DS1 PGCD - notion de fonction 2014

3ème A
DS1 PGCD - notion de fonction
Exercice 1: (3 points)
a) Comment, sans calculs, peut-on justifier que la fraction
2014-2015 Sujet 1
1 848
n’est pas
2 040
irréductible ?
b) Calculer le PGCD des nombres 1 848 et 2 040 en indiquant la méthode utilisée.
1 848
c) Simplifier la fraction
pour la rendre irréductible.
2 040
Exercice 2: (3 points)
Flavien veut répartir la totalité de 760 dragées au chocolat et 1 045 dragées aux
amandes dans des sachets ayant la même répartition de dragées au chocolat et aux
amandes.
1) Peut-il faire 76 sachets ? Justifier la réponse.
2) a)
Quel est le nombre maximal de sachets peut-il réaliser ?
b)
Combien de dragées de chaque sorte y aura-t-il dans chaque sachet ?
Exercice 3: (2,5 points)
Traduis chaque phrase par une égalité puis par une correspondance de la forme x  …..
a) x a pour image 4x - 5 par la fonction f.
b) L'image de x par la fonction g est x(x + 1).
c) Par la fonction h, - 3x est l'image de x.
d) Par la fonction r, x a pour image 2x - 5x².
e) La fonction k associe, à tout nombre x, le nombre 3(x - 2).
Exercice 4: (6,5 points)
On considère le programme de calcul :
•
•
•
•
Choisis un nombre ;
Ajoute 6 à ce nombre ;
Multiplie le résultat par le nombre de départ ;
Ajoute 9 au résultat.
a) Quel nombre obtient-on si l'on choisit 2 comme nombre de départ ?
Donne le résultat sous la forme du carré d'un nombre.
b) Même question avec 5.
c) On note x le nombre choisi au départ et on appelle f la fonction qui, au nombre x,
associe le résultat du programme précédent.
Quelles sont les images de 2 et de 5 par la fonction f ?
d) Exprime, en fonction de x, l'image de x par la fonction f.
Donne le résultat sous la forme du carré d'un nombre.
e)
Donne un antécédent de 1 par f.
1
3ème A
DS1 PGCD - notion de fonction
2014-2015 Sujet 1
Exercice 5: (5 points)
On considère la fonction f définie par f(x) = -2x² + 3.
a) Compléter le tableau suivant :
x
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
f(x)
b) Tracer dans un repère la courbe représentative de la fonction f pour des valeurs
de x comprises entre -1 et 1.
Echelle en abscisse : 1 unité pour 2 cm
Echelle en ordonnée : 1 unité pour 1 cm
c) Déterminer graphiquement l’image de -
1
par la fonction f.
4
1
par la fonction f.
4
d) Lire graphiquement les antécédent(s) éventuel(s) de 2 par la fonction f.
Calculer l’image de –
2
3ème A
DS1 PGCD - notion de fonction
2014-2015 Sujet 2
Exercice 1: (3 points)
4 818
.
4 020
a) Expliquer pourquoi cette fraction n’est pas irréductible.
b) Calculer le PGCD des nombres 4 818 et 4 020 par la méthode de votre choix.
(Faire apparaitre les calculs utilisés.)
4 818
c) En déduire la forme irréductible de la fraction
.
4 020
On considère la fraction
Exercice 2: (3 points)
a) Déterminer le PGCD de 186 et 155 en expliquant la méthode utilisée.
b) Un chocolatier a fabriqué 186 pralines et 155 chocolats. Les colis sont ainsi
constitués :
 Le nombre de pralines est le même dans chaque colis ; le nombre de
chocolats aussi
 Tous les chocolats et toutes les pralines sont utilisés.
(1)
Quel nombre maximal de colis pourra-t-il réaliser ?
(2)
Combien y a-t-il de chocolats et de pralines dans chaque colis ?
Exercice 3: (2,5 points)
Traduis chaque phrase par une égalité puis par une correspondance de la forme x  …..
a) x a pour image 5x + 4 par la fonction g.
b) Par la fonction f, - 5x est l'image de x.
c) L'image de x par la fonction k est x(x - 1).
d) La fonction t associe, à tout nombre x, le nombre 3(x - 2).
e) Par la fonction s, x a pour image 3x² - 2.
2
Exercice 4: (6,5 points)
On considère le programme de calcul :
• Choisis un nombre ;
• Ajoute 4 à ce nombre ;
• Multiplie le résultat par le nombre de départ ;
• Ajoute 4 au résultat.
a) Quel nombre obtient-on si l'on choisit 2 comme nombre de départ ?
Donne le résultat sous la forme du carré d'un nombre.
3
3ème A
IE notion de fonction
2014-2015 Sujet 2
b) Même question avec 5.
c) On note x le nombre choisi au départ et on appelle g la fonction qui, au nombre
x associe le résultat du programme précédent.
Quelles sont les images de 2 et de 5 par la fonction g ?
d) Exprime, en fonction de x, l'image de x par la fonction g.
Donne le résultat sous la forme du carré d'un nombre.
e) Donne un antécédent de 1 par g.
Exercice 5: (5 points)
On considère la fonction g définie par g(x) = -3x² + 5.
a) Compléter le tableau suivant :
x
-2
-1,5
-1
- 0,5
0
0,5
1
g(x)
b) Tracer dans un repère la courbe représentative de la fonction g pour des
valeurs de x comprises entre -2 et 1.
Echelle en abscisse : 1 unité pour 2 cm
Echelle en ordonnée : 1 unité pour 1 cm
1
c) Déterminer graphiquement l’image de par la fonction g.
4
1
Calculer l’image de par la fonction f.
4
d) Lire graphiquement les antécédent(s) éventuel(s) de 3 par la fonction g.
4
3ème A
DS1 PGCD -notion de fonction
CORRECTION
2014-2015 Sujet 1
Exercice 1: (4 points)
1 848
n’est pas irréductible ?
2 040
b) Calculer le PGCD des nombres 1 848 et 2 040 en indiquant la méthode utilisée.
1 848
c) Simplifier la fraction
pour la rendre irréductible.
2 040
1 848
a) 1848 et 2040 sont divisibles par 2 donc la fraction
n’est pas irréductible.
2 040
b)
Dividende Diviseur
Reste
2040
1848
192
1848
192
120
192
120
72
120
72
48
72
48
24
48
24
0
Dans la suite des divisions euclidiennes, le dernier reste non nul est 24.
Donc d’après l’algorithme d’Euclide, PGCD(2040 ;1848) = 24.
1 848 7724 77
77
c)
=
=
et
est une fraction irréductible.
2 040 8524 85
85
a) Comment, sans calculs, peut-on justifier que la fraction
Exercice 2: (4 points)
Flavien veut répartir la totalité de 760 dragées au chocolat et 1 045 dragées aux amandes dans
des sachets ayant la même répartition de dragées au chocolat et aux amandes.
1) Peut-il faire 76 sachets ? Justifier la réponse.
2) a)
Quel est le nombre maximal de sachets peut-il réaliser ?
b)
Combien de dragées de chaque sorte y aura-t-il dans chaque sachet ?
1) 76 ne divise pas 1 045 ; donc Flavien ne peut pas faire 76 sachets.
2) a) Comme la répartition de dragées doit être la même dans chaque sachet, le nombre de
sachets doit être un diviseur commun de 760 et 1045 et pour avoir un nombre maximal ce nombre
doit est le plus grand diviseur commun à 760 et 1 045 ; soit le PGCD de 760 et 1 045.
Dividende
1045
760
Diviseur
760
285
Reste
285
190
95
285
190
190
95
0
Dans la suite des divisions euclidiennes, le dernier reste non nul est 24.
Donc d’après l’algorithme d’Euclide, PGCD(2040 ;1848) = 95.
Flavien peut donc réaliser au maximum 95 sachets.
b) 760 :95 = 8 et 1045 :/95 = 11 ; donc il y aura 8 dragées au chocolat et 11 dragées aux
amandes dans chaque sachet.
5
3ème A
DS1 PGCD -notion de fonction
2014-2015 Sujet 1
Exercice 3: (2,5 points)
Traduis chaque phrase par une égalité puis par une correspondance de la forme x  …..
a) x a pour image 4x - 5 par la fonction f.
b) L'image de x par la fonction g est x(x + 1).
c) Par la fonction h, - 3x est l'image de x.
d) Par la fonction r, x a pour image 2x - 5x².
e) La fonction k associe, à tout nombre x, le nombre 3(x - 2).
2
a) f(x) = 4x – 5 et x :  4x – 5
b) g(x) = x(x + 1) et g : x  x(x + 1)
c) h(x) = -3x et h : x  - 3x
d) r(x) = 2x – 5x² et r :  2x – 5x²
e) k(x) = 3(x – 2) et k :  3(x – 2)
Exercice 4: (5 points)
On considère le programme de calcul :
• Choisis un nombre ;
• Ajoute 6 à ce nombre ;
• Multiplie le résultat par le nombre de départ ;
• Ajoute 9 au résultat.
a) Quel nombre obtient-on si l'on choisit 2 comme nombre de départ ?
Donne le résultat sous la forme du carré d'un nombre.
b) Même question avec 5.
c) On note x le nombre choisi au départ et on appelle f la fonction qui, au nombre x, associe
le résultat du programme précédent.
Quelles sont les images de 2 et de 5 par la fonction f ?
d) Exprime, en fonction de x, l'image de x par la fonction f.
Donne le résultat sous la forme du carré d'un nombre.
e) Donne un antécédent de 1 par f.
a) Si on choisit 2 comme nombre de départ, on obtient :
(6 + 2)2 + 9 = 82 + 9 = 16 + 9 = 25 = 5²
b) Si on choisit 5 comme nombre de départ, on obtient :
(6 + 5)5 + 9 = 11 + 9 = 55 + 9 = 64 = 8²
c) L’image de 2 par la fonction f est 25.
L’image de 5 par la fonction f est 64.
d) f(x) = (6 + x)x + 9 = (x + 3)²
e) f(-2) = (-2 + 3)² = 1² = 1
Donc -2 est un antécédent de 1 par f.
f(-4) = (-4 + 3)² = (-1)² = 1
Donc -4 est aussi un antécédent de 1 par f.
6
3ème A
DS1 PGCD -notion de fonction
2014-2015 Sujet 1
Exercice 5: (5 points)
On considère la fonction f définie par f(x) = -2x² + 3.
a) Compléter le tableau suivant :
x
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
f(x)
b) Tracer dans un repère la courbe représentative de la fonction f pour des valeurs de x
comprises entre -1 et 1.
Echelle en abscisse : 1 unité pour 2 cm
Echelle en ordonnée : 1 unité pour 1 cm
c) Déterminer graphiquement l’image de -
1
par la fonction f.
4
1
par la fonction f.
4
d) Lire graphiquement les antécédent(s) éventuel(s) de 2 par la fonction f.
Calculer l’image de –
a)
x
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
f(x)
1
2,5
3
2,5
1
-1,5
-5
b)
c) Le point A de la courbe d’abscisse -0,25 =Donc l’image de –
1
a pour ordonnée approximative 2,9.
4
1
par la fonction f est environ 2,9.
4
 1
 1 ²
1 38 -1 + 24 23
1
f–  = -2–  + 3 = -2 + 3= - +
=
=
= 2,875
 4
 4
8
8
8
8
16
d) Les abscisses approximatives des points B et C de la courbe ayant pour ordonnée 2 sont 0,7 et 0,7.
Donc les antécédents de 2 par la fonction f sont environ -0,7 et 0,7.
7
3ème A
DS1 PGCD -notion de fonction
2014-2015 Sujet 2
Exercice 1: (3 points)
4 818
.
4 020
a) Expliquer pourquoi cette fraction n’est pas irréductible.
b) Calculer le PGCD des nombres 4 818 et 4 020 par la méthode de votre choix.
(Faire apparaitre les calculs utilisés.)
4 818
c) En déduire la forme irréductible de la fraction
.
4 020
4 818
a) 4818 et 4020 sont divisibles par 2 donc la fraction
n’est pas irréductible.
4 020
b)
Dividende Diviseur
Reste
4818
4020
798
4020
798
30
798
30
18
30
18
12
On considère la fraction
18
12
12
6
6
0
Dans la suite des divisions euclidiennes, le dernier reste non nul est 6.
Donc d’après l’algorithme d’Euclide, PGCD(4818 ;4020) = 6.
4818 6803 803
803
c)
=
=
et
est une fraction irréductible.
4020 6670 670
670
Exercice 2: (3 points)
a) Déterminer le PGCD de 186 et 155 en expliquant la méthode utilisée.
b) Un chocolatier a fabriqué 186 pralines et 155 chocolats. Les colis sont ainsi constitués :
 Le nombre de pralines est le même dans chaque colis ; le nombre de chocolats aussi
 Tous les chocolats et toutes les pralines sont utilisés.
(1)
Quel nombre maximal de colis pourra-t-il réaliser ?
(2)
Combien y a-t-il de chocolats et de pralines dans chaque colis ?
a)
Dividende
186
155
Diviseur
155
31
Reste
31
0
Dans la suite des divisions euclidiennes, le dernier reste non nul est 31.
Donc d’après l’algorithme d’Euclide, PGCD(186 ;155) = 31.
b)
(1) Comme le nombre de pralines et de chocolats doit être le même dans chaque colis, le
nombre de colis doit être un diviseur commun à 186 et à 155 ; et comme ce nombre doit
être maximal, alors ce doit être le plus grand diviseur commun à 186 et 155.
Soit le PGCD de 186 et 155.
Comme PGCD(186 ;155) = 31, alors le nombre maximal de colis que le chocolatier peut
réaliser est 31.
(2)
186 :31 = 6 et 155 :31 = 5 ; il y a donc 5 chocolats et 6 pralines dans chaque colis.
8
3ème A
DS1 PGCD -notion de fonction
2014-2015 Sujet 2
Exercice 3 : (2,5 points)
Traduis chaque phrase par une égalité puis par une correspondance de la forme x  …..
a) x a pour image 5x + 4 par la fonction g.
b) Par la fonction f, - 5x est l'image de x.
c) L'image de x par la fonction k est x(x - 1).
d) La fonction t associe, à tout nombre x, le nombre 3(x - 2).
e) Par la fonction s, x a pour image 3x² - 2.
a)
g(x) = 5x + 4 et g : x  5x + 4x
b)
f(x) = -5x et f : x  -5x
c)
k(x) = x(x – 1) et k : x  x(x – 1)
d)
t(x) = 3(x – 2) et t : x  3(x – 2)
e)
s(x) = 3x² - 2 et s : x  3x² - 2
Exercice 4 : (7,5 points)
On considère le programme de calcul :
• Choisis un nombre ;
• Ajoute 4 à ce nombre ;
• Multiplie le résultat par le nombre de départ ;
• Ajoute 4 au résultat.
a)
Quel nombre obtient-on si l'on choisit 2 comme nombre de départ ?
Donne le résultat sous la forme du carré d'un nombre.
b) Même question avec 5.
c) On note x le nombre choisi au départ et on appelle g la fonction qui, au nombre
x
associe le résultat du programme précédent.
Quelles sont les images de 2 et de 5 par la fonction g ?
d) Exprime, en fonction de x, l'image de x par la fonction g.
Donne le résultat sous la forme du carré d'un nombre.
e)
Donne un antécédent de 1 par g.
a) Si on choisit 2 comme nombre de départ, on obtient :
(4 + 2)2 + 4 = 62 + 4 = 12 + 4 = 16 = 4²
b) Si on choisit 5 comme nombre de départ, on obtient :
(4 + 5)5 + 4 = 95 + 4 = 45 + 4 = 49 = 7²
c) L’image de 2 par la fonction g est 16.
L’image de 5 par la fonction g est 25.
9
3ème A
DS1 PGCD -notion de fonction
2014-2015 Sujet 2
d) f(x) = (4 + x)x + 4 = (x + 2)²
e) f(-1) = (-1 + 2)² = 1² = 1
Donc -1 est un antécédent de 1 par f.
f(-3) = (-3 + 2)² = (-1)² = 1
Donc -3 est aussi un antécédent de 1 par f.
Exercice 5: (5 points)
On considère la fonction g définie par g(x) = -3x² + 5.
a) Compléter le tableau suivant :
x
-2
-1,5
-1
- 0,5
0
0,5
1
g(x)
b) Tracer dans un repère la courbe représentative de la fonction g pour des valeurs
de x comprises entre -2 et 1.
Echelle en abscisse : 1 unité pour 2 cm
Echelle en ordonnée : 1 unité pour 1 cm
1
c) Déterminer graphiquement l’image de par la fonction g.
4
1
Calculer l’image de par la fonction f.
4
d) Lire graphiquement les antécédent(s) éventuel(s) de 3 par la fonction g.
a)
x
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
g(x)
-7
-1,75
2
4,25
5
4,25
2
b)
10
3ème A
DS1 PGCD -notion de fonction
c) Le point A de la courbe d’abscisse 0,25 =
Donc l’image de
2014-2015 Sujet 2
1
a pour ordonnée approximative 4,8.
4
1
par la fonction g est environ 4,8.
4
1
 1 ²
3 516 -3 + 80 77
1
g  = -3  + 5 = -3 + 5= +
=
=
= 4,8125
4
4
16
16
16
16
16
d) Les abscisses approximatives des points B et C de la courbe ayant pour ordonnée 3 sont 0,8 et 0,8.
Donc les antécédents de 3 par la fonction g sont environ -0,8 et 0,8.
11