Champs de vecteurs holomorphes sur une - CIRGET

CHAMPS DE VECTEURS HOLOMORPHES SUR UNE VARIÉTÉ
KÄHLER COMPACTE
MEHDI LEJMI
Conférence présentée au séminaire du CIRGET Junior le 15 Février 2007.
Abstract. Nous étudions les champs de vecteurs holomorphes réels sur une
variété Kähler compacte donnant lieu à une algèbre de Lie, notée h, ainsi que
des sous-algèbres de h.
1. introduction
Définition 1.1. Soit (M, J) une variété presque-complexe compacte. Un automorphisme infinitésimal de la structure presque-complexe (dit aussi pseudo-holomorphe)
est un champ de vecteurs (réel) X qui préserve J i.e. LX J = 0 où L est la dérivée
de Lie. Ce qui est équivalent à :
(1.1)
[X, JY ] = J [X, Y ] ,
pour tout champ de vecteurs Y ([·, ·] désignant le crochet de Lie usuel).
Proposition 1.2. Sur une variété complexe (M, J), un champ de vecteurs X est
un automorphisme infinitésimal de J (dit aussi holomorphe réel) si et seulement si
X − iJX est holomorphe.
Sur une variété complexe (M, J), l’espace des champs de vecteurs holomorphes
(réels) est une algèbre de Lie complexe par l’action de J. En effet, si X est holomorphe (réel) alors JX l’est aussi. Si (M, J) est compacte, alors la composante
connexe du groupe des automorphismes de (M, J), notée Aut0 (M, J), est un groupe
de transformations de Lie complexe et h est son algèbre de Lie complexe. Si (M, J)
n’est pas compacte alors Aut0 (M, J) est un groupe de Lie qui n’est pas complexe
et h n’est pas son algèbre de Lie en général. Ce paradoxe s’explique par le fait
que seulement les champs de vecteurs complets peuvent prétendre à appartenir à
l’algèbre de Lie d’un groupe de transformation de M . Pour plus de détails voir [2].
2. cas Kählérien
Dans le cas Kählérien, les champs de vecteurs holomorphes (réels) peuvent être
caractérisés de la manière suivante :
Je remercie Dr. Baptiste Chantraine organisateur du CIRGET Junior ainsi que le reste des
participants.
1
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MEHDI LEJMI
Lemme 2.1. Sur une variété kähler (M, J, ω, g), un champ de vecteurs X est
holomorphe (réel) si et seulement si
(2.1)
g
DJY
X = JDYg X,
pour tout champ de vecteurs Y (Dg désigne la connexion de Levi-Civita associée à
la métrique g).
Preuve du lemme 2.1. Pour un endomorphisme A et une connexion sans torsion ∇,
nous avons que :
(2.2)
LX A = ∇X A − [∇X, A] ,
pour n’importe quel champ de vecteurs X (∇X vu comme un endomorphisme de
g
T M avec Y 7→ ∇Y X). En particulier, LX J = DX
J − [Dg X, J]. Dans une variété
g
Kähler (M, J, ω, g), nous avons que D J = 0. Nous obtenons alors, pour un champ
holomorphe (réel) X, que [Dg X, J] = 0. Cette dernière égalité est équivalente à
(2.1).
Pour toute 1-forme réelle α, notons par D+ , respectivement D− la partie Jinvariante, respectivement J-anti-invariante de Dg i.e.
1
g
g
α)Y ± (DJX
α)JY ),
(2.3)
(D± α)X,Y = ((DX
2
où X, Y des champs de vecteurs. En termes de dérivée de Lie, D− peut être
exprimer de la manière suivante (voir [3]) :
1
1
(2.4)
(D− α)·,· = − (JLα] J·, ·) = − ω ((Lα] J)·, ·) ,
2
2
où ] est le dual riemannien d’une forme réel et (·, ·) = gp en un point p de la variété.
En particulier, α est le dual riemannien d’un champ de vecteurs holomorphe (réel)
si et seulement si D− α = 0.
Un champ de vecteurs holomorphe (réel) admet la décomposition suivante (appelée décomposition de Hodge) (voir [1] pour la preuve) :
Lemme 2.2. Dans une variété Kähler compacte, un champ de vecteurs holomorphe
(réel) X admet la décomposition unique suivante :
(2.5)
X = XH + gradf + Jgradh,
où XH est le dual riemannien d’une 1-forme harmonique, f et h sont des fonctions réelles définies d’une manière unique à constante additive près et gradf est
le gradient de f i.e. le dual riemannien de df . La fonction f est appelée alors le
potentiel réel de X alors que F = f + ih est son potentiel complexe.
Sur une variété riemannienne (M, g), un champ de vecteurs X est appelé un
champ de Killing s’il préserve la métrique i.e. LX g = 0. Ce qui est équivalent
au fait que Dg X [ est anti-symétrique où X [ est le dual riemannien de X. Ce qui
implique que la divergence de X est nulle.
L’espace des champs de Killing forme une algèbre de Lie réelle, notée k, de dimension
inférieure ou égale à n(n+1)
où n est la dimension de M .
2
Lemme 2.3. Soit (M, g) une variété riemannienne compacte. Soit γ un élément
de la composante connexe de l’identité du groupe des isométries de (M, g) et soit
Ψ une p-forme harmonique, alors :
(2.6)
γ ∗ Ψ = Ψ.
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En particulier, pour tout X ∈ k nous avons :
(2.7)
LX Ψ = 0.
Une preuve de ce lemme est donnée dans [1]. En fait, ce lemme est utilisé pour
prouver le résultat suivant :
Proposition 2.4. Sur une variété Kähler compacte (M, J, g, ω), k est une sousalgèbre de Lie de h. Plus précisemment, k est le sous-espace des champs de divergence nulle de h.
Preuve de la proposition 2.4 : Soit X ∈ k. Ce qui implique que X est de divergence nulle. Montrons que X est holomorphe (réel). La forme symplectique ω est
harmonique puisque Dg ω = 0. Par le lemme (2.3), LX ω = 0. Par conséquent,
LX J = 0 et donc X ∈ h.
Maintenant, soit X un champ holomorphe (réel) et de divergence nulle. Montrons
qu’il est de Killing. Le fait que X est de divergence nulle implique que df = 0 où
[
f est le potentiel réel de X. En utilisant le fait que Dg XH
est J-anti-invariante et
g
g [
que D dh est symétrique, nous pouvons voir que D X est anti-symétrique. Par
conséquent, X est de Killing.
Nous allons maintenant s’intéresser aux champs de vecteurs parallèles qui forment un sous-espace de h. Rappelons que dans une variété riemannienne (M, g),
un champ de vecteurs X est Dg -parallèle si Dg X = 0. Dans une variété Kähler
compacte, nous avons le résultat suivant (voir [1] pour la preuve) :
Proposition 2.5. Dans une variété Kähler compacte (M, J, g, ω), l’espace des
champs de vecteurs Dg -parallèles est une sous-algèbre de Lie complexe abélienne
de h qui est contenu dans le centre de h.
References
[1] Gauduchon, P., Calabi’s extremal Kähler metrics : An elementary introduction.
[2] Kobayashi, S., Transformations Groups in Differential Geometry Springer-Verlag, New York,
1972.
[3] Kobayashi, S., Nomizu, K., Foundations of Differential Geometry, II, Interscience, New York,
1963.
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