UNIVERSITE LIBANAISE FACULTE DE GENIE

UNIVERSITE LIBANAISE
FACULTE DE GENIE
Concours d’entrée 2015-2016
Physique
Juillet 2015
Durée 2 h
Exercice I (20 pts) : Test de la suspension d’un véhicule
Le véhicule étudié est modélisé par un bloc, de centre de gravité G et de masse M = 1500 kg,
reposant sur une roue par l’intermédiaire d’une suspension verticale. La suspension est modélisée par
un ressort de raideur k = 1,5105 Nm-1 (de longueur à vide 0) et un amortisseur qui exerce une
dy
force de frottement ⃗F = - G j, où est une constante appelée coefficient d'amortissement, et yG
dt
l'ordonnée de G repérée, à une date t, sur un axe Oy orienté vers le haut. La roue est solidaire d’un
support (E) (voir figure).
A- Le support (E) est immobile
1. Déterminer l’ordonnée y0 de G0, la position d'équilibre de G lorsque (E) est au repos.
2. On considère le mouvement vertical de G par rapport à G0. À une date t, la position de G par rapport
à G0 s’écrit y, où y = yG - y0.
2.1. Montrer que l’expression de l’énergie potentielle élastique du système
y
G

k
O
yG
O
Fig. 1
E
Mg
(bloc, Terre, ressort) s’écrit : EPé=½k( -y)2.
k
2.2.Établir, en fonction de y, l’expression de Em, l’énergie mécanique du
système.
dE
⃗ ), où P(F
⃗ ) est la puissance développée par F
⃗ , établir
2.3. En appliquant m = P(F
dt
l’équation différentielle en "y".
3. La figure 2 donne trois courbes représentant y = g(t) pour trois amortisseurs
différents de coefficients d'amortissement: 1= 1,5104 kg.s-1, 2 = 5,0104 kg.s-1
et 3 = 1,5105 kg.s-1.
3.1. Déterminer une valeur approximative de la fréquence propre f0 de
l’oscillateur.
3.2. Le régime critique est le meilleur pour le confort et la sécurité des passagers.
Donner, en le justifiant, l’amortisseur qui convient le mieux.
B- Le support (E) est mis en mouvement (oscillations forcées)
Pour tester la suspension, l’oscillateur subit l’action d’une force d’expression :
⃗FE = F0 cos( t + ) j produite par le support (E), où F0 est constante et  = 2πf. Le
bloc effectue des oscillations forcées d’équation horaire : y = Ym cos(t). La
figure 3 montre les variations de Ym en fonction de f pour les trois amortisseurs.
1. En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que l'équation différentielle est de la forme:
d2 y
dt2
 dy
k
+ M dt + M y =
F0
M
Fig.2
Fig.3
cos(t + ).
2. L’expression de Ym est donnée par :Ym= √
F20
2 2
  +(k−M2 )2
.
k
2
2.1. Montrer que la pulsation de résonance d’amplituder s’écrit : 2r = M - 2M2.
2.2. Cette relation de r justifie la différence entre les fréquences de résonance d’amplitude des deux courbes 4 et 5 de la
figure 3. Expliquer pourquoi.
Faculté de génie - Université Libanaise
Toutes les sessions d'examens d'entrée sont disponibles sur www.ulfg.ul.edu.lb
UNIVERSITE LIBANAISE
FACULTE DE GENIE
3. Le véhicule est équipé de l'amortisseur dont le coefficient  est le plus faible. Déterminer graphiquement la fréquence fr
de résonance d’amplitude et la comparer avec celle de f0.
4. Pour f = f'= 4,5 Hz, l'amplitude des oscillations Ym est la même pour les trois amortisseurs. Quel amortisseur assure-t-il
aux passagers le confort, la sécurité et la plus petite amplitude pour f > f' ?
Exercice II (20 pts) Fission et production d’énergie
235
L’uranium est essentiellement composé de deux isotopes, U-238 ( 238
92U) et U-235 ( 92U), formés en même temps que la
Terre, il y a 4,5 milliards d’années. Lors de la formation de la Terre, le rapport isotopique du nombre (N05) d’isotopes
U-235 sur le nombre (N08) d’isotopes U-238 était égal à 0,32. Il y a 2 milliards d’années, ce rapport isotopique était de
0,038.
Données : 1 u = 931,5 MeV/c2 ; Masses :mP(proton) = 1,0073 u ; mn(neutron) = 1,0087 u ; : m235( 235
92U) = 235,0134 u
Énergies de liaison par nucléon : E/A(La 144)= 8,28 MeV/nucléon et E/A(Br 88)= 8,56 MeV/nucléon
1. Dans une centrale nucléaire classique, un noyau d'uranium ( 235
92U) subit la fission sous l’impact d'un neutronlent. Un
88
des processus possibles conduit à la formation d'un noyau de lanthane ( 144
57La ), d'un noyau de brome ( 35Br) et de plusieurs
neutrons.
1.1. Écrire, en le justifiant, l’équation de la réaction de fission étudiée.
1.2. Calculer, en MeV/nucléon, l'énergie de liaison par nucléon d’un noyau ( 235
92U) et en déduire que cette réaction de
fission libère de l’énergie.
1.3. Montrer que l'énergie libérée par la fission d'un noyau ( 235
92U) s’exprime par :Elib= E(La) + E(Br) - E(U), où E(X)
représente l’énergie de liaison d’un noyau X et calculer sa valeur en MeV.
2. À partir d’un noyau lourd dans l’état 1, et après l’absorption d’un neutron lent, on passe par un état intermédiaire 2 où le
noyau est déformé, puis on obtient l’état 3 avec deux noyaux séparés. Dans l’état 2, la distance
moyenne inter-nucléons est plus grande que celle dans l’état 1. Nommer les forces d'interaction qui
Énergie
E2
ont lieu dans un noyau et préciser celle qui assure sa cohésion.
Etat2
3.1. Le diagramme énergétique modélisant la fission d’un noyau lourd est représenté par la figure
ci-contre. Les positions relatives des niveaux d’énergie des états 1 et 3 sont compatibles avec le fait E1
État1
que la réaction de fission libère de l’énergie. Expliquer pourquoi.
1
Etat3
3.2. Pour réaliser la fission, il faut donc apporter au noyau une énergie minimale, appelée énergie
E3
seuil. Représenter cette énergie seuil par une flèche sur le diagramme énergétique.
3
Diagramme
énergétique
4. La capture d’un neutron par un noyau AZXpermet d’apporter à ce noyau de l’énergie, notée Ea, et
conduire ainsi à un nouveau noyau A+1ZX. Les valeurs de cette énergie apportée par la capture d’un neutron quasiment au
238
239
repos sont (6,5), (4,8) et (6,5) MeV respectivement pour les noyaux 235
92U, 92U et 94Pu. Les énergies minimales nécessaires
à provoquer la fission de ces mêmes noyaux A+1ZX, après capture neutronique, sont respectivement (5,9), (5,8) et (5,9) MeV.
Identifier le noyau AZXcelui qui ne peut pas subir la fission après la capture d’un neutron pratiquement au repos.
5. Un neutronlent (quasiment au repos) a une faible énergie cinétique Ec, typiquement Ec= 0,025 eV. Lorsque l’énergie
cinétique Ec du neutron capturé par le noyau AZX au repos, n’est pas négligeable, elle s’ajoute à l’énergie Ea ; l’énergie apportée
lors de la capture de ce genre de neutron est alors égale à Ec+ Ea. Dans le cas du noyau trouvé à la question 4, préciser la
condition que doit vérifier l’énergie cinétique du neutron pour qu’après sa capture, la fission du nouveau noyau soit possible.
6. Le forum international Génération IV a pour but de développer des réacteurs à « neutrons rapides » permettant à la fois
l’optimisation de la consommation des ressources en uranium et la minimisation des déchets à vie longue.
Faculté de génie - Université Libanaise
Toutes les sessions d'examens d'entrée sont disponibles sur www.ulfg.ul.edu.lb
UNIVERSITE LIBANAISE
FACULTE DE GENIE
6.1. Donner la loi de décroissance radioactive et montrer que la demi-vie de l’uranium 235 est de 0,69 milliards d’années,
sachant que la demi-vie de l’uranium 238 est de 4,5 milliards d’années.
6.2. En déduire la valeur du rapport isotopique actuel.
6.3. En considérant la grande différence d’abondance entre les noyaux d’uranium 238 et 235, expliquer qualitativement
l’importance des réacteurs à « neutrons rapides ».
Exercice III (20 pts) Caractéristiques d’une bobine réelle
On se propose de déterminer les caractéristiques L et r d’une bobine (B). On dispose pour cela d’un GBF, d’un
oscilloscope, de multimètres, d’une boîte de résistances (R) et d’un condensateur (C) de capacité C réglable.
A- Étude rapide de la bobine
e(t)
Une mesure au multimètre donne une valeur de la résistance du bobinage r = 7,9 Ω. On
détermine la valeur de l’inductance L en étudiant la résonance d'intensité dans un circuit
RLC série formé de (B) , (R) et (C) branché aux bornes du GBF délivrant une tension
e(t) = E0cos(ωt + ). Un courant d'intensité i = I0cos(ωt) circule alors dans le circuit.
GBF
i
C
D
1. Établir les équations horaires des tensions uB, uR et uC respectivement aux bornes de
(B), (R) et (C).
L, r
N
R
Fig. 1
A
M
2. En appliquant la loi d'additivité des tensions, déterminer, en fonction de E0, R, L, C et ω, les
expressions de I0 et tan.
3. On désire visualiser, à l’aide de l’oscilloscope, les tensions e(t) et uR. Le circuit de la figure 1
n’est pas adéquat. Proposer, en le justifiant, un nouveau branchement des dipôles.
Fig. 2
4. Pour C = 470 nF, on obtient les oscillogrammes de la figure 2. Déterminer L ainsi que la
valeur de R utilisée.
SV = 2 V/div ;
Sh =0,2ms/div.
i
e(t)
(B)
R
M
V1
V2
Fig. 3
B- Comportement de la bobine
Considérons le circuit de la figure 3, où les voltmètres (V1) et (V2) sont branchés aux bornes
de (B) et (R). Le circuit est parcouru par un courant d’intensité i = I0cos(ωt) et la tension aux
U
bornes de (B) s’écrit :uB = U0Bcos(ωt + '). On pose Z = I0B et on donne à R la valeur 500 .
N
0
1. En donnant à (ωt) deux valeurs particulières, montrer que Z2 = r 2 + (2fL)2 .
A
2. Exprimer Z en fonction de R et des valeurs efficaces UB et UR des tensions uB et uR.
f(Hz)
10
20
30
40
3. Le tableau ci-contre donne une série de valeurs de UB et UR en fonction de f.
Expliquer comment, on peut, par une représentation graphique, tester la validité de la
relation : Z2= r 2 + (2fL)2 . En déduire du graphique proposé les valeurs de r et L.
UB(mV)
104
146
197
252
UR(V)
5,3
5,3
5,3
5,3
Faculté de génie - Université Libanaise
Toutes les sessions d'examens d'entrée sont disponibles sur www.ulfg.ul.edu.lb
UNIVERSITE LIBANAISE
FACULTE DE GENIE
Concours d’entrée 2015-2016
Solution Physique
5 Juillet 2015
Durée 2 h
Exercice I : Test de l'amortisseur de la suspension d’un véhicule
A1
Lorsque le véhicule est en équilibre, ∑ ⃗F = ⃗0. Les forces qui s'exercent sont le poids ⃗P = -Mg j 2
⃗ = k(0 - y0) j du ressort vertical vers le haut (compression): P
⃗
vertical vers le bas et la tension T
Mg
⃗ = ⃗0 - Mg j + k(0- y0) j = ⃗0. Ainsi: y0 = 0 - .
+T
k
2.1.
2.2.
2.3.
L’expression de l’énergie potentielle élastique du système (bloc, Terre, ressort) est de la forme: 1½
Mg
Mg
EPé = ½ k (0- yG)2 = ½ k (0- y - y0)2 = ½ k (0- y - 0 + k )2 = ½ k ( k - y)2.
L’expression de l’énergie potentielle de pesanteur du système :EPP = Mg(yG) = Mg(y + y0).
2½
dy 2
Mg
2
L’énergie mécanique du système est donnée par: Em = ½ M( dt ) + Mg(y + y0)+ ½ k ( k - y)
3½
⃗ ) = - dyG jdyG j = - (dyG )2; Comme y = yG - y0, alors: dyG =dy. Soit: P(F
⃗ ) = - (dy)2.
P(F
dt
En appliquant
dy
dt
dEm
dt
2
dt
dt
dt
⃗ ), on obtient: Mdy d 2y + Mgdy - k(Mg - y) dy =- (dy)2;
= P(F
dt dt
dt
k
dt
dt
dt
d2 y
dy
d2 y
 dy
k
3.1.
avec ≠ 0 M 2 + k y =- et en divisant par M, on obtient: 2 +
+ y=0
dt
dt
dt
dt
M dt
M
La fréquence propre est proche de la pseudo-fréquence des oscillations dans le cas
d’amortissement faible.
D’après le document 1 : 2T = 0,64 s, ainsi : T = 0,32 s.  T  T0 = 0,32 s.
3.2.
Par suite f0 = 1/T0 = 1/0,32 = 3,13 Hz.
Le régime critique est le cas où l’oscillateur reprend sa position d’équilibre le plus rapidement 1
possible sans oscillation. C’est la courbe no 2 qui correspond à 2 = 5,0104 kg.s-1.
Faculté de génie - Université Libanaise
Toutes les sessions d'examens d'entrée sont disponibles sur www.ulfg.ul.edu.lb
2
UNIVERSITE LIBANAISE
FACULTE DE GENIE
B- Test des amortisseurs (oscillations forces)
⃗
dP
1.
En appliquant la deuxième loi de Newton ( = ∑ ⃗F) :
⃗
dP
dt
d2 y
dv
Mg
⃗ = - Mg j + k( - y) j -
= M dt j = M dt2 j et ∑ F
k
d2 y
Ainsi, M dt2 = - k y -
2.1.
2
dt
dy
dt
dy
dt
j + F0 cos(2f t + ) j.
+ F0 cos(2f t + ). Par suite:
d2 y
dt2
 dy
k
+ M dt + M y =
F0
M
cos(2f t + ).
À la résonance d’amplitude, Ym est maximale, donc sa dérivée par rapport à  est nulle.
2 Ym
dYm
d
2½
F20
= [2 2 +(k−M2 )2 ]2 [22 − 4M(k − M2 )] = 0, donne :
[22 − 4M(k − M2 )2] = 0  2[2 − 2Mk + 2M 2 3 ] = 0
2
2.2.
3.
4.
 [2 − 2Mk + 2M 2 2 ] = 0  2r = 20 - 2M2.
On remarque que la fréquence de résonance d’amplitude diminue lorsque  augmente, ce qui 1
vérifie la relation obtenue.
La fréquence fr de résonance d’amplitude est fr = 3 Hz qui est légèrement inférieure à
1
f0 = 3,13 Hz.
Pour f = 4,5 Hz, l'amplitude des oscillations Ym est la même pour les trois amortisseurs. On 1
doit choisir l’amortisseur qui correspond à la courbe no4, où l'amplitude des oscillations reste
faible pour f > f '.
Faculté de génie - Université Libanaise
Toutes les sessions d'examens d'entrée sont disponibles sur www.ulfg.ul.edu.lb
Exercice II :
1.1.
1.2.
1.3.
2.
3.1.
3.2.
4.
5.
6.1.
6.2.
6.3.
144
88
1
L’équation de la réaction de fission étudiée : 10n + 235
92U 57La+ 35Br + y 0n
D’après la loi de Soddy (conservation du nombre de masse) : 236 = 144 + 88 + y  y = 4 ;
1
144
88
Ainsi: 10n + 235
92U 57La+ 35Br + 4 0n
Le défaut de masse de formation du noyau U 235 : 
m = 92 mP+143 mn – mU = 92×1,0073+ 143×1,0087-235,0134 = 1,9023 u
2
L'énergie de liaison d’un noyau ( 235
92U) = [m]c = 1,9023×931,5 = 1772,0 MeV.
L'énergie de liaison par nucléon d’un noyau ( 235
92U) = 1772,0/235 = 7,54 MeV/nucléon.
D’après la courbe d’Aston ou E/A(U) < à E/A(la) et E/A(Br).
L’énergie libérée par cette réaction est donnée par :
Elib = mc2 = [mn + mU –(mLa+ mBr+4 mn)] c2 = [mU - mLa- mBr-3 mn] c2.
Elib =mc2 = (92 mP + 143 mn)c2 -E(U) – [(57 mP + 87 mn)c2 -E(La)] -[(35 mP + 53 mn)c2 E(Br)] – 3 mn
Elib = E(La) + E(Br) - E(U).
L’énergie libérée par la fission d'un noyau ( 235
92U) :
Elib = E(La)+ E(Br) - E(U) = 144×8,28 + 88×8,56 - 235×7,54 = 173,7 MeV.
1½
3
3
1
Les forces d'interaction présentes dans un noyau sont la force d’interaction électrostatique répulsive 1½
entre les protons et la force d’interaction nucléaire forte attractive entre les nucléons, la dernière
l’importe et assure la cohésion du noyau.
Comme le niveau d’énergie E1 est supérieur à E3, alors le passage de E1 à E3 libère de l’énergie, ainsi la 1
réaction de fission libère de l’énergie.
Voir figure.
½
Énergie
E2
Ea
Etat2
E1
État1
1
Etat3
E3
3
Diagramme
énergétique
Parmi les trois noyaux, le noyau 238
92U est celui qui ne peut pas conduire à une fission après la capture 1
d’un neutron pratiquement au repos car Ea est inférieure au seuil (4,8 < 5,8).
Il faut que Ec+ Ea  Eseuil  EC  Eseuil - Ea = 5,8 – 4,8 = 1,0 MeV.
1½
La loi de décroissance radioactive est N = N0e-t = N0e-ln(2)t/t½.
Pour l’uranium 238 : N8 = N08exp(-0,693×2,5/4,5) = 0,68 N08.
Pour l’uranium 235 : N5 = N05exp(-0,693×2,5/x) = N05exp(-1,73/x)
N5/N8 = 3,7/96,3= 0,038  N5 = 0,038×0,68 N08 = 0,0258 N08  N05 = 0,32 N08
En remplaçant dans la deuxième équation, on obtient :
0,0258 N08 = 0,32 N08 exp(-1,73/x)  exp(-1,73/x) = 0,0806
-1,73/x = -2,52  x = 0,69 milliard d’années.
À la date actuelle : Na8 = N08/2 = 0,5 N08.
Et Na5 = N05exp(-0,693×4,5/0,69) = 0,0109 N05
Na5 =0,0109×0,32N08 = 3,5×10-3 = 0,35%
Na5/Na8 =3,5×10-3/0,5 = 7,0×10-3 ou 0,7%
3
1½
Comme l’U-238 est très abondant par rapport U-235, alors on peut optimiser la consommation des 1½
ressources en minerai uranium grâce aux réacteurs à « neutrons rapides » qui fait fissionner l’U-238 et
aussi le Pu-239 qu’on l’obtient de l’U-238.
Faculté de génie - Université Libanaise
Toutes les sessions d'examens d'entrée sont disponibles sur www.ulfg.ul.edu.lb
UNIVERSITE LIBANAISE
FACULTE DE GENIE
Exercice III :
A- Étude rapide du bobinage
di
1.
uR(t) = uMB = R i = RI0cos(ωt) ; uB(t) = Ldt + r i = -Lω I0 sin(ωt) +rI0cos(ωt),
q
On a : uC = C et i =
dq
du
1
3½
1
= C dtC  uC = C ∫ i dt + cte= C ∫ I0 cos(ωt)dt + cte
dt
I0
uC = = Cω sin(ωt), avec la cte = 0, car la tension uC estre alternative sinusoïdale.
2.
D’après la loi d'additivité des tensions : e(t) = uAD = uAM + uMN + uND.
 E0cos(ωt + ) = -Lω I0sin(ωt) +rI0cos(ωt) + RI0cos(ωt) +
I0
Cω
3
sin(ωt).
Pour ωt = 0 rad, E0cos() = (r + R)I0.
π
1
1
Pour ωt = 2 rad, - E0sin() = (- L ω +Cω)I0, ou E0sin() = (L ω - Cω)I0.
Soient : tan =
3.
Lω−
1
Cω
r+R
1
, et : E02 = I02 [(r + R)2 + (L ω − Cω)2] I0 =
Pour visualiser e(t) et uR, il faut que le GBF et le conducteur
ohmique aient un point commun, la masse. Le nouveau
branchement est alors, par exemple :
E0
1 2
)
Cω
;
√(r+R)2 +(Lω−
1½
e(t)
i(t)
Fig. 2
ainsi e(t) = uAN et uR.= uBN.
L, r
C
N
R
B
A
M
Voie y1
Voie y2
4.
En se référant à la figure 2, e(t) et uR sont en phase. Le circuit est alors le siège du phénomène de
2π
résonance d’intensité ; on écrit ainsi : LCω20 = 1 , où  = 0, la pulsation propre, avec 0 = .
T0
En se référant à l’oscillogramme, une période s’étale sur 6,5 divisions, soit : T0 = 6,50,2 = 1,3 ms et
2π
0 = 1,310−3 = 4832 rad/s ; L =
1
20 C
1
= 48322 ×470×10−9 = 0,091 H.
De même: E0 = (r+R)I0, s’étale sur 3 divisions, ce qui donne : E0 = (r+R)I0= 32 = 6 V ;
UR0 = RI0, s’étale sur 2 divisions, ce qui donne : UR0 = RI0 = 22 = 4 V.
u
E
r+R
Ainsi : uG = U 0 =
R
R0
R
6
= 4 = 1,5  r + R = 1,5 R  r = 0,5 R  R = 2 r = 2×7,9 = 15,8 .
Faculté de génie - Université Libanaise
Toutes les sessions d'examens d'entrée sont disponibles sur www.ulfg.ul.edu.lb
4
UNIVERSITE LIBANAISE
FACULTE DE GENIE
B1.
Comme uB(t) = L
di
dt
2½
+ r i, alors : U0Bcos(ωt + ').= -Lω sin(ωt) +rI0cos(ωt),
Pour ωt = 0 rad  U0Bcos(') = r I0 .
Pour ωt = π/2 rad  - U0B sin(') =-L ω I0 ; et comme ω = 2πf, alors : U0B sin(') = 2πf L I0.
Ainsi : (U0B)2 = I02 [r 2 + (2fL)2 ]  U0B = I0 √r 2 + (2fL)2 .
Comme Z =
2.
U0B
I0
; alors Z = √r 2 + (2fL)2 ou Z2 = r2 + (2πfL)2.
ZI
On a : U0B = UB√2 = Z I0 et U0R = UR√2= R I0 ; ainsi R I0 =
0
3.
UB √2
U
, par suite : Z = R× UB .
UR √2
On teste la relation par une représentation graphique de Z2 en
fonction de f2, car Z2 = r2 + (2πL)2f2.
Le graphique des points est porté par une droite qui coupe l’axe des
ordonnées en un point d’ordonnée r2 = 65, ce qui donne r = 8,06
.
(2πL)2 représente la pente de la droite, de valeur 0,312
(2πL)2 = 0,312  L2 = 7,90  L = 0,089 H
Faculté de génie - Université Libanaise
Toutes les sessions d'examens d'entrée sont disponibles sur www.ulfg.ul.edu.lb
1½
R
4