PC4 de Mécanique 432 pour les X 2001, vous trouverez ci

École Polytechnique
c.clanet, 24 février 2003
PC4 de Mécanique 432 pour les X 2001,
vous trouverez ci-joints les énoncés de deux exercices:
- Le vol des Colibris.
- Le repliement périodique d’une bande de papier: une analogie avec le repliement
du miel.
IRPHE, Technopole de Château Gombert, 49 rue F.Joliot-Curie
13384 Marseille Cedex 13, FRANCE.
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Exercice 1: Le vol des Colibris.
Figure 1: Colibri à gorge rouge.
Le colibri est un oiseau du continent américain capable d’exécuter des vols stationnaires et même des vols “à reculons” ou en ascension verticale. Cette particularité
le distingue des autres oiseaux. Plus de 300 espèces de colibris ont été identifiées.
Les études allométriques des ornithologues nous apprennent que le colibri d’Hélène
(Mellisuga Helenae) originaire de Cuba est le vertébré à sang chaud le plus petit:
sa masse est de 2 g, son envergure de 6 cm et ses ailes battent environ 60 fois par
seconde en vol stationnaire. Le colibri géant des andes (Patagonia gigas) est le plus
gros colibri, avec une masse de 20 g, une envergure de 21 cm: il lui suffit de battre
les ailes 18 fois par seconde pour se maintenir en vol stationnaire. En amérique du
nord, le colibri à gorge rubis (Archilochus colibris) est le plus commun (figure 1): il
pèse 5 g, mesure 10 cm d’envergure et bat ses ailes à 35 Hz en vol stationnaire.
On se propose d’utiliser l’analyse dimensionnelle pour mieux comprendre les caractéristiques de ces oiseaux belliqueux mais attachants. L’objet de l’exercice est de
déterminer les règles de similitude reliant la fréquence f des battements d’aile et
l’envergure L des ailes à la masse M de l’oiseau. Dans cette étude, nous ferons les
hypothèses suivantes:
• Le corps de l’oiseau qui contient l’ensemble des organes vitaux et les muscles
actionnant les ailes constitue la partie la plus pesante. Pour simplifier, on
considère que la masse de l’oiseau M est toute entière concentrée dans le
corps. Les ailes sont supposées de masse petite devant la masse d’air qu’elles
déplacent. Leur envergure est L et leur largeur c et la distance balayée par ses
extrémités en mouvement est b.
• Les ailes et leurs mouvements sont géométriquement identiques pour tous les
colibris.
• L’air ambiant est assimilé à un fluide incompressible de masse volumique ρ et
de viscosité négligeable. Cette hypothèse sera justifiée dans la question (6).
1/ Déterminer par analyse dimensionnelle la règle de similitude reliant la force de
portance moyenne Fp produite par le battement d’aile aux propriétés de l’air am2
biant et aux caractéristiques de l’aile en mouvement.
2/ En supposant l’oiseau en vol stationnaire en déduire une relation entre M , f , ρ,
L, c et l’accélération de la pesanteur g.
3/ Déterminer par analyse dimensionnelle la règle de similitude reliant la puissance
Pb nécessaire aux battements de l’aile, aux caractéristiques de l’air et de l’aile en
mouvement.
4/ En supposant que 40% de la masse M est du muscle et que la puissance musculaire est proportionnelle à la masse musculaire (environ 50 W.kg−1 ) déduire une
seconde relation entre M , L, c, f , ρ.
5/ Les ailes de toutes les espèces étant géométriquement semblables, déduire des
questions (2) et (4) la loi de puissance reliant f à M . Déduire des mêmes relations
la loi de puissance entre L et M et L et f . Par une représentation graphique appropriée, confronter ces lois de puissance aux données expérimentales. Commenter.
6/ Expliquer pourquoi nous avons supposé la viscosité de l’air négligeable.
Figure 2: Il y a deux mille ans, le peuple Nazca a creusé des sillons dans
le sol désertique de la pampa péruvienne, dessinant d’impressionnantes figures
géométriques et représentations stylisées de plantes ou d’animaux. Ce colibri de
près de 98 m fait partie des 18 silhouettes d’oiseaux de ce site inscrit sur la liste
du patrimoine mondial de l’Unesco en 1994. C’est grâce au travail acharné de la
mathématicienne allemande Maria Reiche, qui, de 1945 jusqu’à sa mort en 1998,
s’est consacrée à la mise au jour, à l’entretien et à l’étude de ces tracés, que l’on
peut encore admirer ce qui était probablement un calendrier astronomique.
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Exercice 2: Le repliement périodique d’une bande de papier: une analogie
avec le repliement du miel.
U0
g
H
lp
Figure 1: Schéma de l’expérience de repliement d’une bande de papier.
Une bande de papier est déroulée à vitesse constante U0 depuis une hauteur H comme
indiqué sur la figure 1. L’expérience reportée sur la figure 2 montre que lorsque la
bande de papier atteint le sol, elle forme des plis qui s’empilent régulièrement les uns
sur les autres. Ce type de processus est fréquemment utilisé dans le secteur manufacturier, en particulier dans l’industrie du papier et celle du textile. Ce comportement
de repliement se retrouve aussi avec des liquides visqueux comme le montre la figure
3. L’objet de l’exercice est dans un premier temps de déterminer par analyse dimensionnelle la longueur des plis de papier lp en fonction des paramètres du problème.
L’analogie avec les liquides fait l’objet de la seconde partie du problème.
A: Étude de la longueur des plis de papier lp .
Cette étude est menée en faisant l’hypothèse que le papier
se comporte comme une plaque élastique de rigidité η et de densité linéique ρl , [η] = M L3 T −2 et [ρl ] = M L−1 .
A1/ Obtenir la loi de similitude pour lp en fonction des paramètres du problème.
A2/ Les expériences montrent que dans la limite U0 → 0, la longueur des plis lp
est indépendante de U0 . De même, dans la limite H → ∞, la longueur des plis
devient indépendante de H. Déterminer dans ce régime (U0 → 0, H → ∞) la loi de
puissance régissant la longueur des plis.
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B: Analogie avec les liquides visqueux.
Dans le cas des liquides visqueux, la rigidité est fonction de la fréquence de
repliement Ω au travers de la relation η ∼ µΩr 3 b, où µ est la viscosité dynamique
du film liquide, r son épaisseur et b sa largeur.
B1/ Etablir la relation entre la longueur des plis et la fréquence de plissement.
B2/ Discuter les résultats présentés sur la figure 4.
Cet exercice utilise les résultats des articles suivants:
Periodic folding of thin sheets, L.Mahadevan and J.B. Keller, SIAM J.Appl.
Math, 55 (6), pp.1609-1624 (1995).
Folding of viscous sheets and filaments, M.Skorobogatiy and L.Mahadevan,
Europhysics letters, 52 (5), pp.532-538 (2000).
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Figure 2: Séquence de repliement d’une bande de papier, à faible vitesse et depuis
une grande hauteur.
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Figure 3: Quelques exemples de repliement visqueux: (a) les plis observés dans les
rochers ont des longueurs d’onde typique de 20 cm. (b) Deux vues à 90◦ d’un film
d’huile de silicone de viscosité µ = 1 Pa.s.
Figure 4: Résultats expérimentaux sur les repliements de liquides visqueux.
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