ELMAGQ_43 Equation propagation conducteur ohmique

G.P.
Questions de cours électromagnétisme
Ondes électromagnétiques dans un milieu conducteur ohmique:
Retrouver l'équation de propagation (on admettra que
approximation commise.
 est nul ). On rappellera l'
En déduire l'équation de dispersion pour des ondes électromagnétiques dans un conducteur
ohmique.
Donner l'expression de l'épaisseur de peau et déterminer k.
Commenter dans le cas où le milieu est infini.
Réponse:
équation de propagation:
E .
On écrit les équations de Maxwell dans le conducteur ohmique avec j= 

∂B
rot 
E =−
équation de Maxwell-Faraday 
∂t

 0 ∂ E  .
rot 
B=0   E
équation de Maxwell-Ampère 
∂t
Dans un bon conducteur, on peut négliger la densité de courant de déplacement par rapport à la
rot 
B=0  
E
densité de courant de conduction. D'où, on aura: 
On prend le rotationnel de la première et on reporte la seconde:
∂
rot 
B

rot 
rot 
E =−
∂t

∂E
2 

grad div 
E −∇
E =−0 
∂t
 =0
or puisque  est nul, on a div E
L'équation de propagation est:
∂
E 
2 
∇
E −0 
=0
∂t
équation de dispersion:
On cherche une solution de la forme
On peut remarquer que
d'où:
∂ =i 
et
∂t
 = E0 exp i  t−
E
k r 


∇=−i
k
G.P.
Questions de cours électromagnétisme
 =0
−i k 2 
E −0 i  E
L'équation de dispersion est:
2
k =−
2i
2
en posant: =

2
(épaisseur de peau)
0 
expression de k:
k n'est donc pas réel
2
on aura: k =

2
exp −i  soit
2
2


2
1
k =±  exp −i =± 1−i
4


Dans le cas d'un milieu infini , par exemple infini selon z , il faudra éliminer la solution qui fait
z
apparaître le facteur en exp   qui peut alors devenir infini. Pour un milieu infini selon -z, il

−z
 .
faudra éliminer la solution en exp 
