Théorie des Plaques Sandwiches

CHAPITRE 18
Théorie des Plaques Sandwiches
18.1 INTRODUCTION
L’objet de ce chapitre est d’établir les équations relatives au comportement
mécanique des plaques sandwiches. Un matériau sandwich est constitué (chapitre
3) d’un matériau de faible masse volumique (l’âme) sur lequel sont collées des
feuilles ou plaques (les peaux). La fonction essentielle de l’âme du sandwich est
de transmettre, par cisaillement, les actions mécaniques d’une peau à l’autre.
Dans le cas général, les peaux sont des stratifiés d’épaisseur h1 (peau
inférieure) et d’épaisseur h2 (peau supérieure) (figure 18.1). L’épaisseur de l’âme
sera notée h. Le système de coordonnées est choisi de manière que le plan (x, y)
soit le plan moyen.
18.2 CHAMPS DES DÉFORMATIONS ET DES
CONTRAINTES
18.2.1 Hypothèses de la théorie des sandwiches
La théorie des plaques sandwiches repose sur les hypothèses fondamentales
suivantes :
1. L’épaisseur de l’âme est bien plus élevée que celle des peaux : h h1, h2.
2. Les déplacements de l’âme ua et va suivant les directions x et y sont des
fonctions linéaires de la coordonnée z.
3. Les déplacements u et v suivant les directions x et y sont uniformes dans
l’épaisseur des peaux.
4. Le déplacement transverse w est indépendant de la variable z : la déformation εzz est négligée.
5. L’âme ne transmet que les contraintes de cisaillement transverse σxz, σyz :
les contraintes σxx, σyy, σxy et σzz sont négligées.
6. Les contraintes de cisaillement transverse σxz et σyz sont négligées dans les
peaux.
Enfin, la théorie traite les problèmes d’élasticité de faibles déformations.
18.2 Champs des déformations et des contraintes
383
y
z
h2
h
x
h 2
h1
FIGURE 18.1. Notations d’une plaque sandwich.
18.2.2 Champ des déplacements
L’hypothèse 2 implique un schéma du premier ordre pour les déplacements de
l’âme :
ua ( x, y, z ) = u0 ( x, y ) + zϕ x ( x, y ),
va ( x, y, z ) = v0 ( x, y ) + zϕ y ( x, y ),
(18.1)
avec
u0 ( x, y ) = ua ( x, y, 0),
v0 ( x, y ) = va ( x, y, 0).
La continuité des déplacements aux interfaces âme-peaux, associée à l’hypothèse 3, conduit aux expressions suivantes des déplacements dans les peaux :
— peau inférieure :
h
u1 ( x, y, z ) = u0 ( x, y ) − ϕ x ( x, y ),
2
(18.2)
h
v1 ( x, y, z ) = v0 ( x, y ) − ϕ y ( x, y ),
2
— peau supérieure :
h
u2 ( x, y, z ) = u0 ( x, y ) + ϕ x ( x, y ),
2
(18.3)
h
v 2 ( x, y, z ) = v0 ( x, y ) + ϕ y ( x, y ).
2
L’hypothèse 4 s’écrit :
w ( x, y, z ) = w 0 ( x, y ).
(18.4)
La théorie des plaques sandwiches est donc basée sur la détermination de cinq
384
Chapitre 18 Théorie des plaques sandwiches
fonctions de déplacement et rotation : u0, v0, w0, ϕx et ϕy, analogues à celles
introduites dans la théorie des stratifiés tenant compte du cisaillement transverse
(chapitre 17).
18.2.3 Champ des déformations
Le champ des déformations dans la peau inférieure est déduit du champ (18.2)
des déplacements. Il s’écrit :
∂u1 ∂u0 h ∂ϕ x
=
−
,
∂x
∂x 2 ∂x
h ∂ϕ y
∂v
∂v
= 1= 0−
,
∂y
∂y 2 ∂y
ε 1xx =
ε 1yy
ε 1zz = 0,
∂v1 ∂w ∂w 0
+
=
,
∂z ∂y
∂y
∂u ∂w ∂w 0
= 1+
=
,
∂z ∂x
∂x
∂ϕ y ⎞
h ⎛ ∂ϕ
∂u ∂v
∂u
∂v
= 1+ 1= 0+ 0− ⎜ x+
⎟.
∂y ∂x
∂y
∂x 2 ⎝ ∂y
∂x ⎠
γ 1yz =
γ 1xz
γ 1xy
(18.5)
Les déformations en cisaillement transverse γ 1yz et γ 1yz dans la peau sont négligées et le champ des déformations se réduit au champ des déformations en
membrane qui s’écrit donc sous la forme :
0 ⎤
⎡ε 1xx ⎤ ⎡ε xx
⎡ κx ⎤
⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ h⎢ ⎥
⎢ε yy ⎥ = ⎢ε yy ⎥ − ⎢ κ y ⎥ ,
⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 2⎢ ⎥
⎢⎣γ xy ⎥⎦ ⎢⎣γ xy ⎥⎦
⎢⎣κ xy ⎥⎦
(18.6)
avec des notations déjà introduites au chapitre 17 :
0
ε xx
=
∂u0
,
∂x
∂ϕ
κx = x ,
∂x
∂v0
,
∂y
∂ϕ y
,
κy =
∂y
ε 0yy =
∂u0 ∂v0
,
+
∂y
∂x
∂ϕ y
∂ϕ
.
= x+
∂y
∂x
0
γ xy
=
κ xy
(18.7)
De même, le champ des déformations dans la peau supérieure s’écrit sous la
forme :
2 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎡ε xx
⎡ κx ⎤
ε xx
⎢ 2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ h⎢ ⎥
(18.8)
⎢ε yy ⎥ = ⎢ε yy ⎥ + ⎢ κ y ⎥ .
2
⎢ 2 ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣γ xy ⎥⎦ ⎢⎣γ xy ⎥⎦
⎢⎣κ xy ⎥⎦
18.2 Champs des déformations et des contraintes
385
Le champ des déformations dans l’âme se déduit du
déplacements. Soit :
∂u
∂u
∂ϕ
a
ε xx
= a = 0 +z x,
∂x
∂x
∂x
∂
ϕy
∂v
∂v
,
ε ayy = a = 0 + z
∂y
∂y
∂y
∂w
a
ε zz
= 0 = 0,
∂z
∂v
∂w ∂w 0
γ ayz = a +
=
+ϕy ,
∂z ∂y
∂y
∂u
∂w ∂w 0
a
γ xz
= a+
=
+ ϕx ,
∂z ∂x
∂x
∂ϕ y
⎛ ∂ϕ
∂u
∂v
∂u
∂v
a
γ xy
= a + a = 0 + 0 + z⎜ x +
∂y
∂x
∂y
∂x
∂x
⎝ ∂y
champ (18.1) des
(18.9)
⎞
⎟.
⎠
Le champ des déformations a la même écriture que le champ des déformations
(17.2) de la théorie des stratifiés avec cisaillement transverse. Il est la
superposition de deux champs de déformation :
— le champ des déformations en membrane-flexion :
a ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎡ε xx
⎡ κx ⎤
ε xx
⎢ a ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢ε yy ⎥ = ⎢ε yy ⎥ + z ⎢ κ y ⎥ ,
⎢ a ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢γ xy ⎦⎥ ⎣⎢γ xy ⎦⎥
⎣⎢κ xy ⎦⎥
(18.10)
— le champ des déformations en cisaillement transverse :
a ⎤
⎡γ yz
⎢ a ⎥
⎢⎣γ xz ⎥⎦
⎡ ∂w 0
⎤
⎢ ∂y + ϕ y ⎥
⎥.
=⎢
⎢ ∂w 0
⎥
⎢⎣ ∂x + ϕ x ⎥⎦
(18.11)
18.2.4 Champ des contraintes
Le champ des contraintes dans l’âme est déduit de l’hypothèse 5 :
a
a
a
σ xx
= σ ayy = σ xy
= σ zz
= 0.
(18.12)
L’âme ne transmet que les contraintes en cisaillement :
⎡σ ayz ⎤ ⎡C44
′a
⎢ a ⎥=⎢ a
′
⎢⎣σ xz ⎥⎦ ⎢⎣C45
a ⎤
′a ⎤ ⎡γ yz
C45
⎥
⎢
⎥,
a
′a ⎥⎦ ⎢⎣γ xz
C55
⎥⎦
(18.13)
où les coefficients Cij′a s’expriment en fonction des coefficients Cija rapportés aux
386
Chapitre 18 Théorie des plaques sandwiches
axes principaux de l’âme (tableau 11.3) suivant :
a
a
′a = C44
C44
cos 2 θ + C55
sin 2 θ ,
a
a
′a = ( C55
) sin θ cos θ ,
C45
− C44
(18.14)
a
a
′a = C44
C55
sin 2 θ + C55
cos 2 θ ,
où θ est l’angle que font les axes principaux de l’âme avec les axes de référence
de la plaque sandwich. Les coefficients Cija dans les axes principaux s’expriment
(10.26) eux-mêmes en fonction des coefficients de cisaillement de l’âme, mesurés
dans les axes principaux, selon :
a
a
C44
= G23
,
a
a
C55
= G13
.
(18.15)
L’hypothèse 6 implique que les contraintes en cisaillement transverse sont
nulles dans toutes les couches k de la peau inférieure ou supérieure :
k
k
σ xz
= σ yz
= 0.
(18.16)
Les autres contraintes sont déduites des déformations dans les peaux par la
relation :
k ⎤ ⎡
⎡σ xx
′ Q12
′
Q11
⎢
⎥ ⎢
k
′ Q22
′
⎢σ yy
⎥ = ⎢Q12
⎢ k ⎥ ⎢
′ Q26
′
⎢⎣σ xy ⎥⎦ ⎣⎢Q16
′ ⎤
Q16
⎥
′ ⎥
Q26
⎥
′ ⎦⎥ k
Q66
i ⎤
⎡ε xx
⎢ ⎥
⎢ε iyy ⎥ ,
⎢ i ⎥
⎢⎣ε xy ⎥⎦
i = 1, 2,
(18.17)
pour la couche k de la peau inférieure (i = 1) ou de la peau supérieure (i = 2).
18.3 RELATIONS FONDAMENTALES
DES PLAQUES SANDWICHES
18.3.1 Équation constitutive
L’équation constitutive des plaques sandwiches fait intervenir les résultantes et
moments déjà introduits dans la théorie des stratifiés :
— les résultantes en membrane :
⎡ Nx ⎤
⎢N ⎥=
⎢ y⎥
⎢⎣ N xy ⎥⎦
∫
⎡σ xx ⎤
⎢σ ⎥ d z +
yy ⎥
−( h 2+ h1 ) ⎢
⎢⎣σ xy ⎥⎦
−h 2
∫
h 2+ h2
h2
⎡σ xx ⎤
⎢σ ⎥ d z ,
⎢ yy ⎥
⎢⎣σ xy ⎥⎦
(18.18)
⎡σ xx ⎤
⎢σ ⎥ z d z ,
⎢ yy ⎥
⎢⎣σ xy ⎥⎦
(18.19)
— les moments en flexion-torsion :
⎡ Mx ⎤
⎢M ⎥=
⎢ y⎥
⎢⎣ M xy ⎥⎦
∫
⎡σ xx ⎤
⎢σ ⎥ z d z +
yy ⎥
−( h 2+ h1 ) ⎢
σ
⎢⎣ xy ⎥⎦
−h 2
∫
h 2+ h2
h2
18.3 Relations fondamentales des plaques sandwiches
387
— les résultantes en cisaillement :
⎡Q y ⎤
⎢ ⎥=
⎣ Qx ⎦
∫
⎡σ yz ⎤
⎢
⎥ dz .
⎣σ xz ⎦
h2
−h 2
(18.20)
En substituant les expressions des contraintes (18.13) à (18.17) dans les
expressions précédentes des résultantes et moments, nous obtenons l’équation
constitutive :
⎡ N x ⎤ ⎡ A11 A12
⎢ N ⎥ ⎢A
⎢ y ⎥ ⎢ 12 A22
⎢ N xy ⎥ ⎢ A16 A26
⎢
⎥ ⎢
⎢ M x ⎥ = ⎢ C11 C12
⎢ M y ⎥ ⎢C12 C22
⎢
⎥ ⎢
⎢ M xy ⎥ ⎢C16 C26
⎢Q ⎥ ⎢ 0
0
⎢ y ⎥ ⎢
0
⎣⎢ Qx ⎦⎥ ⎣⎢ 0
A16
A26
A66
C16
C26
C66
B11
B12
B16
D11
D12
D16
B12
B22
B26
D12
D22
D26
B16
B26
B66
D16
D26
D66
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
F44
F45
⎡ 0 ⎤
⎤ ⎢ ε xx ⎥
⎥ ⎢ε 0 ⎥
⎥ ⎢ yy ⎥
0
⎥ ⎢γ xy
⎥
⎥⎢ ⎥
⎥ ⎢ κ x ⎥ (18.21)
⎥ ⎢κ ⎥
⎥⎢ y ⎥
⎥ ⎢κ xy ⎥
F45 ⎥ ⎢γ 0 ⎥
⎥ ⎢ yz ⎥
F55 ⎥⎦ ⎢ 0 ⎥
⎣ γ xz ⎦
0
0
0
0
0
0
avec :
Aij = Aij1 + Aij2 ,
(
)
h 2
Aij − Aij1 ,
2
Bij =
(18.22)
Cij = Cij1 + Cij2 ,
Dij =
(
)
h 2
Cij − Cij1 ,
2
et
Aij1
=
Cij1 =
Aij2 =
Cij2
=
−h 2
∫(
− h 2+ h1 )
−h 2
∫(
− h 2+ h1 )
∫
∫
h 2+ h2
h2
h 2+ h2
h2
Fij = hCij′a .
( Qij′ ) d z =
k
n1
∑ ∫h
k
( Qij′ ) d z =
n1
k −1
k =1
n2
hk
∑ ∫h
z ( Qij′ ) d z =
( Qij′ ) d z =
hk
∑ ∫h
k =1
k
k −1
k =1
z ( Qij′ ) d z =
k
hk
k −1
k
hk
k =1
k −1
∑ (Qij′ )k ek ,
z ( Qij′ ) d z =
k
k
(18.23)
k =1
( Qij′ ) d z =
n2
n1
n1
∑ (Qij′ )k ek zk ,
(18.24)
k =1
n2
∑ ( Qij′ )k ek ,
(18.25)
k =1
n2
∑ ∫ h z (Qij′ )k d z = ∑ (Qij′ )k ek zk ,
(18.26)
k =1
(18.27)
388
Chapitre 18 Théorie des plaques sandwiches
Dans les expressions précédentes des coefficients de rigidité, n1 et n2 sont les
nombres de couches respectivement dans la peau inférieure et dans la peau
supérieure, et Cij′a sont les coefficients relatifs au cisaillement transverse de l’âme
exprimés en (18.14).
L’équation constitutive (18.21) a une forme semblable à l’équation (17.21),
obtenue dans le cas de la théorie des stratifiés avec cisaillement transverse. Elle en
diffère par la présence des termes Cij qui impliquent une dissymétrie de la matrice
de rigidité. Comme développé dans la théorie des stratifiés avec cisaillement
transverse (paragraphe 17.4), les coefficients de rigidité Fij sont parfois corrigés
par des facteurs de correction kij, et remplacés par les paramètres de cisaillement
Hij définis de la même manière qu’en (17.53) :
H ij = kij Fij .
(18.28)
Dans le cas de plaques sandwiches symétriques, les peaux inférieure et
supérieure sont identiques, d’où :
Aij1 = Aij2 ,
Cij1 = −Cij2 .
(18.29)
Il en résulte :
Aij = 2 Aij2 ,
Dij = hCij2 ,
Bij = 0,
Cij = 0.
(18.30)
Dans le cas des plaques sandwiches symétriques, il y a donc découplage des
comportements en membrane et en flexion. L’équation constitutive prend alors
une forme identique à l’équation constitutive de stratifiés symétriques avec cisaillement transverse.
18.3.2 Relations fondamentales
Les relations fondamentales des plaques sandwiches sont obtenues en introduisant l’équation constitutive (18.21) dans les relations fondamentales (13.50)
des plaques. Les trois premières équations sont identiques aux équations (17.27),
(17.28) et (17.29) avec Aij, Bij et Fij définis en (18.22) et (18.27). Les deux
dernières équations s’écrivent suivant :
C11
∂ 2u0
∂ 2 u0
∂ 2 u0
∂ 2v0
∂ 2v0
∂ 2v0
+ 2C16
+ C66
+ C16 2 + ( C12 + C66 )
+ C26 2
∂x∂y
∂x∂y
∂x 2
∂y 2
∂x
∂y
+ D11
+ D26
∂ 2ϕ x
∂x 2
∂ 2ϕ y
=R
∂y
2
∂ 2u0
∂t 2
∂ 2ϕ y
∂ 2ϕ y
∂ 2ϕ x
∂ 2ϕ x
+ 2 D16
+ D66
+ D16
+ ( D12 + D66 )
∂x∂y
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
∂w
∂w ⎞
⎛
− F55 ⎛⎜ ϕ x + 0 ⎞⎟ − F45 ⎜ ϕ y + 0 ⎟
∂x ⎠
∂y ⎠
⎝
⎝
+ I xy
∂ 2ϕ x
∂t 2
,
(18.31)
18.4 Sandwiches à peaux épaisses
C16
∂ 2u0
∂x 2
+ D16
+ D22
+ ( C12 + C66 )
∂ 2ϕ x
∂x 2
∂ 2ϕ y
=R
∂y 2
∂ 2v0
∂t 2
389
∂ 2u0
∂ 2 u0
∂ 2v0
∂ 2v0
∂ 2v0
C
C
C
+ C26
+
+
+
2
66
26
22
∂x∂y
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
∂y 2
+ ( D12 + D66 )
∂ ϕy
∂ ϕy
∂ 2ϕ x
∂ 2ϕ x
+ D26
+
+
D
2
D
66
26
∂x∂y
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
2
2
⎛
∂w ⎞
∂w ⎞
⎛
− F45 ⎜ ϕ x + 0 ⎟ − F44 ⎜ ϕ y + 0 ⎟
∂x ⎠
∂y ⎠
⎝
⎝
+ I xy
∂ 2ϕ y
∂t 2
.
(18.32)
Ces équations diffèrent des relations (17.30) et (17.31) par la substitution des
coefficients Cij aux coefficients Bij.
Les conditions aux frontières sont identiques aux conditions introduites dans le
paragraphe 17.3.3.
Dans le cas de matériaux sandwiches symétriques, la forme des relations
fondamentales est identique à celle des stratifiés symétriques avec cisaillement
transverse (paragraphe 17.3.2). Il en résulte une identité du comportement
mécanique entre les matériaux sandwiches symétriques et les stratifiés symétriques. Les deux comportements diffèrent uniquement par les expressions des
coefficients Aij, Dij, Fij. L’ensemble des analyses du comportement mécanique qui
seront développés sur les stratifiés symétriques avec cisaillement pourront donc
être transposées aux plaques sandwiches symétriques.
18.4 SANDWICHES À PEAUX ÉPAISSES
La théorie des plaques sandwiches implique que l’épaisseur des peaux soit bien
plus faible que l’épaisseur de l’âme (hypothèse 1). Dans le cas de peaux épaisses,
il est possible de conduire l’analyse des plaques sandwiches à l’aide de la théorie
des stratifiés avec cisaillement transverse. Nous développons cette analyse dans le
cas d’un matériau sandwich symétrique (figure 18.2), et dans le cas où les axes
principaux de l’âme et des peaux coïncident avec les axes de référence de la
plaque. Les comportements des matériaux sont caractérisés :
— pour la peau par :
• les coefficients Qijp de rigidité réduite,
— pour l’âme par :
• les coefficients Qija de rigidité réduite,
• les modules Gija de cisaillement transverse.
L’application de la théorie sandwich conduit aux expressions suivantes des
coefficients de l’équation constitutive :
390
Chapitre 18 Théorie des plaques sandwiches
z
h1
h
h1
FIGURE 18.2. Sandwich symétrique à peaux épaisses.
Aijs = 2h1Qijp ,
Bijs = 0,
1
Dijs = Qijp ( h1 + h ) hh1 ,
2
Fijs = hGkla
( F44s = hG23 ,
(18.33)
s
a
).
F55
= hG13
L’application de la théorie des stratifiés avec cisaillement transverse conduit
à:
Aij = 2h1Qijp + hQija ,
(18.34)
Bij = 0 ,
(18.35)
2
⎡
1
h3
2 h ⎤
,
Dij = Qijp h1 ⎢( h + h1 ) + 1 ⎥ + Qija
⎣
2
3⎦
12
(18.36)
Fij = 2h1Gijp + hGija .
(18.37)
Soit :
a
⎛
h Qij ⎞
Aij = Aijs ⎜1 +
⎟,
⎜ 2h1 Qijp ⎟
⎝
⎠
Dij =
Dijs
⎡ h1 h + 4 h1 Qija
⎤
h2
3
+ p
⎢1 +
⎥,
⎢⎣ h h + h1 Qij 6h1 ( h + h1 ) ⎥⎦
p
⎛
h Gij ⎞
Fij = Fijs ⎜1 + 2 1 a ⎟ .
⎜
h Gij ⎟⎠
⎝
(18.38)
(18.39)
(18.40)
Les expressions (18.38), (18.39) et (18.40) établissent les relations entre les
coefficients de rigidité de la théorie stratifié avec cisaillement transverse et ceux
Exercices
391
de la théorie sandwich. L’âme étant moins rigide que les peaux, nous avons :
Qija Qijp ,
18.41)
et les relations peuvent être simplifiées suivant :
Aij ≈ Aijs ,
(18.42)
⎛ h1 h + 34 h1 ⎞
⎜1 +
⎟,
h h + h1 ⎠
⎝
Dij ≈
Dijs
Fij =
h
Fijs ⎜1 + 2 1
⎛
⎜
⎝
Gijp ⎞
⎟.
h Gija ⎟⎠
(18.43)
(18.44)
Nous retrouvons le comportement du matériau sandwich : le comportement en
membrane-flexion est déterminé par les peaux et le comportement en cisaillement
transverse est imposé essentiellement par l’âme. Les coefficients de flexion Dij
sont toutefois modifiés par rapport à la théorie des sandwiches. L’expression
(18.43) permet ainsi d’évaluer l’influence de l’épaisseur des peaux. Par exemple,
dans le cas où :
h1 = 3 mm,
h = 10 mm,
nous trouvons que :
Dij = 1,323Dijs
soit un écart supérieur à 30 % entre les deux analyses.
EXERCICES
18.1 On considère le matériau sandwich de l'exercice 17.2.
Calculer, pour chaque épaisseur de l'âme, la matrice de rigidité en utilisant la
théorie des plaques sandwiches.
Comparer aux résultats trouvés dans l'exercice 17.2, en utilisant la théorie des
stratifiés avec cisaillement transverse.