Ajustement linéaire
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Ajustement linéaire
LPP ALBERT DE MUN B TRUCHETET Ajustement linéaire 1. Principe L’ajustement linéaire a pour but de remplacer un nuage de points par une droite représentative d’équation y=ax+b. Cette droite passe par le point M ( x; y ) 2. Coefficient de corrélation linéaire r. r est une mesure qui permet de caractériser le degré de dépendance linéaire entre 2 variables. r= ∑ ( x − x)( y − y) i ∑ ( x − x) i i 2 × ∑ ( y − y) = 2 σ xy σ xσ y i Interprétation de r : • r =1 il y a une totale dépendance linéaire entre les 2 variables. • r =0 il n’y a aucune dépendance linéaire entre les 2 variables. • 0 < r <1 la corrélation linéaire entre les 2 variables est plus ou moins forte selon que r est plus ou moins proche de 1. Page 1 sur 4 LPP ALBERT DE MUN B TRUCHETET 3. Ajustement linéaire par la méthode dite des « moindres carrées ». Cette méthode est celle qui est pratiquement la plus utilisée. Elle cherche à rendre minimum la somme des écarts au carré entre ( xi ; yi ) et ( xi ; yi′) Pi Mi La droite de régression D de y en x à pour équation y’=ax+b avec a= ∑ ( x − x)( y − y ) i i ∑ ( x − x) et b = y − ax 2 i Cette droite permet d’expliquer la variable y à partir de la variable x. La droite de régression D’ de x en y à pour équation x’=ay+b avec a= ∑ ( x − x)( y − y ) i i ∑ ( y − y) et b = x − a y 2 i Cette droite permet d’expliquer la variable x à partir de la variable y. Page 2 sur 4 LPP ALBERT DE MUN B TRUCHETET 4. Exercice Les tailles et les poids de 10 personnes sont donnés par le tableau suivant : Taille : xi (cm) 174 182 170 176 171 178 173 178 186 162 Poids : yi (kg) 71 76 65 71 68 76 62 74 84 60 Les résultats seront arrondis à 2 décimales. 1. Calculer la valeur du coefficient de corrélation linéaire entre x et y. 2. Déterminer une équation de la droite D, droite de régression de y en x. 3. Déterminer une équation de la droite D’, droite de régression de x en y. Résolution à l’aide d’une machine à calculer du type Casio Graph 80 Enter dans le menu Stat Effacer le contenu des listes à l’aide de la touche Si cette touche n’est pas présente à l’écran ,il suffit de se déplacer dans le menu à l’aide de . Saisir les valeurs des xi dans la liste 1 Puis celles des yi dans la liste 2 Se déplacer à l’aide de la touche Jusqu’à obtenir à l’écran la touche Puis y entrer. Vérifier ensuite les informations dans le menu Page 3 sur 4 LPP ALBERT DE MUN B TRUCHETET Les informations doivent être les suivantes : changer si besoin est le numéro des listes. X correspond à la liste 1 Y correspond à la liste 2. Taper ensuite sur la touche de sa machine pour retrouver le menu suivant : Taper sur la touche Puis sur Et la Oh Miracle !!! Nous disposons de r et de l’équation de y en x Soit les solutions du 1) et 2) Pour la question 3) Si l’on souhaite obtenir la droite de x en y Il suffit de permuter dans Les liste 1 et liste 2 c’est à dire : X correspond à la liste 2. Y correspond à la liste 1. Puis de reprendre les opérations précédentes Nous obtenons alors : Il faut lire x=ay+b à la place de Et nous avons alors la solution de la question 3) Page 4 sur 4