[11pt,A4,french]article [francais]babel francais

Université de Rouen
[11pt,A4,french]article [francais]babel francais a4 hhline =15cm =25cm amssymb
Maı̂trise des sciences et techniq
document Exercice I
Afin de déterminer le degré de pollution bactérienne des eaux, des prélèvements ont étè effectués dans
les 6 bassins hydrographiques de France.
L’eau destinée à l’alimentation humaine doit être dépourvue de toute contamination bactérienne.
On recherche donc dans tous les prélèvements effectués la présence ou l’absence de salmonelles ( germes
pathogènes très résistants aux traitements classiques de chloration et d’ozonation ).
Les résultats obtenus à 357 points de prélèvements, répartis dans les 6 bassins, sont les suivants.
Bassins
Artois Picardie
Rhin Meuse
Loire Bretagne
Adour Garonne
Rhone Méditerannée Corse
Seine Normandie
Total France
Présence
24
24
30
18
33
48
177
Absence
15
6
33
6
51
69
180
Total
39
30
63
24
84
117
357
A) Soit p la proportion de prélèvements indiquant une présence de salmonelles parmi l’ensemble de tous
les prélèvements possibles.
1 ) Tester au seuil 5% l’hypothèse H0 : p ≤ 0.5 contre H1 : p > 0.5 sur les résultats obtenus sur
l’ensemble de la France
2 ) Tester au seuil 5% l’hypothèse H0 : p ≤ 0.5 contre H1 : p > 0.5 sur les résultats obtenus dans chaque
bassin.
B ) On fait l’hypothèse que, dans tous les bassins, parmi l’ensemble de tous les prélèvements possibles
il y en a autant indiquant une présence qu’une absence de salmonelles.
Tester au seuil 5% cett hypothèse.
C ) Tester au seuil 5% si la pollution est identique dans tous les bassins.
Exercice II
La teneur maximale admise pour le plomb dans l’eau potable est de 50µg/l. Cette teneur très faible
implique une technique de dosage très sensible. Pour tester la précision et la reproductibilité d’une méthode,
deux personnes effectuent n1 et n2 fois de suite les mêmes dosages du plomb dans une eau donnée.
La teneur en plomb dans l’eau potable suit une loi de moyenne µ1 et de variance σ12 pour la première
personne, de moyenne µ2 et de variance σ22 pour le deuxième personne.
La première personne effectue n1 = 25 dosages en µg/l dont les résultats sont les suivants :
19.50
18.53
19.45
18.54
19.45
20.49
21.52
20.46
21.55
20.55
21.55
19.45
20.50
20.53
19.30
19.51
18.48
20.46
19.49
19.09
20.47
20.44
19.51
20.54
20.04
1
La deuxième personne effectue n2 = 30 dosages en µg/l dont les résultats sont les suivants :
18.35
18.03
18.64
17.35
17.05
19.05
19.94
22.05
22.44
21.05
22.59
20.25
22.57
17.94
20.00
20.83
18.37
19.03
19.58
19.84
21.04
19.94
19.17
18.09
21.04
20.04
19.05
21.35
21.14
21.14
Pour chacune des questions posées ci-dessous, on précisera s’il est nécessaire ou non de supposer ces lois
normales.
1 ) Donner des estimateurs sans biais de µ1 et de µ2 .
2 ) Donner des estimateurs sans biais de σ12 et de σ22 .
3 ) Donner une estimation au niveau de confiance 95 % pour la moyenne µ1 et la moyenne µ2 .
4 ) Tester au seuil 5% l’égalité des moyennes µ1 et µ2 .
2