AKALYSL HARMONIQUE QUALITATIVE Jean-Claude

D a t a Ana1usi.s and l""formaiics
E. Diday et a l . (cds.)
0 ~ o r t h - f i o l l a n d P u h i ~ s h i n qC o m p a n y , 1980
AKALYSL HARMONIQUE QUALITATIVE
Jean-Claude DEVILLE
I n s t i t u t National de l a Statistique e t des Etudes Economiques
Università de Paris V
Gi 1bert SAPORTA
- I n s t i t u t Universitaire de Technologie
SUMMARY :
This paper deals w i t h nominal time-series. The spectral analysis of
an operator which sums up time dependences provides a decomposition of the
nominal process into a sequence a time-invariant uncorrelated random variables
and a s e t of non-random time tunctions which give changing scores to the States
of the process. These results extend scalar harmonic analysi's to nominal processes, multiple correspondence analysis to a continuons s e t of nominal variables and generalized canonical analysis to mu1 tidimensional stochastic processes. Humerical computation comes clown to a particular kind of correspondence analysis .
RESUME :
On s ' i n t à « r e s s 3 des donnéequalitatives évoluandans l e temps,
L'analyse spectrale d'un opërateu résumanles dépendancetemporelles fourn i t une décompositiodu processus qualitatif en une s u i t e de variables alëa
toires réellenon corrélé
indépendantesd temps, e t une famille de fonctions
certaines du temps donnant des codages évolutifdes à © t a tdu processus. Ces
résultatëtenden l'analyse harmonique scalaire au cas des processus qualit a t i f s , l'analyse des correspondances multiples au cas d'une famille continue
de variables quantitatives e t l'analyse canonique généralis
aux processus
vectoriels. La résolutio numériquse ramèn à une analyse des correspondances
d'un type particulier.
-
376
1
-
J . -C.
DEVILLE and G . SAPORTA
ANALYSE HARMONIQUE QUALITATIVE
POSITION DU PROBLEME ET MOTIVATIONS
On notera 1;
De nombreuses donnée d'enquéte permettent de r e t r a c e r 1 ' h i s t o i r e
(t,s) = P ( X
d ' i n d i v i d u s pendant une c e r t a i n e përiod de temps : à © v o l u t i o de l ' a c t i v i t Ã
professionnelle, de l a s i t u a t i o n matrimoniale, de l a résidence Le b u t de
c e t a r t i c l e e s t de montrer qu'on peut analyser de t e l l e s donnée de faço
analogue à ce que l ' o n f e r a i t pour un processus s c a l a i r e (analyse harmonique
[4]) e t pour un ensemble f i n i de v a r i a b l e s q u a l i t a t i v e s non temporelles
Un codage
R. Notons ft(ou f.)
&
lt, px (t)=P(Xt= x ) = ~(1:)
( r à © e l du processus X t e s t une f o n c t i o n f t ( x ) de TÈZdan
l e vecteur dont l e s m composantes sont l e s ft(x.)
-A-
=
( x '36.) ;
par :
*
< f , 1 > = tz f
(
x ) lx
-t
Une démarch n a t u r e l l e p o u r r a i t à ª t r de f a i r e l ' a n a l y s e harmonique
du processus Y
Un i n t e r v a l l e de Yemps" r à © e compact T = [o,T]
muni de l a
mesure de Lebesgue d t ( l a g à © n à © r a l i s a t ià une mesure f i n i e
a r b i t r a i r e ne pose aucun problëme)
-
x f ) Xs=y) = ~ ( 1 ; 1;).
Yt = ft(Xt)
Formellement, on considérer comme donnë l e s élémensuivants :
-
=
on o b t i e n t un processus s c a l a i r e Y,
(analyse canonique généralisou analyse des correspondances m u l t i p l e s f 9 l .
-
l a v a r i a b l e i n d i c a t r i c e de 1 'évenemen Xt =x,
l e vecteur dont l e s m composantes sont l e s
Un ensemble f i n i T£ comportant m à © t a t s
Un espace p r o b a b i l i s à (a,+
dans%
1))
e t un processus Xt à valeur
Pour t o u t t, X t e s t donc une v a r i a b l e qua1 i t a t i v e à m
modalités On supposera, hypothès q u i nia r i e n de minimale,
pour un codage b i e n c h o i s i . On p o u r r a i t aussi c h o i s i r une
t
f a m i l l e f i n i e de temps 0 4 , <t, 4 4' e t f a i r e l ' a n a l y s e canonique des
Xt2
...X . En f a i t
ou peut a r r i v e r assez f a c i 'n
lement a un t r a i t e m e n t q u i s y n t h à « t i s e t dans une c e r t a i n e mesure j u s t i f i e
ces deux idges.
v a r i a b e s u a l t a t v e s Xtl,
II
-
DEPENDANCES TEMPORELLES
l a t r i b u engendré par X t
Soit B
que X t e s t c o n t i n u en p r o b a b i l i t à © c ' e s t - à - d i r
~ " ( t ) 1 'espace des v a r i a b l e s .
r à © e l l e B mesurables ( e s t - & - d i r e de l a forme
P(Xt+,
# X )
Â¥
0 quand h >
0.
t e u r d'espéranc c o n d i t i o n n e l l e à Bt c ' e s t - $ - d i r e ,
2
j e c t i o n orthogonale s u r L ( t ) .
Les opérateur E
t
sont donc idempotents,
(au p l u s ) , e t transforment une v.a.r.
z
a
dans
lx), et E
L!i
l'opéra
(@,CL, P) l a pro-
hennitiens, de rang in
p o s i t i v e en une v.a.r.
p o s i t i v e . Inver-
sement, t o u t opérateu ayant ces p r o p r i à © t à e s t une espéranc c o n d i t i o n n e l l e
r e l a t i v e à une t r i b u engendré par une p a r t i t i o n de t a i l l e m au plus [TI.
t
11 y a donc équivalenc e n t r e l a donnë d'un opérateu E e t d'une v a r i a b l e
q u a l i t a t i v e ( d à © f i n i à une P-équivalenc près) Toutes l e s dëpendance e n t r e
v a r i a b l e s q u a l i t a t i v e s pourront donc s'exprimer en terme d'opérateurs ou s i
on veut, on pourra se contenter,
pour à « t u d i e l e s l i a i s o n s e n t r e variables,
d ' à © t u d i e l e s "rapports" e n t r e opérateur correspondants.
Les dépendance deux à deux, au second ordre en quelque sorte, seront
donc entièremen p r i s e s en compte p a r l a " f o n c t i o n de covariance
Notons que Kt,t
=
^ t e t que Ks,t=~t*s.
"
Kt,s
= E~E'.
La f o n c t i o n K e s t à valeurs opërateur
( e t non pas s c a l a i r e ) e t transforme donc une v.a.r.
en une autre. Il e s t
f a c i l e de v à © r i f i e q u ' e l l e e s t continue pour l a nonne h a b i t u e l l e des opéra
teurs.
S i . .F
e s t un
processus s c a l a i r e s u r T de variance t o t a l e f i n i e
( c o n t i n u m.q par exemple), l a f o n c t i o n K
d à « f i n i un opérateu i n t à © g r a K
t.s
378
ANALYSE HARMONIQUE QUALITATIVE
J.-C. DEVILLE and G. SAPORTA
Les g à © n à © r a t r i cs o n t donc vecteurs propres de Q. Inversement, s o i t
o p à © r a n s u r l e s processus de v a r i a n c e f i n i e de l a faço s u i v a n t e :
(K"),
Soit
$.
3,
z un v e c t e u r p r o p r e de Q e t posons et = E Z . En prenant l ' e s p à © r i n c a 8,
deux membres de ( 3 ) on v o i t que et e s t processus p r o p r e de K e t que l a
Kt,s
Cs ds
T
1 'espace de H i l b e r t des (classes d ' Ã © q u i v a l e n c des)processus
=
=
recherche des elément propres de l ' à © q u a t i o (1) e s t à © q u i v a l e n t à c e l l e de
du second o r d r e de v a r i a n c e t o t a l e f i n i e muni du p r o d u i t s c a l a i r e c l a s s i q u e
s u i v a n t (covariance en moyenne) :
( c l 0 )*= V ( c t
^
1'équatio (3).
On en d à © d u i que :
dt
K e s t un o p à © r a t e u d a n s x ; il e s t immédiat en v e r t u des hypothëses
1 1 ~ 1 1< I
de v à © r i f i e que K e s t h e r n i i t i e n , p o s i t i f , compact, de t r a c e f i n i e . On va donc
!
p o u v o i r u t i l i s e r sa décompositio s p e c t r a l e :
K
;
-
Les g à © n à © r a t r i c s o n t sans c o r r à © l a t i o
-
z(O) =
dë que E
ci)
Remarque 2 : Les processus
mé de K dans
St
. Autrement
-ct
n o t a n t ri l a p r o j e c t i o n orthogonale s u r
IiiK
e s t constante
e s t de moyenne n u l l e t o u t t o u t t e t t o u t i h l
On t r o u v e de p l u s aisémen que l e s Z ! ~ )s o n t de v a r i a n c e
IV
-
et
à © t a n Bt-mesurable on a :
ct
e s t un processus propre, on p e u t l u i a s s o c i e r un codage c a r
, s o i t n , en
:
?,i.
LES CODAGES PROPRES ET LEURS CALCULS
Si
f o r m e n t une base h i l b e r t i e n n e de l ' i m a g e f e r -
( i = 1 . . . ) e s t de moyenne n u l l e
-
et.
d i t on a, pour t o u t processus de%
n ' e s t pas c o n s t a n t (dt-presque p a r t o u t ) t o u t e s l e s v a l e u r s
0
(1)
E(vt a ^)
.
e s t g à © n à © r a t r i propre de v a l e u r p r o p r e T. Comme
-z"
i=1 i
oà l e s c ( ) sont des processus de v a r i a n c e t o t a l e u n i t à © orthogonaux dans?"-,
v e c t e u r s propres associé à \. de 1 ' o p à © r a t e u K c ' e s t - à - d i r v à © r i f i a n :
Remarque 1 : L ' o p à © r a t e u tan transforme l e processus $ t en l e processus :
cte
propres s o n t p l u s p e t i t e s que T.
$1
&^
),
des
tt =
4 a:
1;
L ' Ã © q u a t i o (1) s ' Ã © c r i a l o r s :
A x1 axt lx
t = jT;as Y E t ( l Y
S ) ds
III - GENERATRICES, UN AUTRE ASPECT DE LA DECOMPOSITION
t
comme E (1:)
L 1 Ã © q u a t i o n ( ls ' Ã © c r i a u s s i :
Q
=
é jT Es($)
t
ds = E
1T %
ds puisque E'{%)
=
=
8
1t E (1:/1:
= l ) , on t r o u v e que :
%
Les processus propres s o n t donc nécessairemen t e l s que t t s o i t
d'oà p a r i d e n t i f i c a t i o n :
Bt-mesurable.
. ' e s t un o p à © r a t e u h e n n i t i e n a u t o a d j o i n t
Notons a l o r s Q = j ~ d s C
2
T
compact s u r L (R,U.,P,) ( e t c ' e s t a u s s i , en quelque s o r t e , l a t r a c e de K).
D à © f i n i s s o n une v a r i a b l e a l à © a t o i r z par :
z =
j'T
s
ds d ' o à A c t = Et ( z )
Â¥O a p p e l l e r a z l a g à © n à © r a t r idu processus p r o p r e
s u r T e t p a r d à © f i n i t i o de Q il v i e n t :
(*)
c.
Par i n t à © g r a t i o de ( 2 )
A a;
=
j' ds j P
T
( t i ~ ) ~ ~
PT>-
l a m a t r i c e dont l e s élémens o n t
ou e n f i n , v e c t o r i e l l e m e n t , en n o t a n t P
t,s
l e s pXty ( t , s ) :
pi:tgs ds'
Agt= jT
(5)
Les g à © n à © r a t r i czli ) e t l e s codages -aii ) f o u r n i s s e n t donc une décompo
s i t i o n du processus en une s u i t e o r t h o g o n a l e de v a r i a b l e s a l à © a t o i r e indépen
dantes du temps e t de codages (non a l à © a t o i r e s f o n c t i o n s du temps. Leur i n t e r -
380
J.-C.
DEVILLE and G.
SKPORTA
prétatiopratique peut se f a i r e comme celle des composantes e t des harmoniques en analyse harmonique : graphes des codages de chaque à © t aen fonction
du temps, corrélatio des génératric
avec certaines variables connues (cercle
des corrélations)
Cela d i t , comme nous allons l e voir, l'analyse harmonique qualitative
e s t une généralisati
de méthodefamiliéred'analyse des donnéee t s ' y
ramën d ' a i l l e u r s sur l e plan numériqueToutes l e s techniques d'interpréta
tions habituelles dans ces méthodesont donc encore valables dans notre cas.
L'équatio ( 3 ' ) n ' e s t autre que c e l l e de l'analyse canonique génér
l i s à ©de J.D.CARROLL [z]
appliquë aux p groupes des m indicatrices des à © t a t s
Dans l e cas ou si e s t f i n i e t comporte n individus on retombe sur u n des avasont
t a r s de l 'analyse des correspondances : l e s codages e t les génératric
l e s "facteurs" de 1 'analyse de correspondances d'un tableau disjonctif modifie
à n lignes e t mp colonnes :
00 l a jém
"question" s e r a i t pondérÃpar l a duré1
-
V
LIEN AVEC L'ANALYSE DES CORRESPONDANCES MULTIPLES
Supposons qu'il e x i s t e p+l instants O=t" < t l . . . < t=T, t e l s que toutes
P
l e s t r a j e c t o i r e s du processus soient constantes s u r l e s interval l e s ( t j - l , t j ) .
Autrement d i t l e s changements d ' Ã © t a tne pourront s e produire qu'aux instants
t . ( j = Ã,...,pJ
l)(t)
L'étudd'un tel processus e s t semblable à l a temporalità près Ã
c e l l e d'un ensemble de p variables qualitatives à valeurs dans l e mémensemble
Notons c . l a valeur de t t sur ( t j - , , t . ) , E~ l'espérancconditionJ
J
l e à t.. e t 1 .=t.-t. ; l e s gquations ( 1 ) ( 2 ) e t ( 3 ) prennent maintenant
J
J J J-1
forme suivante :
381
ANALYSE HARMONIQUE QUALITATIVE
j
de c e t t e AFC sont alors égalea + / T ,
VI
-
. Les
valeurs propres
LIEN AVEC L'ANALYSE HARMONIQUE VECTORIELLE
Une variable qua1 i t a t i v e e s t ëquivalent à 1 'ensemble des indicatrices
de ses modalité; u n processus q u a l i t a t i f à m à © t a te s t donc équivalenau
Â¥A
processus vectoriel a valeurs dans [ R ~ : 1 =
L'analyse des correspondances multiples &tant un cas p a r t i c u l i e r de
l'analyse canonique généralis
(ACG), on s ' a t t e n d à ce que l'analyse hamonique q u a l i t a t i v e se déduisde 1 'analyse harmoniqued'un processus vectoriel.
Nous devrons pour cela modifier l a définitiode l'analyse harmonique vector i e l l e donnë dans [a].
i
.
Soit X u n processus a l à © a t o i rm-dimensionnel
i 2'
tel que \ E ( X t ) d t <-Â i = l , 2 , . .m
2
1 X 2t ,
=(Xt,
. . )x:
T
Â¥A
Soit C l'operateur de covariance d u processus Xt t e l que C
est la
t,s
matrice d'élémen
= E
~ - 1 s iX e s t centréNous supposerons C
int,t
versible pour tout t.
~ 1 ~ :1x1
11 e s t c l a i r , enfin, que les codages associë aux variables t k seront
des fonctions constantes sur l e s intervalles du découpage t q u ' i l s seront
( j , k ) la
donnépar l a modification suivante de l'équatio ( 4 ) : (on note p
X,Y
valeur constante de px
( t , s ) sur l e rectangle ( t j - l , t j ) ~ ( t ~ - ~ , t ~ ) ; P x ( j )
YY
e s t définde faço analogue) :
P
AaX z
(4' 1
k -jZl y
L'analyse harmonique vectorielle consiste dans l'analyse spectrale de
- 1 C t . Autrement d i t on cherche l e s
l'opérateuR dëduide C par RtSs = Ctt
solutions f:,
fonctions vectorielles certaines du temps v à © r i f i a n:
G
Gt
=
jT
Cts f c ds avec
J
1-
dt-1
^,t
on a alors :
9
(i()
11 ne s ' a g i t évidmraenpas des hypothëse de continuità f a i t e s au para-
graphe 1,nous avons aéjd i t q u ' e l l e s n'avaient rien de mlnimum. I l e s t c l a i r
que, dans l e contexte de ce paragraphe, tout "marche" encore bien.
(6)
En posant z, variable a l à © a t o i rscalaire indépendantdu temps :
Par rapport à la définitiode [4]
oii 1 'on e f f e c t u a i t 1 'analyse
L>
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388
J.-C.
DEVILLE and G.
ANALYSE HARMONIQUE QUALITATIVE
SAPORTA
AIMEXE : ~ u e l q u e sr à © s u l t a t concernant l ' a n a l y s e canonique g à © n à © r a l i s ( K G )
S o i e n t Xi
i=1,2, ...,p
l e s v a r i a b l e s canoniques
3et
3 v à © r i f i e nl a r e l a t i o n :
des t a b l e a u x de donnée associé a p groupes
de m. v a r i a b l e s centréesmesurée s u r n i n d i v i d u s . La d à © f i n i t i o de p-uples
1
de v a r i a b l e s canoniques
si
= Xi
a_.
n ' à © t a n pas unique e t dépendan du c r i t à © r
c h o i s i ( z ) , J.D. CARROLL [2] a v a i t suggér de r e c h e r c h e r p l u t & des v a r i a b l e s
(nos g à © n à © r a t r i c ecombinaisons l i n à © a i r e des an, v a r i a b les e t
auxiliaires
maximisant l a somme de l e u r s c a r r à © de c o r r à © l a t i o m u l t i p l e avec l e s Xi
D
*
max i
R'(& ;xi)
-z 1=1
On t r o u v e immédiatemenque l e s
p r o j e c t e u r s Ai
s u r l e s sous-espaces Wi
:
l a s o m e e t l a premièr composante p r i n c i p a l e des
Les p r o j e c t i o n s
1
est à l a fois
si
(ACP norinée) Les "_ s o n t
.
1 X 1 . .1 X ) avec
P
C e t t e technique a p p a r a i t donc a u s s i comme une
a u s s i l e s composan t e s p r i n c i p a l e s de 1 ' ACP du t a b l e a u X= (X,
=
viil.
diag
g à © n à © r a l i s a t i de llACP r à © d u i t à des groupes de v a r i a b l e s : chaque groupe e s t
t r a i t à comme une v a r i a b l e r à © d u i t e t on ne t i e n t compte que des c o r r à © l a t i o n
i n t e r g r o u p e s e t non i n t r a g r o u p e s .
Lorsque l e s Xi
s o n t des t a b l e a u x d ' i n d i c a t r i c e s l a méthod e s t i d e n -
t i q u e à 1 ' a n a l y s e des correspondances m u l t i p l e s de X.
[3]
[g]
Les r à © s u l t a t obtenus au paragraphe V se t r a n s p o s e n t aisémen à liACG
en remplaçan l e s o p à © r a t e u r d'espéranc c o n d i t i o n n e l l e ~
~ l e s par o j e cr t e u r s A.
Avec 1. = 1 l ' Ã © q u a t i o (1') d e v i e n t :
-Y = &
,
,
Le v e c t e u r
1
.
5'. )
a n p composantes obtenu en e m p i l a n t l e s j_ :
e s t a l o r s v e c t e u r p r o p r e de l a m a t r i c e K de t a i l l e np
.
d o n t l e s b l o c s s o n t l e s p r o d u i t s A, A.
J '
C e t t e p r o p r i à « t g à © n à © r a l i de manièr n a t u r e l l e l a p r o p r i à © t s u i v a n t e
( i n à © d i t à n o t r e connaissance) de l ' a n a l y s e canonique o r d i n a i r e de deux t a b l e a u x XI
e t X,
K Ã © t a n deux a
deux orthogonaux on o b t i e n t
dmilorthogonalità f a i b l e " [3]
des
5,
a l o r s immédiatemen l a p r o p r i à © t
:
s o n t v e c t e u r s propres de lasomme des
engendré p a r l e s Xi.
= Ai "_ c o n s t i t u e n t a l o r s un systém de v a r i a b l e s canoniques.^
pour m à « t r i q u H
00 r e s t l e c o e f f i c i e n t de c o r r à © l a t i o canonique. Les v e c t e u r s p r o p r e s de
i
(È II y a a u t a n t de g à © n à © r a l i s a t i ode l ' a n a l y s e canonique que de façon de
d à © f i n i l a l i a i s o n globale entre p variables.
q u i complét l a p r o p r i à © t d ' o r t h o g o n a l i t e des
z : r(zsi
l
; 15.)
= 6kl