Système d`inéquations n°3

B Truchetet
LPP Albert de Mun
Programmation Linéaire avec Géoplanw
Objet de la séquence 3 :
Optimisation d’un problème de programmation linéaire.
cf. annexe page 11
Exemple :
x ≥ 0
y ≥ 0


x + 2 y ≥ 7
 x + y ≥ 4
Charger la figure de la séquence 2 en vu
de la compléter.
Fichier/Charger une figure.
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Créer les ½ plans solutions
(non représentés à la séquence 2)
x≥0
y≥0
Reprendre pas à pas les instructions de
la séquence 1
ex : Tracer les ½ plans d’inéquations
X ≥ 0 et Y ≥ 0
Rappel
Attention : Nous hachurons la partie du
plan qui ne convient pas ce qui n’est pas
le cas du logiciel il faut donc saisir l
les inéquation X ≤ 0 et Y ≤ 0.
saisie de la première inéquation
saisie de la seconde inéquation
par le rappel de la dernière commande :
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Retour à notre exemple :
Déterminons la droite des dépense Dc en fonction de C.
C=100x+125y (Dc)
Traçons cette droite pour une dépense C de 125.
100x+125y=125
Tracer la droite des dépenses.
Reprendre pas à pas le tracé d’une droite
de la séquence 1.
ex : Tracer la droite d’équation
100X+125Y=125
saisie de la droite
Rappel :
Il est possible de changer la couleur de la
droite. Dans notre exemple nous l’avons mise
en bleu.(voir séquence 1)
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Retour à notre exemple :
Déterminer graphiquement un point par lequel doit passer la droite DC pour que la
dépense C soit minimale. (Justifier la réponse).
Méthode :
Parmi toutes les droites de dépenses
C=100x+125y (Dc), toutes parallèles entre elles , une seule correspond à une
dépense minimale, c’est celle :
• Qui conserve au moins un point à coordonnées entière avec (Dc).
• Dont l’ordonnée à l’origine est la plus petite possible.
Déterminer la solution optimale.
Effectuer 3 étapes :
1. Plaçer un point mobile E dans
le plan et affichons ses cordonnées.
•
Placer le point
Créer/Point/Point libre/dans le plan
Remarque :
Il est possible de déplacer le point E en
effectuant un clique gauche maintenu tout en
déplaçant la souris.
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•
Créer les coordonnées de E pour permettre de les afficher.
Ordonnée de E
Abscisse de E
Créer/Numérique/calcul géométrique/abscisse
d’un point dans le plan
Créer/Numérique/calcul géométrique/Ordonnée
d’un point dans le plan
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•
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Afficher les coordonnées de E
Créer/Affichage/Variable numérique déjà
définie
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2. Traçons la droite parallèle à
la droite D125 passant par E.
Créer/Ligne/Droites/Parallèle
3. Faire évoluer notre parallèle dans le plan jusqu’ à obtenir le point solution
vérifiant les 2 conditions de la méthode.
Il est en effet possible de faire évoluer le droite parallèle passant par le point E
en effectuant un clique gauche maintenu sur le point E tout en déplaçant
la souris.
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• Créer la formule de dépense
Créer/Numérique/Calcul algébrique
• Afficher la dépense
Créer/Affichage/Variable numérique déja
définie
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Lorsque nous faisons évoluer notre
parallèle dans le plan vérifiant les 2
conditions de la méthode :
Conserver au moins un point à
coordonnées entière avec (Dc).
• Ordonnée à l’origine est la plus
petite possible.
•
Graphiquement, on constate que le point
I correspond à cette dépense minimale.
On lit I(1;3)
Retour au problème posé :
Le responsable de la cantine scolaire achètera 3 lots A et un lot B pour une
dépense minimale de 475 francs.
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Annexe
Le responsable d’une cantine scolaire doit acheter au minimum 70 assiettes plates et
40 assiettes creuses.
Deux grossistes proposent :
- l’un, le lot A de 10 assiettes plates et 10 assiettes creuses pour 100 F
- l’autre, le lot B de 20 assiettes plates et 10 assiettes creuses pour 125 F.
On se propose dans les questions suivantes de déterminer le nombre x de lots A et le
nombre y de lots B que le responsable doit acheter pour que la dépense soit minimale.
1. Traduire les contraintes sous la forme d’un système d’inéquations.
2. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (unités graphiques : 2 cm).
Déterminer graphiquement l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées
(x ;y) vérifient le système suivant :
x ≥ 0
y ≥ 0


x + 2 y ≥ 7
 x + y ≥ 4
(Hachurer la partie du plan qui ne convient pas)
3. En utilisant le graphique, expliquer pourquoi, pour couvrir les besoins de la cantine, le
responsable de la cantine peut ou ne peut pas acheter :
a. Deux lots A et deux lots B.
b. Trois lots A et deux lots B.
c. Six lots A et un lot B.
4. a. Exprimer en fonction de x et y la dépense C occasionnée par l’achat de x lots A et
y lots B.
b. Les couples (x ;y) occasionnant une même dépense C sont représentés par des points
appartenant à une droite DC. Tracer cette droite pour C = 125.
c. Déterminer graphiquement un point par lequel doit passer la droite DC pour que la
dépense C soit minimale. (Justifier la réponse)
d. En déduire le nombre de lots A et de lots B correspondants.
e. Quelle est alors la dépense minimale ?
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Application :
Dans l'asile de saint Saturnin sur Lulu, la direction commande des médicaments.
Le pharmacien établi une liste de ses besoins.
Il faut 36 boîtes de calmants Secouezmoi, 24 boîtes d'antidépresseurs Mortdanslâme
et 10 boîtes de somnifères Assometout.
La firme pharmaceutique Redéguonde-des-genoux propose un lot noté A
comprenant :
5 boîtes de calmants Secouezmoi, 4 boîtes d'antidépresseurs Mortdanslâme et
2 boîtes de somnifères Assometout pour un prix de 2500 €.
La firme pharmaceutique Gonziagues Duquoique propose un lot noté B
comprenant :
4 boîtes de calmants Secouezmoi, 2 boîtes d'antidépresseurs Mortdanslâme et
2 boîtes de somnifère Assometout pour un prix de 3000 €.
On appelle x le nombre de lots A et y le nombre de lots B.
1°)Traduire par un système d'inéquations les contraintes auxquelles satisfont x et y.
GG
2°)Dans un repère orthonormal ( o;i; j ) représentez graphiquement l'ensemble des
points M de coordonnées (x; y) d'après le système que vous avez trouvé.
On hachurera la partie du plan qui ne convient pas.
3°)
a)Exprimer en fonction de x et de y la dépense D en euro occasionnée par l'achat de
x lots A et de y lots B.
b)Ecrire y en fonction de x et de D.
4°)a)Tracer la droite D7500 correspondant à une dépense D=7500 €
b)Tracer la droite correspondant à la dépense minimale Dm.
c)Déterminer le couple (x; y) correspondant à cette dépense minimale Dm.
d)Calculer Dm.
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