Numération et Logique TD 1 - Histoire de la numération

Université Paris Descartes
UFR de Mathématiques et Informatique
45, rue des Saints-Pères 75270 Paris cedex 06
Numération et Logique
TD 1 - Histoire de la numération
Objectif : Appréhender quelques systèmes de numération de l’histoire
Exercice 1 - Numération babylonienne
Les Babyloniens utilisaient un système hybride de base 60. C’est une numération additive jusqu’à 60.
Puis c’est une numération de position, c’est-à-dire que le nombre dépend de la position des symboles
utilisés, l’espace servant à séparer les différentes puissances de la base. Il n’y a que deux symboles, le
clou et le chevron.
indique une unité et le chevron
une dizaine.
Le clou
Sachant que le nombre représenté à gauche est 204, quel est celui représenté à droite ?
Le nombre représenté est 2 ∗ 602 + 3 ∗ 601 + 10 + 2 = 7392
Exercice 2 - Numération égyptienne - système additif
La numération égyptienne utilisait les hiéroglyphes ci-contre. Leurs symboles évoquent chacun un ordre
de grandeur.
un bâton évoque l’unité
une anse de panier compte (environ) 10 objets
une rouleau de papyrus : on peut y écrire (environ) 100 hiéroglyphes
une fleur de lotus : on les trouve par milliers
un doigt montrant le ciel nocturne : on y voit près de 10 000 étoiles
un tétard : on en trouve de l’ordre de 100 000 au bord du Nil après la ponte
un dieu agenouillé supportant le ciel : le dieu est éternel
et 1 million d’années est synonyme d’éternité
On additionne les valeurs de tous les symboles utilisés pour écrire le nombre et on écrit de droite à gauche
en finissant par les unités.
a- Quel est le nombre écrit ci-dessus ?
b- Comment s’écrirait, avec ces symboles, notre nombre décimal 324 ?
a- Le nombre est 2x1000+9x100+6x10+4x1=2964
bExercice 3 - Numération romaine
La numération romaine permettait d’écrire les neuf premiers chiffres ainsi :
Remarquez l’écriture du chiffre quatre et celle du chiffre neuf.
Ce n’est qu’au Moyen-Âge qu’on a écrit les chiffres romains en
utilisant des différences telles que IV (quatre), IX (neuf), XC
(quatre-vingt dix), CD (quatre cents), ... Avec les chiffres
romains, on peut écrire de façon purement additive. Ils sont plus
simples et plus lisibles que les chiffres égyptiens
et
a- Traduire les nombres suivants :
b- Ecrire en chiffres romains les nombres 1953 et 3729.
c- Ajouter MCDIV + CCLXXI.
d- Quels sont les inconvénients de cette numération ?
a- 500 + 400 + 20 + 5 + 3 = 928 et 100000 + 30000 + 5000 + 1000 + 500 + 50 + 10 = 136560
b- 1953=MCMLIII, 3729=MMMDCCXXIX
c- impossible sans traduire ! ! MCDIV+CCLXXI=1404+271=1675=MDCLXXV
d- Zéro est inconnu, difficulté lire les grands nombres, difficulté de faire les opérations (addition
soustraction)
Exercice 4 - Numération maya
Les Mayas ont adapté leur système de numération
à leur calendrier. Leur numération est à base 20,
comme leurs mois qui comptaient vingt jours.
Ci-contre les symboles utilisés pour les
chiffres de 1 à 19 ainsi que le chiffre zéro.
Les Mayas écrivaient leurs nombres verticalement de haut en bas.
Le nombre 20 s’écrit donc ainsi :
a- Combien de symboles sont utilisés chez les Mayas pour écrire les chiffres de 1 à 19 ?
b- Que représentent les deux nombres ci-contre ?
c- Ecrire à la manière des Mayas le nombre 721 (détailler le calcul pour arriver à l’écriture...).
a- 2 symboles, le point et le trait
b- 1 ∗ 202 + 0 ∗ 201 + 0 ∗ 200 = 400 et 1 ∗ 203 + 0 ∗ 202 + 0 ∗ 201 + 0 ∗ 200 = 8000
c- 721/202 = 1, 721 − (1 ∗ 202 ) = 321, 321/201 = 16, 321 − (16 ∗ 201 ) = 1, 1 = 1 ∗ 200
721 se décompose donc en 1 ∗ 202 + 16 ∗ 201 + 1 ∗ 200
Exercice 5 - Numération savante chinoise
La numération chinoise à base dix était utilisée pour les mathématiques. Elle comportait neuf chiffres, le
zéro étant indiqué par une case vide (espace). Il existe deux sortes de chiffres selon le rang :
Ligne du haut : chiffres de rangs impairs, utilisés pour les unités, les centaines, ...
Ligne du bas : chiffres de rangs pairs, utilisés pour les dizaines, les milliers, ...
Ainsi, 1987 s’écrit
et 2026 s’écrit
On pourrait reprocher à ce système de numération un risque d’erreur, si l’espace est oublié. L’alternance
des deux types de chiffres évite cette ambiguïté. Toutefois, le risque existe si deux zéros se suivent, mais
il est impossible de ne pas remarquer le double espace (les nombres s’écrivaient au départ dans des cases
mais celles-ci ont disparu...)
a- Lire les nombres suivants :
et
b- Ecrire en numération chinoise mathématique savante les nombres 1953 et 8729. En faire l’addition sans passer par la base 10.
a- Il s’agit de 6733081 et 27603
et
b-
1953 + 8729 = 10682 Si vous ne trouvez pas, venez me voir...
Exercice 6 - (extrait d’un contrôle de connaissances)
Dans un système de numération on trouve les symboles suivants
avec les valeurs (en base 10) écrits en dessous :
Par exemple
vaut 9, la position des symboles ne joue aucun rôle.
1. Écrire le nombre 100 dans ce système, avec le moins de symboles possible.
Réponse : 100=2*49+2*1, il faut deux figures pleines et deux bâtons unité.
2. Comment appelle-t-on un tel système ? Quelles différences y a t-il avec notre système actuel ?
Réponse : C’est un système additif, le système actuel est à position et a un élément pour représenter le “0” respectivement l’absence de valeur en une position. Un système additif n’est pas
efficace dès que les nombres deviennent grand.