Petits problèmes au quotidien

P i t l f s p r û & l è i i i s luj ^ i o t i i i i i
Traduction et adaptation de problèmestirésde la revue
Mathematics Teacher, novembre 2001
Jean-Pierre Marcoux, C. S. des Découvreurs
1. Soit un triangle équilatéral de côté j', un carré de côté
diamètre Quelle figure a la plus grande surface?
et un disque de
2. Un nombre entier plus petit que 100 est 20 de plus lorsqu'il est arrondi à la
centaine la plus près plutôt qu'arrondi à la dizaine près. Quel est le plus grand
nombre qui reponde à cette condition?
Figure no 7
3. Un certain nombre donne un reste de 4 lorsque divisé par 5, un reste de 5 lorsque
divisé par 6 et un reste de 6 lorsque divisé par 7. Quel est le plus petit nombre qui
satisfasse ces conditions?
B
4. Quel jour de la semaine sera-t-il dans 263 jours à partir de lundi?
5. Un tetraèdre a une face bleue, une rouge, une verte et une jaune. Si vous lancez le
tetraèdre deux fois, quelle sera la probabilité qu'il atterrisse 2 fois sur la même
couleur?
Figure no 8
6. Un nombre est nommé « décroissant » si chaque chiffre qui le compose est plus
petit que le chiffre précédent. Combien existe-t-il de ces nombre décroissants de
3 chiffres inférieurs à 500?
Figure no 9
7. Dans le triangle rectangle ci-contre, mAC =12, mBC=5; l'arc CM a pour centre
le point A et l'arc CN a pour centre le point B. Quelle est la longueur de MN,
distance entre les points d'intersection des arcs et du segment AB?
8. Voici le développement d'un cube. Si la mesure du segment AB est 10, trouvez
l'aire totale du cube.
Figure no 10
Solutions à la page : 55
9. Deux bâtons, l'un de longueur p mètres et l'autre de q mètres de hauteur, sont
placés perpendiculairement au sol à une distance de x mètres l'un de l'autre. Ces
bâtons supportent chacun une poutre à partir de leur sommet jusqu'à la base de
l'autre bâton, tel qu'indiqué sur la figure. À quelle hauteur au-dessus du sol les
poutres se croisent-elles?
10. Dans cette figure, le cercle de centre O à un diamètre de 10 cm et le triangle ABC
est équilatéral. Quelle est la surface de la région ombrée?
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2004 11
Sotiitî@is âis Pitîts pr^èlètiis
Jean-Pierre Marcoux, c. s. des Découvreurs
Le carré a la plus grande surface.
/
\2
L'aire du triangle équilatéral est de — S— = 0,43 s^ • L'aire du disque est de
K~
4
v2y
0,79
L'aire du carré est s^.
84.
Puisque le nombre arrondi à la centaine la plus près est plus grand que le nombre
arrondi à la plus proche dizaine, le nombre doit être plus grand que 49. Si c'est 20 de
plus quand arrondi à la centaine, alors 80 est l'arrondissement à la dizaine nécessaire.
Tous les nombres plus petits que 100 qui donnent 80 lorsque arrondis à la dizaine sont
75, 76, ... 84. Donc 84 est le plus grand nombre possible qui respecte l'énoncé.
209.
(1)5?,+4
(2) 6 9 , + 5
(3)7^3 + 6
{9,14, 19,24,29,...}
{11, 17, 23, 29, ...)
{13,20,27,34,...)
Figure no 3
Le tableau à gauche résume toutes les possibilités. Pour satisfaire la condition (1), le
nombre doit se terminer par 4 ou 9. Puisque la condition (2) ne donne que des nombres impairs, le nombre en question ne peut terminer que par 9. Pour un nombre qui se
termine par 9 et qui satisfait la condition (3), le terme Iq^ doit terminer par 3 alors q^
doit terminer par 9. Les cas possibles de q^ sont : 9,19,29,39,.... Par essais et erreurs,
on trouve que q^=29 qui génère le nombre 209, est le plus petit nombre qui réponde
aux 3 conditions.
Vendredi.
En divisant 263 par 7 nous avons 37 semaines et 4 jours. Si l'on est lundi, dans 4 jours
ce sera vendredi.
1
4
La probabilité d'obtenir n'importe laquelle des couleurs est de 1 pour le premier tir.
Pour avoir la même couleur au 2" tir, c'est —. Alors 1 x — = —. Vous pouvez aussi
4
4
4
énumérer toutes les possibilités.
9 nombres.
Il y a 432,431, 430,421,420,410, 321,320 et 210.
Extension possible : Combien en existe-t-il à 4 chiffres et plus petits que 6000?
4.
13. Ainsi,
= mAB
m AM, donc
-12 =1.
De plus,
mNM = AB
mNB
- à
Notons
quemMB
le théorème
de -Pythagore
nous13
donne
la mesure
du segment
égale
mMB et nous avons 5 - 1 = 4 .
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8.
120.
Notons X le côté du cube, donc l'aire totale est de
Par le théorème de Pythagore,
nous avons pour mAB la relation x^ + (2xy = 101 Donc x^=20 et l'aire est 120.
9.
pq
p +q
La solution utilise la similarité de 2 paires de triangles. Nous pouvons observer les
proportions suivantes :
p_
X
h
q _h
x-a'
a
X
Ce qui implique :
h
X-a _ ^
a
x''
P
P
h_a
q
q
On fait le dénominateur commun
On met h en évidence •.h{q+p)=
10.
"*" P^) _ ^
pq
pq.
251{271-3S
= 4,5293 c m '
Nommons respectivement D et E l'intersection des segments BC et AC avec le cercle.
Puisque les angles B et A mesurent 60 degrés et que les distances OB, OD, OE et OA
sont toutes égales au rayon, nous obtenons les 2 triangles équilatéraux ODB et OEA
en traçant les rayons OD et OE. Le rayon étant de 5 cm, on a la surface de chacun de
ces deux triangles égale à ^ ^ ^ . L'aire du secteur DOB est - de l'aire du cercle
4
6
alors l'aire du secteur est
Pour avoir l'aire des deux régions ombrées nous
6
faisons 2
6
4
f2;r-3V3l
= 25^^
6
A votre agenda!
32^ session de perfectionnement du GRIVIS
24 au 27 mai 2005 à Longueuil — quatre jours
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