SECONDE STATISTIQUES Simulations de lancers d`une pièce

SECONDE
STATISTIQUES
Simulations de lancers d'une pièce équilibrée
Distribution de fréquences de coups consécutifs égaux
Différents aspects de simulation sont abordés dans cet activité, sur le thème des lancers d'une pièce
équilibrée.
L'élève est amené, via des lancers effectifs réalisés par lui-même ou des simulations par le serveur, à
induire des résultats concernant des fréquences d'apparition de "pile" puis des fréquences d'apparition de
"run" (c'est à dire des suites de résultats égaux).
Le(a) professeur(e) pourra en outre aborder dans cette activité :
- Le lien entre probabilité et fréquences ;
- La fluctuation d'échantillonnage et la théorie de l'échantillonnage ;
- La notion d'indépendance conditionnelle ;
I.
Introduction
Problématique :
L'élève effectue 100 lancers d'une pièce de monnaie équilibrée et note les résultats "pile" (P) ou "face" (F)
obtenus, dans les 100 cases du tableau sur la page web.
Ensuite l'élève remplit ce même tableau en frappant "aléatoirement" sur les touches "p" et "f" du clavier.
Le serveur analyse dans les deux cas les résultats du tableau. L'élève doit comprendre des réponses du
serveur qu'il s'agit là de deux expériences aléatoires différentes. D'où il devrait conclure qu'on doit pouvoir
mesurer le caractère aléatoire de ces expériences et trouver des critères objectifs pour pouvoir les
distinguer.
II.
Générateurs de nombres aléatoires
Ce préliminaire est utile pour faire comprendre aux élèves comment fonctionne la touche Random ou
Rand de leur calculatrice ; puis comment passer d'une simulation "à taille humaine" à une simulation à
grande échelle.
Utilisation de la calculatrice :
Sur une liste de 50 chiffres, générée par l'élève avec sa calculatrice, étudier la distribution en fréquences
des chiffres de 0 à 9.
Utilisation du serveur :
Sur une liste de taille arbitraire simulée par le serveur, observer la distribution en fréquences des chiffres
de 0 à 9.
Distribution des décimales d'un nombre :
Etudier des exemples de distributions des décimales d'un nombre réel quelconque.
III.
Lancers successifs d'une pièce de monnaie
Le serveur simule un nombre N de lancers successifs, N étant fixé par l'élève.
La simulation fournit les résultats suivants :
-
l'histogramme des fréquences des modalités Pile et Face obtenues sur les N lancers;
la courbe de variabilité des fréquences d'apparition de la modalité Pile au cours des N lancers.
La courbe de variabilité des fréquences d'apparition des piles donne :
- en abscisse, les "dates" de lancers, de 0 à N.
- en ordonnée, pour le n-ième lancer, la fréquence d'apparition de la modalité Pile pour les n premiers
lancers déjà réalisés sur les N au total.
Thèmes de réflexion :
L'élève pourra observer la fluctuation des fréquences de Pile et Face lors de simulations effectuées pour
un même nombre total de lancers.
Il pourra vérifier la loi des grands nombres : plus le nombre de lancers augmente, plus les fréquences de
Pile et Face se rapprochent de leur probabilité 0,5.
La courbe de variabilité fait clairement apparaître la convergence vers 0,5 des fréquences de Pile au cours
des N lancers : plus N est grand, et plus le nombre n de lancers déjà réalisés est grand, plus les oscillations
des fréquences d'apparition de Pile se resserrent autour de la valeur 0,5.
Remarque :
L'élève devrait d'abord observer les résultats pour un petit nombre de lancers. Il comprendra ainsi plus
facilement la courbe de variabilité des fréquences de Pile.
IV.
Coups consécutifs égaux pour n lancers successifs d'une pièce
Définition d'un run :
On appelle "run" toute sous-suite maximale de k coups consécutifs égaux, figurant dans la suite des N
lancers.
Exemple :
Sur les 10 lancers PPFPPPFFFP, la sous-suite PPP est un P-run de longueur .
Par contre dans PPFPPPFFFP, la sous-suite PP n'est pas un run.
Sur ces 10 lancers PPFPPPFFFP on a successivement : un P-run de longueur 2, un F-run de longueur 1,
un P-run de longueur 3, unF-run de longueur 3 et enfin un P-run de longueur 1.
La liste ordonnée des longueurs de runs apparus est donc : (2, 1, 3, 3, 1).
Pour ces lancers, la longueur maximale d'un run est 3 (réalisée avec deux runs de longueur 3).
Résultats obtenus pour une série de N lancers effectifs :
L'élève effectue des lancers successifs (en nombre arbitraire) et note dans l'ordre les longueurs des runs
obtenus.
Par exemple, avec 1es 10 lancers PPFPPPFFFP, le tableau sera rempli avec la liste ordonnée : (2, 1, 3, 3,
1).
Le tableau n'a pas besoin d'être rempli complètement.
Le serveur affiche le tableau des modalités (longueurs de runs) avec leurs fréquences, ainsi que
l'histogramme des fréquences de longueurs de runs.
Résultats obtenus pour une série de N lancers simulés :
Par simulation, l 'élève pourra observer la répartition des runs obtenus dans quelques séries de N lancers.
Il observera que le nombre de runs observés par simulation semble converger vers N/2, quand N devient
de plus en plus grand
Nombre moyen de coups consécutifs égaux (obtenus par simulation) :
On simule des séries de N lancers, un nombre R de fois.
A chaque série on relève les longueurs de runs ; pour l'ensemble des R séries on totalise le nombre de
fois où un run de longueur k est apparu.
Le serveur affiche le tableau modalité / effectif des longueurs de runs ainsi obtenues, ainsi que
l'histogramme des fréquences des longueurs de runs.
Calcul du mode, du nombre médian et du nombre moyen de coups consécutifs égaux :
A partir des résultats correspondant à la répétition R fois de N lancers de pièce, l'élève doit lui-même
calculer les médianes, moyennes des longueusr de run.
Remarque :
On pourra profiter de l'occasion pour parler de distribution gaussienne. Faire observer qu'en répétant un
grand nombre de fois l'expérience de N lancers de pièces, les valeurs de la variable aléatoire "longueurs de
runs" se répartissent de façon régulière autour de la valeur moyenne N/2, selon une "courbe en cloche".
Et pourquoi par esquisser la théorie des grands échantillons ( loi de la moyenne des échantillons de taille
R)?
Soit une expérience aléatoire pour laquelle est définie une variable aléatoire X de moyenne m.
La moyenne X sur les échantillons de taille R (répétitions R fois et de façons indépendantes de
l'expérience) suit approximativement une loi normale de moyenne m.
V.
Longueur maximale d'un run
On s'intéresse aux runs de longueurs maximales (c'est à dire au nombre maximum de coups consécutifs
égaux obtenus sur N lancers successifs)
Avec la calculatrice :
L'élève est amené à trouver lui-même un algorithme pour simuler 100 lancers successifs d'une pièce de
monnaie.
(parité des décimales dans une liste de nombres aléatoires …).
Chaque élève d'une classe simulant un lancer et donnant la longueur maximale de run de son lancer ;
ou bien l'élève travaillant seul simulant plusieurs lancers;
on remplit le tableau de la page web par les longueurs maximales de runs observées sur R séries de 100
lancers.
Avec le serveur :
Même expérience réalisée par simulation, ce qui permet de faire varier à la fois le nombre N de lancers
successifs et le nombre R de répétitions de l'expérience.
Le serveur affiche comme résultats les longueurs maximales de runs obtenues (tableau d'effectif ;
histogramme de fréquences et nuage de points).
Remarque :
Les temps de réponse, tout à fait raisonnables, permettent d'observer les résulats de 55à séries de 1000
lancers successifs. On pourra faire observer à l'élève qu'on obtient ici des histogrammes qui ne cadrent pas
avec une distribution gaussienne (pas de courbes en cloche) ; il existe donc d'autres lois de probabilités
que les lois normales …
VI.
Influence du nombre de lancers sur la longueur maximale de runs observée
1) Répétant R fois des séries d'exactement N lancers successifs, on calcule le pourcentage des
simulations qui ont permis d'obtenir une longueur maximale de run supérieure ou égale à une valeur l
donnée.
2) Répétant R fois des séries d'au plus N lancers successifs, on relève à chaque simulation le nombre n
§ N de lancers nécessaires pour obtenir un run de longueur supérieure ou égale à une valeur l
donnée, et on donne les fréquences des nombres de lancers n.
VII.
Temps moyen d'attente pour obtenir un run de longueur donnée
Ici on aborde la question inverse de savoir combien de lancers successifs sont nécessaires afin obtenir des
runs de longueur au moins égale à l , pour une valeur l donnée.
Ainsi, chaque expérience simulée consiste à lancer successivement la pièce autant de fois que nécessaire
pour voir apparaître un run de longueur l (c'est à dire jusqu'à ce qu'un run de longueur l soit obtenue ;
dans ce cas la longueur maximale d'un run est supérieure ou égale à l ). On relève alors le nombre N de
lancers.
On répète R fois cette expérience.
L'élève se convaincra aisément qu'il n'y a pas de formule simple pour calculer ces fréquences…
Et le professeur commentera peut-être la chose en allant cliquer sur le lien "Pour en savoir plus".