fonction inverse

Fonction Inverse
Table des matières
1
fonction inverse
1.1 activité . . . . . . .
1.2 à retenir . . . . . .
1.3 exercices . . . . . .
1.3.1 évaluations
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2
2
4
4
7
1
1.1
fonction inverse
activité
le partage équitable de 1kg d’or entre 3 personnes, donne à chacune : f (3) =
≃
kg
le partage équitable de 1kg d’or entre 7 personnes, donne à chacune : f (7) =
≃
kg
le partage équitable de 1kg d’or entre x personnes, donne à chacune : f (x) =
1. un tableau de valeur de la fonction inverse :
x -10 -5 -2 -1 -0,5 -0,25 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,25 0,5
1
x
kg.
y
9
8
7
6
2. tableau de variations de la fonction inverse :
5
valeur de x
−∞
+∞
4
3
1
2
variations de f (x) =
1
x
O
−5 −4 −3 −2 −1−1
1
−2
3. tableau de signes de la fonction inverse :
−3
valeur de x
−∞
+∞
−4
−5
−6
1
signe de f (x) =
−7
x
−8
−9
−10
4. la courbe de la fonction inverse admet pour centre de symétrie le point ...
cette courbe est une ...
1
2
5
10
domaine de définition : Df = ...
0 est ...
x
2
3
5. extremums de la fonction inverse pour x ∈ ] − ∞ ; +∞ [ :
sur ] − ∞; +∞[, le minimum de la fonction inverse est ...
il
est atteint pour ...
sur ] − ∞; +∞[, le maximum de la fonction inverse est ...
il
est atteint pour ...
6. équations et fonction inverse
1
la résolution de l’équation = 2 donne graphiquement : ...
x
1
la résolution algébrique de l’équation = 2 donne : ...
x
1
= 0, 5 donne graphiquement : ...
x
1
la résolution algébrique de l’équation = 0, 5 donne : ...
x
la résolution de l’équation
7. inéquations et fonction inverse
1
x
1
la résolution graphique de l’inéquation
x
1
la résolution graphique de l’inéquation
x
1
la résolution graphique de l’inéquation
x
la résolution graphique de l’inéquation
< 5 donne : ...
> 5 donne : ...
< −5 donne : ...
> −5 donne : ...
4
corrigé activité
1
On partage équitablement 1kg d’or entre 3 personnes, chacune aura f (3) = ≃ 0, 33kg
3
1
On partage équitablement 1kg d’or entre 7 personnes, chacune aura f (7) = ≃ 0, 14 kg
7
1
pour x personnes on a : f (x) =
x
1. un tableau de valeur de la fonction inverse :
x -10
-5
-2
-1 -0,5 -0,25 -0,2 -0,1
1
-0, 1 -0, 2 -0, 5 -1
-2
-4
-5
-0
x
0
0,1
0,2
0,25
0,5
1
2
5
10
||
10
5
4
2
1
0, 5
0, 2
0, 1
y
hyperbole
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
O
−1
−5 −4 −3 −2 −1
1 2 3 4
−2
3. tableau de signes de la fonction inverse :
−3
valeur de x
−∞
0
+∞
−4
−5
−6
1
signe de f (x) =
- || +
−7
x
−8
−9
−10
4. la courbe de la fonction inverse admet pour centre de symétrie le point O
D =] − ∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; +∞ [
f
0 est la valeur interdite
2. tableau de variations de la fonction inverse :
valeur de x −∞
0
+∞
variations
0
|| +∞
de
ց
||
ց
1
f (x) =
−∞ ||
0
x
cette courbe est une hyperbole .
5. extremums de la fonction inverse pour x ∈ ] − ∞ ; +∞ [ : sur ] − ∞; +∞[, le minimum de
la fonction inverse est inexistant il n’est atteint pour aucune de x
sur ] − ∞; +∞[, le maximum de la fonction inverse est inexistant il n’est atteint pour
aucune de x
6. équations et fonction inverse
1
la résolution de l’équation = 2 donne graphiquement : x = 0, 5 soit S = {0, 5}
x
1
la résolution de l’équation = 2 donne algébriquement :
x
1
1
2
1
= 2 ⇐⇒ = ⇐⇒ 2x = 1 ⇐⇒ x = = 0, 5
x
x
1
2
1
la résolution de l’équation = 0, 5 donne graphiquement : x = 2 soit S = {2}
x
1
la résolution de l’équation = 0, 5 donne algébriquement :
x
1
1
0, 5
1
= 0, 5 ⇐⇒ =
⇐⇒ 0, 5x = 1 ⇐⇒ x =
=2
x
x
1
0, 5
7. inéquations et fonction cube
1
x
1
la résolution de l’inéquation
x
1
la résolution de l’inéquation
x
1
la résolution de l’inéquation
x
la résolution de l’inéquation
< 5 donne x ∈ ] − ∞ ; 0 [ ∪ ] 0, 2 ; +∞[
> 5 donne x ∈ ]0 ; 0, 2 [
< −5 donne x ∈ ] − 0, 2 ; 0 [
> −5 donne x ∈ ] − ∞ ; −0, 2 [ ∪ ] 0 ; +∞[
1.2
à retenir
• le domaine de définition de la fonction inverse f (x) =
0 est la valeur interdite de la fonction inverse .
1
= x−1 est Df = ] − ∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; +∞ [
x
• tableau de valeurs, courbe, tableau de signes, tableau de variations, extremums
sont donnés par l’activité précédente.
1
= a on utilise :
• pour résoudre algébriquement une équation de la forme
x
1
1
quel que soit le nombre nombre a 6= 0 :
= a ⇐⇒ x = = a−1
x
a
remarque : pour a 6= 0 :
1.3
1
a
1
1
= a ⇐⇒ = ⇐⇒ a × x = 1 × 1 ⇐⇒ x = (produit en croix)
x
x
1
a
exercices
exercice 1 :
un animateur organise un voyage pour x personnes où x ∈ [ 5 ; 50 ] (x n’est pas encore fixé)
le transporteur facturera 100 euros de forfait plus 5 euros par personne.
100
+ 5 où Cu est en euros.
le coût unitaire (par personne) est alors donné par Cu (x) =
x
a. détailler les calculs de Cu (5) et Cu (10) et en déduire s’il vaut mieux qu’il y ait 5 ou 10
personnes si chacun veut payer le moins cher possible.
b. construire la courbe de la fonction Cu dans le repère donné.
y
20
15
10
5
x
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
c. déterminer graphiquement et algébriquement le nombre de personnes qui assure un coût
unitaire de 10 euros, en déduire la recette réalisée par le transporteur.
d. déterminer graphiquement et algébriquement le nombre de personnes qui assure un coût
unitaire de 5 euros.
e. déterminer graphiquement l’intervalle qui assure un coût unitaire de strictement moins
de 7, 5 euros.
100 − 2, 5x
montrer que Cu (x) < 7, 5 ⇐⇒
< 0 et retrouver algébriquement l’intervalle préx
cédent.
f. résoudre graphiquement et algébriquement l’inéquation Cu (x) > 9 et donner une interprétation de ce résultat.
corrigé exercices
exercice 1 :
un animateur organise un voyage pour x personnes où x ∈ [ 5 ; 50 ] (x n’est pas encore fixé)
le transporteur facturera 100 euros de forfait plus 5 euros par personne.
100
le coût unitaire (par personne) est alors donné par Cu (x) =
+ 5 où Cu est en euros.
x
100
+ 5 = 20 + 5 = 25
5
100
Cu (10) =
+ 5 = 15
10
il vaut mieux qu’il y ait 10 personnes si chacun veut payer le moins cher possible car
15 < 25.
a. Cu (5) =
b. construire la courbe de la fonction Cu dans le repère donné.
y
20
15
10
5
x
0
5
c.
10
15
20
25
30
35
40
45
graphiquement : Cu (x) = 10 ⇐⇒ x = 20
100
100
100
+ 5 = 10 ⇐⇒
= 5 ⇐⇒ 5x = 100 ⇐⇒ x =
= 20
algébriquement : Cu (x) = 10 ⇐⇒
x
x
5
le nombre de personnes qui assure un coût unitaire de 10 euros est 20 personnes
R(20) = 20 × 10 = 200 soit 200 euros de recette réalisée par le transporteur.
d.
graphiquement : Cu (x) = 5 on ne peut pas trouver avec ce graphique.
100
100
algébriquement : Cu (x) = 5 ⇐⇒
+ 5 = 5 ⇐⇒
= 0 ⇐⇒ 0x = 100 (absurde)
x
x
le nombre de personnes qui assure un coût unitaire de 5 euros n’existe pas.
e.
graphiquement : Cu (x) < 7, 5 ⇐⇒ x ∈]40; 50]
l’intervalle qui assure un coût unitaire de strictement moins de 7, 5 euros est donc
]40; 50].
algébriquement :
100
100 2, 5x
100 − 2, 5x
100
+ 5 < 7, 5 ⇐⇒
− 2, 5 < 0 ⇐⇒
−
< 0 ⇐⇒
<0
Cu (x) < 7, 5 ⇐⇒
x
x
x
x
x
100 − 2, 5x
il suffit d’étudier le signe de
dans un tableau de signes pour x ∈ [ 5 ; 50 ].
x
x
x
100 − 2, 5x
5
+
40
|
+
50
Annulations :
x=0
+
0
-
100 − 2, 5x = 0 ⇐⇒ x =
100
= 40
2, 5
100 − 2, 5x
+ 0
x
conclusion :
Cu (x) < 7, 5 ⇐⇒ x ∈]40; 50] (cohérent avec le résultat graphique)
f.
graphiquement : Cu (x) > 9 ⇐⇒ x ∈ [ 5 ; 25 [
algébriquement :
100
100
100 4x
100 − 4x
Cu (x) > 9 ⇐⇒
+ 5 > 9 ⇐⇒
− 4 > 0 ⇐⇒
−
> 0 ⇐⇒
>0
x
x
x
x
x
100 − 4x
il suffit d’étudier le signe de
dans un tableau de signes pour x ∈ [ 5 ; 25 [.
x
+
25
|
+
Annulations :
x=0
100 − 4x
+
0
-
100 − 4x = 0 ⇐⇒ x =
100 − 4x
x
+
0
-
x
x
5
50
100
= 25
4
conclusion :
Cu (x) > 9 ⇐⇒ x ∈ [ 5 ; 25 [ (cohérent avec le résultat graphique)
le coût unitaire est de strictement plus de 9 euros de 5 à 25 personnes (25 exclu)
1.3.1
évaluations
devoir maison
1. exercice 1 : (13.a. page 97)
résoudre l’équation suivante :
1
−1
=
x
4
2. exercice 2 : (15.a. page 97)
résoudre graphiquement l’inéquation suivante :
3. exercice 3 : (18.d. page 98)
résoudre l’équation suivante :
1
≥7
x
x
−3
=
2x + 3
4
4. exercice 4 : (22.b. page 99)
résoudre l’inéquation suivante :
4 − 7x
≥0
2x + 1
5. exercice 5 : (78 page 108)
A. Dans une entreprise vendant des céréales
une campagne de publicité est faite pour la promotion du produit
le pourcentage de personnes connaissant le nom du produit après x semaines de publicité
80x
est donné par p(x) =
x+1
i. calculer p(4) et en déduire le pourcentage de personne ignorant le nom du produit
après x semainres de publicité
ii. l’écriture de p(x) est-elle compatible avec les affirmations suivantes ?
A. avant la campagne, personne ne connaissait le produit
B. après 15 semaines, tout le monde connaît le produit
B. l’entreprise envisage une campagne de 10 semaines de publicité
80x
la courbe de la fonction p(x) =
est représentée ci dessous pour x ∈ [0; 10]
x+1
y
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
x
0
5
10
i. déterminer graphiquement la durée nécessaire pour que p(x) dépasse 60%
ii. déterminer graphiquement combien de semaines supplémentaires sont nécessaires
pour que le pourcentage p(x) dépasse 70%
iii. la campagne de publicité sera efficace durant les trois premières semaines puis moins
efficace ensuite !
au vu du graphique, cette affirmation est-elle justifiée ?
corrigé devoir maison
1. exercice 1 : (13.a. page 97)
1
−1
4
=
⇐⇒ 4 × 1 = x × (−1) ⇐⇒ −x = 4 ⇐⇒ x =
soit S = {−4}
x
4
−1
2. exercice 2 : (15.a. page 97)
1
1
graphiquement : ≥ 7 donne S =] 0; ]
x
7 1
1
= 7 ⇐⇒ x =
x
7
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−1O
−5 −4 −3 −2 −1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
3. exercice 3 : (18.d. page 98)
−3
x
=
2x + 3
4
⇐⇒ 4x = −3(2x + 3)
⇐⇒ 4x = −6x − 9
y
x
1
2
⇐⇒ 10x = −9
−9
9
⇐⇒ x =
donc S = {− }
10
10
4. exercice 4 : (22.b. page 99)
pour résoudre l’inéquation suivante :
4 − 7x
+
1
2
|
2x + 1
4 − 7x
2x + 1
-
0
-
||
x
−∞
−
4 − 7x
≥ 0 on utilise un tableau de signes
2x + 1
4
50 Annulations :
7
4
+ 0 4 − 7x = 0 ⇐⇒ x =
7
1
+ | +
2x + 1 = 0 ⇐⇒ x = −
2
+ 0 4 − 7x
1 4
≥ 0 ⇐⇒ x ∈] − ; ]
conclusion :
2x + 1
2
7 3
4
5. exercice 5 : (78 page 108)
A.
80 × 4
et en déduire le pourcentage de personne ignorant le nom du produit
4+1
après x semainres de publicité
i. p(4) =
ii. l’écriture de p(x) est-elle compatible avec les affirmations suivantes ?
A. avant la campagne, personne ne connaissait le produit
B. après 15 semaines, tout le monde connaît le produit
B. l’entreprise envisage une campagne de 10 semaines de publicité
80x
la courbe de la fonction p(x) =
est représentée ci dessous pour x ∈ [0; 10]
x+1
y
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
x
0
5
10
i. déterminer graphiquement la durée nécessaire pour que p(x) dépasse 60%
ii. déterminer graphiquement combien de semaines supplémentaires sont nécessaires
pour que le pourcentage p(x) dépasse 70%
iii. la campagne de publicité sera efficace durant les trois premières semaines puis moins
efficace ensuite !
au vu du graphique, cette affirmation est-elle justifiée ?