Chapitre 1. Les suites numériques - Principe de récurrence – Limite

Enseignement spécifique
Chapitre 1. Les suites numériques ‐ Principe de récurrence –
Limited’unesuite
I. Rappels sur les suites numériques
1. Forme générale
Une suite numérique est une fonction définie de N vers R, elle peut être définie de 2 façons :
 Soit par une forme explicite un = f(n), en fonction du rang.
Exemple : un = 2n² + 3n – 1 , f est la fonction x  2x²  3x  1
 Soit par une formule de récurrence un+1 = f(un), en fonction du terme qui précède. On donne
dans ce cas la valeur du terme initial.
 u0  1
Exemple : 
un 1  2un  5
Définition 1: Variation d’une suite
Soit (un) une suite numérique.
Si pour tout entier n  n0 , on a un+1 – un  0 , alors la suite (un) est croissante.
Si pour tout entier n  n0 , on a un+1 – un  0 , alors la suite (un) est décroissante.
Théorème 1 :
Soit (un) une suite numérique dont tous les termes sont positifs.
Si pour tout entier n  n0, on a un 1  1 , alors la suite (un) est croissante.
un
u
Si pour tout entier n  n0, on a n 1  1 , alors la suite (un) est décroissante.
un
Théorème 2 :
Soit (un) une suite numérique définie par une relation du type un = f(n).
Si f est croissante sur [a ;+[ alors la suite (un) est croissante.
Si f est décroissante sur [a ;+[ alors la suite (un) est décroissante.
U
U
2. Représentation d’une suite
U
U
a. Suite définie de façon explicite : un = f(n)
U
y = 0,1x² – 0,5x – 1
7
6
5
4
3
U
Représentation de la suite définie
pour tout n de N par un = 0,1n² – 0,5n – 1.
2
U o
1
U
0
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b. Suite définie par récurrence :
un+1 = f(un) et u0 = a
y = x(2-x)
y=x
Représentation de la suite définie
u0  0,1
par 

u
 n 1 un(2  un )
II.
Des suites particulières
1. Suites arithmétiques
o
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
Définition 2 : Suite arithmétique
Dire qu’une suite (un) est arithmétique signifie qu’il existe un réel a tel que, pour tout n de N,
un+1 = un + a. a ne dépend pas de n.
a est appelée la raison. Si a est nul alors la suite (un) est constante.
Théorème 3 : Sens de variation
Soit (un) une suite arithmétique de raison a.
Si a est positive alors la suite est croissante.
Si a est négative alors la suite est décroissante.
Démonstration : (un) est une suite arithmétique de raison a donc pour tout n de N, un+1 = un + a.
Donc, pour tout n de N , un+1 – un = a
Théorème 4 : Expression de un en fonction de n
Soit (un) une suite arithmétique de raison a et de premier terme u0 .
Pour tout n  N , un = u0 + na.
Théorème 5 : Relation entre um et up
Soit (un) une suite arithmétique de raison a, um et up sont deux termes de la suite (un).
On a alors , um = up + (m – p)a.
Démonstration : (un) est une suite arithmétique de raison a et de terme initial u0 .
Ainsi, d’après le théorème 4 , um = u0 + ma et up = u0 + pa.
Donc , par soustraction, um – up = ma – pa donc um – up = (m – p)a
Et , um = up + (m – p)a.
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Théorème 6 : Somme de p termes consécutifs
La somme de p termes consécutifs d’une suite arithmétique est S =
p (u0  u p 1 )
.
2
Démonstration : (un) est une suite arithmétique de terme initial u0 . La somme S de p termes
consécutifs est S = u0 + u1 + u2 + … + up-1
mais aussi S = up-1 + u p-2 + u p-3 + … + u0 .
En additionnant membre à membre,
S + S = u0 + up-1 + u1 + u p-2 + u2 + u p-3 + … + up-1 + u0 .
Donc 2S = p(u0 + up-1 )
p (u0  u p 1 )
Et S =
2
Remarque : S =
(nombres de termes)
( terme initial + dernier terme)
2
Nombre de termes :
Dans la somme un + un+1 + …+ up ( avec p > n ), le nombre de termes est p – n + 1.
2.
Suites géométriques
Définition 3 : Suite géométrique
Dire que (un) est géométrique de raison q signifie qu’il existe un réel q tel que pour tout n
appartenant à N, un+1 = q.un .
Le réel q est appelé la raison de (un). q ne dépend pas de n.
Théorème 7 : Expression de un en fonction de n
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de terme initial u0.
Pour tout n de N , un = u0  qn.
Théorème 8 :
Soit (un) une suite géométrique de raison strictement positive q et premier terme
strictement positif u0.
Si q>1 alors (un) est strictement croissante.
Si q<1 alors (un) est strictement décroissante.
Si q =1 alors (un) est constante.
Démonstration : (un) est une suite géométrique de raison strictement positive q et premier terme
strictement positif u0 donc pour tout n de N , un = u0 qn.
Soit n de N , un+1 – un = u0 qn+1 – u0 qn = u0 qn( q – 1 ).
Comme u0 > 0 et q > 0, le signe de un+1 – un est du signe de ( q – 1 ).
Si q >1 alors pour tout n de N, un+1 – un > 0 et (un) est strictement croissante.
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Si q <1 alors pour tout n de N, un+1 – un < 0 et (un) est strictement
décroissante
Si q =1 alors pour tout n de N, un+1 – un = 0 et (un) est constante.
Théorème 9 : Somme des n termes consécutifs
La somme S des n premiers termes consécutifs d’une suite géométrique est
u (1  q n )
Si q1, S = 0
.
1 q
Si q =1, S = n  u0 .
Démonstration : (un) est une suite géométrique de raison strictement positive q et premier terme
strictement positif u0 donc pour tout n de N , un = u0  qn.
La somme S de n termes consécutifs est S = u0 + u1 + u2 + … + un-1
S = u0 + u0 q + u0 q2 + … + u0qn-1 = u0( 1+ q + q2 + … + qn-1 )
En multipliant S par q, qS = u0( q + q2 + … + qn ).
Par soustraction membre à membre, S – qS = u0( 1 – qn ).
Donc S(1 – q) = u0( 1 – qn ).
u (1 q n )
Supposons q  1 : S = 0
1 q
Supposons q = 1 : S = u0( 1+ 1 + 1 + … + 1 ) = n  u0
nombre de termes
Remarque : Si q  1 , S = terme initial  1 – raison
1 – raison
Si q = 1 , S = nombre de termes  terme initial
III. Principe de récurrence
Ce principe est basé sur une proposition clairement énoncée Pn qu’il faudra démontrer.
Cette démonstration doit être rédigée en trois étapes bien définies.
Etape 1 Initialisation : Vérifier de la proposition pour la valeur initiale de n, n0 .
Etape 2 Hérédité : Démontrer que si la proposition est vraie pour un certain p, alors elle
est vraie pour p + 1.
Etape 3 Conclusion : Le principe de récurrence nous permet alors de conclure que Pn est vraie
pour tout ݊ ൒ ݊଴
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IV.
1.
Limite d’une suite
Limite infinie
Définition 4: Limite infinie d’une suite
Soit (un) une suite numérique et A un réel.
Dire qu’une suite (un) a pour limite +  signifie que tout intervalle ouvert de la forme
]A ;+[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain indice N.
On écrit lim u n   .
n 
A
     
]
   
  
Tous les un à partir d’un indice N
Limite des suites de référence en + 
lim n²  
n 
A connaitre
lim n 3  
n  
Pour tout entier k  1
lim
n  
n  
lim n k  
n 
2. limite réelle ou finie
Définition 5: Limite finie d’une suite
Dire qu’un réel  est limite d’une suite (un) signifie que tout intervalle ouvert de centre 
contient tous les termes de la suite à partir d’un certain indice N.
On écrit lim un  
n  
  

]       [
 

Tous les un à partir d’un indice N
Limite des suites de référence en + 
lim 1  0
n
n  
A connaitre
lim 1  0
n²
n  
lim 13  0
n
n  
lim
n  
1
n
0
k
Pour tout entier k  1
1
lim    0
n  n
 
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V.
Théorèmes sur les limites
1. Règles opératoires
Soit (un) et (vn) deux suites dont les limites sont données dans un même voisinage.
Si
Alors
lim un =
lim vn =
lim [un + vn] =
lim un  vn =
lim un =
vv
L
L’  0
L + L’
LL’
L
L'
L0
0
L
0
 avec règle des
signes (1)
L
+
+
L
–
–
+
–
Forme
indéterminée
–
+
+
+
+
–
–
–
+
0
0
0
0
0


Forme
indéterminée
+  si
L>0
–  si
L>0
–  si
L<0
+  si
L<0
0
0
Forme
indéterminée
Forme
indéterminée
Forme
indéterminée
Forme
indéterminée
0
(1) La limite de ce type de suite est +  ou – , selon le signe de L et si vn tend vers zéro par
valeurs positives ou négatives.
Application : Déterminer la limite de la suite (un) définie par un  n  n
5n²  3n  7
Déterminer la limite de la suite (un) définie par un 
n²  n  1
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2. Théorèmes de comparaison
Théorème d’encadrement dit « des gendarmes » ( admis)
(un), (vn), (wn) sont trois suites et  un réel.
Si à partir d’un certain indice N tel que pour tout n >N , wn  un  vn et si lim wn  lim vn  
x  
x  
alors lim un   .
x  
Théorèmes de minoration et de majoration
1. Si à partir d’un certain indice N tel que pour tout n > N , u n  v n et si lim vn   alors
x  
lim un   .
x  
2. Si à partir d’un certain indice N tel que pour tout n > N , un  vn , et si lim vn   alors
x  
lim un   .
x  
Démonstration pour le bac
On suppose que lim vn   . Il s’agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A ;+[
x  
contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang .
Soit A un réel, comme lim vn   , l’intervalle ]A ;+[ contient tous les termes v n à partir d’un
x  
certain rang p.
De plus pour tout n > N , u n  v n
Alors pour tout entier n  max  N , p  , on a u n  v n  A c'est-à-dire que u n  A et lim un   .
x  
La démonstration du théorème de majoration est analogue.
3. Convergence des suites monotones
Définition 6: Suite bornée
Soit (un) une suite numérique.
On dit que (un) est majorée lorsqu’il existe un réel M tel que pour tout n, un  M.
On dit que (un) est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que pour tout n, un  m.
Lorsque (un) est majorée et minorée, on dit que (un) est bornée.
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Interprétation graphique :
    
M
       1
+
m
+
(un) est majorée par M
(un) est minorée par m
Par négation : La suite (un) est non majorée signifie que pour tout réel M, aussi grand que l’on
veut, il existe un terme N tel que uN > A.
Théorème 10 :
Soit une suite u convergeant vers un réel l.
Si la suite u est croissante alors la suite u est majorée par l.
Démonstration non exigible pour le bac
On raisonne par l’absurde : on suppose qu’il existe un réel n0 tel que u n0  l . Comme la suite u est
croissante pour tout n  n 0 on a l  u n0  u n (1)
Comme la suite u converge vers l, il existe un rang N tel que pour tout entier n  N ,
u n   l  1;u n0  ainsi pour tout entier n  N , u n  u n0 (2)
On aboutit à une contradiction et l’hypothèse initiale est donc fausse.
On en déduit que pour tout entier n, u n  l .
Théorème 11 :
1.
2.
Toute suite croissante non majorée a pour limite + 
Toute suite décroissante non minorée a pour limite – 
Démonstration non exigible pour le bac
Soit (un) une telle suite.
La suite (un) n’étant pas majorée, pour tout réel M aussi grand que l’on veut, il existe un
terme uN tel que uN > M.
La suite étant croissante, pour tout entier n supérieur à N, un  uN donc un > M.
A partir de l’indice N, tout intervalle ]M ;+[ contient tous les termes de la suite (un).
D’après la définition 1, la limite de (un) est donc + .
La démonstration du 2. reprend les mêmes idées.
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Théorème 12 (admis) :
1. Toute suite croissante et majorée est convergente.
2. Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Application : Soit (un) la suite numérique définie sur N par :
a.
b.
c.
d.
u0  0

u  3u  4
n
 n1
Justifier que pour tout n  N, un 0.
Montrer que (un) est majorée par 4.
Montrer que (un) est strictement croissante (on pourra utiliser un raisonnement par
récurrence).
En déduire que (un) converge et déterminer sa limite.
4. Limite d’une suite géométrique un = qn
Théorème 13 :
Soit q est un réel. (un) est la suite géométrique définie par un= qn .
Si – 1 < q < 1 alors lim q n  0 . On dit que (un) converge vers 0.
n 
n
Si q > 1 alors lim q   . On dit que (un) diverge vers + .
n 
Si q < – 1 alors (un) n’a pas de limite.
Démonstration pour le bac
Soit un réel q>1. On pose alors q=1+a avec a>0.
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, 1  a   1  na .
n
Ainsi pour tout entier naturel n, q n  1  na . Or lim 1  na   car a>0.
n 
n
D’après le théorème de minoration on a donc lim q   .
n 
Non exigible pour le bac
Soit un réel q < – 1. Les valeurs de q n sont alternativement positive ou négative suivant la parité
de n. La suite n’admet donc pas de limite.
On suppose que – 1 < q < 1.
Dans le cas q=0, lim q n  0 .
n 
n
1
1
Dans le cas 0< q < 1 on a  1 , donc lim     et par passage à l’inverse lim q n  0 .
n 
n  q
q
 
Dans le cas -1< q < 0, pour tout entier n,  q n  q n  q n . Comme lim q n  0 , d’après le
n 
théorème des gendarmes lim q n  0 .
n 
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