sujet examens DAEU session 1 Maths

Année universitaire 2013-2014
Diplôme de D.A.E.U – Option A
1ère session – Juin 2014
Intitulé de la matière :
Mathématiques
Nom de l’enseignant :
Mme Baulon
Date de l’épreuve :
Mercredi 11 juin 2014 13.30-16.30
Matériel autorisé : Calculatrice électronique de poche, y compris calculatrices
programmables, alphanumériques ou à écran graphique, à condition que leur
fonctionnement soit autonome et qu’il ne soit pas fait usage d’imprimante.
Nature de l’épreuve :
Epreuve écrite
Le sujet est composé de 6 pages dont une annexe à rendre avec la copie.
Formulaire
•
Probabilité conditionnelle :
Si P(A) ≠ 0, la probabilité conditionnelle de l’événement B sachant que l’événement A
p(A ∩ B)
est réalisé, notée pA(B) ou p(B/A), est définie par p(B/A) =
.
p(A)
L’événement contraire de l’événement A est noté A .
•
Loi binomiale :
Dans un schéma de n épreuves de Bernoulli de paramètre p, la variable aléatoire X qui
prend pour valeur le nombre de succès obtenus a pour loi de probabilité :
n
P(X = k) = k pk (1 – p)n – k pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n
 
•
Suites géométriques :
(un) est une suite géométrique de premier terme u0 ∈ IR et de raison q ∈ IR* ,
pour tout n ∈ IN,
•
un + 1 = qun et
un = qn u0 .
u
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction e est dérivable
sur I et
(eu)’ = u’eu.
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Exercice 1 (5 points)
La courbe C ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et
dérivable sur ]O ; +∞ [. On note f ’ la fonction dérivée de f. La courbe C passe par les
points A(e ; 0) et B(1 ; -1).
La courbe C admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisse 1 et la
tangente au point d’abscisse e passe par le point D(0 ; - e).
1. Déterminer une équation de la droite (DA).
Aucune justification n’est exigée pour les réponses à la question 2.
2. Par lectures graphiques :
a. Déterminer f(1) et f ’(1).
b. Dresser le tableau de signe de f sur ]0 ; 5].
c. Dresser le tableau de signe de f ’ sur ]0 ; 5].
d. Soit F une primitive de f sur ]0 ; + ∞[. Déterminer les variations de F sur ]0 ; 5]
e. Encadrer par deux entiers consécutifs l’aire (en unités d’aire) du domaine
délimité par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équation x = 4 et
x = 5.
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Exercice 2 (5 points)
L’opérateur téléphonique Boomtel propose à ses abonnés deux types d’accès internet à
haut débit :
• Un accès internet sur ligne fixe ;
• Un accès 3G sur téléphone portable.
Aujourd’hui, l’entreprise fait les constats suivants sur l’accès internet à haut débit de ses
abonnés :
• 58% des abonnés ont un accès internet sur ligne fixe. Parmi ceux-là, 24% ont
également un accès 3G sur téléphone portable ;
• Parmi les abonnés qui n’ont pas d’accès internet sur ligne fixe, 13% ont un accès
3G sur téléphone portable.
Pour une enquête de satisfaction, la fiche d’un abonné est prélevée au hasard.
Dans cet exercice, on note :
F l’événement : « la fiche est celle d’un abonné qui a un accès internet sur ligne fixe » ;
G l’événement : « la fiche est celle d’un abonné qui a un accès 3G sur téléphone
portable ».
1. En utilisant les données de l’énoncé, préciser les valeurs de p(F), de p(G/F) et de
p(G/ F ).
2. Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.
3. Calculer p(F ∩ G ). Interpréter ce résultat.
4.
(a) Vérifier que la probabilité que la fiche prélevée soit celle d’un abonné qui n’a pas
d’accès 3G sur téléphone portable est de 0,8062.
(b) Peut-on affirmer qu’au moins 25% des abonnés ont un accès 3G sur téléphone
portable ?
5. On prélève successivement les fiches de dix abonnés. On admet que le nombre de fiches
est suffisamment grand pour qu’on puisse assimiler le tirage à un tirage avec remise.
On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de fiches correspondant à un
abonné ayant un accès 3 G sur téléphone portable.
(a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les
paramètres.
(b) Calculer la probabilité qu’exactement cinq des fiches tirées soient celles d’un
abonné qui a un accès 3G sur téléphone portable (on donnera le résultat sous
forme décimale arrondie aux dix-millièmes).
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Exercice 3 (5 points)
On s’intéresse à la production mensuelle d’une certaine catégorie d’articles par une
entreprise E. On sait que le nombre d’articles produits par mois est compris entre 0 et 500.
On suppose que le coût total, exprimé en milliers d’euros, peut être modélisé par la
fonction CT définie sur l’intervalle [ 0 ; 5 ] par :
CT(x) = 2x 2 +x e-2x+3
où x représente le nombre de centaines d’articles fabriqués.
1. On sait que la fonction coût marginal, notée C, est la dérivée de la fonction CT sur [0 ; 5].
Justifier que C(x) = 4x + (1- 2x) e-2x+3.
2. La fonction coût moyen, notée CM est la fonction définie sur ] 0 ; 5 ] par :
CM(x) =
CT(x)
x
Donner une expression de CM (x) en fonction de x.
3.
a. Déterminer C’M (x), où C’M désigne la fonction dérivée de CM .
b. Résoudre dans IR l’équation : 1- e-2x+3 = 0.
c. Résoudre dans IR l’inéquation : 1- e-2x+3 > 0.
d. En déduire le sens de variations de CM sur ] 0 ; 5 ].
4. Pour quelle production l’entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût en
euros ?
5. Chaque centaine d’articles est vendue 7 000 €. La recette totale pour x centaines
d’articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par
RT (x) = 7x en milliers d’euros. Le bénéfice est donc défini par B(x) = RT (x) - CT(x).
a. En annexe, sont représentées les fonctions CT et RT. Par lecture graphique,
déterminer :
l’intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu’il y ait un
bénéfice positif de l’entreprise E,
la production pour laquelle le bénéfice est maximal.
On fera apparaître les constructions nécessaires.
b. Avec l’aide de votre calculatrice, affiner l’intervalle (à un article près) dans lequel
doit se situer la production x pour qu’il y ait un bénéfice positif de l’entreprise E.
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Exercice 4 (5 points)
Soit (un) la suite numérique définie par u0 = 300 et pour tout entier naturel n,
un+1 = 0,75 un + 200
1. Utiliser les droites d'équations y = x et y = 0,75 x + 200 pour construire les quatre
premiers termes de la suite (un). Cette construction est à faire sur le graphique de
l'annexe.
Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite (un) ?
2. Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n par vn= un −800.
a. Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier
terme et la raison.
b. Exprimer alors vn, en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n,
un = 800−500×0,75n.
c. La suite (un) est-elle convergente ?
3. Une salle de spectacle propose un abonnement pour l'année. En 2010, il y avait 300
abonnés. On estime que chaque année, il y a 200 nouveaux abonnés et que d'une
année sur l'autre, 75 % des abonnés renouvellent leur abonnement.
On note un le nombre d'abonnés pour l'année 2010 + n. On a donc u0 = 300 et
un + 1 = 0,75 un + 200.
a. À partir de quelle année, le nombre d'abonnés sera supérieur à 790 ?
b. Dans ces conditions, est-il possible pour le gérant de la salle de spectacle
d'espérer 1 000 abonnés ?
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Annexe (à rendre avec la copie)
Exercice 3
35y
Courbe Ct
30
Courbe Rt
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
x
-5
Exercice 4
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