Séquence 10 : Fonctions de référence
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Séquence 10 : Fonctions de référence
Séquence 10 : Fonctions de référence I. Fonction affine Définition : Une fonction , définie sur ℝ, est dite affine s’il existe deux constantes ait . En particulier si , alors sera appelée fonction linéaire. et tels que, pour tout réel , on Propriété : Soit une fonction affine définie sur ℝ par . Si , alors est strictement croissante sur . Si , alors est strictement décroissante sur ℝ. Si , alors est constante sur ℝ. Tableau de variations selon le signe de a : Démonstration : Soit et deux nombres réels tels que . Si , alors et c’est-à-dire Donc est strictement croissante sur ℝ. On ferait une démonstration similaire dans le cas où . . Propriété : La représentation graphique de la fonction affine Vocabulaire : est la droite d’équation . est appelé coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine. Etude de signe de avec On sait que ⇔ ⇔ ⇔ car Ce résultat et le sens de variation de suivant les valeurs de permettent de connaître le signe de suivant les valeurs de : On résume ces résultats par un tableau de signes : Propriété : Règle du signe de Signe de Signe de II. La fonction carrée Définition : La fonction définie sur ℝ, qui à tout réel associe Propriété (admise): La fonction carrée est décroissante sur , est appelée la fonction carrée. On la note et croissante sur Tableau de variation de la fonction carrée : Variations de 0 Les variations de la fonction carrée se traduisent par : Représentation graphique : Définition : Dans un repère orthogonal d’origine O, la représentation graphique de la fonction carrée est appelée parabole de sommet O. Propriété : Dans un repère orthogonal, la parabole représentant la fonction carrée est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Démonstration : ℝ, le point de coordonnées . Son symétrique par rapport à l’axe est le point de coordonnées – . Or donc . III. La fonction cube Définition : La fonction définie sur ℝ, qui à tout réel associe , est appelée la fonction cube. On la note Propriété (admise): La fonction cube est croissante sur Tableau de variation de la fonction cube : Variations de Les variations de la fonction cube se traduisent par : ⇔ ⇔ Représentation graphique : 0 ⇔ Propriété : Dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction cube est symétrique par rapport à l’origine du repère. Démonstration : ℝ, le point de coordonnées . Son symétrique par rapport à l’origine du repère est le point de coordonnées – . Or donc . IV. La fonction inverse Définition : La fonction définie sur ℝ*, qui à tout réel différent de associe est appelée la fonction inverse. On la note Propriété : La fonction inverse est décroissante sur et décroissante sur Remarque : On ne peut pas dire que f est décroissante sur contre exemple : . Tableau de variation de la fonction inverse : Variations de 0 0 Remarque : La double barre indique que la fonction n’est pas définie en . Les variations de la fonction inverse se traduisent par : ⇔ Représentation graphique : ⇔ Définition : Dans un repère, la représentation graphique de la fonction inverse est appelée hyperbole. Propriété : Dans un repère d’origine O, l’hyperbole ℋ représentant la fonction inverse est symétrique par rapport à O. V. La fonction racine carrée Définition : La fonction définie sur ℝ+, qui à tout réel positif carrée. On la note associe , est appelée la fonction racine Propriété (admise): La fonction racine carrée est croissante sur Tableau de variation de la fonction carrée : Variations de 0 Les variations de la fonction racine carrée se traduisent par : ⇔ Représentation graphique : Définition : Quels que soient les réels équivaut à Remarque : L’écriture implique De plus, pour tout réel positif , et positifs :