x 0 15 30 2 ( 15 − x ) + 0 − x + 1 + + f ` ( x ) + 0 − x 0 15 30

Terminale STG
2007 2008
Fonctions logarithmes.
Exemple de corrigé.
Page n ° 1
E1 sujet 2006
Partie A
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [ 0 ; 30 ] par : f ( x ) = − 2x + 60 + 32 ln ( x + 1 ).
permet d'estimer le rythme cardiaque à l'instant x exprimé en minutes.
1.
f ' désigne la fonction dérivée de la fonction f , calculons f ' ( x ) pour tout x dans l'intervalle [ 0 ; 30 ]
f ' ( x ) = − 2 + 32 ×
Or
2.
1 = −2(x +1)+32 = −2x −2+32 = −2x +30 .
x +1
x +1
x +1
x +1
2(15− x)
2(15− x)
= −2x +30 donc j'ai vérifié que f ' ( x ) =
.
x +1
x +1
x +1
Sur l'intervalle [ 0 ; 30 ], étudions le signe de f ' ( x ).
Comme x ∈ [ 0 ; 30 ] alors x + 1 > 0.
Et 15 − x = 0 ⇔ 15 = x.
Donc on a le tableau de signes de f ' ( x ).
x
2 ( 15 − x )
x+1
f'(x)
0
15
0
+
+
+
30
−
+
−
0
Ainsi si 0 < x < 15 alors f ' ( x ) > 0 et si 15 < x < 30 alors f ' ( x ) < 0.
Le tableau de variation de f .
x
signe de f ′
0
15
30
−
+
30 + 32 ln ( 16 )
f
60
32 ln ( 31 )
f ( 0 ) = 60 + 32 ln ( 1 ) = 60
f ( 15 ) = − 30 + 60 + 32 ln ( 16 ) = 30 + 32 ln ( 16 ) ≈ 118,72
f ( 30 ) = − 60 + 60 + 32 ln ( 31 ) = 32 ln ( 31 ) ≈ 109,88.
3.
Recopions sur la copie et complétons le tableau ci-dessous, en arrondissant les valeurs à l'unité près :
x
f(x)
0
60
5
107
10
117
15
119
20
117
25
114
30
110
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Fonctions logarithmes.
Exemple de corrigé.
Page n ° 2
4.
y
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
5
10
15
20
25
30
x
-10
Partie B
1.
D'après le tableau de variation, le maximum est proche de 119 et est atteint pour x = 15.
Donc c'est au bout de 15 minutes que le rythme cardiaque est maximal et cette valeur vaut 119.
2.
Le rythme cardiaque du sportif au repos correspond à la valeur f ( 0 ) c'est à dire à 60.
3.
a.
Au bout de 2 minutes le rythme semble être de 90 pulsations par minute.
b.
Le rythme cardiaque de ce sportif étant de 60 pulsations par minute, on en déduit que 1,5 fois
la vitesse de battement de son cœur au repos représente 60 × 1,5 = 90 pulsations par minutes.
Or cela fait 30 − 2 = 28 minutes pendant lesquelles son cœur bat à plus de 90 pulsations par
minutes. Et 28 > 20 donc ce sportif n'est pas en très bonne condition physique.
c.
Le double de son rythme cardiaque au repos est égal à 120 pulsations par minute.
Or le maximum est de 119. Donc ce sportif n'est pas en mauvaise condition physique.
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Fonctions logarithmes.
Exemple de corrigé.
Page n ° 3
Polynésie 2006
Partie A
Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; Åi , Åj ).
La courbe C, donnée en annexe, est la représentation graphique de la fonction définie sur [ 0,25 ; 7 ] par :
f ( x ) = − x² + 10x − 9 − 8 ln ( x ).
−2(x −1)(x −4)
1.
Démontrons que, pour tout réel x de [ 0,25 ; 7 ] : f ' ( x ) =
.
x
Où f ' désigne la fonction dérivée de la fonction f.
Soit x ∈ [ 0,25 ; 7 ] alors f ' ( x ) = − 2x + 10 − 8 = ( -2x² + 10x − 8 ) /x.
x
Or − 2 ( x − 1 ) ( x − 4 ) = − 2 ( x² − 4x − x + 4 ) = − 2x² + 10x − 8.
Donc pour tout réel x de [ 0,25 ; 7 ] : f ' ( x ) =
2.
Etudions le signe de f ' ( x ) suivant les valeurs de x dans l'intervalle [ 0,25 ; 7 ].
x
−2
(x−1)
(x−4)
x
f'(x)
3.
−2(x −1)(x −4)
.
x
0,25
1
−
−
−
+
−
Pour x ∈ [ 0,25 ; 1 ]
alors f ' ( x ) ≤ 0
Pour x ∈ [ 1 ; 4 ]
alors f ' ( x ) ≥ 0
Pour x ∈ [ 4 ; 7 ]
alors f ' ( x ) ≤ 0
4
0
−
+
0
−
+
+
0
0
7
−
+
+
+
−
Dressons le tableau de variation de f.
f ( x ) = − x² + 10x − 9 − 8 ln ( x ).
f ( 0,25 ) = − ( 0,25 )² + 10 × 0,25 − 9 − 8 ln ( 0,25 ) = − 0,0625 + 2,5 − 9 − 8 ln ( 1 )
4
f ( 0,25 ) = − 6,5625 − 8 × ( − ln ( 4 ) ) = − 6,5625 + 8 ln ( 2² ) = − 6,5625 + 16 ln 2 ≈ 4,5
f ( 1 ) = − 1 + 10 − 9 − 8 ln ( 1 ) = 0
f ( 4 ) = − 16 + 40 − 9 − 8 ln ( 4 ) = 15 − 16 ln ( 2 ) ≈ 3,9
f ( 7 ) = − 49 + 70 − 9 − 8 ln ( 7 ) = 12 − 8 ln ( 7 ) ≈ − 3,6
x
signe de f ′
0,25
−
1
0
f(0,25)
+
4
0
15 − 16 ln ( 2 )
7
−
f
0
f(7)
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4.
a.
Fonctions logarithmes.
Exemple de corrigé.
Recopions et complétons le tableau de valeurs ci dessous ( les résultats seront arrondis à 10-4 ).
x
f(x)
b.
Page n ° 4
6,18
0,0371
6,19
0,0004
6,20
− 0,0364
6,21
− 0,0734
L'équation f ( x ) = 0 admet deux solutions 1 et α dans [ 0,25 ; 7 ].
A l'aide de la question précédente, donnons sans justification un encadrement à 10-2 de α.
6,19 < α < 6,20.
c.
Plaçons α sur le graphique : c'est l'abscisse du point d'intersection de la courbe avec ( x' O x ).
Partie B application économique.
Une entreprise doit produire entre 10 et 70 pièces par jours.
On admet que, si x est la production journalière en dizaines de pièces, alors le bénéfice réalisé en milliers d'euros
est f ( x ) , où f est la fonction étudiée dans la première partie avec x ∈ [ 1 ; 7 ].
1.
Déterminons à l'aide de la courbe C de l'annexe, la quantité de pièces fabriquées par jour, à partir de
laquelle l'entreprise commence à travailler à perte.
L'entreprise travaille à perte lorsque le bénéfice réalisé est négatif autrement dit lorsque la courbe C se
situe en dessous de l'axe des abscisses. D'après la question précédente c'est pour la valeur a comprise
entre 6,19 et 6,20. En donnant une valeur approchée de cette valeur à 1 près cela fait à partir de 62
pièces par jour.
2.
Par lecture graphique, indiquons la quantité de pièces que l'entreprise doit fabriquer par jour pour
réaliser un bénéfice maximal.
Le bénéfice est maximal pour la valeur de x égale à 4.
Autrement dit pour 40 pièces produites chaque jour.