Correction test Seconde sept 2013

Correction de l’évaluation de mathématiques en entrée en Seconde - Septembre 2013
SUJET A
Exercice 1 - QCM
Partie 1 : Parmi les choix proposés, une seule réponse est correcte. Entoure-la.
6 min
Pour tout nombre x
Choix
−2
1.
2.
3.
4.
5.
−1
=
−2
+1 =
+3 +
−1
−4
−
+5 =
La solution de 2 + 3 = 0 est
Les solutions de
− +5
+ 2 = 0 sont
−1
−1 2 +8
+4 −4
−4 +4
+
−
−1
−2
2 +8
−1
−2
+3
3
2
2
3
−
−5 et 2
5 et −2
5 et −
+5
3
2
Partie 2 : Parmi les choix proposés, un ou plusieurs sont corrects. Entoure la ou les réponses correctes. 4 min
Choix
1.
−
3
=
−2
−
2.
2 7
+ =
3 4
8
5
3.
3×
4.
3
=
5
2
4
=
5
3
2
1
× 12
5
3×
2
5
3
2
−3
−2
29
12
9
7
4×
3
5
12
15
3 1
×
5 2
1 2
×
3 5
5.
√5 + √2 =
√7
√10
Aucune des deux
réponses proposées n’est
correcte.
6.
5√3 + 2√3 =
7√3
10√3
7√6
5
√13
√4 + √9
7.
2 +3 =
Exercice 2 : Hauteur d’une balle en fonction du temps qui s’écoule.
5 min
À l’instant initial t = 0, une machine lance, vers le ciel, une balle de tennis.
La courbe ci-dessous donne la hauteur de la balle en mètres pour un instant t compris entre 0 et 6 secondes
h
50
Hauteur (en m)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
t
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
Temps (en s)
1) Lire graphiquement une valeur approchée :
a) des instants où la balle est à une hauteur de 25 mètres : à 1 et 5 secondes
b) de la hauteur maximale de la balle : 45 mètres
2) On peut calculer la hauteur h de la balle, en fonction du temps t écoulé, à l’aide de la formule suivante :
h(t) = −5t² + 30t
a) Calculer h(2) : ℎ 2 = −5 × 2 + 30 × 2 = −5 × 4 + 60 = −20 + 60 = 40.
b) Déterminer graphiquement une valeur approchée de l’image de 1,5 par la fonction h : environ 34
Exercice 3 : Probabilités
5 min
Une urne contient :
1 cube de couleur blanche
2 cubes de couleur noire
4 boules de couleur blanche
1 boule de couleur noire
Une expérience consiste à prendre au hasard un objet de cette urne. On admettra qu’il y a autant de chances de tirer
une boule donnée qu’un cube donné.
On considère les évènements suivants :
A : « l’objet est un cube et est de couleur noire »
B : « l’objet est de couleur blanche »
C : « l’objet est une boule »
On note P(A) la probabilité de l’événement A.
Déterminer P(A), P(B), P(C). On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.
=
2
8
1
4
5
8
5
8
Exercice 4 : Statistiques
6 min
5 élèves ont obtenu les résultats suivants à un contrôle : 12 ; 8 ; 15 ; 11 ; 4
1. Déterminer la moyenne de ces 5 élèves.
10 La moyenne des notes est 10.
2. Déterminer la médiane des 5 notes.
Dans l’ordre croissant, les notes sont : 4 ; 8 ; 11 ; 12 ; 15 donc la note centrale est 11.
Exercice 5 : Géométrie
10 min
Dans la figure ci-contre, les droites (UV) et (ST)
sont parallèles, et on a :
• RU = 3 cm
• RS = 9 cm
• RV = 6 cm
• ST = 12 cm
1) Calculer, en justifiant, la longueur UV.
Dans le triangle !"#, les points R, U, S d’une part
et les points R, V, T d’autre part sont alignés, les
droites $% et "# sont parallèles.
&'
&)
')
+
D’après le théorème de Thalès, on a &( &* (* soit ,
+
D’où $% 12 , 12
La longueur $% vaut 4./
+
&*
')
4./
2) Calculer, en justifiant, la longueur VT.
D’après la question précédente,
+
,
&*
donc !#
6
Comme !, % et # sont alignés dans cet ordre, on a %#
Donc la longueur %# vaut 12 cm
,
+
6
!#
3
!%
18./
18
6
12./
Exercice 6 : Géométrie dans l’espace
S
SABC est une pyramide de base le triangle ABC
telle que :
AB = 3 cm ; AC = 4 cm ; BC = 5 cm.
La hauteur SA de cette pyramide vaut 2 cm.
A
C
B
1) Calculer la longueur SC.
Dans le triangle "
rectangle en
, on utilise le théorème de Pythagore : " =
+ " .
Donc " = 4 + 2 = 16 + 4 = 20 et comme " est une longueur (donc est positif), on a " = √20 = 2√5./.
La longueur " vaut 2√5 cm.
2) Démontrer que ABC est rectangle en A.
[BC] est le plus long côté.
= 5 = 25 d’une part ;
+
= 3 + 4 = 9 + 16 = 25 d’autre part.
=
+
. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle
Donc
3) En déduire la valeur du volume de la pyramide SABC.
La pyramide SABC a pour base le triangle ABC rectangle en A et pour hauteur SA.
Le volume d’une pyramide est égale à + 12345 × ℎ67897:
Or 12345 =
;<×;=
=
+×
=
= 6./
Le volume de la pyramide vaut 4 ./+ .
donc %>?7/9 = + × 6 × 2 = + × 12 = 4./+
est rectangle en .
Correction de l’évaluation de mathématiques en entrée en Seconde - Septembre 2013
SUJET B
Exercice 1 - QCM
Partie 1 : Parmi les choix proposés, une seule réponse est correcte. Entoure-la.
6 min
Pour tout nombre x
Choix
−3
1.
2.
=
−1
+2 =
+4 +
−1
−9
+
3.
−1
+3 =
4.
La solution de 3 + 2 = 0 est
5.
Les solutions de
− +4
+ 6 = 0 sont
−1
−2
2 +7
3
2
−4 et 6
−1
−6 +9
+6 −9
−
−
−2
+4
−
2
3
4 et − -
+3
+1
−1 2 +7
2
3
4 et −6
Partie 2 : Parmi les choix proposés, un ou plusieurs sont corrects. Entoure la ou les réponses correctes. 4 min
Choix
1.
−
5
=
−3
5
3
−5
−3
−
5
3
2.
4 5
+ =
3 4
9
7
16
15
31
12
3.
2×
3
=
5
1
×6
5
6
10
3×
2
5
4.
5
=
3
4
5 1
×
3 4
1 4
×
5 3
5×
4
3
5.
√3 + √7 =
√21
√10
Aucune des deux
réponses proposées
n’est correcte.
6.
4√3 + 7√3 =
11√6
11√3
28√3
√34
√9 + √25
8
7.
3 +5 =
Exercice 2 : Hauteur d’une balle en fonction du temps qui s’écoule.
5 min
À l’instant initial t = 0, une machine lance, vers le ciel, une balle de tennis.
La courbe ci-dessous donne la hauteur de la balle en mètres pour un instant t compris entre 0 et 6 secondes
h
50
Hauteur (en m)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
t
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
Temps (en s)
1) Lire graphiquement une valeur approchée :
a) des instants où la balle est à une hauteur de 40 mètres : à 2 et 4 secondes
b) de la hauteur maximale de la balle : 45 mètres
2) On peut calculer la hauteur h de la balle, en fonction du temps t écoulé, à l’aide de la formule suivante :
h(t) = −5t² + 30t
a) Calculer h(1) : ℎ 1 = −5 × 1 + 30 × 1 = −5 × 1 + 30 = −5 + 30 = 25.
c) Déterminer graphiquement une valeur approchée de l’image de 4,5 par la fonction h : environ 34
Exercice 3 : Probabilités
5 min
Une urne contient :
2 cubes de couleur blanche
1 cube de couleur noire
3 boules de couleur blanche
2 boules de couleur noire
Une expérience consiste à prendre au hasard un objet de cette urne. On admettra qu’il y a autant de chances de tirer
une boule donnée qu’un cube donné.
On considère les évènements suivants :
A : « l’objet est une boule et est de couleur noire »
B : « l’objet est de couleur noire »
C : « l’objet est un cube »
On note P(A) la probabilité de l’événement A.
Déterminer P(A), P(B), P(C). On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.
=
2
8
1
4
3
8
3
8
Exercice 4 : Statistiques
6 min
5 élèves ont obtenu les résultats suivants à un contrôle : 10 ; 7 ; 13 ; 12 ; 3
3. Déterminer la moyenne de ces 5 élèves.
@
+
+
9 La moyenne des notes est 9.
4. Déterminer la médiane des 5 notes.
Dans l’ordre croissant, les notes sont : 3 ; 7 ; 10 ; 12 ; 13 donc la note centrale est 10.
Exercice 5 : Géométrie
10 min
Dans la figure ci-contre, les droites (UV) et (RS)
sont parallèles, et on a :
• TU = 6 cm
• TV = 3 cm
• TS = 9 cm
• RS = 12 cm
1) Calculer, en justifiant, la longueur UV.
Dans le triangle !"#, les points T, U, R d’une
part et les points T, V, S d’autre part sont alignés,
les droites $% et !" sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès, on a
*'
*)
')
+
')
soit *& ,
*&
*(
&(
+
D’où $% 12 , 12
La longueur $% vaut 4./
+
4./
2) Calculer, en justifiant, la longueur UR.
+
D’après la question précédente, ,
*&
donc #!
6
Comme #, $ et ! sont alignés dans cet ordre, on a $!
Donc la longueur $! vaut 12 cm
,
+
6
#!
3
18./
#$
18
6
12./
Exercice 6 : Géométrie dans l’espace
S
SABC est une pyramide de base le triangle ABC
telle que :
AB = 4 cm ; AC = 3 cm ; BC = 5 cm.
La hauteur SA de cette pyramide vaut 2 cm.
A
C
B
4) Calculer la longueur SC.
Dans le triangle "
rectangle en
, on utilise le théorème de Pythagore : " =
Donc " = 3 + 2 = 9 + 4 = 13 et comme " est une longueur (donc est positif), on a " = √13./.
La longueur " vaut √13 cm.
5) Démontrer que ABC est rectangle en A.
[BC] est le plus long côté.
= 5 = 25 d’une part ;
+
= 4 + 3 = 16 + 9 = 25 d’autre part.
Donc
=
+
. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle
6) En déduire la valeur du volume de la pyramide SABC.
La pyramide SABC a pour base le triangle ABC rectangle en A et pour hauteur SA.
Le volume d’une pyramide est égale à + 12345 × ℎ67897:
Or 12345 =
;<×;=
=
+×
=
= 6./
Le volume de la pyramide vaut 4 ./+ .
donc %>?7/9 = + × 6 × 2 = + × 42 = 4./+
est rectangle en .
+ " .