Simulation Matlab/Simulink© d`une machine à induction triphasée

Simulation Matlab/Simulink© d’une machine à
induction triphasée
Constitution d’un référentiel
Capocchi Laurent
Laboratoire UMR CNRS 6134
Université de Corse
23 Octobre 2007
1
Table des matières
1
Introduction
3
2
Modélisation
3
2.1
Modèle mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Modèle Matlab/Simulink© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3
Simulation Simulink©
3.0.1
4
5
Les systèmes triphasés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.1
1er cas : mode transformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2
2ieme cas : mode moteur et frein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.3
3ieme cas : couplage mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Conclusion
11
Références
12
2
1
Introduction
Ce papier est consacré à la simulation numérique du modèle Simulink© d’une machine à induction triphasée MADA
(Machine Asynchrone Doublement Alimentée). Ce modèle est obtenu par une mise en équation des courants statoriques
et rotoriques du modèle orienté circuit proposé dans [1]. Il consiste en un système complet de six équations différentielles linéaires du 1er ordre à six inconnues. Les solutions numériques de ce système sont obtenues grâce au logiciel
Matlab/Simulink© v.6.5 en utilisant la méthode de trapézoïdale ode2 (heun) à pas fixe (10 µ s) .
Le but principal de ces simulations est d’acquérir des résultats graphiques de référence du fonctionnement électrique de
la machine à induction triphasée 5.5 KW dans différentes configurations. L’utilisation du logiciel Simulink© nous permet
d’obtenir des jeux de tests comportementaux du système d’étude.
2
Modélisation
Cette section décrit le modèle mathématique et Simulink© d’une machine à induction triphasée. Pour plus de détaille le
lecteur peut se rapporter à [1].
2.1
Modèle mathématique
Le modèle orienté circuit simplifié d’une machine à induction triphasée est donné sur la figure 1. Ce modèle peut être
séparé en trois parties distinctes : Le stator, le rotor et le couplage magnétique entre ces deux entités.
F IGURE 1: Modèle orienté circuit
Le stator est alimenté par un système triphasé équilibré composé des tensions sinusoïdales vas (t), vbs (t) et vcs (t). Chaque
phase est caractérisée par une résistance rs et une inductance Ls . Les interactions magnétiques entre chaque phase du
stator sont fonction d’une inductance mutuelle Lms et des courants statoriques voisins.
De même, le rotor est alimenté par un système triphasé équilibré composé des tensions sinusoïdales var (t), vbr (t) et vcr (t).
Chaque phase est caractérisée par une résistance rr et une inductance Lr . Les interactions magnétiques entre chaque phase
du rotor sont fonction d’une inductance mutuelle Lmr et des courants rotoriques voisins.
Les effets du rotor sur le stator (resp. du stator sur le rotor) sont fonction d’une inductance mutuelle Lsr (resp. Lrs ), des
courants rotoriques iar (t), ibr (t) et icr (t) (resp. ias (t), ibs (t) et ics (t)) et de la position électrique du rotor θr (t).
La vitesse mécanique Ω(t) est la solution d’un système de deux équations différentielles du 1er ordre avec pour coefficient,
la force de frottement f et l’inertie J. Cette équation n’est pas homogène car elle est égale à la différence entre le couple
électromagnétique Te et le couple mécanique Tl .
Les entités observées en sortie du système sont les courants (statoriques et rotoriques) ainsi que le couple électromagnétique de la machine Te (t). Pour plus de détails sur la modélisation mathématique du système, le lecteur peut se rapporter
au rapport précédent intitulé “Simulation Maple d’une machine asynchrone triphasé”. Le modèle complet est donné par
le système d’équations 1 :
3

























vas (t)
vbs (t)
vcs (t)
var (t)
vbr (t)
vcr (t)
Te (t) − Tl
Ω(t)
= rs .ias + Ls dtd ias − L2ms dtd ibs + dtd ics + Lsr dtd iar . cos(θr (t)) + ibr . cos(θr (t) + 23π ) + icr . cos(θr (t) − 23π )
= rs .ibs + Ls dtd ibs − L2ms dtd ias + dtd ics + Lsr dtd iar . cos(θr (t) − 23π ) + ibr . cos(θr (t)) + icr . cos(θr (t) + 23π )
= rs .ics + Ls dtd ics − L2ms dtd ias + dtd ibs + Lsr dtd iar . cos(θr (t) + 23π ) + ibr . cos(θr (t) − 23π ) + icr . cos(θr (t)) = rr .iar + Lr dtd iar − L2mr dtd ibr + dtd icr + Lrs dtd ias . cos(θr (t)) + ibs . cos(θr (t) − 23π ) + ics . cos(θr (t) + 23π )
= rr .ibr + Lr dtd ibr − L2mr dtd iar + dtd icr + Lrs dtd ias . cos(θr (t) + 23π ) + ibs . cos(θr (t)) + ics . cos(θr (t) − 23π )
= rr .icr + Lr dtd icr − L2mr dtd iar + dtd ibr + Lrs dtd ias . cos(θr (t) − 23π ) + ibs. cos(θr (t) + 23π ) + ics . cos(θr (t))
= J. dtd Ω(t) + f .Ω(t)
= dtd θr (t)
(1)
Nous allons à présent donner le schéma bloc Simulink permettant la modélisation et la simulation du système d’équations
1.
2.2
Modèle Matlab/Simulink©
Le modèle en schéma bloc du système d’équations 1 est donné sur la figure 2. On peut distinguer 3 parties principales qui
correspondent à la partie stator (mutuelle inductance à gauche du schéma), la partie rotor (mutuelle inductance à droite
du schéma) et la partie force électromotrice dans le sous système 3 (bloc rectangulaire en bas du schéma). Le contenu du
sous système 3 est montré sur la figure 3. Les signaux observés sont les courants statoriques et rotoriques (resp. Is{a,b,c} et
Ir{a,b,c} ) ainsi que le couple électromoteur Te , la vitesse mécanique Ω(t) et les forces électromotrices coté stator et rotor
(resp. f ems et f emr ).
F IGURE 2: Schéma bloc Simulink© de la MADA .
Le schéma de la figure 3 montre le contenu du sous-système 3. Celui-ci est composé d’une partie dédier au calcul des
forces électromotrice mais présente également une partie permettant de résoudre les équations mécaniques.
4
F IGURE 3: Schéma bloc Simulink© du sous-système 3 .
Le système modélisé par Simulink est accompagné d’un fichier Matlab résumant les propriétés de la machine MADA 5.5
KW que l’on peut retrouver dans le tableau 1. Nous allons à présent simuler le système dans différentes configurations.
3
Simulation Simulink©
Cette section présente quelque mode de fonctionnement simple de la machine MADA 5.5 KW. Dans un premier temps
nous ne prenons pas en compte les aspects mécaniques et nous simulons les modes de fonctionnement suivants :
– Transformateur (θr = 0 rad/s),
– Moteur (θr = 74 rad/s à vide),
– Génératrice (θr = −74 rad/s à vide).
Ensuite nous intégrons le bloc mécanique afin de simuler le système dans son fonctionnement réel.
Comme nous pouvons le voir sur la figure, nous utilisons la méthode de trapézoïdale ode2 (heun) à pas fixe (10µ s). Les
valeurs des paramètres du système 1 choisi pour les besoins de la simulation sont résumées dans le tableau 1 :
Tension composée efficace (Um )
Fréquence ( f )
Pôles (p)
Coefficient d’inertie (J)
Coefficient d’atténuation ( f )
Couple de charge nominale (Tln )
Résistance au stator (rs )
Résistance au rotor (rr )
Inductance au stator (Ls )
Inductance au rotor (Lr )
Inductance magnétique au stator (Lms )
Inductance magnétique au stator (Lmr )
Inductance mutuelle (Lsr = Lrs )
380V
50Hz
4
0.1kg.m²
0.001Nm.s/rad
73Nm
0.528Ω
0.282Ω
0.04732H
0.01452H
0.01732H
0.005852H
0.02259H
TABLE 1: Valeurs des paramètres pour la machine 5.5 KW.
5
3.0.1 Les systèmes triphasés
Un système de tension simple et direct est donnée par :
vi (t) = Vm sin(2π f t − (i − 1)
2π
) i = 1, 2 ou 3
3
Les tensions composées constituent un système triphasé équilibré en avance de
√
d’amplitude 3 fois plus grande.
3.1
π
6
sur le système de tensions simples est
1er cas : mode transformateur
Le premiers cas considéré est le mode de fonctionnement en mode transformateur avec une vitesse rotorique Ω nulle.
Dans ce cas les tensions en entrées du rotor sont court-circuitées et les tensions en entrée du stator constituent le système
suivant :

var (t) = 0




vbr (t) = 0

√

 v (t) = 0
Um. 2
cr
avec Vm = √
, Um étant la tension simple non efficace.
 vas (t) = Vm sin(2π f t)
3


2
π

 vbs (t) = Vm sin(2π f t − 3 )


vcs (t) = Vm sin(2π f t − 43π )
(2)
300
200
V
100
0
−100
−200
−300
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
t(s)
F IGURE 4: Tensions d’entrées statoriques.
La vitesse rotorique Ω est égale à zéro et par conséquent, la position électrique du rotor θr est aussi égale à 0.
Considérons à présent le système 1 en prenant en compte les termes mutuelles :



















√
Um.
√ 2 sin(2π f t)
√ 3
Um.
√ 2 sin(2π f t − 2π )
3
3√
Um.
√ 2 sin(2π f t − 4π )
3
3
0
0
0
d
d
2π
2π
dt ibs + dt ics + Lsr dt iar + ibr cos( 3 ) + icr cos(− 3 )
rs .ibs + Ls dtd ibs − L2ms dtd ias + dtd ics + Lsr dtd iar cos(− 23π ) + ibr + icr cos( 23π )
rs .ics + Ls dtd ics − L2ms dtd ias + dtd ibs + Lsr dtd iar cos( 23π ) + ibr cos(− 23π ) + icr
rr .iar + Lr dtd iar − L2mr dtd ibr + dtd icr + Lrs dtd ias + ibs cos(− 23π ) + ics cos( 23π )
rr .ibr + Lr dtd ibr − L2mr dtd iar + dtd icr + Lrs dtd ias cos( 23π ) + ibs + ics cos(− 23π )
rr .icr + Lr dtd icr − L2mr dtd iar + dtd ibr + Lrs dtd ias cos(− 23π ) + ibs cos( 23π ) + ics
= rs .ias + Ls dtd ias − L2ms
=
=
=
=
=
d
6
Les résultats de la simulation Simulink sont donnés sur la figure 5.
(a) courants statoriques.
(b) courants rotoriques.
(c) Zoom des courants statoriques.
(d) Zoom des courants rotoriques.
(e) FEM au stator.
(f) Zoom sur la FEM au stator.
F IGURE 5: Résultats numériques avec effets mutuelles et avec Ω = 0 rad/s et var = vbr = vcr = 0V .
Interprétation : Lorsque Ω = 0 rad/s, cela correspond au blocage du rotor pendant le fonctionnement de la machine
(fonctionnement en mode transformateur). Coté rotor, les courants induits par la variation du champs magnétique sta7
torique présentent une amplitude importante mais gardent la même période que les sources de tension T = 0.02s. En effet,
comme le rotor reste statique il ne peux pas dissiper ces courants induits afin de produire le couple nécessaire pour le
mettre en mouvement afin de contre-balancer les effets magnetiques du stator. Coté stator, la période reste inchangée mais
l’amplitude augmente du fait des effets rotoriques et statoriques. Le stator crée un appel de courant à l’entrée du système
afin de faire face aux effets magnétiques induits pas le rotor bloqué. Que ce soit du coté du rotor ou du stator, les effets
transitoires sont dus à l’établissement des conditions de fonctionnement et ils convergent rapidement (une période) pour
laisser la place au régime permanent équilibré.
3.2
2ieme cas : mode moteur et frein
Le deuxième cas considéré est le mode de fonctionnement en moteur normal avec une vitesse mécanique rotorique Ω
imposée différente de zéro.
La vitesse rotorique Ω est égale à +/- 75.4 rad/s et en considérant θr (0) = 0 :
θr (t) = ±p.
75.4
.t
4
Les résultats de la simulation Simulink© sont donnés sur les figures 6 et 7.
150
200
150
100
100
50
0
A
A
50
0
−50
−50
−100
−100
−150
−150
0
0.2
0.4
0.6
0.8
−200
1
t(s)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
(a) courants statoriques.
(b) courants rotoriques.
F IGURE 6: Résultats numériques avec effets mutuelles et avec Ω = +75.4 rad/s et var = vbr = vcr = 0V .
Interprétation : Lorsque la vitesse de rotation imposée au rotor est +75.4 rad/s, cela correspond à la vitesse de rotation du
champ magnétique statorique (fonctionnement en mode moteur). Par conséquent, lorsque le régime permanent est atteint
les effets magnétiques dans l’entrefer sont nuls. Coté rotor, pendant que le champs magnétique rotorique rejoint le champs
magnétique statorique, les courants rotoriques induits diminuent pour atteindre une valeur nulle. A ce moment précis,
nous somme en régime permanent et les champs magnétiques rotoriques et statoriques ont les mêmes caractéristiques.
Coté stator, les effets magnétiques du rotor sont nuls et les courants statoriques sont équivalents au cas de la simulation
sans les effets mutuelles avec Ω = 0 rad/s.
8
200
300
150
200
100
100
0
0
A
A
50
−50
−100
−100
−200
−150
−200
0
0.2
0.4
0.6
0.8
−300
1
0
0.2
0.4
t(s)
0.6
0.8
1
t(s)
(a) courants statoriques.
(b) courants rotoriques.
F IGURE 7: Résultats numériques avec effets mutuelles et avec Ω = −75.4 rad/s et var = vbr = vcr = 0V .
Interprétation : Lorsque la vitesse de rotation imposée au rotor est -75.4 rad/s, cela correspond au double de la vitesse de
rotation du champ magnétique statorique (fonctionnement en mode frein). Par conséquent, lorsque le régime permanent
est établit les effets magnétiques dans l’entrefer sont double. Coté stator, l’amplitude des signaux augmente mais il n’y
pas consomation, comme dans le cas précédent, mais génération de courant en entrée. Cela peut se vérifier en comparent
les phases des signaux statoriques (en avance) est des sources de tensions. Coté rotor, les amplitudes sont équivalente à
celle que l’on pourrait trouver dans le cas de la figure 5 mais la période est double. En effet, la vitesse de rotation coté
rotor est la moitié de celle du champs statorique.
3.3
3ieme cas : couplage mécanique
Nous considérons à présent le système avec l’intégration des équations mécaniques. Nous allons simuler ce système avec
pour consigne le couple de charge Tl :
– Tl = 0 Nm, aucune charge est connectée à la machine,
– Tl = Tln = 75 Nm, couple de charge nominale.
Les variables observées sont la vitesse rotorique Ω(t) ainsi que les courants statoriques et rotoriques.
90
80
70
60
rad/s
50
40
30
20
10
0
−10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(t)
(a) vitesse mécanique
F IGURE 8: Vitesse mécanique Ω(t) pour Tl = 0
Lorsque Tl = 0, cela correspond à l’absence de charge sur la machine. Lorsque la machine est alimentée, elle passe par un
régime transitoire durant lequel la vitesse rotorique augmente pour se stabiliser vers 156 rad/s (soit 75.60
2.π = 744.8trs/min)
comme on peux le voir sur la figure 8.
9
150
250
200
100
150
100
50
0
A
A
50
0
−50
−50
−100
−150
−100
−200
−150
0
0.2
0.4
0.6
0.8
−250
1
0
0.2
0.4
(t)
0.6
0.8
1
(t)
(a) courants statoriques.
(b) courants rotoriques.
F IGURE 9: Courants statoriques et rotoriques à vide, Tl = 0.
Nous imposons à présent un couple de charge Tl = 75 Nm égale au couple de charge nominal.
(a) vitesse mécanique
F IGURE 10: Vitesse mécanique Ω(t) pour Tl = 75
L’évolution de la vitesse mécanique présentée sur la figure 10 montre que le vitesse en régime permanent et plus faible
que celle présentée dans le cas ou la machine est en régime libre (figure 8).
10
(a) courants statoriques.
(b) courants rotoriques.
F IGURE 11: Courants statoriques et rotoriques avec Tl = 75 Nm
Les courants présentés sur la figure 11 montrent que si l’on impose un couple de charge Tl = 75 Nm positif cela implique
un appel de courant au niveau du stator et de ce fait une augmentation de l’amplitude des courants rotoriques.
4
Conclusion
Le logiciel Matlab/Simulink© est un outils adapté à la simulation des systèmes de puissances. En effet, il possède une
libraire de composants permettant la modélisation des machines à induction de manière simple et efficace. De plus les
temps de simulation ne sont pas important (10 second pour simuler la machine en pleine charge pendant 1 seconde par
exemple). Son utilisation nous permet de constituer l’ensemble des courbes qui nous servirons de référence lorsque nous
allons simuler la machine avec le formalisme DEVS (Discrete EVent System Specification).
11
Références
[1] A. Yazidi, H. Henao, G.A. Capolino, D. Casadei, and F. Filippetti. Double-fed three-phase induction machine abc
model for simulation and control purposes. In Proceedings of IEEE Industrial Electronics Conference (IECON’05),
volume 4, pages 2560–2565, November 2005.
12