1. Des informations Pour m`écrire :

COURS DE M2
CODES, OPTIMISATION ET COMBINATOIRE ADDITIVE
ALAIN PLAGNE
1. Des informations
Pour m’écrire : [email protected]
Ma page internet : http://www.math.polytechnique.fr/~plagne
2. Dates, horaires, salles
Le cours dure 24 heures. Il y aura 8 séances de 3 heures.
Les cours auront lieu les mardis 8, 15, 29 janvier et 5 février ainsi que les
vendredis 11, 18, 25 janvier et 1er février 2013.
ATTENTION : il n’y a pas de cours le mardi 22 janvier
Salle : PC 17
Horaire : 10h15 – 13h15
3. Examen
L’examen aura lieu en deux temps :
(1) un exposé de 10 à 15 minutes par étudiant: le 5 février 2013 (deuxième
moitié de la dernière séance). Penser à choisir un sujet et à s’inscrire rapidement
(2) une épreuve sur table de 2 heures qui aura probablement lieu le 15 février,
de 10h15 à 12h15 en PC 17 (en attente de confirmation définitive)
4. Ouvrages de référence
G. Cohen, I. Honkala, S. Litsyn et A. Lobstein, Covering codes, North Holland
(1997)
On peut aussi consulter
J. Justesen, T. Hoholdt, A course in error correcting codes, European Math.
Soc. (2004)
J. Conway, N. Sloane, Sphere packings, Lattices and Groups, Springer (1988)
et l’article
J. Oesterlé, Densité maximale des empilements de sphères en dimension 3,
Séminaire Bourbaki 1998-99.
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ALAIN PLAGNE
5. Débouchés
En continuité de ce cours, on peut continuer en stage de M2 (voire en thèse)
sur des sujets variés de théorie des codes ou de combinatoire additive, en fonction de son goût. On peut même opter pour des sujets plus arithmétiques. Dans
tous les cas, la richesse du sujet permet de regarder les problèmes sous de multiples éclairages (algébrique, analytique, combinatoire, probabiliste, algorithmique,
etc. . . )
Ceux qui sont potentiellement intéressés peuvent consulter le lien sur ma page
internet ou bien me consulter pour d’autres sujets ou divers autres renseignements. . .
6. Cours
Quelques mots sur le déroulement du cours.
6.1. Cours 1 (8 janvier).
I. Introduction aux problèmes historiques : empilements de sphères, conjecture de
Kepler, Newton et le problème des 13 sphères. Empilement vs. recouvrement.
II. Introduction aux codes : notion de redondance, applications magiques, contexte théorique de la théorie des codes correcteurs (canal bruité), entropie binaire,
théorème de Shannon
6.2. Cours 2 (11 janvier).
II. (suite) Esquisse de démonstration du théorème de Shannon.
III. Les codes : concepts essentiels. Vocabulaire de la théorie des codes. Notions élémentaires. Formulation des problèmes d’empilement et de recouvrement.
Application aux paris sportifs.
6.3. Cours 3 (15 janvier).
III. (suite) Suite de l’introduction aux concepts de base en théorie des codes.
IV. Les codes linéaires : définition et concepts essentiels. Matrices génératrice, de
parité. Code dual. Caractérisation du rayon de recouvrement et de la distance
minimale.
V. Familles de codes : codes de Hamming. 1-perfection.
6.4. Cours 4 (18 janvier).
Exos. Séance d’exercices
V. (suite) Codes de Hamming q-aires. Codes cycliques. Code de Golay étendu
G24 .
6.5. Cours 5 (25 janvier).
V. (suite) Paramètres du de Golay étendu G24 . Code de Golay G23 . Codes de
Reed-Solomon. Rappels sur les codes finis : comment y calculer. Codes BCH.
6.6. Cours 6 (29 janvier).
VI. Du neuf avec du vieux : techniques combinatoires. Techniques computationelles.
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CODES, OPTIMISATION ET COMBINATOIRE ADDITIVE
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VII. Bornes inférieures. Excès.
Exposé de T. Manneville (Théorie de Ramsey)
6.7. Cours 7 (1er février).
VII. (suite) Bornes inférieures. Inégalités linéaires d’un code. Principes de linéarité,
de passage au plafond et de sommation. Obtention de bonnes bornes inférieures.
VIII. Combinatoire additive. Quelques problèmes classiques. La constante de
Davenport. Questions et conjectures. j-ème constante de Davenport. Premières
bornes.
6.8. Cours 8 (5 février). Exposés de A. Glorieux (Décodage de CD), Y. Hu
(Théorème de Shannon), J. Martin (Enesmbles sans somme), M.C. Ngo (Sommes
d’ensembles), M. Peron (empilement de sphères), D. Sow (?????) L. Zhang (????).
Centre de Mathématiques Laurent Schwartz École polytechnique 91128 Palaiseau Cedex France