Correction DS5

Devoir de Mathématiques n°5 : Correction
1S
Ex1.
∑ 1) =
=
∑ ²
=
,
= 37,625
,
− ² =
− 37,625² =
2) = √ ≈ 23,4
3) D’après le tableau, 25+20+15 = 60 élèves ont un temps de trajet dans cet intervalle. L’effectif total
étant 100, cela représente un pourcentage de 60%.
4)
Temps en mn
[0 ; 5[
[5 ; 15[ [15 ; 30[ [30 ; 45[ [45 ; 60[ [60 ; 90[
Effectifs
5
15
25
20
15
20
E.C.C.
5
20
45
65
80
100
= 50, la valeur médiane est donc entre le 50ème et 51ème rang, dans la classe [30 ; 45[.
Ex2. QCM :
1) La 1ère courbe est la représentation graphique d'une fonction f.
Combien vaut ! " #−2$ ?
a) −1
b) 0,5
c) 1
d) 2
2) Une fonction f admet en un point a une dérivée f'(a). Laquelle des
propositions ci-dessous est juste?
!#% + ℎ$ − !#%$
!#ℎ$ − !#%$
%$ !′#%$ = lim
/$ ! " #%$ = lim
*→,
*→
ℎ
ℎ
!#%
+
ℎ$
−
!#%$
!#ℎ$
−
!#%$
0$ ! " #%$ = lim
1$ ! " #%$ = lim
*→
*→,
ℎ
ℎ
3) La 2ème courbe est la courbe représentative d'une fonction f.
Lequel des nombres suivants est le plus grand?
a) ! " #%$
b) ! " #/$
c) ! " #0$
d) ! " #1$
Plus grand coefficient directeur des tangentes à la courbe
4) Une fonction f est définie pour tout nombre x par !#$ = .
Combien vaut !′$ ?
a) !′#$ = 5 b) !′#$ = 6 c) !′#$ = 6 d) !′#$ = 5 Ex3. ROC : 1) Pour tout nombre réel ℎ ≠ 0
3#,4*$53#,$
*
=
#,4*$6 5,6
*
=
, 6 4,*4*6 5,6
*
=
*#,4*$
*
= 2% + ℎ
!#% + ℎ$ − !#%$
= lim #2% + ℎ$ = 2%
*→
*→
ℎ
donc la fonction carré est dérivable en % et ! " #%$ = 2%.
donc lim
2) Application
Le coefficient directeur de la tangente à
C
au point d’abscisse % est ! " #%$
On cherche % tel que ! " #%$ = −3 ;<=> 2% = −3 ;<=> % = − Au point d’abscisse − , la tangente à C a pour coefficient directeur −3.
C est la courbe représentative de la fonction f définie sur [0; +∞[ par !#$ =
T est la droite d’équation B = + . T est-elle tangente à la courbe C ?
Ex 4. Dans un repère,
1)La fonction racine carrée est dérivable sur ] 0 ; +∞ [ et pour tout > 0, ! " #$ =
2) Equation de la tangente à
√
√
C au point d’abscisse 4 : B = ! #4$# − 4$ + !#4$;<=> B =
"
# − 4$ + 2
soit B = + 1
3) Le coefficient directeur de T est et doit être égal au nombre dérivé de ! en %.
On cherche s’il existe un nombre % > 0 tel que
√,
=
E
F
GHIJ √K = L GHIJ K = M
On vérifie que T passe par le point A ( 9 ; 3 )
En effet × 9 + = 3 donc T est tangente à
C en A.
Ex5. Soit la fonction P polynôme du 2nd degré du type % + / + 0 .
Dans un repère, sa courbe Q a pour sommet le point S ( 2 ; 1 $.
S
1) abscisse du sommet d’une parabole = R = − , = 2 1<T0 − / = 4% ;<=> / = −4%
2) On sait de plus que P" #3$ = −1 ;
P" #$ = 2% + / <U P" #3$ = 6% + / = −1 ; on remplace b par −4% ; on obtient 6% − 4% = −1 ;<=> % = − / = −4% = 2
De plus on sait que l’ordonnée du sommet est 1 ; V = P#2$ = − × 2 + 2 × 2 + 0 = 1 1<T0 0 = −1
a = −0.5 ; b = 2 ; c = −1
Ex6. 1) Toutes les chansons ont la même probabilité d’être sélectionnées
et il y a 11 chansons donc la probabilité que la chanson n°7
soit sélectionnée est p =
1
11
2) A est l’événement « la chanson sélectionnée a une
durée de 200 secondes »
Il y a 3 chansons parmi les 11 qui ont une durée de
3
200 secondes, donc p ( A ) =
11
b) B est l’événement « la chanson sélectionnée a une durée supérieure à 210 secondes »
5
Il y a 5 chansons parmi les 11 qui ont une durée supérieure à 210 secondes, donc p ( B ) = .
11
c) B est l’événement « la chanson sélectionnée a une durée inférieure à 210 secondes »
5 6
p B = 1− p ( B) = 1− =
11 11
3) X est la variable aléatoire qui à chaque chanson sélectionnée associe sa durée exprimée en secondes
a) Les différentes valeurs prises par X sont : 150 ; 185 ; 200 ; 215 ; 230 ; 300
1
b) Il y a une chanson de durée 150 s, donc p ( X = 150 ) =
11
2
Il y a deux chansons de durée 185 s, donc p ( X = 185 ) = , etc.
11
150 185 200 215
230
300
xi
( )
p ( X = xi )
1
11
1
11
2
11
2
11
3
11
3
11
2
11
2
11
2
11
1
11
2
11
1 2310
= 210 .
11 11
c) E( X ) =150× +185× + 200× + 215× + 230× + 300× =
En moyenne la durée d’une chanson est de 210 secondes.