Premier principe de la thermodynamique. Bilans énergétiques I

Premier principe de la thermodynamique.
Bilans énergétiques
I.
1.
Premier principe
Énergie d’un système
La mécanique a permis de faire émerger le concept d’énergie. Cependant l’énergie mécanique
d’un système, mesurée à l’échelle macroscopique, n’est pas une grandeur conservative. Elle
diminue en présence de forces de frottements. Les frottements provoquent un échauffement et
donc une augmentation de l’énergie cinétique microscopique. Pour faire un bilan énergétique
complet, il est donc nécessaire de tenir compte de l’énergie stockée à l’échelle microscopique :
c’est ce que l’on réalise avec l’énergie interne.
Dans ce cas on peut définir la grandeur E appelée énergie qui est une grandeur conservative.
Par définition, un système isolé n’échange ni matière, ni énergie avec l’extérieur : l’énergie
d’un système isolé se conserve. Il n’y a ni création, ni disparition d’énergie.
On se placera dans un référentiel galiléen. On peut y définir l’énergie d’un système comme la
somme de son énergie cinétique macroscopique et de son énergie interne.
E = Ec,macro + U
Rappel : L’énergie interne contient quant à elle l’énergie cinétique microscopique comptée
dans le référentiel où le système est au repos (voir exemple d’un fluide en écoulement).
1
2.
Premier principe
À tout système thermodynamique on peut associer une fonction d’état extensive U
appelée énergie interne.
Lors d’une transformation quelconque d’un système fermé, d’un état d’équilibre (1) vers
un état d’équilibre (2), on a
∆(Ec,macro + U ) = ∆Ec,macro + ∆U = W + Q
W et Q correspondent aux deux modes de transferts d’énergie :
• W travail des forces extérieures
W > 0 le système reçoit effectivement de l’énergie
W < 0 le système cède de l’énergie
• Q transfert thermique (ou "chaleur")
Q > 0 le système reçoit effectivement de l’énergie
Q < 0 le système cède de l’énergie.
Ce transfert thermique correspond au transfert d’énergie qui ne peut pas s’écrire sous
forme d’un travail.
U est une fonction d’état. Sa variation ∆U = U2 − U1 ne dépend donc que de l’état initial
et de l’état final : elle est indépendante de la transformation subie par le système pour aller
de l’état 1 vers l’état 2.
Au contraire W et Q dépendent de la nature de la transformation subie par le système pour
aller de l’état 1 vers l’état 2.
Cas particulier d’une transformation cyclique
Au bout d’un cycle le système revient à son état initial : les états 1 et 2 correspondent à un
unique état. L’énergie interne étant une fonction d’état, on a :
∆U = 0
De même au bout d’un cycle, l’énergie cinétique macroscopique retrouve sa valeur initiale :
∆Ec,macro = 0
On en déduit le bilan énergétique pour un cycle :
Wcycle + Qcycle = 0
2
Cas où une partie du travail est dû à des forces extérieures conservatives
Dans l’expression du premier principe formulée ci-dessus, W désigne le travail de toutes les
forces extérieures subies par le système. Certaines de ces forces peuvent être conservatives
(par exemple la force de pesanteur) et donc dériver d’une énergie potentielle Ep,ext .
On peut écrire
W = Wn.c + Wc = Wn.c − ∆Ep,ext
avec Wc = −∆Ep,ext le travail des forces conservatives et Wn.c le travail des forces non conservatives.
∆(Ec,macro + U ) = Wn.c − ∆Ep,ext + Q
Le bilan énergétique du premier principe s’exprime alors sous la forme :
∆(Ec,macro + Ep,ext + U ) = Wn.c + Q
3.
Premier principe appliqué à un système macroscopiquement au
repos
a)
Bilan énergétique
Pour un système macroscopiquement au repos dans le référentiel d’étude (supposé galiléen)
Ec,macro = 0. Le bilan énergétique devient
∆U = W + Q
b)
Cas d’une transformation infinitésimale
Si on considère une transformation infinitésimale entre deux états d’équilibre infiniment
proches (on peut le faire pour une transformation quasistatique, on passe d’un état (T, P, V )
à un état (T + dT, P + dP, V + dV )), le bilan énergétique s’écrira sous la forme :
dU = δW + δQ
dU est la variation élémentaire de U associée à la variation infinitésimale des paramètres
d’état
: c’est une différentielle exacte.
Z
2
dU = U2 − U1 est indépendante du "chemin suivi" (ou de la transformation subie par le
1
système pour passer de l’état 1 à l’état 2.
δW et δQ ne sont pas des différentielles exactes car le travail "W" ou le transfert thermique
"Q" ne sont pas des fonctions d’état.
Z 2
Le travail total reçu au cours de la transformation 1 → 2,
δW = W , dépend de la
1
transformation subie.
Ex : l’aire sous la courbe dans le plan (P, V ) dépend du chemin suivi pour aller du point de
départ (P1 , V1 ) au point d’arrivée (P2 , V2 ).
3
Z
Le transfert thermique total reçu au cours de la transformation 1 → 2,
2
δQ = Q, dépend
1
de la transformation subie.
Remarques : On avait les mêmes
Z 2 notations en mécanique : pour une force non conservative
δW dépend du chemin suivi.
le travail W =
1
Pour une force conservative δW = −dEp : le travail élémentaire s’exprime
Z 2
sous la forme d’une différentielle exacte. W =
δW = Ep1 − Ep2 est alors
1
indépendant du chemin suivi.
c)
L’expérience de Joule
http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/thermo/joule.
html
Un transfert thermique correspond à tout transfert d’énergie non calculable directement sous
forme de travail. Pour calculer un transfert thermique :
Q = ∆U − W
C’est grâce aux transformation adiabatiques pour lesquelles Wadiab = ∆U que l’on peut
connaître ∆U . On en déduira ensuite Q pour une transformation quelconque partant du
même état initial pour aller au même état final
Q = ∆U − W = Wadiab − W
On sait calculer le terme ∆U pour des systèmes particuliers (gaz parfaits, phases condensées...
On pourra donc déduire Q de l’application du premier principe.
Citer l’exemple du Callen 1 (parallèle avec la quantité d’eau contenue dans un étang).
1. Herbert B. Callen, "Thermodynamics and a introduction to thermostatistics", Ed John Wiley & Sons,
2nd Edition p20
4
II.
Bilan énergétique d’une transformation isochore
On suppose le système macroscopiquement au repos dans le référentiel d’étude supposé galiléen. On suppose que seules les forces de pressions sont susceptibles de travailler (pas de
travail électrique par exemple). Le premier principe s’exprime donc sous la forme :
∆U = W + Q
1.
Transfert thermique QV
On note QV le transfert thermique reçu par le système au cours de la transformation.
Pour une transformation isochore V = cte, W = 0. On en déduit
∆U = QV
2.
Exemples
– Transfert thermique reçu par n moles de GPM au cours d’une transformation isochore :
3
3
QV = ∆U = nR∆T = nR(T2 − T1 )
2
2
– Transfert thermique reçu par n moles de gaz parfait diatomique au cours d’une transformation isochore :
5
5
QV = ∆U = nR∆T = nR(T2 − T1 )
2
2
si on suppose CV indépendante de la température dans le domaine d’étude.
Remarque : En chimie, pourra être considérée comme isochore une réaction explosive.
III.
Transformation isotherme d’un gaz parfait
L’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend que de la température. On aura donc
pour une transformation isotherme d’un GP :
∆U = 0 = W + Q
Q = −W
On voit ici qu’une transformation isotherme n’est pas adiabatique et qu’il ne faut pas
confondre les deux adjectifs.
Remarque : L’énergie interne d’un gaz parfait ne dépendant que de la température, pour
que l’égalité ∆U = 0 reste valable il suffit que la température finale soit égale
à la température initiale (T2 = T1 ), même si au cours de la transformation la
température n’est pas définie. On pourra alors encore écrire Q = −W .
5
Exercice :
Supposons que l’on comprime une mole gaz parfait à température constante T0 de la pression
P1 à la pression P2 = 2P1 .
– Représenter la transformation dans le plan (P, V ).
– Représenter graphiquement W le travail reçu par le gaz puis le calculer.
– Calculer le transfert thermique Q reçu par le gaz.
6
IV.
1.
Transformation monobare. Fonction d’état enthalpie
(résumé)
Calcul du transfert thermique QP
Pour une transformation monobare
Pext = Cte
pour laquelle l’équilibre mécanique avec l’extérieur est réalisé dans l’état initial et dans l’état
final
P1 = P2 = Pext
et durant laquelle seules les forces de pression travaillent :
QP = ∆H
avec
H = U + PV
H est une fonction d’état extensive nommée enthalpie.
• Cette relation est a fortiori valable pour une transformation isobare.
• Si d’autres forces que les forces de pression travaillent
∆H = Wu + QP
où Wu représente les travail des forces autres que les forces de pression.
2.
Enthalpie d’un gaz parfait
H = U + P V = U + nRT
Or l’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend que de la température, donc l’enthapie d’un
gaz parfait ne dépend que de la température.
Cas particulier du GPM : H(T ) = U (T ) + nRT = 32 RT + nRT = 52 nRT .
3.
Enthalpie d’une phase condensée idéale
Pour une phase condensée idéale on peut considérer
pérature.
7
H'U
et ne dépend que de la tem-
4.
a)
Capacité thermique à pression constante
Définition
On considère une transformation infinitésimale (c’est à dire une transformation entre deux
états d’équilibre infiniment proches) à pression constante durant laquelle la variation
de température varie de dT et l’enthalpie varie de dH. La capacité thermique à volume
constant CP est définie par
dH = CP dT
à pression constante
CP se mesure en J.K−1 .
On peut aussi définir
– la capacité thermique molaire à pression constante
CP
en J.K−1 .mol−1
n
où n est le nombre de moles de corps pur contenues dans le système.
– la capacité thermique massique à pression constant
CPm =
cP =
CP
msyst
en J.K−1 .kg−1
où msyst est la masse de corps pur contenue dans le système.
CV
Or msyst = nM d’où cV = m avec M masse molaire du corps pur considéré.
M
ainsi
dH = CP dT = nCPm dT = msyst cP dT
À pression constante, la capacité thermique CP dépend a priori de la température. Si on
souhaite calculer la variation d’enthalpie entre un état initial de température T1 et un état
final de température T2 de même pression que l’état initial :
Z
T2
∆H =
CP (T )dT
T1
Dans la plupart des cas, on pourra considérer que CP est indépendante de la température
dans le domaine [T1 , T2 ] d’où
∆H = CP (T2 − T1 ) = CP ∆T = nCVm ∆T = msyst cP ∆T
b)
Cas du gaz parfait. Relation de Mayer
Pour un gaz parfait monoatomique : H = 25 nRT , CP = 52 nR, CPm = 52 R.
8
De manière générale :
CP = Cv + nR
C P m − C Vm = R
cP − cV =
On introduit le coefficient sans dimension
γ=
R
M
CPm
C Vm
on peut alors écrire :
CVm =
R
γ−1
CPm =
γR
γ−1
• Pour un GPM : CVm = 32 R, CPm = 52 R et γ = 53 .
• Pour un gaz parfait diatomique aux températures usuelles (Tr < T < Tv ) : CVm = 52 R,
CPm = 72 R et γ = 75 = 1, 4.
L’air étant essentiellement constitué de gaz diatomiques, on prendra en général γair = 1, 4
c)
Cas d’une phase condensée
Pour une phase condensée idéale, H = U et ne dépend que de la température. On a alors
CP = CV = C avec C capacité thermique du système. On définit également Cm et c respectivement les capacités thermiques molaire et massique. On peut alors écrire
∆H = ∆U = C∆T = nCm ∆T = msyst c∆T
si on peut considérer la capacité thermique constante sur l’intervalle de température considéré.
Ordre de grandeur : la capacité thermique massique de l’eau vaut c = 4, 18.103 J.K−1 .mol−1 .
9
d)
Définitions hors programme
L’enthalpie étant bien adaptée aux transformations s’opérant à pression constante, on peut
choisir pour H les variables d’état T et P : H = H(T, P ).
∂H
∂H
dH = H(T + dT, P + dP ) − U (T, P ) =
dT +
dP
∂T P
∂P T
À pression constante P = P0 , dP = 0
dH = H(T + dT, P0 ) − H(T, P0 ) =
On en déduit la définition mathématique de CP :
CP =
∂H
∂T
10
P
∂H
∂T
dT = CP dT
P
V.
1.
Transformation adiabatique
Transformation adiabatique quelconque
∆U = W
2.
Transformation adiabatique quasistatique d’un gaz parfait
. On suppose la transformation quasistatique. Ttransfo τP et Ttransfo τT : la transformation évolue suffisamment lentement pour que la température et la pression soient
définies tout au long de la transformation.
. On suppose γ indépendant de la température
. On suppose que seules les forces de pressions travaillent
Pour une étape intermédiaire entre deux états d’équilibres infiniment proches :
dU = δW
La pression du gaz étant définie on peut écrire δW = −pdV
nCVm dT = −P dV
n
R
dT = −P dV
γ−1
d(P V )
= −P dV
γ−1
d(P V ) = −(γ − 1)P dV
P dV + V dP = −(γ − 1)P dV
γP dV + V dP = 0
En divisant par P V on obtient :
γ
dV
dP
+
=0
V
P
On reconnaît une différentielle logarithmique :
d[ln P V γ ] = 0
d’où
P V γ = Cte .
et les relations équivalentes :
T V γ−1 = Cte
P 1−γ T γ = Cte.
11
3.
Comparaison des pentes des isothermes et des adiabatiques quasistatiques d’un GP dans le diagramme (P, V )
En un point donné, la pente de l’adiabatique
est supérieure (en valeur absolue) à la pente
de l’isotherme.
4.
Travail reçu par un GP au cours d’une transformation adiabatique
On suppose γ = Cte
W = ∆U = nCVm ∆T =
nR(T2 − T1 )
P2 V2 − P1 V1
=
γ−1
γ−1
12
VI.
Enthalpie de changement d’état
Au cours d’un changement de phase (ex : transition liquide → vapeur) le volume massique est
discontinu (v` 6= vv ) 2 . D’autres grandeurs thermodynamiques subissent des discontinuités :
l’énergie interne massique (u` 6= uv ) et ... l’enthalpie massique (h` 6= hv ). Les changements
d’états s’opérant souvent de manière monobare, l’enthalpie s’avère bien adaptée pour y décrire
les échanges énergétiques.
1.
Définition
On définit ∆h1→2 l’enthalpie massique de changement d’état de la phase (1) à la
phase (2) par
∆h1→2 (T ) = h2 (T ) − h1 (T )
avec
h1 (T ) enthalpie massique du corps pur dans la phase (1) à la température T , et à la
pression d’équilibre Peq (T )
h2 (T ) enthalpie massique du corps pur dans la phase (2) à la température T , et à la
pression d’équilibre Peq (T )
∆h1→2 ne dépend donc que de la température.
Exemple : enthalpie massique de vaporisation
∆hvap (T ) = hv (T ) − h` (T )
hv (T ) : enthalpie massique de la vapeur saturante à T , Psat (T ).
h` (T ) : enthalpie massique du liquide saturant à T , Psat (T )
Compte-tenu de l’extensivité de l’enthalpie si une masse m quelconque passe de la phase (1)
à (T , Peq (T )) à la phase (2) à (T , Peq (T ))
∆H = mh2 (T ) − mh1 (T ) = m∆h1→2 (T )
2.
Interprétation
Si on fait passer de manière isotherme (à T = T0 ) et isobare P = Peq (T0 ), 1 kilogramme de
corps pur de la phase (1) à la phase (2) alors 3
∆H = h2 (T ) − h1 (T ) = QP
∆h1→2 (T ) = QP
L’enthalpie de changement d’état représente l’énergie thermique qu’il faut fournir au système pour qu’il passe de manière isotherme (T = T0 ), à la pression d’équilibre pour la
température considérée Peq (T0 ), de la phase (1) à la phase (2).
2. cette discontinuité disparaît au point critique
3. on suppose que seules les forces de pression travaillent
13
– enthalpie massique de vaporisation : ∆hvap = hv − h` > 0 on fournit de la chaleur pour
vaporiser un liquide.
– enthalpie massique de liquéfaction : ∆hliq = h` − hv = −∆hvap < 0
On a de même pour les enthalpies massique de fusion et de solidification : ∆hfus = h` − hs > 0
et ∆hsol = −∆hfus < 0.
ainsi que pour les enthalpies massique de sublimation et de condensation : ∆hsub = hv −hs > 0
et ∆hcond = −∆hsub < 0.
Remarque : on utilise pour l’enthalpie de changement d’état une autre notation et une autre
dénomination : on note L la "chaleur latente de changement d’état". Par exemple,
la chaleur latente massique de vaporisation correspond à l’enthalpie massique de
vaporisation :
Lvap = ∆hvap
Attention : le transfert thermique ne s’identifie plus à ∆H si le changement d’état ne s’opère
pas de manière isotherme, isobare (à la pression d’équilibre).
→ Utilité de la transpiration pour le refroidissement de la température corporelle.
→ Pour l’eau Lvap = 2, 5.103 kJ.kg−1 à 100◦ C sous 1 bar.
Pour faire passer 1 kilogramme d’eau de 20◦ C à 100◦ C, il faut fournir 4, 18.103 × 80 = 334 kJ.
Pour la vaporiser ensuite à 100◦ C sous 1 bar il faut fournir Lvap ' 2500 kJ soit près de 7 fois
plus d’énergie.
La très forte chaleur latente de vaporisation de l’eau explique son intérêt dans la lutte contre
incendies.
→ redistribution de l’énergie : la chaleur latente utilisée pour évaporer l’eau au niveau des
océans est restituée au moment de la formation de nuages ou de pluie.
14
VII.
Mesures calorimétriques
Elles visent à mesurer expérimentalement les valeurs des capacités thermiques ou des chaleurs
latentes de changement d’état.
1.
Mesure de la capacité thermique de l’eau par effet Joule
2.
Mesure de la capacité thermique d’un métal par la méthode des
mélanges
15
VIII.
1.
Détentes
Détente de Joule-Gay Lussac (résumé)
Les parois de l’ensemble des deux compartiments sont rigides (W = 0) et calorifugées (Q = 0).
∆U = 0
Cas du gaz parfait :
À n fixé, l’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend que de la température (c’est même une
fonction strictement croissante de la température, donc une bijection). Ainsi
Pour un gaz parfait : ∆U = 0 ⇐⇒ ∆T = 0
La température d’un gaz parfait est inchangée au cours d’une détente de Joule
Gay-Lussac.
Inversement, un gaz dont la température ne varie pas au cours d’une détente de Joule-Gay
Lussac vérifie la première loi de Joule : son énergie interne ne dépend que de la température.
16
2.
Détente de Joule-Thomson
On laisse s’écouler un gaz à travers un bouchon poreux. Au bout d’un certain temps, l’écoulement devient stationnaire : toutes les grandeurs physiques sont indépendantes du temps.
L’écoulement s’effectue des hautes pressions vers les basses pressions :
la pression amont (suffisamment "loin" du bouchon) vaut P1
la pression aval (suffisamment "loin" du bouchon) vaut P2 < P1
On notera S la section de la paroi supposée constante.
. Les parois de la conduite sont supposées adiabatiques et indéformables.
. L’écoulement est suffisamment lent pour que la condition Ec,macro U soit vérifiée.
Considérons une mole de GPM.
Son énergie interne vaut Um = 23 RT ' 4 kJ pour T = 300K.
Supposons que la vitesse d’écoulement v = 36 km/h (ce qui est déjà important) soit
v = 10 m.s−1 . Supposons que le GPM est de l’hélium de masse molaire M = 4 g.mol−1 .
L’énergie cinétique d’une mole de ce gaz vaut
1
1
Ec,macro = M v 2 = × 4.10−3 × 102 = 0, 2 J
2
2
On constate que Ec,macro est de l’ordre du joule alors que Um est de l’ordre du kJ.
On pourra négliger en général l’énergie cinétique macroscopique devant l’énergie interne.
Les dispositifs pour lesquels l’énergie cinétique macroscopique devient importante sont les
tuyères (par exemple celles placées dans les réacteurs d’avion, ou dans les souffleries de
banc d’essai).
. On suppose la conduite horizontale : Epext = Cte : l’énergie potentielle de pesanteur reste
constante au cours de l’écoulement.
Système :
– gaz compris entre les section repérées par A1 et A2 à l’instant t
– gaz compris entre les section repérées par B1 et B2 à l’instant t + ∆t
C’est un système fermé.
On peut lui appliquer le premier principe de la thermodynamique :
∆(Ec,macro + U ) = W + Q
17
On a vu qu’on pouvait négliger Ec,macro devant U . De plus, les parois de la conduite étant
calorifugées on peut considérer l’écoulement adiabatique Q = 0.
∆U = W
Les forces de pesanteur ne travaillant pas (conduite horizontale) W se réduit au travail des
forces de pression.
Calcul du travail des forces de pression :
Z
B1
Z
B2
P1 S~ux .dx~ux −
W =
P2 S~ux .dx~ux
A2
A1
= P1 S A1 B1 − P2 S A2 B2
= P1 VA1 B1 − P2 VA2 B2
Calcul de ∆U : On peut écrire
∆U = UB1 B2 − UA1 A2 = UB1 A2 (t + ∆t) + UA2 B2 (t + ∆t) − [UA1 B1 (t) + UB1 A2 (t)]
| {z } | {z }
t+∆t
t
L’écoulement étant stationnaire, tous les termes sont indépendants du temps. On peut alors
simplifier :
+ U
∆U = UB1 B2 − UA1 A2 = UB1 A
UB1 A
A2 B2 − UA1 B1 − 2
2
∆U = UA2 B2 − UA1 B1
Le premier principe s’écrit
∆U = UA2 B2 − UA1 B1 = P1 VA1 B1 − P2 VA2 B2
que l’on réécrit sous la forme :
UA2 B2 + P2 VA2 B2 = UA1 B1 + P1 VA1 B1
(1)
La masse de gaz contenue entre les sections A1 et B1 est la même que la masse de gaz contenue
entre les sections A2 et B2 . En effet
mA1 A2 = mB1 B2
m
mA1 B1 + m
B1
A2 = B1
A2 + mA2 B2
mA1 B1 = mA2 B2
On a pu simplifier car en régime stationnaire tous les termes sont indépendants du temps.
On pose m = mA1 B1 = mA2 B2 . On considère comme nouveau système fermé la masse m de
gaz comprise initialement entre les sections A1 et B1 (hachures bleues) puis entre les sections
A2 et B2 (hachures vertes).
18
État 1 : pression P1
volume V1 = VA1 B1
énergie interne U1 = UA1 B1
État 2 : pression P2
volume V2 = VA2 B2
énergie interne U2 = UA2 B2
La relation (1) traduit alors la conservation de l’enthalpie :
U1 + P1 V1 = U2 + P2 V2
H1 = H2
∆H = 0
La détente de Joule-Thomson s’effectue à enthalpie constante. C’est donc une détente isenthalpique.
Cas du gaz parfait :
À n fixé, l’enthalpie d’un gaz parfait ne dépend que de la température (c’est même une
fonction strictement croissante de la température, donc une bijection). Ainsi
∆H = 0 ⇐⇒ ∆T = 0
La température d’un gaz parfait est inchangée au cours d’une détente de Joule-Thomson.
Un gaz dont la température ne varie pas au cours d’une détente de Joule-Thomson vérifie la
deuxième loi de Joule : son enthalpie ne dépend que de la température.
Seul le gaz parfait vérifie les deux lois de Joule.
Cas d’un gaz réél :
La plupart des gaz usuels (O2 , N2 ) se refroidissent lors d’une détente de JT, pour des températures initiales proches de la température ambiante.
Ce n’est pas le cas pour le dihydrogène H2 et pour les gaz rares qui ont tendance à s’échauffer
lorsqu’on effectue une détente de JT à des températures initiales proches de la température
ambiante. Ainsi, une fuite d’hydrogène peut s’avérer très dangereuse puisque le gaz subit un
réchauffement ce qui renforce le risque d’explosion. Il faut que la température initiale soit très
basse pour la détente puisse s’accompagner d’un refroidissement.
La figure ci-après représente l’allure des isenthalpes dans le plan (T,P) pour l’azote gazeux.
La courbe en pointillé correspond à la positions des maximas lorsqu’ils existent.
On constate qu’au dessus d’une certaine température (ici environ 350◦ C), la détente de JT
ne permet plus de refroidissement.
Cette température peut être évaluée à l’aide du modèle de van der Waals
2a
bR
Le calcul donne pour H2 une valeur de 224 K (la valeur tabulée étant de 205 K : il a donc
bien tendance à s’échauffer aux températures usuelles.
Ti,max =
19
La détente de Joule-Thomson joue un rôle très important dans le refroidissement et la liquéfaction des gaz.
20