MATHEMATIQUES BREVET BLANC 2006 2 HEURES

MATHEMATIQUES
BREVET BLANC 2006
2 HEURES
Toutes les réponses devront être justifiées.
Le sujet comporte 3 parties à traiter entièrement.
Une calculatrice type collège est indispensable.
La dernière feuille (uniquement) est à insérer dans la copie.
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Partie Numérique – 20 points
Exercice n°1 : Réduire A, mettre B sous la forme a b et C en écriture scientifique.
 1 21 7 
÷ 
A = 1− −
8 8 4
B = 18 − 3 72 − 4 50
C=
12 × 10 4 × 25 × 10 −2
20 × 10 −4
Exercice n°2 : Soit D = 25x² - 81 + (5x – 2)(5x – 9)
1)
2)
3)
4)
Développer D
Factoriser D
Résoudre (5x – 9)(10x + 7) = 0
Calculer D pour x = 0 puis x = 0,5
Exercice n°3 :
Une station de ski réalise une enquête auprès de 300 skieurs qui la fréquentent. Les résultats de
l'enquête sont notés dans le tableau ci-dessous et indiquent la répartition en classe des skieurs en
fonction de leur âge (en années) :
Age
[0 ;10[ [10; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 50[ [50 ; 60[ [60 ; 70[ [70 ; 80[ [80 ; 90[
Centre
de classe
5
Effectifs
27
45
48
39
42
36
33
24
6
1. Compléter le tableau identique à celui-ci (page 7) en indiquant le centre de chaque classe d'âge.
2. Calculer l'âge moyen des skieurs fréquentant cette station.
3. Donner l'âge médian des skieurs fréquentant cette station.
4. Quelle est la fréquence, en pourcentage, de skieurs ayant un âge strictement inférieur à 20 ans ?
Exercice n°4 :
Au cinéma Rex, le prix d'un billet est de 6€ pour un adulte et 4,5€ pour un étudiant. 11 personnes
assistent à la projection d'un film et payent 57€.
Combien d'étudiants assistent à la projection ?
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Partie Géométrie – 20 points
Exercice 1
U
O
M
A
I
Les segments [OA] et [UI] se coupent en M.
On a : MO = 21, MA = 27, MU = 28, MI = 36, AI = 45
(l'unité de longueur étant le millimètre).
1. Les droites (OU) et (AI) sont-elles parallèles ?
2. Calculer la longueur OU.
3. Prouver que le triangle AMI est un triangle rectangle.
4. Déterminer, à un degré près, la mesure de l'angle AÎM.
5. Que peut-on dire des angles MÂI et MÔU ?
Exercice 2
Sur la feuille annexe jointe (page 7), en utilisant le quadrillage construire :
- la figure 2 image du triangle 1 par la symétrie de centre O.
- la figure 3 image du triangle 1 par la symétrie d'axe d.
→
- la figure 4 image du triangle 1 par la translation de vecteur OA .
- la figure 5 image du triangle 1 par la rotation de centre A et d'angle 90° dans le sens de la flèche.
Exercice 3
La balise est formée d'une demi-boule surmontée
d'un cône de révolution de sommet A.
Le segment [BC] est un diamètre de la base du
cône et le point O est le centre de cette base.
On donne AO = BC = 6 dm.
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1. Calculer AB.
2. Dans cette question, on se propose de calculer des volumes.
a) Calculer en fonction de π le volume du cône (on donnera la valeur exacte de ce volume)
b) Calculer en fonction de π le volume de la demi-boule (on donnera la valeur exacte de ce volume).
c) Calculer la valeur exacte du volume de la balise, puis en donner la valeur arrondie à 0,1 dm3
près. Convertir ce volume en litre puis en mètre cube.
Exercice 4
Sur la figure ci-dessous, ABCDEF est un hexagone régulier de centre O.
Recopier les phrases ci-dessous et compléter le dessin (page 7) suivant les questions.
1) Le triangle ABO et le triangle CDO sont symétriques par rapport à la droite ∆. Construire la droite ∆
sur le dessin.
2) Le triangle ABO est l'image du triangle EFO dans la rotation de centre……, d'angle…….dans le sens de
la flèche. Indiquer, par une flèche, le sens de cette rotation.
3) L'image du triangle ABO, dans la translation qui transforme C en D, est le triangle………
4) Compléter :
→
→
→
EO + OC = .....
→
OF + ...... = OE
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Partie Problème – 20 points
SEMI MARATHON
Les parties A, B et C sont indépendantes.
En octobre 2001, un groupe de 15 amis a participé à un semi-marathon (course à pied de 21 km).
Le diagramme en bâtons ci-dessous précise les résultats du groupe.
Il indique par exemple que 4 de ces amis ont couru ce semi-marathon en 105 minutes.
Partie A
1) Compléter le tableau de l'annexe (page 8).
2) On a défini ci-dessus la série statistique donnant la durée de la course des coureurs.
A l'aide du diagramme en bâtons ou du tableau complété en annexe :
a. Calculer son étendue.
b. Définir et déterminer sa médiane.
c. Calculer sa moyenne.
Partie B
Fabien, l'un des participants, a parcouru les 21 km à la vitesse constante de 12 km par heure.
1) Déterminer en minutes la durée de la course de Fabien.
2) On s'intéresse à la distance en km séparant Fabien de la ligne d'arrivée après x minutes de course.
On note f(x) cette distance.
a) Démontrer que f(x) = 21 – 0,2x
Ainsi f(10) = 19 indique qu'après 10 minutes de course Fabien est à 19 km de la ligne d'arrivée.
b) Dans le repère orthogonal de l'annexe (page 8), tracer la représentation graphique de la fonction
affine f définie par f(x) = 21 - 0,2x.
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3) Par lecture graphique (laisser visibles les tracés utiles), déterminer :
a. La distance en kilomètres séparant Fabien de l'arrivée après 30 minutes de course.
b. La durée en minutes écoulée depuis le départ lorsque Fabien est à 7 km de l'arrivée.
4) a. Résoudre l'équation : 21 - 0,2x = 17
b. Que représente pour le problème la solution de cette équation ?
5) a. Résoudre l'équation : 21 - 0,2x > 7
b. Que représente pour le problème la solution de cette équation ?
Partie C
On suppose dans cette partie que :
les 9 premiers kilomètres sont en montée, les 12 autres sont en descente.
Laurent a parcouru : les 9 premiers kilomètres en 40 minutes,
les 12 derniers kilomètres en 50 minutes.
1) Calculer en km par heure la vitesse moyenne de Laurent en montée.
2) Calculer en km par heure la vitesse moyenne de Laurent en descente.
3) Calculer en km par heure la vitesse moyenne de Laurent sur le parcours total.
4) Convertir ces trois vitesses en mètre par seconde.
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A RENDRE AVEC LA COPIE
ANNEXE PARTIE NUMERIQUE
Age
[0 ;10[ [10; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 50[ [50 ; 60[ [60 ; 70[ [70 ; 80[ [80 ; 90[
Centre
de classe
5
Effectifs
27
45
48
39
42
ANNEXE PARTIE GEOMETRIE
Exercice 2 :
Exercice 4:
-7-
36
33
24
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ANNEXE PROBLEME
PARTIE A 1)
Durée en minutes
90
100
Effectifs (nombre de coureurs)
105
4
PARTIE B 2) et 3)
-8-
120