 × 10−13 k = q 2 × 106 i + 3 × 106 j × By j ³ ´ ³ ¡ ¢ ¡ ¢ → − →´ − → − → − −1,28 × 10−13 k = 1,6 × 10−19 106 2 i + 3 j × By j =⇒ ³ ´ ¡ ¢¡ ¢ ¢ − → ¡ − → → − − → −1,28 × 10−13 k = 1,6 × 10−19 106 (2By ) i × j = 3,2 × 10−13 By k =⇒ −13 → − → − = −0,400 T =⇒ B = −0,400 j T By = −1,28×10 3,2×10−13 En coordonnées cartésiennes, comme à l’exemple 8.3c, l’énoncé de la question implique → − → − → − → − que = 1 i m, pour I = 103 A, et que B = 0,5 × 10−4 j T, si 1 G = 10−4 T. Au → − − → − → moyen de l’équation 8.3, en se rappelant que i × j = k , on obtient → − − →´ ³− →´ → ¡ ¢³ − − → =⇒ F B = I × B = 103 1 i × j ³ ´ ¢ − ¡ ¢¡ → − → → − − → i × j = 0,0500 k N F B = 103 0,5 × 10−4 → − → − On donne B 1 = −B1 k , et la boucle de la figure 8.47 est parcourue par un courant I. → − → − → − − → → − Si 1 = d i , selon l’équation 8.3, en se rappelant que i × k = − j , on trouve ³− ³ − → − →´ →´ − → − → − →´ ³ − → → − → − F B1 = I 1 × B 1 = I d i × −B1 k = −IdB1 i × k =⇒ F B1 = IdB1 j → − → − → − − → − → Si 2 = d j , en se rappelant que j × k = i , on trouve ³ − ³− → − →´ →´ − → − → − →´ ³ − → → − → − =⇒ F B1 = −IdB1 i F B2 = I 2 × B 1 = I d j × −B1 k = −IdB1 j × k → − → − → − Si 3 = −d i − d j , on a Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4 © ERPI E14. E15. E16. ³− ³ − → − → − → − →´ →´ − → − → →´ ³ − → − − → =⇒ F B3 = I 3 × B 1 = I −d i − d j × −B1 k = IdB1 i × k + j × k ³ ´ ³ ´ → − − → → − − → − → → − =⇒ F B3 = IdB1 i − j F B3 = IdB1 − j + i → − → − On donne B 2 = −B2 i , et la boucle de la figure 8.47 est parcourue par un courant I. → − → − → − − → Si 1 = d i , selon l’équation 8.3, en se rappelant que i × i = 0, on trouve ³− ³ − → − →´ →´ − → − →´ ³ → − − → → − =⇒ F B1 = 0 F B1 = I 1 × B 2 = I d i × −B2 i = −IdB2 i × i → − → − → − − → → − Si 2 = d j , en se rappelant que j × i = − k , on obtient ³− ³ − → − →´ →´ − → − → − →´ ³ → − − → → − =⇒ F B1 = IdB2 k F B2 = I 2 × B 2 = I d j × −B2 i = −IdB2 j × i → − → − → − Si 3 = −d i − d j , on a ³− ³ − →´ − → − → − → − →´ → − → →´ ³ − → − − → =⇒ F B3 = I 3 × B 2 = I −d i − d j × −B2 i = IdB2 i × i + j × i ³ ´ → − → − → − − → =⇒ F B3 = −IdB2 k F B3 = IdB2 − k → − → − On donne B 3 = B3 j , et la boucle de la figure 8.47 est parcourue par un courant I. → − → − → − − → − → Si 1 = d i , selon l’équation 8.3, en se rappelant que i × j = k , on trouve ³− ³ − → − →´ → − →´ ³ − →´ → − → − − → → − =⇒ F B1 = IdB3 k F B1 = I 1 × B 3 = I d i × B3 j = IdB3 i × j → − → − → − − → Si 2 = d j , en se rappelant que j × j = 0, on a ³− ³ − → − →´ → − →´ ³ − →´ → − − → → − =⇒ F B1 = 0 F B2 = I 2 × B 3 = I d j × B3 j = IdB3 j × j → − → − → − Si 3 = −d i − d j , on obtient ³− ³ − → − → − → − →´ → − → →´ ³ − − →´ → − − → =⇒ F B3 = I 3 × B 3 = I −d i − d j × B3 j = −IdB3 i × j + j × j ³ ´ → − → − − → → − =⇒ F B3 = −IdB3 k F B3 = −IdB3 k → − → − On donne = 15 cm, m = 30 g et B = 0,25 j . La figure qui suit reprend la figure 8.48 du manuel. Elle montre les deux orientations possibles de la force magnétique subie par la tige, selon le sens du courant, ainsi que son poids, et la force normale qui vient du plan incliné : ³P − ´ → Si la tige doit être à l’équilibre F = 0 , la force magnétique doit être orientée vers la → − droite, comme F B . On en conclut à partir de la règle de la main droite et de l’équation → − → − 8.3 que = − k . Autrement dit, le courant est orienté selon l’axe des z négatifs . v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 7 On trouve l’intensité I du courant au moyen de la figure qui suit, où l’on montre les composantes de la force magnétique et du poids qui sont parallèles à la surface du plan incliné, selon un axe s dirigé vers le haut : Le module de la force magnétique est FB = I B sin (90◦ ) = I B, et l’équilibre des forces implique que P Fs = −mg sin (37◦ ) + FB cos (37◦ ) = 0 =⇒ mg sin (37◦ ) = I B cos (37◦ ) =⇒ (30×10−3 )(9,8) ◦ ◦ I = mg B tan (37 ) = (15×10−2 )(0,25) tan (37 ) =⇒ I = 5,91 A E17. On donne B = 0,8 × 10−4 T, si 1 G = 10−4 T. En coordonnées cartésiennes, comme → − → − à l’exemple 8.3c, l’énoncé de la question implique que = −1 i m, pour I = 800 A. Comme le champ magnétique est orienté à 60◦ vers le bas sous la direction nord, ses composantes sont ¢¡ ¢− ¢ ³ √3 ´ − → → − → ¡ − → ¡ − → k =⇒ B = B cos (60◦ ) j − B sin (60◦ ) k = 0,8 × 10−4 12 j − 0,8 × 10−4 2 ´ ³ → − → − − → B = 0,400 × 10−4 j − 0,693 × 10−4 k T → − − → − → → − − → → − D’après l’équation 8.3, en se rappelant que i × j = k et que i × k = − j , on trouve ³ − → − − →´ ³ → − →´ − → − → =⇒ F B = I × B = 800 −1 i × 0,400 × 10−4 j − 0,693 × 10−4 k ³ ³− ³− → − →´ → − →´´ ³ → − →´ − − → = −0,0320 k − 0,0554 j N F B = 0,0800 −0,400 i × j + 0,693 i × k q Le module de cette force est FB = (−0,0320)2 + (−0,0554)2 = 0,0640 N, et l’angle qu’elle forme avec l’axe des y négatifs est donné par tan θ = |Bz | |By | = 0,0320 0,0554 = 0,577 =⇒ θ = 30,0◦ En résumé, la force par unité de longueur est FB E18. 8 = 0,0640 1 = 0,0640 N/m directement vers le sud, à 30,0◦ sous l’horizontale On donne I = 3 A, = 80 cm et B = 0,6 T. Au moyen de la figure 8.49, on voit que − → → − → − = − i = −0,80 i m → − → − → − → − − → B = B cos (30◦ ) i − B sin (30◦ ) j = (0,6) cos (30◦ ) i − (0,6) sin (30◦ ) j =⇒ → − →´ − − → ³ B = 0,520 i − 0,300 j T → − − → → − − → − → D’après l’équation 8.3, en se rappelant que i × i = 0 et que i × j = k , on obtient Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4 © ERPI ³ → − − → −´ ³ → − →´ − → − → =⇒ F B = I × B = 3 −0,80 i × 0,520 i − 0,300 j ´ ³ − → − → → − − → F B = 3 (0,24) i × j = 0,720 k N → − → − → − → − E19. On donne I = 6 A, = 0,45 k m et F B = −0,05 i N. → → − → − − − → (a) Si B⊥ et que la force est orientée selon l’axe des x négatifs, B = By j ; le champ magnétique ne possède donc qu’une seule composante, selon y. → − − → → − Si on utilise l’équation 8.3, en se rappelant que k × j = − i , on trouve → − − → − → F B = I × B =⇒ ³− ³ → − →´ → − →´ ³ − − →´ → − −0,05 i = 6 0,45 k × By j = 6 (0,45) By k × j = −2,70By i =⇒ → − → − By = −0,05 −2,70 = 0,0185 T =⇒ B = 0,0185 j T → − (b) Le vecteur B forme un angle de 30◦ avec l’axe des z positifs. Cet angle est aussi celui → − que forme ce vecteur avec le vecteur , ce qui permet de calculer le module de B avec l’équation 8.4 : FB = I B sin θ =⇒ 0,05 = 6 (0,45) B sin (30◦ ) =⇒ B = 0,05 6(0,45) sin(30◦ ) = 0,0370 T (i) → − → − → − Comme la force magnétique est orientée selon l’axe des x négatifs, B = By j + Bz k . → − − → → − → − − → D’après l’équation 8.3, en se rappelant que k × j = − i et que k × k = 0, on trouve → − − → − → F B = I × B =⇒ ³ ³− → − →´ ³ − − → − →´ → →´ − → − −0,05 i = 6 0,45 k × By j + Bz k = 6 (0,45) By k × j = −2,70By i =⇒ By = −0,05 −2,70 = 0,0185 T (ii) Si on combine les résultats (i) et (ii), on obtient q q B 2 = By2 + Bz2 =⇒ Bz = B 2 − By2 = (0,0370)2 − (0,0185)2 = 0,0320 T → − On choisit la racine positive puisque B est orientée à 30◦ de l’axe des z positifs. ³ → − − →´ → − Finalement, B = 0,0185 j + 0,0320 k T On donne a = 2 cm, c = 5 cm, B = 0,3 T et I = 8 A dans le sens indiqué à la figure E20. 8.50. D’après la même figure et en tenant compte du sens de I, on trouve → − → − → − haut = −a i = −0,02 i m − → → − → − bas = a i = 0,02 i m → − → − → − gauche = −c j = −0,05 j m → − → − → − droit = c j = 0,05 j m → − → − → − (a) On donne B 1 = B i = 0,3 i T. On utilise l’équation 8.3, que l’on modifie en multipliant v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 9 le terme de droite par N = 25 pour tenir compte du nombre de spires : ³ → − →´ ³ − − →´ → − → − → − =⇒ F haut = 0 F haut = N I haut × B 1 = 25 (8) −0,02 i × 0,3 i ³ → − →´ ³ − − →´ → − → − → − =⇒ F bas = 0 F bas = N I bas × B 1 = 25 (8) 0,02 i × 0,3 i ³ → − →´ ³ − − →´ → − → − =⇒ F gauche = N I gauche × B 1 = 25 (8) −0,05 j × 0,3 i ³ ´ → − − → − → =⇒ F gauche = 25 (8) (−0,05) (0,3) j × i ³ ´ → − → − → − → − F gauche = 25 (8) (−0,05) (0,3) − k =⇒ F gauche = 3,00 k N ³ ³− → − →´ ³ − − →´ → − →´ → − → − =⇒ F droit = N I droit × B 1 = 25 (8) 0,05 j × 0,3 i = 25 (8) (0,05) (0,3) j × i ³ ´ → − → − − → → − =⇒ F droit = −3,00 k N F droit = 25 (8) (0,05) (0,3) − k Avant de calculer le moment de force, on définit le moment magnétique du cadre avec l’équation 8.7. Si on tient compte de l’orientation du cadre et de la règle de la main droite, → − → on trouve que − u n = k et → − → − → − → → − µ = N IA− u n = N I (ac) k = 25 (8) (0,02) (0,05) k = 0,200 k A·m2 En utilisant l’équation 8.8, on obtient ³ ³− → − →´ → − →´ ³ − − →´ → − → → − → =⇒ − τ = 0,0600 j N·m τ =− µ × B 1 = 0,200 k × 0,3 i = 0,0600 k × i → − → − → − (b) On donne B 2 = −B k = −0,3 k T. On utilise l’équation 8.3 modifiée : ³ → − →´ ³ − →´ − → − − → =⇒ F haut = N I haut × B 2 = 25 (8) −0,02 i × −0,3 k ³ ´ → − − → − → =⇒ F haut = 25 (8) (−0,02) (−0,3) i × k ³ ´ → − → − − → → − =⇒ F haut = −1,20 j N F haut = 25 (8) (−0,02) (−0,3) − j ³ → − →´ ³ − →´ − → − → − =⇒ F bas = N I bas × B 2 = 25 (8) 0,02 i × −0,3 k ³ ´ → − − → → − =⇒ F bas = 25 (8) (0,02) (−0,3) i × k ³ ´ − → → − → − → − =⇒ F bas = 1,20 j N F bas = 25 (8) (0,02) (−0,3) − j ³ → − →´ ³ − →´ − → − → − =⇒ F gauche = N I gauche × B 2 = 25 (8) −0,05 j × −0,3 k ³ ´ → − − → − → =⇒ F gauche = 25 (8) (−0,05) (−0,3) j × k ³ ´ → − → − → − − → =⇒ F gauche = 3,00 i N F gauche = 25 (8) (−0,05) (−0,3) i ³ → − →´ ³ − →´ − → − → − =⇒ F droit = N I droit × B 2 = 25 (8) 0,05 j × −0,3 k ³ ´ → − − → → − =⇒ F droit = 25 (8) (0,05) (−0,3) j × k ³ ´ → − → − → − − → =⇒ F droit = −3,00 i N F droit = 25 (8) (0,05) (−0,3) i → − → → τ =0 Finalement, comme le vecteur B 2 est parallèle à − µ , on trouve que − → − → − E21. On donne a = 20 cm, c = 50 cm, N = 16 spires, B = 0,5 i T et I = 10 A dans le sens indiqué à la figure 8.51. 10 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4 © ERPI (a) Selon la même figure et en tenant compte du sens de I, on a − → → → → → ◦ − ◦ − ◦ − ◦ − 1 = −a cos (30 ) i − a sin (30 ) j = −0,20 cos (30 ) i − 0,20 sin (30 ) j =⇒ ³ − → → − →´ − m 1 = −0,173 i − 0,100 j − → → − → − 2 = −c k = −0,50 k m − → → → → → ◦ − ◦ − ◦ − ◦ − 3 = a cos (30 ) i + a sin (30 ) j = 0,20 cos (30 ) i + 0,20 sin (30 ) j =⇒ ³ → − →´ − − → = 0,173 i + 0,100 j m 3 − → → − → − 4 = c k = 0,50 k m Pour chaque côté, on calcule la force magnétique en utilisant l’équation 8.3, que l’on modifie pour tenir compte du nombre de spires : ³ → − → − →´ ³ − − →´ → − − → =⇒ F B1 = N I 1 × B = 16 (10) −0,173 i − 0,100 j × 0,5 i ´ ³ ³ → − − → →´ − − → =⇒ F B1 = 16 (10) (−0,100) (0,5) j × i = 16 (10) (−0,100) (0,5) − k → − → − F B1 = 8,00 k N ³ ³− → − − →´ ³ − − →´ → − →´ → → − =⇒ F B2 = N I 2 × B = 16 (10) −0,50 k × 0,5 i = 16 (10) (−0,50) (0,5) k × i ³ ´ → − → − → − → − =⇒ F 2 = −40,0 j N F B2 = 16 (10) (−0,50) (0,5) j ³ → − → − →´ ³ − − →´ → − → − =⇒ F B3 = N I 3 × B = 16 (10) 0,173 i + 0,100 j × 0,5 i ³ ´ ³ → − − → →´ − − → =⇒ F B3 = 16 (10) (0,100) (0,5) j × i = 16 (10) (0,100) (0,5) − k → − → − F B3 = −8,00 k N ³ ³− → − →´ ³ − − →´ → − →´ → − → − =⇒ F B4 = N I 4 × B = 16 (10) 0,50 k × 0,5 i = 16 (10) (0,50) (0,5) k × i ³ ´ → − → − → − − → =⇒ F 4 = 40,0 j N F B4 = 16 (10) (0,50) (0,5) j − (b) On reproduit la figure 8.51 vue d’au-dessus pour montrer le vecteur → u n associé au cadre et au sens du courant : °→ ° → u n sont u n ° = 1, les composantes de − Comme °− ° ° ° ° → − → − → − → − → − − → u n ° sin (30◦ ) i − °→ u n ° cos (30◦ ) j = 0,500 i − 0,866 j u n = °− On obtient le vecteur moment magnétique avec l’équation 8.7 : ³ → − →´ − → − → µ = N IA− u n = N I (ac) 0,500 i − 0,866 j =⇒ ³ ³ ´ → − →´ − → − → − − → 8,00 i − 13,9 j A·m2 µ = 16 (10) (0,20) (0,50) 0,500 i − 0,866 j = v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 11 (c) En utilisant l’équation 8.8, on obtient ³− → − →´ ³ − − →´ → − →´ → ³ − → − → τ =− µ × B = 8,00 i − 13,9 j × 0,5 i = (−13,9) (0,5) j × i =⇒ → − − → τ = 6,95 k N·m E22. On donne B = 0,2 T, I = 10 A, a = 0,10 m et A = a2 = 0,01 m2 . On suppose qu’il s’agit de huit bobines comportant une spire chacune, ce qui est équivalent à une bobine comportant huit spires; donc N = 8. Comme dans la figure 8.23a, le plan de chaque → − bobine est perpendiculaire au champ B, de sorte que θ = 90◦ dans l’équation 8.6 : (a) τ = N IAB sin θ = (8) (10) (0,01) (0,2) sin (90◦ ) = 0,160 N·m (b) On exprime la vitesse angulaire en radian par seconde : ¢ ¡ 2π ¢ ¡ 1 min ¢ ¡ tours × 1 tour × 60 s = 125,7 rad/s ω = 1200 1 min On calcule la puissance mécanique instantanée avec l’équation 11.27 du tome 1 : P = τ ω = (0,160) (125,7) = 20,1 W E23. On donne I = 5 A et r = 2 cm, le rayon du cadre circulaire (N = 1) dont l’aire est A = πr2 = π (0,02)2 = 4π × 10−4 m2 . On donne aussi B = 0,06 T et θ = 30◦ , l’angle entre l’axe du cadre et le champ magnétique. Cette dernière valeur ne correspond pas → − → nécessairement à l’angle entre le vecteur − µ et le champ magnétique B, qui pourrait être de 150◦ . Toutefois, on sait que sin (30◦ ) = sin (150◦ ), de sorte qu’en utilisant l’équation 8.6, on obtient ¢ ¡ τ = N IAB sin θ = (1) (5) 4π × 10−4 (0,06) sin (30◦ ) = 1,88 × 10−4 N·m E24. (a) La boucle possède une aire A = d2 2 . Si on tient compte de l’orientation de la boucle → − → (N = 1) et de la règle de la main droite dans la figure 8.47, − u n = k . Selon l’équation 8.7, on trouve ³ 2´→ − → − d k = 12 Id2 k 2 → − → − (b) Selon l’équation 8.8, pour B = −B i , on obtient ³− → − →´ →´ ³ − →´ − → − → ³ − − → → τ =− µ × B = 12 Id2 k × −B i = − 12 IBd2 k × i = − 12 IBd2 j → − → µ = N IA− un = I E25. On donne r = 4 cm, le rayon du cadre circulaire (N = 1) ; donc ³ − → →´ − → u n = 0,6 i − 0,8 j et A = πr2 = 16π × 10−4 m2 . On donne aussi I = 2,8 A, − → →´ − − → ³ − B = 0,2 i − 0,4 k T. (a) On calcule d’abord le moment magnétique avec l’équation 8.7 : → − → µ = N IA− u n =⇒ 12 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4 © ERPI ¡ ¢³ − → →´ ³ − → − →´ − − → µ = (1) (2,8) 16π × 10−4 0,6 i − 0,8 j = 8,44 i − 11,3 j × 10−3 A·m2 Selon l’équation 8.8, en utilisant l’équation (ii) de l’exercice 3, on obtient → − →´ ³ − − → →´ − → ³ − → − → τ =− µ × B = 8,44 × 10−3 i − 11,3 × 10−3 j × 0,2 i − 0,4 k =⇒ ³ ´ ³ ´ ¡ ¢ → − → − → − → − − → τ = 10−3 8,44 i − 11,3 j × 0,2 i − 0,4 k =⇒ h ¡ ¢ → − → − →i − → − τ = 10−3 (−11,3) (−0,4) i − (8,44) (−0,4) j − (−11,3) (0,2) k =⇒ ³ → − → − →´ − → − τ = 4,52 i + 3,38 j + 2,26 k × 10−3 N·m E26. (b) Au moyen de l’équation 8.9, on trouve ³ → − →´ ³ − − → →´ − → − → U = −− µ · B = − 8,44 × 10−3 i − 11,3 × 10−3 j · 0,2 i − 0,4 k =⇒ ¢ ¡ U = − 8,44 × 10−3 (0,2) = −1,69 mJ On donne N = 20 spires et a = 2 cm, l’arête de chaque spire; donc A = a2 = 4 × 10−4 m2 . On donne aussi B = 0,04 T, si 1 G = 10−4 T, I = 2 mA et φ = 30◦ , la déviation de l’aiguille. Si le galvanomètre est identique à celui de la figure 8.21, la relation entre φ et κ, la constante de torsion, est celle qui a été établie à la section 8.4 : φ= NAB κ I =⇒ κ = NAB φ I = 20(4×10−4 )(0,04) 30◦ ¡ ¢ 2 × 10−3 = 2,13 × 10−8 N·m/degré On donne N = 200 spires et a = 2,5 cm, l’arête de chaque spire; donc E27. A = a2 = 6,25 × 10−4 m2 . On donne aussi B = 0,05 T, si 1 G = 10−4 T et κ = 2×10−8 N·m/degré. Si le courant vaut I = 10 µA et que le galvanomètre est identique à celui de la figure 8.21, la déviation est donnée par la relation établie à la section 8.4 : ¢ 200(6,25×10−4 )(0,05) ¡ φ = NAB 10 × 10−6 = 3,13◦ κ I = 2×10−8 On donne q = e, v = 3 × 107 m/s et B = 0,05 T. La masse d’un proton se trouve dans E28. les pages liminaires du manuel, soit m = 1,67 × 10−27 kg. → − → (a) Comme − v ⊥ B, le rayon de la trajectoire est donné par l’équation établie à la section 8.5 : (1,67×10−27 )(3×107 ) mv r = |q|B = (1,6×10−19 )(0,05) = 6,26 m (b) En utilisant l’équation 8.11, on obtient T = E29. 2πr v = 2π(6,26) 3×107 = 1,31 µs On donne q = −e, K = 1 keV, l’énergie cinétique de l’électron, B = 50 × 10−4 T et → − − → v ⊥ B. La masse d’un électron se trouve dans les pages liminaires du manuel, soit m = 9,1 × 10−31 kg. Rappelons que 1 eV = 1,6 × 10−19 J; donc ´ ³ −19 J = 1,6 × 10−16 J K = (1 keV) × 1,6×10 1 eV v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 13 On calcule le module de la vitesse de l’électron avec l’équation 7.11 du tome 1, qui définit l’énergie cinétique : q q 2(1,6×10−16 ) =⇒ v = 2K = = 1,88 × 107 m/s m 9,1×10−31 → − → (a) Comme − v ⊥ B, le rayon de la trajectoire est donné par l’équation établie à la section 8.5 : K= r= mv2 2 mv |q|B (9,11×10−31 )(1,88×107 ) = (1,6×10−19 )(50×10−4 ) = 2,13 cm (b) Comme il s’agit d’une accélération centripète, on utilise l’équation 4.13 du tome 1 : ar = v2 r 2 = (1,88×107 ) 2,13×10−2 = 1,66 × 1016 m/s2 (c) En utilisant l’équation 8.11, on trouve 2πm |q|B T = E30. = 2π (9,11×10−31 ) (1,6×10−19 )(50×10−4 ) = 7,15 ns → − → On donne q = e, r = 10 cm, B = 1,0 T et − v ⊥ B. On sait que m = 1,67 × 10−27 kg. → − → (a) Comme − v ⊥ B, le rayon de la trajectoire est donné par l’équation établie à la section 8.5, de laquelle on extrait le module de la vitesse, puis celui de la quantité de mouvement : r= mv |q|B =⇒ v = r|q|B m =⇒ ¡ ¢ p = mv = r |q| B = (0,10) 1,6 × 10−19 (1,0) = 1,60 × 10−20 kg·m/s (b) Comme v = p m, on trouve p 2 m 2 (1,60×10−20 ) p2 = = = 7,66 × 10−14 J =⇒ 2 2m 2(1,67×10−27 ) ´ ³ ¡ ¢ 1 eV K = 7,66 × 10−14 J × 1,6×10 = 4,79 × 105 eV −19 J → − → E31. On donne q = e, r = 20 cm, B = 0,8 T et − v ⊥ B. On sait que m = 1,67 × 10−27 kg. → − → (a) Comme − v ⊥ B, le rayon de la trajectoire est donné par l’équation établie à la section 8.5, K= mv2 2 = m( ) de laquelle on extrait le module de la vitesse : r= mv |q|B =⇒ v = r|q|B m = (0,20)(1,6×10−19 )(0,8) 1,67×10−27 = 1,53 × 107 m/s (b) En utilisant l’équation 8.11, on obtient T = 2πm |q|B = 2π (1,67×10−27 ) (1,6×10−19 )(0,8) = 8,20 × 10−8 s (c) En utilisant l’équation 7.11 du tome 1, on trouve K= E32. E33. mv2 2 2 = (1,67×10−27 )(1,53×107 ) 2 = 1,95 × 10−13 J On donne L = 2,11 × 10−34 kg·m2 /s. On sait que q = −e et m = 9,1 × 10−31 kg. Si on utilise le module de l’équation (ii) de l’exemple 8.10, on obtient ¢ (1,6×10−19 ) ¡ e µ = 2m L = 2(9,1×10−31 ) 2,11 × 10−34 = 1,85 × 10−23 A·m2 → − − On donne md = 2mp et qd = qp = e. Pour les deux particules, → v ⊥ B, ce qui implique que le rayon de leur trajectoire respective est donné par l’équation établie à la section 14 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4 © ERPI 8.5, soit r = mv |q|B =⇒ v = r|q|B m . (a) Si le module de leur quantité de mouvement est le même, on a |qd |B pd = pp =⇒ md vd = mp vp =⇒ md rd m = mp d rp rd rd = rp =⇒ rp |qp |B mp =⇒ rd |qd | B = rp |qp | B =⇒ =1 (b) Si le module de leur vitesse est le même, on obtient plutôt vd = vp =⇒ rd |qd |B md = rp |qp |B mp =⇒ rd md = rp mp =⇒ rd 2mp = rp mp rp rd =⇒ = 0,500 (c) Si elles ont la même énergie cinétique, on obtient ³ ´ ³ ´ mp v 2 m v2 rp |qp |B 2 |qd |B 2 1 Kd = Kp =⇒ d2 d = 2 p =⇒ 12 md rd m = m =⇒ 2 p mp d ³ ´2 ³ ´2 r2 r2 r2 r2 r2 r rd md m = mp mpp =⇒ mdd = mpp =⇒ 2md p = mpp =⇒ rp2 = 0,500 =⇒ d d rp rd = 0,707 On sait que qp = |qé | = e. Si mp = 1,67 × 10−27 kg et que mé = 9,1 × 10−31 kg, → − → mp = 1,84 × 103 mé . Pour les deux particules, − v ⊥ B, ce qui implique que le rayon de leur E34. trajectoire respective est donné par l’équation établie à la section 8.5, soit r= mv |q|B =⇒ v = r|q|B m (a) Si le module de leur vitesse est le même, on a vé = vp =⇒ ré mé = ré |qé |B mé rp 1,84×103 mé rp |qp |B mp = rp ré =⇒ =⇒ ré mé = rp mp =⇒ = 1,84 × 103 (b) Si elles ont la même énergie cinétique, on obtient ³ ´2 ³ ´ mp v 2 m v2 rp |qp |B 2 1 é |B = m =⇒ Ké = Kp =⇒ é2 é = 2 p =⇒ 12 mé ré |q mé 2 p mp ³ ´2 ³ ´2 2 2 2 r rp r r2 r2 r ré mé m = mp mpp =⇒ méé = mpp =⇒ méé = 1,84×10 =⇒ rp2 = 1,84 × 103 =⇒ 3m é é é rp ré = 42,9 → − − On donne mα = 4mp , qα = 2qp et rα = rp . Pour les deux particules, → v ⊥ B, ce qui E35. implique que le rayon de leur trajectoire est donné par l’équation établie à la section 8.5, soit r = mv |q|B =⇒ v = r|q|B m . Le champ magnétique subi par chaque particule n’a pas le même module. (a) Si le module de leur vitesse est le même, on obtient vα = vp =⇒ rα |qα |Bα mα = rp |qp |Bp mp =⇒ 2|qp |Bα 4mp = |qp |Bp mp =⇒ 1 2 Bα = Bp =⇒ Bα Bp = 2,00 (b) Si le module de leur quantité de mouvement est le même, on obtient pα = pp =⇒ mα vα = mp vp =⇒ mα rα |qmαα|Bα = mp |qα | Bα = |qp | Bp =⇒ 2 |qp | Bα = |qp | Bp =⇒ v4 © ERPI Bα Bp rp |qp |Bp mp =⇒ = 0,500 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 15 (c) Si elles ont la même énergie cinétique, on trouve ³ ´2 ³ ´2 2 mp v 2 r |q |B =⇒ Kα = Kp =⇒ mα2vα = 2 p =⇒ 12 mα rα |qmαα|Bα = 12 mp p mpp p ³ ´2 ³ ´2 2 2 2 |qp | Bp2 |qp |2 Bp2 |qp |Bp (2|qp |)2 Bα |qα |2 Bα α mα |qαm|B = m =⇒ = =⇒ = =⇒ p mp mα mp 4mp mp α Bα2 = Bp2 =⇒ E36. Bα Bp = 1,00 On donne q = −e, v = 4 × 106 m/s et B = 0,04 T. On sait que m = 9,1 × 10−31 kg. → − → L’angle entre − v et B est de 30◦ . Cette situation est similaire à celle décrite à la figure 8.26 du manuel. La composante de vitesse parallèle au champ magnétique est ¢ ¡ vq = v cos (30◦ ) = 4 × 106 cos (30◦ ) = 3,46 × 106 m/s E37. Et le pas de la trajectoire est donné par l’équation 8.13 : ¡ ¢ 2π(9,1×10−31 ) 6 = 3,09 mm d = vq 2πm |q|B = 3,46 × 10 (1,6×10−19 )(0,04) On donne q = e, v = 0,1c = 3,0 × 107 m/s et B = 0,2 × 10−4 T, si 1 G = 10−4 T. On sait que m = 1,67 × 10−27 kg. La figure qui suit montre la Terre, son champ magnétique à l’équateur, la vitesse de la particule et la force magnétique ressentie : → − → (a) Comme − v ⊥ B, le rayon de la trajectoire est donné par l’équation établie à la section 8.5 : (1,67×10−27 )(3,0×107 ) mv = (1,6×10−19 )(0,2×10−4 ) = 1,57 × 104 m r = |q|B → − (b) Dans la figure, l’orientation du vecteur F B a été obtenue au moyen de l’équation 8.2. E38. On en conclut, en observant la figure, que la déviation se fera vers l’est . → − → On donne q = e, r = 3,2 cm, B = 0,75 T et − v ⊥ B. On sait que m = 1,67 × 10−27 kg. (a) En utilisant l’équation 8.12, on obtient (1,6×10−19 )(0,75) |q|B = 2π(1,67×10−27 ) = 11,4 MHz fc = 2πm → − → (b) Comme − v ⊥ B, le rayon de la trajectoire est donné par l’équation établie à la section 8.5, de laquelle on extrait le module de la vitesse : (0,032)(1,6×10−19 )(0,75) mv =⇒ v = r|q|B = 2,30 × 106 m/s r = |q|B m = 1,67×10−27 16 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4 © ERPI Et l’énergie cinétique est donnée par l’équation 7.11 du tome 1 : E39. 2 (1,67×10−27 )(2,30×106 ) = = 4,42 × 10−15 J 2 ¡ ¢¡ ¢ (c) p = mv = 1,67 × 10−27 2,30 × 106 = 3,84 × 10−21 kg·m/s K= mv2 2 → − − On donne mα = 6,7 × 10−27 kg, qα = 2e, B = 0,6 T et → v ⊥ B. Lorsqu’une particule chargée est soumise à une différence de potentiel, la variation de l’énergie cinétique est donnée par l’équation 4.7, soit ∆K = −q∆V . Selon le signe de la charge, l’énergie cinétique augmente si le signe de la différence de potentiel est adéquat. Pour une particule de charge positive, ∆K > 0 si ∆V < 0. Pour une particule de charge négative, ∆K > 0 si ∆V > 0. Dans tous les cas, on peut poser que ∆K = |q| |∆V | . − Si la vitesse initiale → v 0 de la particule est nulle, on obtient q mv02 | mv 2 mv2 mv 2 ∆K = 2 − 2 = 2 =⇒ 2 = |q| |∆V | =⇒ v = 2|q||∆V m (i) Dans cet exercice, |∆V | = 14 kV et q q | 2((2)(1,6×10−19 ))(14×103 ) = = 1,16 × 106 m/s v = 2|qαm||∆V 6,7×10−27 α → − → Comme − v ⊥ B, le rayon de la trajectoire est donné par l’équation établie à la section 8.5 : r= E40. mv |q|B = (6,7×10−27 )(1,16×106 ) (2)(1,6×10−19 )(0,6) = 4,04 cm → − − On donne q20u = q22u = e, |∆V | = 1 kV, B = 0,4 T et → v ⊥ B. La masse de chacun des deux isotopes est, si u = 1,661 × 10−27 kg, ¡ ¢ m20u = 20 1,661 × 10−27 = 3,322 × 10−26 kg ¡ ¢ m22u = 22 1,661 × 10−27 = 3,654 × 10−26 kg On calcule le module de la vitesse de chaque isotope avec l’équation (i) de l’exercice 39 : q q −19 )(1000) 2|q20u ||∆V | = 2(1,6×10 = 9,815 × 104 m/s v20u = m20u 3,322×10−26 q q −19 )(1000) ||∆V | = 2(1,6×10 = 9,358 × 104 m/s v22u = 2|q22u m22u 3,654×10−26 On calcule le rayon de la trajectoire de chaque isotope avec r20u = m20u v20u |q20u |B = r22u = m22u v22u |q22u |B = (3,322×10−26 )(9,815×104 ) (1,6×10−19 )(0,4) (3,654×10−26 )(9,358×104 ) (1,6×10−19 )(0,4) = 5,095 cm = 5,343 cm Après une demi-révolution, la distance qui sépare la trajectoire des deux isotopes corres- E41. pond à la différence entre le diamètre des deux cercles : ¡¡ ¢ ¡ ¢¢ d = 2 (r22u − r20u ) = 2 5,343 × 10−2 − 5,095 × 10−2 = 4,96 mm On donne B1 = B2 = 0,4 T et E = 3 × 105 V/m dans un spectromètre de masse de Bainbridge. On donne aussi q12u = q14u = e. La masse de chacun des deux isotopes est, v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 17 si u = 1,661 × 10−27 kg, ¡ ¢ m12u = 12 1,661 × 10−27 = 1,993 × 10−26 kg ¡ ¢ m14u = 14 1,661 × 10−27 = 2,325 × 10−26 kg Pour les deux isotopes, le module de la vitesse est donnée par l’équation 8.15 : v= E B1 = 3×105 0,4 = 7,5 × 105 m/s On calcule le rayon de la trajectoire de chaque isotope avec r12u = m12u v |q12u |B2 = r14u = m14u v |q14u |B2 = (1,993×10−26 )(7,5×105 ) (1,6×10−19 )(0,4) (2,325×10−26 )(7,5×105 ) (1,6×10−19 )(0,4) = 23,36 cm = 27,25 cm Au moment où ils atteignent la plaque photographique, selon la figure 8.30, la distance qui sépare la trajectoire des deux isotopes correspond à la différence entre le diamètre des deux cercles : d = 2 (r14u − r12u ) = 2 E42. ¢ ¡ ¢¢ ¡¡ 27,25 × 10−2 − 23,36 × 10−2 = 7,78 cm On donne q = −e et m = 9,1 × 10−31 kg. → − → − → − → (a) Comme − v = 2 × 106 i m/s et que E = −200 j V/m, la situation est identique à celle de la figure 8.29. Si on suit le même raisonnement qu’au paragraphe portant sur le sélecteur de vitesse de la section 8.6, le champ magnétique doit être orienté selon l’axe des z négatifs, et son module est donné par l’équation 8.15 : v= E B =⇒ B = E v = 200 2×106 = 1,00 × 10−4 T Finalement, comme Bz = −B, on trouve que → − → − B = −1,00 × 10−4 k T (b) Si on supprime le champ électrique, le rayon de la trajectoire de l’électron est donné par r= E43. mv |q|B = (9,1×10−31 )(2×106 ) (1,6×10−19 )(1,00×10−4 ) = 11,4 cm On donne q = e, m = 1,67 × 10−27 kg et |∆V | = 10 kV. On calcule le module de la vitesse du proton avec l’équation (i) de l’exercice 39 : q q | 2(1,6×10−19 )(10×103 ) v = 2|q||∆V = = 1,38 × 106 m/s m 1,67×10−27 → − → Conséquemment, selon l’énoncé de la question, − v = −1,38 × 106 i m/s. → − → − Comme E = −103 j V/m, la force électrique ressentie par le proton est ¢¡ ¢− → − → − → → ¡ − F E = q E = 1,6 × 10−19 −103 j = −1,6 × 10−16 j N S’il ne doit pas y avoir de déviation, on conclut que → − → − − → F B = − F E = 1,6 × 10−16 j N 18 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4 © ERPI → − → − − Comme la charge est positive, le vecteur F B et le vecteur → v × B sont orientés dans le − → → même sens. Selon la règle de la main droite et en tenant compte du fait que − v ⊥ B, on → − → − conclut que le champ magnétique doit être orienté selon l’axe des z positifs, B = B k . On calcule le module du champ magnétique avec l’équation 8.1 : FB |q|v sin θ FB = |q| vB sin θ =⇒ B = = 1,6×10−16 (1,6×10−19 )(1,38×106 ) sin(90◦ ) = 7,25 × 10−4 T Finalement, → − − → B = 7,25 × 10−4 k T Soit N = 100, le nombre de révolutions du proton dans le cyclotron, q = e et E44. m = 1,67×10−27 kg. On donne aussi Kmax = 10 MeV = 1,6×10−12 J, la valeur maximale de l’énergie cinétique, et rmax = 50 cm, la valeur finale du rayon de la trajectoire du proton. (a) L’énergie cinétique maximale et le module de la vitesse maximale sont liés par q 2 mvmax =⇒ vmax = 2Kmmax (i) Kmax = 2 Le rayon de la trajectoire et le module de la vitesse sont liés par rmax = mvmax |q|B =⇒ vmax = rmax |q|B m (ii) Si on combine les équations (i) et (ii), on obtient q √ 2Kmax max = rmaxm|q|B =⇒ B = r2mK (iii) m max |q| √ 2(1,67×10−27 )(1,6×10−12 ) = 0,914 T B= 0,50(1,6×10−19 ) (b) Il y a 200 demi-tours. À chaque demi-tour, selon le raisonnement suivi à l’exercice 39, le proton gagne une énergie cinétique correspondant à ∆K = |q| |∆V | . Comme on connaît Kmax , on en déduit que Kmax = 200∆K = 200 |q| |∆V | =⇒ |∆V | = Kmax 200e = 1,6×10−12 200(1,6×10−19 ) = 50,0 kV (c) On utilise l’équation 8.12, ce qui permet d’obtenir que fc = |q|B 2πm = (1,6×10−19 )(0,914) 2π(1,67×10−27 ) = 13,9 MHz On donne q = e, m = 1,67 × 10−27 , B = 0,9 T et rmax = 75 cm, la valeur finale du rayon E45. de la trajectoire du proton. (a) Selon l’équation 15.1 du tome 1 et l’équation 8.12, la fréquence angulaire du cyclotron est ω c = 2πfc = 2π ³ |q|B 2πm ´ = |q|B m = (1,6×10−19 )(0,9) 1,67×10−27 = 8,62 × 107 rad/s (b) Selon la partie (a) de l’exercice 44, on obtient v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 19 √ 2mKmax rmax |q| B= E46. =⇒ Kmax = (Brmax |q|)2 2m 2 = (0,9)2 (0,75)2 (1,6×10−19 ) 2(1,67×10−27 ) = 3,49 × 10−12 J On donne q = e, m = 1,67 × 10−27 kg, B = 1,6 T et |∆V | = 6 × 104 V, l’amplitude de la différence de potentiel entre les deux demi-cylindres. On donne aussi Kmax = 12 MeV = 1,92 × 10−12 J, l’énergie cinétique maximale des protons à la sortie du cyclotron. (a) Selon la partie (a) de l’exercice 44, on trouve √ √ √ 2(1,67×10−27 )(1,92×10−12 ) 2mKmax 2mKmax = = 31,3 cm B = rmax |q| =⇒ rmax = |q|B (1,6×10−19 )(1,6) (b) On sait que le temps requis pour effectuer une révolution complète dans le cyclotron, soit une période, est constant. Selon l’équation 8.11, on obtient 2πm |q|B T = = 2π (1,67×10−27 ) (1,6×10−19 )(1,6) = 4,10 × 10−8 s Or, on peut trouver le nombre N1/2 de demi-tours effectués dans le cyclotron, car on sait qu’à chaque demi-tour, le gain d’énergie cinétique est ∆K = |q| |∆V | . En reliant cette quantité avec Kmax , on trouve (1,92×10−12 ) Kmax = N1/2 ∆K = N1/2 |q| |∆V | =⇒ N1/2 = Kmax |q||∆V | Le nombre N de tours complets est N = et le temps total passé dans le cyclotron N1/2 2 , = (1,6×10−19 )(6×104 ) = 200 est E47. ¡ ¢ t = N T = 100 4,10 × 10−8 = 4,10 µs On donne v0 = 0 et |∆V | = 225 V dans la direction x. Le signe de la charge étant inconnu, on suppose que la différence de potentiel possède le signe adéquat pour accélérer la particule. Le gain d’énergie cinétique de la particule est donné par ∆K = |q| |∆V | , comme à l’exercice 39, et, comme la vitesse initiale est nulle, sa vitesse finale est donnée par l’équation (i) du même exercice : q | v = 2|q||∆V (i) m → − → − → − On donne B = 10 k G = 1 × 10−3 k T. La particule va donc subir une déviation dans le plan xy de rayon r= mv |q|B (ii) Si on remplace v dans l’équation (ii) par sa valeur dans l’équation (i), en sachant que r = 0,05 m, on obtient q ´2 ³ 2|q||∆V | m r|q|B m =⇒ = r= m |q|B |q| m 20 = 2(225) (0,05)2 (1×10−3 )2 2|q||∆V | m =⇒ r2 |q|B 2 m = 2 |∆V | =⇒ |q| m = 2|∆V | r2 B 2 =⇒ = 1,80 × 1011 C/kg Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4 © ERPI On donne m = 1,2 × 10−25 kg, q = 2e, |∆V | = 200 V et B = 0,2 T. Avec l’équation (i) E48. de l’exercice 39, on trouve q q | 4(1,6×10−19 )(200) v = 2|q||∆V = = 3,27 × 104 m/s m 1,2×10−25 → − Comme B est perpendiculaire à la trajectoire de la particule, son rayon est donné par l’équation développée à la section 8.5 : r= mv |q|B = (1,2×10−25 )(3,27×104 ) 2(1,6×10−19 )(0,2) = 6,12 cm Dans une situation similaire à celle qui est décrite à la figure 8.39, on donne E49. = 0,1 cm, l’épaisseur de la plaquette, L = 1,6 cm, sa largeur, I = 15 A, B = 0,2 T et ∆VH = 6 µV, la tension de Hall mesurée. (a) Au moyen de l’équation 8.17 du manuel, on obtient ∆VH = vd BL =⇒ vd = ∆VH BL (6×10−6 ) 0,2(1,6×10−2 ) = = 1,88 mm/s (b) Au moyen de l’équation 8.18 du manuel, on trouve ∆VH = IB n|q| =⇒ n = IB |q| ∆VH Comme on le dit à la section 8.8, n constitue le nombre de porteurs de charge par unité de volume. À priori, la charge en mouvement peut n’être constituée que d’électrons ou, comme on le laisse entendre à la fin de la section 8.8, d’un mélange d’électrons négatifs et de trous positifs. Dans ce problème, on considère qu’il ne s’agit que d’électrons, c’est pourquoi on pose |q| = e, et on obtient n= E50. IB |q| ∆VH = 15(0,2) (1,6×10−19 )(0,1×10−2 )(1,6×10−2 ) = 3,13 × 1027 m−3 Dans une situation similaire à celle qui est décrite à la figure 8.39, on donne = 0,25 cm, l’épaisseur de la plaquette, I = 10 A, ∆VH = 1,2 µV, la tension de Hall mesurée, et n = 8,5 × 1028 m−3 , le nombre le porteur de charge par unité de volume. On suppose que les porteurs de charges sont des électrons; donc |q| = e. Au moyen de l’équation 8.18, on obtient ∆VH = E51. IB n|q| =⇒ B = n|q| ∆VH I = (8,5×1028 )(1,6×10−19 )(0,25×10−2 )(1,2×10−6 ) 10 = 4,08 T Dans une situation similaire à celle qui est décrite à la figure 8.39, on donne = 0,1 mm, l’épaisseur de la plaquette, L = 0,8 cm, sa largeur, I = 2 A, B = 0,8 T et ∆VH = 1,4 µV, la tension de Hall mesurée. Les porteurs de charge sont des électrons; donc |q| = e. En utilisant l’équation 8.18, on obtient ∆VH = v4 © ERPI IB n|q| =⇒ n = IB |q| ∆VH = 2(0,8) (1,6×10−19 )(0,1×10−3 )(1,4×10−6 ) = 7,14 × 1028 m−3 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 21 E52. → − → On donne q = e, et le champ magnétique B est inconnu. Si − v 1 est orientée selon l’axe → − → − → v 1 × B est orientée selon l’axe des y négatifs. des x positifs, la force magnétique F B1 = q − → − → − → Comme la charge est positive, F B1 et − v 1 × B sont orientés dans le même sens. Puisque → − → − − → F B1 ⊥ B, on peut conclure que By = 0 et que B se trouve quelque part dans le plan xz. Toutefois, à cause de la règle de la main droite, le champ magnétique doit se trouver du côté positif de l’axe des z; ainsi Bz > 0. → − → − → − → − → − → v 2 × B = −4,8 × 10−14 i N et que F B2 ⊥ B, on peut conclure que Bx = 0. Si F B2 = q − Le champ magnétique ne possède donc qu’une seule composante selon l’axe des z positifs. → − → Si v2 = 2 × 106 m/s et θ = 30◦ , l’angle entre − v 2 et B dans l’équation 8.1, on obtient FB2 = |q| v2 B sin θ =⇒ B = FB2 |q|v2 sin θ = 4,8×10−14 (1,6×10−19 )(2×106 ) sin(30◦ ) = 0,300 T Et, finalement, on trouve que → − − → B = 0,300 k T E53. → − − On donne q = e, → v = 1,8 × 106 i m/s, B = 0,65 T, le module du champ magnétique, et FB = 7,91 × 10−14 N, le module de la force magnétique subie par le proton. L’orientation de la force magnétique est inconnue. (a) En utilisant l’équation 8.1, on obtient FB = |q| vB sin θ =⇒ sin θ = FB |q|vB = 7,91×10−14 (1,6×10−19 )(1,8×106 )(0,65) = 0,423 =⇒ θ = arcsin(0,423) = 25,0◦ ou 155◦ Ces deux valeurs d’angle sont mesurées par rapport au vecteur vitesse, dans le plan qui est perpendiculaire à la direction de la force magnétique. Comme l’orientation de la force → − magnétique est inconnue, quatre orientations sont possibles pour B. → − → (b) Si la vitesse du proton est plutôt − v = 1,8 × 106 j m/s, la force magnétique ressentie → − → − → − → → − − correspond à F B = 7,91 × 10−14 k N. Puisque F B ⊥ B, B se trouve quelque part dans le plan xy. Toutefois, à cause de la règle de la main droite, le champ magnétique doit se trouver du côté négatif de l’axe des x, comme dans cette figure : 22 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4 © ERPI − → − Selon la réponse (a), l’angle entre → v et B peut être de 25,0◦ ou 155◦ . Si on mesure cet → − angle en tournant vers le côté négatif de l’axe des x, alors l’angle que forme B avec l’axe des x positifs est θ1 = 25,0◦ + 90◦ = 115◦ ou θ2 = 155◦ + 90◦ = 245◦ . Les deux valeurs → − possibles de B sont → − → − → − → − − → B 1 = B cos θ1 i ± B sin θ1 j = (0,65) cos (115◦ ) i + (0,65) sin (115◦ ) j =⇒ ³ → − →´ − − → B 1 = −0,275 i + 0,589 j T ou → − → − → − → − − → B 2 = B cos θ2 i ± B sin θ2 j = (0,65) cos (245◦ ) i + (0,65) sin (245◦ ) j =⇒ ³ → − →´ − − → B 2 = −0,275 i − 0,589 j T E54. ou encore ³ → − →´ − − → −0,275 i ± 0,589 j T B= Soit d = 20 cm, l’arête du cube de la figure 8.52. Le fil est parcouru par un courant → − → − I = 12 A et est plongé dans un champ magnétique B = 0,5 i T. La force sur chaque portion est obtenue avec l’équation 8.3. → − → − → − − → → − Pour la portion 1, 1 = d j . Si j × i = − k , on obtient ³ − → − →´ ³ − →´ → − − → =⇒ F B1 = I 1 × B = I d j × 0,5 i ³ ´ → − → → − − → − − → =⇒ F B1 = −1,20 k N F B1 = 12 (0,20) (0,5) j × i → − → − → − → − − → → − − → − → Pour la portion 2, 2 = −d i + d k . Si i × i = 0 et k × i = j , on obtient ³ − → − → →´ ³ − − →´ → − − → =⇒ F B2 = I 2 × B = I −d i + d k × 0,5 i ³ ´ → → − − → − → − − → =⇒ F B2 = 1,20 j N F B2 = 12 (0,20) (0,5) k × i → − → − → − → − − → → − − → → − Pour la portion 3, 3 = d i − d j . Si i × i = 0 et j × i = − k , on obtient ³ − → − → →´ ³ − − →´ → − → − =⇒ F B3 = I 3 × B = I d i − d j × 0,5 i ³ ´ → − − → → − → − − → =⇒ F B3 = 1,20 k N F B3 = 12 (−0,20) (0,5) j × i → − → − → − − → Pour la portion 4, 4 = −d i . Si i × i = 0, on obtient v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 23 E55. E56. E57. ³ − ³− → − →´ ³ − →´ → − →´ → − − → → − =⇒ F B4 = 0 F B4 = I 4 × B = I −d i × 0,5 i = 12 (−0,20) (0,5) i × i Soit d = 20 cm, l’arête du cube de la figure 8.52. Le fil est parcouru par un courant → − → − I = 12 A et est plongé dans un champ magnétique B = 0,5 k T. La force sur chaque portion est obtenue avec l’équation 8.3 : → − → − − → − → → − Pour la portion 1, 1 = d j . Si j × k = i , on obtient ³ − → − →´ ³ − →´ → − − → =⇒ F B1 = I 1 × B = I d j × 0,5 k ³ ´ → → − − → − − → → − =⇒ F B1 = 1,20 i N F B1 = 12 (0,20) (0,5) j × k → − → − → − → − − → → − − → − → Pour la portion 2, 2 = −d i + d k . Si i × k = − j et k × k = 0, on obtient ³ − → − → →´ ³ − − →´ → − − → =⇒ F B2 = I 2 × B = I −d i + d k × 0,5 k ³ ´ → − − → → − → − − → =⇒ F B2 = 1,20 j N F B2 = 12 (−0,20) (0,5) i × k → − → − → − → − − → → − − → − → − → Pour la portion 3, 3 = d i − d j . Si i × k = − j et j × k = i , on obtient ³ − → − → →´ ³ − − →´ → − − → =⇒ F B3 = I 3 × B = I d i − d j × 0,5 k ³ ´ ³− → → − − → − →´ − → =⇒ F B3 = 12 (0,20) (0,5) i × k + 12 (−0,20) (0,5) j × k ³ ´ → − → − → − → − → − − → F B3 = −1,20 j − 1,20 i =⇒ F B3 = −1,20 i − 1,20 j N → − → − → − − → → − Pour la portion 4, 4 = −d i . Si i × k = − j , on obtient ³ − ³− → − →´ ³ − →´ → − →´ → − → − =⇒ F B4 = I 4 × B = I −d i × 0,5 i = 12 (−0,20) (0,5) i × k → − → − F B4 = 1,20 j N ³ → − → − → − →´ − → − On donne I = 25 A, = −2 k m et F B = 4,01 i − 6,0 j × 10−5 N. On spécifie que − → − → ⊥ B; on peut donc conclure que le champ magnétique ne possède pas de composantes → − → − → − − → → − selon z. En posant B = Bx i + By j dans l’équation 8.3 et en se rappelant que k × i = − → → − − → → − j et que k × j = − i , on obtient → − − → − → F B = I × B =⇒ ³ ³ − → − →´ − → →´ − →´ ³ − 4,01 i − 6,0 j × 10−5 = I −2 k × Bx i + By j =⇒ ³ ´ ³ ´ ³ ³ → − → − → − − → → − − →´´ 4,01 i − 6,0 j × 10−5 = (25) −2Bx k × i − 2By k × j =⇒ ³ ´ → − → − → − → − 4,01 i − 6,0 j × 10−5 = −50Bx j + 50By i ³ → − →´ − − → B= 1,20 i + 0,802 j µT On donne B = 0,8 × 10−4 T, si 1 G = 10−4 T, = 1,8 m et I = 20 A. Le champ magné- tique est orienté à 70◦ vers le bas sous la direction nord. En coordonnées cartésiennes, comme à l’exemple 8.3c, ses composantes sont → − → − → − B = B cos (70◦ ) j − B sin (70◦ ) k =⇒ 24 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4 © ERPI ¢ ¢ ¡ → − ¡ → − − → B = 0,8 × 10−4 cos (70◦ ) j − 0,8 × 10−4 sin (70◦ ) k =⇒ → − →´ − − → ³ B = 0,274 × 10−4 j − 0,752 × 10−4 k T → − → − (a) Si le courant circule vers le nord, = 1,8 j m. Au moyen de l’équation 8.3, en se → − − → → − − → − → rappelant que j × j = 0 et que j × k = i , on trouve ³ − → − →´ − → − − →´ ³ − → → =⇒ F B = I × B = 20 1,8 j × 0,274 × 10−4 j − 0,752 × 10−4 k ³− ´ ¡ ¢ → − → → − − → F B = 20 (1,8) −0,752 × 10−4 j × k = −2,71 × 10−3 i N On conclut que la force magnétique possède un module FB = 2,71 mN et est orientée vers l’ouest . → − → − (b) Si le courant circule vers l’est, = 1,8 i m. Au moyen de l’équation 8.3, en se rappelant → − − → − → → − − → → − que i × j = k et que i × k = − j , on trouve ³ − → − →´ − → − − →´ ³ − → → F B = I × B = 20 1,8 i × 0,274 × 10−4 j − 0,752 × 10−4 k =⇒ ´ ³ ³ ¡ ¡ ¢ − ¢ − → − → → − →´ − → i × j + 20 (1,8) −0,752 × 10−4 i × k =⇒ F B = 20 (1,8) 0,274 × 10−4 ³ ´ ³ ´ → − → − → − → − − → F B = 0,986 × 10−3 k + 2,71 × 10−3 j = 2,71 × 10−3 j + 0,986 × 10−3 k N Le module de la force magnétique est q FB = (2,71 × 10−3 )2 + (0,986 × 10−3 )2 = 2,88 × 10−3 N L’angle θ que forme ce vecteur avec l’axe des y positifs dans la direction +z est tan θ = FBz FBy = 0,986×10−3 2,71×10−3 = 0,364 =⇒ θ = arctan(0,364) = 20,0◦ En résumé, la force magnétique possède un module FB = 2,88 mN et est orientée à 20◦ au-dessus de l’horizontale, directement vers le nord . E58. On donne B = 0,62 × 10−4 T, si 1 G = 10−4 T. En coordonnées cartésiennes, comme → − → − à l’exemple 8.3c, l’énoncé de la question implique que = −10 j m, parcouru d’un courant I = 2000 A. Comme le champ magnétique est orienté à 60◦ vers le bas sous la direction nord, ses composantes sont ¢¡ ¢− ¢ ³ √3 ´ − → → − → ¡ − → ¡ − → B = B cos (60◦ ) j − B sin (60◦ ) k = 0,62 × 10−4 12 j − 0,62 × 10−4 k =⇒ 2 ´ → − → − − → ³ B = 0,310 × 10−4 j − 0,537 × 10−4 k T → − − → → − − → → − Au moyen de l’équation 8.3, en se rappelant que j × j = 0 et que j × k = i , on trouve ³ → − →´ − → − − →´ ³ − − → → =⇒ F B = I × B = (2000) −10 j × 0,310 × 10−4 j − 0,537 × 10−4 k ´ ³ ¡ ¢ − → − → → − − → j × k = 1,07 i N F B = (2000) (−10) −0,537 × 10−4 On conclut que la force magnétique possède un module FB = v4 © ERPI 1,07 N et est orientée Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 25 vers l’est . E59. E60. On donne N = 15, le nombre de tours de la bobine parcourue par un courant de 2 A. ¢2 ¡ Si son rayon est r = 25 cm, A = πr2 = π 25 × 10−2 = 0,196 m2 . Au moyen de la → − → figure 8.53, on définit le vecteur unitaire − u n = − k . Le vecteur moment magnétique de la boucle est, d’après l’équation 8.7, ³ − →´ → − → − → µ = N IA− u n = 15 (2) (0,196) − k = −5,88 k A·m2 → − → − Pour B = 0,2 i T, on obtient le moment de force avec l’équation 8.8 : ³− → − →´ ³ − − →´ → − →´ → ³ − − → → τ =− µ × B = −5,88 k × 0,2 i = −1,18 k × i = −1,18 j N·m → − → − On donne d = 20 cm, l’arête du cube, B = 0,5 i T et I = 8,0 A dans le sens indiqué à la figure 8.54. (a) Selon cette figure et en tenant compte du sens de I, on trouve − → → − → − 1 = d k = 0,20 k m → − → ³ − → − →´ − − → m 2 = d i − d j = 0,20 i − 0,20 j → − → − → − → − De même, on a 3 = − 1 et 4 = − 2 . Pour chaque côté, on calcule la force magnétique en utilisant l’équation 8.3 : ³ → − → −´ ³ − →´ → − − → =⇒ F B1 = I 1 × B = 8 0,20 k × 0,4 i ´ ³ → → − − → − → − → − =⇒ F B1 = 0,640 j N F B1 = 8 (0,20) (0,4) k × i ³ → − → − →´ ³ − − →´ → − → − =⇒ F B2 = I 2 × B = 8 0,20 i − 0,20 j × 0,4 i ³ ´ → → − − → − → − − → =⇒ F B2 = 0,640 k N F B2 = 8 (−0,2) (0,4) j × i ³ − → − → → − → − →´ − → − → − F B3 = I 3 × B = − I 1 × B =⇒ F B3 = −0,640 j N ³ − → − → → − → − →´ − → − → − F B4 = I 4 × B = − I 2 × B =⇒ F B4 = −0,640 k N °→ ° → u n ° = 1 et que ses (b) Le vecteur − u n est perpendiculaire au plan du cadre. On sait que °− composantes sont °→ ° → °→ ° − → − → − → − − → u n = °− u n ° cos (45◦ ) i + °− u n ° sin (45◦ ) j = 0,707 i + 0,707 j Le vecteur moment magnétique s’obtient avec l’équation 8.7, pour N = 1 et ¡√ ¢ √ A = 1 2 = d 2d = 2 (0,2) = 5,66 × 10−2 m2 : ¡ ¢³ → − →´ ³ − → − →´ − → − → µ = N IA− u n = (8) 5,66 × 10−2 0,707 i + 0,707 j = 0,320 i + 0,320 j A·m2 En utilisant l’équation 8.8, on trouve ³− → − →´ ³ − − →´ → − →´ → ³ − → − → τ =− µ × B = 0,320 i + 0,320 j × 0,4 i = (0,320) (0,4) j × i =⇒ → − − → τ = −0,128 k N·m 26 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4 © ERPI On donne µ = 8 × 1022 A·m2 , N = 1 et r = 5000 km, le rayon de l’anneau, de sorte ¡ ¢2 que A = πr 2 = π 5000 × 103 = 7,85 × 1013 m2 . Avec le module de l’équation 8.7, on E61. obtient ¡ ¢ µ = N IA =⇒ 8 × 1022 = (1) I 7,85 × 1013 =⇒ I = 8×1022 7,85×1013 = 1,02 × 109 A On donne N = 120, A = 5,0 × 10−4 m2 , B = 0,06 T, κ = 2,2 × 10−7 N·m/rad et on veut E62. une déviation de φ = 45◦ ou π 4 rad. En utilisant l’équation développée à la section 8.4, on trouve φ= NAB κ I =⇒ I = κφ NAB = (2,2×10−7 )( π4 ) 120(5,0×10−4 )(0,06) = 48,0 µA On donne q = −e, m = 9,1 × 10−31 kg, |∆V | = 260 V et r = 0,06 m, le rayon de la E63. trajectoire de l’électron. On combine l’équation (i) de l’exercice 39 avec l’équation du → − → rayon de la trajectoire en supposant que − v ⊥ B, ce qui donne q q | m 2|q||∆V 2|∆V |m m mv 1 = = (i) r = |q|B B |q|B |q| Si on isole B dans cette équation, on obtient q q |m 2(260)(9,1×10−31 ) 1 = = 9,06 × 10−4 T B = 1r 2|∆V 0,06 |q| 1,6×10−19 E64. (a) On reprend l’équation (i) de l’exercice 63 avec |q| = e et en négligeant la valeur absolue sur la différence de potentiel, ce qui donne q q |m 2m∆V = r = B1 2|∆V |q| eB 2 (b) Avec ∆V 0 = 1,21∆V, le nouveau rayon de la trajectoire est q q q √ 0 2m(1,21)∆V 2m∆V = = 1,21 = 1,10r r0 = 2m∆V eB 2 eB 2 eB 2 Donc, le rayon augmente de 10 % E65. ¡ ¢ On donne B = 1,2 T, q = 2e, m = 4u = 4 1,661 × 10−27 kg = 6,64 × 10−27 kg, et l’énergie cinétique maximale des particules est Kmax = 10 MeV = 1,6 × 10−12 J. En utilisant l’équation (iii) de l’exercice 44, on obtient √ √ √ 2(6,64×10−27 )(1,6×10−12 ) 2mKmax 2mKmax = 0,380 m B = rmax |q| =⇒ rmax = B|q| = 1,2(2(1,6×10−19 )) E66. On donne q = −e, m = 9,1 × 10−31 kg, B = 0,40 × 10−4 T, si 1 G = 10−4 T, et K = 2,0 keV = 3,20 × 10−16 J. En utilisant l’équation (iii) de l’exercice 44, on obtient √ √ √ 2(9,1×10−31 )(3,20×10−16 ) 2mK 2mK =⇒ r = B|q| = (0,40×10−4 )(1,6×10−19 ) = 3,77 m B = r|q| E67. v4 © ERPI − On donne q = e, m = 1,67 × 10−27 kg, v = 2,4 × 106 m/s, B = 0,2 T, et → v forme un → − angle de 80◦ avec B. Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 27 → − (a) La portion de la vitesse du proton qui est perpendiculaire à B est ¡ ¢ v⊥ = v sin (80◦ ) = 2,4 × 106 sin (80◦ ) = 2,36 × 106 m/s On calcule ensuite le rayon avec cette valeur de vitesse : mv⊥ |q|B r= = (1,67×10−27 )(2,36×106 ) = 0,123 m (1,6×10−19 )(0,2) → − (b) La portion de la vitesse du proton qui est parallèle à B est ¢ ¡ vq = v cos (80◦ ) = 2,4 × 106 cos (80◦ ) = 0,417 × 106 m/s E68. On calcule ensuite le pas de la trajectoire avec l’équation 8.13 : −27 ¡ ¢ ) 6 2π (1,67×10 = 0,137 m d = vq 2πm |q|B = 0,417 × 10 (1,6×10−19 )(0,2) → − − On donne md = 2mp , qd = qp = e et rd = rp . Pour les deux particules, → v ⊥ B, ce qui implique que le rayon de leur trajectoire respective est donné par l’équation établie à la section 8.5, soit r = mv |q|B =⇒ v = r|q|B m . (a) Voici le rapport µdu module de leur quantité de mouvement : ¶ pp pd mp vp md vd = mp = md µ rp |qp |B mp rd |qd |B md ¶ = |qp | |qd | = 1 (b) Voici le rapport de leur énergie cinétique : Kp Kd E69. = mp vp2 md vd2 µ mp = µ md rp |qp |B mp rd |qd |B md ¶2 ¶2 = md mp ³ ´ |qp | 2 |qd | = 2mp mp = 2 On donne q = −e, m = 9,1 × 10−31 kg et |∆V | = 400 V. Le rayon initial de la trajectoire de l’électron est ri = 5,0 cm, et, après 10 tours, le rayon a diminué à rf = 3,0 cm. Le rayon moyen de la trajectoire est rmoy = 4,0 cm, et on peut estimer la distance s franchie par l’électron avec cette valeur : ¡ ¢ s = 10 (2πrmoy ) = 20π 4,0 × 10−2 = 2,51 m Le module de la vitesse initiale de l’électron est donnée par l’équation (i) de l’exercice 39 : vi = q 2|q||∆V | m = q 2(1,6×10−19 )(400) 9,1×10−31 = 1,19 × 107 m/s Comme il s’agit d’une estimation, on néglige les effets relativistes. À cause de l’équation 8.10, on sait que le rayon de la trajectoire et le module de la vitesse sont proportionnels. Ainsi, vf = rf ri vi = ³ 0,03 0,05 ´¡ ¢ 1,19 × 108 = 7,14 × 106 m/s On suppose que le mouvement de l’électron est rectiligne et soumis à une décélération de module constant a. Au moyen de l’équation 3.12 du tome 1, on trouve 28 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4 © ERPI vf2 = vi2 − 2as =⇒ a = vi2 −vf2 2s 2 = 2 (1,19×107 ) −(7,14×106 ) 2(2,51) = 1,81 × 1013 m/s2 La valeur approximative du module de la force de friction est donnée directement par la deuxième loi de Newton : ¢¡ ¢ ¡ Ffriction = ma = 9,1 × 10−31 1,81 × 1013 ≈ 1,7 × 10−17 N Problèmes − On donne → µ , le moment magnétique du dipôle, I, son moment d’inertie, et on suppose → − → qu’initialement, − µ et B sont orientés dans le même sens. P1. (a) Si on déplace légèrement le dipôle, le moment de force qu’il subit est donné par l’équation → − → → 8.8, soit − τ =− µ × B. Comme pour un cadre, ce moment de force cherche à ramener le dipôle à son orientation initiale. Si on suppose que le déplacement angulaire est orienté selon l’axe z, la composante du moment de force dans cette direction est τ z = −τ = −µB sin θ Si le déplacement angulaire est petit, on a sin θ ≈ θ et τ z = −µBθ. La deuxième loi de 2 Newton pour la rotation s’écrit Στ = Iα = I ddt2θ . Ici, le seul moment de force est celui qui vient du champ magnétique et 2 −µBθ = I ddt2θ =⇒ d2 θ dt2 + µB I θ =0 Cette équation a la même forme que l’équation 15.5a du tome 1, décrivant un mouvement harmonique simple . =⇒ CQFD (b) En comparant avec l’équation 15.5a du tome 1, on note que q µB =⇒ ω = ω 2 = µB I I P2. En utilisant l’équation 15.1 du tome 1, on obtient q I = 2π T = 2π ω µB → − Soit L, la longueur du fil rectiligne entre les points a et b, et L le vecteur de même → − module qui relie ces deux points. La force magnétique sur un élément de longueur d → − − → − → du fil incurvé est donné par l’équation 8.5, d F B = Id × B. Pour tous les éléments, la force résultante sur le fil incurvé à est! Rb − Rb − → − → → → − → − − → − → d × B =IL × B F Bincurvé = Id × B = I a a Ce résultat a exactement la même forme que la force magnétique sur le fil rectiligne, soit → − → − F Bincurvé = F Brectiligne =⇒ CQFD v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 29 P3. Avec une longueur de fil, on a le choix entre avoir beaucoup de tours de fil qui engendrent une bobine dont l’aire est faible ou peu de tours et une bobine d’aire élevée. Le module du moment magnétique est, selon l’équation 8.7, µ = N IA. En fonction de de tours N , le rayon r de chaque spire est r = ¡ ¢2 2 A = πr2 = π N1 2π = 4πN 2 1 N 2π et du nombre et l’aire de la bobine est Le module du moment magnétique est ³ 2 ´ I 2 µ = N IA = N I 4πN 2 = 4πN Le module du moment magnétique sera maximal pour N = 1 spire P4. − Soit R, le rayon du disque, σ > 0, sa densité surfacique de charge, et → ω , la vitesse → − angulaire du disque. La figure qui suit montre le disque, le champ magnétique B et un élément du disque de rayon r et d’épaisseur dr : (a) La période de rotation du disque est T = 2π ω . Sur chaque élément dr, une parcelle de charge dq = σdA = σ (2πr) dr effectue une rotation complète durant cette période T. Le courant associé à ce mouvement de charge est dI = dq T = 2πσr T dr = 2πσr 2π ω dr = ωσrdr Le module du moment magnétique associé à cet élément de courant est ¡ ¢ dµ = N AdI = (1) πr 2 (ωσr) dr = πωσr3 dr On trouve le module du moment magnétique total en intégrant : h 4 ¯R R RR ¯ 3 µ = dµ = πωσr dr = πωσ r4 ¯ = 14 πωσR4 0 0 − → Si → u n est un vecteur unitaire normal au plan du disque, donc de même sens que − ω , alors − → un = − → ω ω, et le vecteur moment magnétique est ³− ´ → → − → → µ = 14 πωσR4 − u n = 14 πωσR4 ωω = 14 πσR4 − ω (b) On trouve le module du moment de force entre le disque et le champ magnétique avec → − → l’équation 8.8, en rappelant que − ω ⊥B : 30 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4 © ERPI P5. ° →° ° °→ − µ × B ° = µB sin (90◦ ) = 14 πωσR4 B =⇒ µ = 12 πσωR4 =⇒ CQFD τ = °− En l’absence de champ magnétique, l’électron est maintenu en orbite par la force élec- trique qui agit comme force centripète. On nomme v0 , le module de la vitesse tangentielle de l’électron dans cette situation. Si on fait appel à l’équation 6.3 du tome 1 et à ω0 r = v0 , la relation entre la vitesse angulaire et la vitesse tangentielle est FE = mv02 r =⇒ FE = mω 20 r (i) Si on applique un champ magnétique de module B dans une direction normale au plan de rotation de l’électron, une composante supplémentaire de force centripète agit sur celui-ci. On suppose que le module de la vitesse tangentielle est modifié et prend une nouvelle valeur, v = ωr, si le rayon reste constant. La composante de force associée au → − champ magnétique est FB = ±evB, selon le sens de B, et la somme des forces donne FE + FB = mv2 r =⇒ FE ± eωrB = mω2 r (ii) Si on combine les équations (i) et (ii), mω 20 r ± eωrB = mω 2 r =⇒ mω2 r − mω 20 r = ±eωrB =⇒ ω 2 − ω 20 = ± eωB m (iii) Si on suppose que la modification de la vitesse angulaire est faible, ω0 = ω + ∆ω. On peut ensuite faire appel à l’approximation du binôme, si ω À |∆ω| : ω 20 = (ω + ∆ω)2 ≈ ω 2 + 2ω∆ω P6. Et l’équation (iii) devient ¡ ¢ eB =⇒ − 2ω∆ω = ± eωB =⇒ ∆ω = ± 2m ω 2 − ω 2 + 2ω∆ω = ± eωB m m Soit m = 10 g, la masse de la tige, =⇒ CQFD = 8 cm, sa longueur, et d0 = 4 cm, l’allongement initial de chacun des deux ressorts de la figure 8.56. Le module de la force qui vient des deux ressorts est, selon l’équation 7.6 du tome 1, Fres0 = 2kd0 . Comme la tige est à l’équilibre, la force du ressort s’oppose au poids de la tige et Fres0 = mg =⇒ 2kd0 = mg =⇒ k = mg 2d0 = (10×10−3 )(9,8) 2(0,04) = 1,225 N/m Lorsque le courant I = 20 A circule dans la tige, celle-ci remonte et l’allongement des → − ressorts diminue de 1 cm (d = 3 cm). Le champ magnétique B est perpendiculaire au fil → − et le module de la force magnétique F B est donné par l’équation 8.4 : FB = I B sin (90◦ ) =⇒ FB = I B → − → − → g = 0. Les deux premières forces sont vers le haut, le Vectoriellement, F res + F B + m− v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 31 poids est vers le bas, de sorte que, si mg = Fres0 , Fres + FB = mg =⇒ 2kd + I B = 2kd0 =⇒ B = B= P7. 2(1,225) 20(0,08) 2kd0 −2kd I = 2k I (d0 − d) =⇒ (0,01) = 15,3 mT → − − On donne q = −e, m = 9,1 × 10−31 kg et → v = 3 × 107 i m/s, la vitesse initiale d’un → − électron à l’origine d’un système d’axes soumis à un champ magnétique B qui pointe selon l’axe des z positifs. (a) Si r = 2 cm, le module du champ magnétique peut être calculé avec (9,1×10−31 )(3×107 ) mv mv r = |q|B =⇒ B = |q|r = (1,6×10−19 )(0,02) = 8,53 × 10−3 T (b) La période de rotation de l’électron est donnée par l’équation 8.11 : T = 2πr v 2π(0,02) 3×107 = = 4,19 × 10−9 s Si la vitesse est déviée de 30◦ , c’est que l’électron a parcouru 30◦ 360◦ = 1 12 de tour et qu’il s’est écoulé ¢ 4,19 × 10−9 = 0,349 ns → − → − → (c) À l’instant initial, la force magnétique F B = q − v × B est selon l’axe des y positifs et le t= 1 12 T = 1 12 ¡ début de la trajectoire circulaire de l’électron est décrite par cette figure : La figure indique la position P de l’électron après que la vitesse ait été déviée de 30◦ . Les → composantes du vecteur position − r de l’électron sont, à cet instant, → − → − → − → − − → r = r sin (30◦ ) i +(r − r cos (30◦ )) j = (0,02) sin (30◦ ) i +(0,02 − 0,02 cos (30◦ )) j =⇒ ³ → − →´ − − → r = 1,00 i + 0,268 j cm 32 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4 © ERPI
