Modele d`evaluation d`un actif contingent aux taux d`interet et a deux

MODELE D'EVALUATION D'UN ACTIF CONTINGENT
AUX TAUX D'INTERET ET A DEUX ACTIFS RISQUES
Jean-Claude AUGROS
Professeur a I'UniversitC Claude Bernard LYON I
et a L'Institut de Science Financitre
et d'Assurances (ISFA)
Michel QUERUEL
Docteur en Sciences de Gestion
Ingtnieur de Marcht
SociCtP:de Bourse AUREL
ISFA
43 Bd du 11 Novembre 1918
Campus de la Doua, bat. 101
69622 Villeurbanne cedex
Tel : 04.72.43.1 1.75
Fax : 04.72.43.1 1.76
e-mail [email protected] .fr
Resume
L'objet du modtle prksente dans cet article est de permettre la valorisation d'un actif
contingent a la fois aux taux d'inttret et a deux actifs risques. I1 repose sur la combinaison de
deux modeles de base, celui de Ho et Lee gentralis6, dBveloppC par Bonnassieux et Bmnel
(1993) pour modeliser l'evolution de la structure des taux, et celui de Cox, Ross et Rubinstein
(1979) pour la modelisation du prix des actifs risquks. La demarche sequentielle proposte
constitue une gCntralisation du modtle de Kishimoto [1989]. Cette approche octonomiale
permet de prendre en compte la correlation des variations du prix des deux actifs risquts
sous-jacents avec les taux d1int6rCt. En outre, a la difference du modde de Kishimoto, le
modele developpt ici permet de diffkrencier la volatilitt des taux d'intkrgt en fonction de la
maturitC 21 laquelle ils se rapportent. Une application 21 la valorisation d'une option sur le
maximum (ou le minimum) de deux actifs, en presence de taux d'interct stochastiques, est
proposee.
Mots cles : option sur deux actifs, correlation avec les taux d1int6r&t,univers risque neutre,
duration effective.
Key words : option on two assets, correlation with interest rates, risk-neutral world, effective
duration.
MODELE D'EVALUATION D'UN ACTIF CONTINGENT
AUX TAUX D'INTERET ET A DEUX ACTIFS RISQUES
L'objet du modtle prtsentt dans cet article est de permettre la valorisation d'un actif
contingent la fois aux taux d'interit et A deux actifs risqds. I1 repose sur la combinaison de
deux modeles de base, celui de Ho et Lee generalise, developpe par Bonnassieux et Brunel
(1993) pour moddiser l'evolution de la structure des taux, et celui de Cox, Ross et Rubinstein
(CRR) (1979) pour la modClisation du prix des actifs risques. La demarche stquentielle
proposee constitue une generalisation du modtle de Kishimoto (1989). Cette approche
octonomiale permet de prendre en compte la corrklation des variations du prix des deux actifs
risquts sous-jacents avec les taux d'interet. En outre, a la difference du modele de Kishimoto,
le modele dCveloppC ici permet de diffkrencier la volatilitt des taux d'inttrst en fonction de la
maturite a laquelle ils se rapportent.
L'article est organis6 de la facon suivante : dans la premiere section, un modtle a un seul
actif sous-jacent est present& Afin de permettre un champ d'application plus vaste, une
extension a deux actifs risques est proposke dans la deuxieme section. Enfin, dans la derniere
section, une application a la valorisation d'une option sur le maximum (ou le minimum) de
deux actifs est d ~ v e l o ~ ~ ~ e .
-
I MODELEA UN SEUL ACTIF SOUS-JACENT
Cette section est scindee en trois parties. La premiere est consacree 1 la description du processus
d'evolution des taux de Ho et Lee generalisC, tandis que la deuxihe expose les hypoth&sesde
I'approche sequentielle. Enfin la troisikme propose de valoriser un actif contingent.
-
1 Presentation du modele de Ho et Lee generalise
Le modele de Ho et Lee generalist prksente I'avantage majeur par rapport au modele de
Ho et Lee (1986) d'integrer une structure de volatilitt des taux d7inter2tpar maturitk et de la
faire evoluer dans le temps de facon deterministe. Ceci represente un avantage indtniable si
l'actif contingent a une maturite longue.
Le marche est suppose sans coiit de transaction et tous les actifs sont supposes etre
parfaitement divisibles.
Le temps est considere comme une variable discrtte. Celui-ci est donc index6 par des dates
entieres n=l,2,3 ...,etc. La date 0 correspond a l'instant present, et la periode qui separe deux
dates est I'unitC de temps.
La courbe des taux est supposee se deformer selon un arbre binomial comparable celui
de Ho et Lee. La structure des taux initiale est determinee par les facteurs d'actualisation pour
diffkrentes maturitts exprimies en nombre de periodes. Soit P(z) le prix d'un zero-coupon
rapportant 1 F a l'tchtance et dont la maturite intewient dans z ptriodes.
A la date n, il existe n+l valeurs possibles de la structure des t a w Chaque structure des
taux est donc identifiee par la date n et par le nombre de hausse des facteurs d'actualisation
note i ; cette structure est notee Pi"(.). Ainsi 9 une date n et pour un ttat de la nature i, la
valeur d'une obligation rapportant 1F dans 7 piriodes est donnCe par P~"(T).
Tandis que dam le modtle de Ho et Lee les fonctions pertubatrices, contribuant A la hausse
ou a la baisse des facteurs d'actualisation, ne dependent que de la maturite r, celles difinies
par Bonnassieux et Brunel [1993], pour obtenir des volatilitCs non constantes au cours du
temps, dependent egalement de la date. Soient h(n,r) et h*(n,~)ces fonctions telles que :
&"(z+ 1)
4.5'(z) = h(n, r)
4"(1)
&"+I
a la hausse
P,"(z+l)
(z) = h*(n, r ) a la baisse
5"(1)
La constitution d'un portefeuille d'arbitrage et l'hypothtse d'absence d'opportunit6
d'arbitrage permettent d'itablir la relation suivante
3.
nh(n, r ) + (1 - n)h*(n, z) = 1 pour tout n,z.
ou R represente la probabilitt risque-neutre de hausse des facteurs d'actualisation.
Une hausse suivie d'une baisse des taux d'inttret doit conduire au mCme facteur
d'actualisation qu'une baisse suivie d'une hausse. L'independance du chemin suivi et la
relation (3) conduisent aux fonctions de perturbations suivantes :
'.
oh 6(k) est un paramttre dont depend la volatilitk des taux de maturitk k
Soit r;" ( r ) le taux d'inttret continu relatif a la maturite r tel que r;"( r ) = - f In ( r ) et pl
la probabilite rtelle de hausse des fonctions d'actualisation. La volatilitk annualisee du taux
r," ( r ) , vue depuis la date 0, est donnee par
en
2:
ou no ddsignent le nombre de periodes par an.
Par comparaison, dans le modtle de Ho et Lee classique, la volatilite annualisee des taux
est donnee par :
6.
VOI = -no3I2
h(6)
,/m
Cede volatilite est indtpendante de 1'6tat de la nature et de la matwite. La formule 5 fait
apparaitre une volatilite clairement dependante de la date et de la maturitk.
A partir des equations 1, 2 et 4 on obtient le prix d'un zero-coupon pour un &at (n,i)
quelconque, en fonction de la courbe initiale des taux, soit :
y ( z ) =-
P ( z + n ) h(O,z+n-1) ...h ( n - 1 , ~ ) 6 ( n + z )
P(n)
h(0.n - I). ..h(n - 2.1)
6(n)
[
"-'
]
En particulier, le prix d'un zero-coupon de maturitt une periode est donne par :
p 'n
2
=-
[-I
P(n + 1 ) h(0,n)... h(n - 1,l) 6 ( n + 1 )
P ( n ) h(0,n - 1). ..h(n - 2,l) 6 ( n )
"-'
- Evolution sequentielle de la structure par terme et du prix de I'actif risque
Les hypotheses H1 a H8 de Kishimoto sont reprises ici. Toutefois, le processus d'Bvolution
des taux n'est plus celui de Ho et Lee mais celui de Ho et Lee gCnCralise (H5).
( H I ) Le temps restant a courir jusqu'a la maturitt de l'actif contingent est subdivise en N
periodes de longueurs identiques. Chaque periode est elle m&mesubdiviske en deux sous
ptriodes, la seconde etant trks courte par rapport B la premiere. Les transactions s'operent
a chaque debut de sous-periode.
(H2) Le march6 est sans friction. I1 n'y a pas de taxe, pas de coQt de transaction et pas de
restriction sur les ventes a decouvert. Tous les titres sont parfaitement divisibles.
(H3) Le march6 est suppose complet dans le sens qu'il existe une obligation zCro-coupon sans
risque de dtfaut pour toute maturitt r, avec r=O,X, 1, I+%, 2, ..., N .
(H4) Durant la premiere sous-piriode le risque de taux dlintCrCt prend place et, a la fin de
cette sous-ptriode, chaque facteur d'actualisation a deux valeurs possibles. Durant la
seconde sous-periode, les facteurs d'actualisation restent inchanges, et les taux d'intCrCt
ne varient donc pas.
(H5) Les taux d'inttret suivent le processus de Ho et Lee gtntralist dtcrit dans la section
prtctdente.
Un des principaux apports du modele est de permettre de faire dependre, B I'aide d'un
processus discret, le rendement de l'actif sous-jacent du niveau des taux d'intCrCt. A cette fin,
le mouvement du prix de l'actif est decompost en deux phases. La premiere, pendant la
premiere sous-periode, capture la composante dependante des taux dlinttr&t, et la seconde,
pendant la seconde sous-periode, dCcrit la variation de la composante specifique de l'actif.
Ceci se traduit par les deux hypotheses suivantes :
(H6-1) Pendant la premiere sous-ptriode, de l'instant n a l'instant n+X, si une hausse de la
'
structure par terme se produit, le prix de l'actif est multiplie par un facteur u:
si une baisse se produit, le prix de l'actif est multiplik par d:
14"
et,
14" .
Les facteurs ur et d: permettent de dkcrire I'Cvolution de I'actif dependant des taux
d'inttrct. Ces facteurs dtpendent de la fonction d'actualisation a l'instant n et A l'etat i. Les
termes u: I Cnet d r / e n representent I+ le rendement de I'actif risque sur la piriode lie
aux variations des taux d'inttrCt.
(H6-2) Pendant la seconde sous-periode, si une hausse de I'actif se produit, le prix de l'actif
est multiplii par un facteur i ; si une baisse se produit, le prix est multiplie par une
facteur d . Ces deux facteurs representent la composante d'evolution specifique de l'actif
et sont supposes independants de I'instant-etat (nj) 4.
L'Cvolution du prix de I'actif S(n,ij), atteint a la date n apres i hausses des facteurs
d'actualisation et j hausses de la composante spicifique de l'actif, peut Ctre representee, au
cours d'une periode generique (n,n+l), par le schema suivant :
un
S(n+lj+lJ+I)= uS(n,ij)
p,"
u,"
S(n+l/2,i+l J)= p,,,S(n,i,j)
/
'S(n+l.i+lj)="':dS(n.ij)
p,
"
S(n+l,i,j+l)=d?;uS(n.i,j)
S(n+lR,i.j)=
d"
P,
S(n,ij)
p,
\ s(n+l,ij)=d':d~(n,i j)
P.
Premiere sous-periode
Deuxiime sous-pkriode
,figure 1. Evolution du prix de l'actifsous-jacent
Les propositions 1 4 de Kishimoto sont egalement reprises ici, tout en etant elargies au
cas plus general ou la volatilite des taux est differencite selon la maturitt.
En I'absence d'opportunite d'arbitrage entre I'actif risque et n'importe quelle obligation
sans risque de dtfaut, on demontre (voir annexe) la proposition ci-dessous :
I Proposition 1 : u," et d," doivent virlfier la relation suivante
9.
Le calcul de la variance du rendement de I'actif risque sur une periode conduit a :
et oh pl dtsigne la probabilite reelk de hausse de la structure par terme et p2 la
probabilite rkelle de hausse de la composante specifique de l'actif.
Cette variance est bien sik dependante de l'ttat i de la structure par terme et de I'instant n.
Elle varie donc dans le temps.
Le coefficient de correlation p, entre le rendement de l'actif risque et le taux d1intBrtt sans
risque de defaut correspondant a une pkriode, est donne par :
L'ecart-type correspondant a la premiere sous-periode est alors Bgal a la valeur absolue de 0 1 .
Le signe de la corrdation est determine par u:. Si U: > I,l'actif est negativement corrkle
avec le taux d'interst sans risque. Inversement, si u: < I , I'actif est positivement corrClt avec
ce taux d'intertt.
(H7) Le prix de I'actif a l'instant n est entierement determine par le nombre de hausses de la
structure par terme et par le nombre de hausses specifiques du prix de I'actif qui se sont
produites avant I'instant n.
Cette hypothese est Cquivalente a la relation suivante :
I
I
(demonstration en annexe)
Proposition 2 : Soit U le vecteur donne' par ur-', i=O,l,...,N-I. Alors la donne'e des
param2tres z,
...6(n+7), ,;,;
et U de'@nit un processus d'e'volution unique de la
structure par terme et du prix de I 'actif:
(demonstration en annexe)
m).
Une simplification du modtle peut &treobtenue en imposant la contrainte suivante :
(H8) : u F 1 = y pour i=O,I, ...,N-1,ou N-1represente le debut de la dernikre pkriode et y une
constante.
Ceci signifie que, sur la derniere pkriode [N-l,N],
la sensibilitt de l'actif au taux d'intkrtt,
est indipendante de I'ttat i de la structure par terme des taux d'interet.
L'hypothese H8 implique alors :
15.
,,n+l
=
S ( n + l ) + a U n-+
/ Z ~ &n+l),,II+I
&)
J(n)
I1 s'en suit que, quelle que soit la date, la sensibilitk de l'actif est independante de 1'6tat de
la structure par terme des taux d'interit.
125
L'expression gknerale definissant le prix de I'actif risque est alors donnee par la proposition
suivante :
Proposition 3 : Soient S et S:,
les prix de I'actif risque' a I'instant 0 et 6 I'instant
n
' , i,j). Alors :
avec la condition limite u(N - ' ) = y
A de'signe 1 'ensemble des 6(1)pour i=l,..., n.
:d&monstrationen annexe)
Le terme Fl(n,i;n,6y)/P(n) represente (1+ le rendement gagne par la composante
dependant des taux d1inter6t jusqu'g l'instant n). Le terme F2(n,j;i,d)represente (l+le
rendement acquis par la composante specifique de l'actif).
-
3 Valorisation d'un actif contingent
Au cours d'une penode, le prix de l'actif contingent suit le schema suivant
Premitre sous-phiode Deuxitme sous-pkriode
figure 2. Evolution du prix de I 'actif contingent
En constituant un portefeuille d'arbitrage sur chacune des sous-pkriodes, on obtient la
relation suivante :
C ( n , i , l ) = P,"[nqC(n + I,i + 1,j + 1) + ~ ( -q)C(n
1
+ 1,i + 1,j )
+ ( I - n)qC(n + I,i, j + 1) + (I - n)(1- q)C(n + l,i, j)]
avec q =
20.
1-2
u-d
(demonstration en annexe)
La probabilite risque neutre de CRR est Cgale a (r - d ) l - d ) oh r dksigne l+le taux sans
risque sur la periode qui se reduit a 1 si le taux est nul.
La relation 20 permet le calcul de la valeur esptree, sous la probabilitC risque neutre, de
I'actif a I'instant n+l actualisCe par le facteur prevalant a I'instant n.
I1 est possible de determiner le prix de I'actif contingent en reprenant le raisonnement
recursif de Ho et Lee. I1 suffit pour cela de connaitre la fonction de paiement de l'actif a son
echeance.
Soit $(i,j) cette fonction, et N le nombre de pkiodes jusqu'a la maturitt de l'option.
Puisque le prix de I'actif contingent doit &trea son echtance Cgal a la fonction terminale de
paiement, on a :
C ( N , i 3 , j ) = 4 ( i , j ) , i , j = O , l , ..., N
21.
L'actif contingent peut avoir des valeurs limites a la hausse ou a la baisse. Soient H(n,ij)
et B(n,ij) la limite a la hausse et a la baisse, I'instant n, pour 1'8tat (ij). On a alors :
(u
B(n,i, j ) 5 C(n,i, j ) 5 H(n,i, j ) pour tout (n,i, j )
22.
A partir de la valeur terminale de C (equation 21), de la relation risque-neutre (equation
20) et des conditions limites (equation 22), on peut determiner le prix de l'actif contingent a
la date N- I.
Soit C*(N-1,ij) le prix de I'actif a l'instant N-1 obtenue a partir de l'tquation 20 ; la
valeur de I'actif C(N-1,i J ) est alors donnte par :
C ( N - l , i , j ) =max[B(N-l,i,,j),min(C'(N-l,i,j),H(N-l,i,j))]. 23.
Le m&me raisonnement applique de proche en proche permet d'obtenir le prix de l'actif
contingent a l'instant present.
Cependant, si I'actif contingent n'a aucun flux ni condition intermediaire, son prix peut
&trecalculC sans decrire tout I'arbre de retour de I'actif contingent. Pour ce faire, il suffit de
calculer le prix d'un actif d'Arrow-Debreu.
'roposition 4 : Le prix A(n,i,j) d'un actifd'Arrow-Debreu, qui distribue un franc Li
'instant n si et seulement s i I'e'tat (i,j) se produit, est donna p a r :
A(n, i, j ) = W ) H l (n, i; a,A) H2 (n, i, j ; z-, q )
oh
H I (n,i; a,A) =
g' (n, n - i,i)h(O, n - 1)...h(n - 2,l)
cl,
avec les conditions limites :
gt(k,l,O) = gt(k,O,l) = 1 et g(k,u,v) = 0 s i u o u v < 0.
(dtmonstration en annexe)
A(n,ij) represente I'esperance de la valeur actualisCe au taux sans risque de l'actif
d'Arrow-Debreu sous la probabilitt risque neutre. P(n)Hl(n,i;x,G) represente le (( facteur
d'actualisation N espCrC conditionnel i I'PlvCnement (ij), c'est a dire 1 plus le rendement
cumulC moyen d'un investissement sans risque obtenu sur les diffirents chemins conduisant
de I'Ctat initial a 1'6tat (n,i,j). Le terme H2(n,ij;n,q) correspond quant a lui a la probabilitk
d'arriver a I'instant n en I'ttat (ij). Comme I'actif d'Arrow-Debreu ne distribue 1 F que si
I'etat (ij) se produit, I'esperance du flux final se resume alors a la probabilite d'atteindre
I'Ctat (n,ij). Au total le prix de l'actif d'Arrow-Debreu peut donc s'interprster comme le
produit de deux esperances.
La valeur de I'actif contingent, sans flux ni condition intermediaire, est alors donnee par :
1=0 J=O
oh e(i,j) est la fonction de paiement a I'instant N, pour l'etat (i j)
-
3.2 Estimation des parametres
Le nombre important des paramktres du modele nous a conduit a rechercher une procedure
d'estimation de ces paramktres. Certains sont mesurables statistiquement a partir de donnkes
de marchi, d'autres necessitent un traitement supplementaire.
Cette methode se decompose en deux phases. La premiere consiste a estimer les
parametres du modele d'evolution de la structure des taux de Ho et Lee gtneraIis6, et la
seconde permet ensuite d'Cvaluer les parametres dependants de l'actif risque.
Esfimafion des auramitres du modile de Ho et Lee nindralisd :
I1 convient d'estimer la fonction 6 intenenant dam la fonction perturbatrice h, et la
probabilitt risque neutre x de hausse de la structure des taux.
Ces parametres etant independants de l'actif risque, leur estimation peut se faire sur
n'importe quel actif contingent. Cette premiere phase consiste donc i valoriser un actif
dependant uniquement des taux d'interit a partir du modele de Ho et Lee generalist et a
rechercher les parametres permettant de caler le prix theorique de cet actif sur le prix de
marcht. On peut utiliser des options sur taux d'interit, comme des options sur contrat Matif,
de maturites et de prix d'exercice differents.
La faible sensibilitt du modtle aux variations de la probabiliti n et la complexitt de la
recherche du couple (n,6) pour le modtle de Ho et Lee (qui constitue un cas particulier du
modele de Ho et Lee gkntralise) ont conduit Ho 21 proposer de prendre ~ 0 . 5I1. ne reste plus
alors que la fonction 6(k) a estimer.
Cede recherche peut itre (( simplifite )) en admettant une hypoth2se supplementaire.
Sous I'hypothese des anticipations locales, on peut montrer que 6'7 :
'
oh o(k) dtsigne la volatilite annualiske initiale du taux annuel continu de maturite k, et no
le nornbre de periodes par an.
Dans ces conditions, la connaissance des paramttres du modele de Ho et Lee gCnCralise se
rtsume a I'estimation de la structure de volatilite des taux d'interit.
La volatilitk actuelle du taux correspondant a 7 ptriodes est donnee par :
k
oh VO~,(I) ddesigne la volatilite annualisCe du taux en base annuelle, de maturitk une ptriode, a
la date n.
Ainsi, la volatilite d'un taux de maturit6 quelconque apparait comme la moyenne des
volatilitCs des taux futurs de maturite une periode. La structure de volatilitt aujourd'hui
conditionne donc les volatilitCs futures.
Toutefois, ce rtsultat est Ctabli en supposant une fonction 6 decroissante. Ceci se traduit, sous
l'hypothese des antici ations locales, par une condition sur la structure de volatilitt actuelle.
L'Cquation 29 donne .
Q:
Cette condition est indispensable pour avoir une fonction pertubatrice 21 la hausse, h,
supkrieure a 1.
Estimation des ~ararnBtresde 1'actifrisquk:
- Kishimoto propose d'estimer les trois parametres y, u et d e n calant le prix theorique de
I'actif contingent sur la valeur de marche. Si I'actif est une option il suffit de caler le prix
thkorique pour differentes Bcheances et differents prix d'exercice. Cette procedure s'avkre
difficile si le nombre d'actifs contingents cBtks sur le march6 est restreint. Nous proposons
une autre faqon de proceder pour estimer ces paramttres.
Soit om la volatiliti du rendement de l'actif risque calculte a partir des donnkes de marche,
sur une periode courte precedent l'instant prksent.
Soit p le coefficient de correlation entre le taux dlinttrCt ii court-terme sans risque de
dtfaut et le rendement de l'actif risque. Ce coefficient peut Ctre egalement calcule sur une
courte pkriode.
La volatilitk du rendement de l'actif risque entre l'ktape n et 1'6tape n+l est donnke par la
formule 10
a = a; +a;
ou ol et 0 2 sont donnees par les expressions 11 et 12.
En particulier cette formule est vraie ti 1'Ctape 0. Si la periode est suffisamrnent courte, on
-I
peut supposer que la volatilitt o2correspondant ti la premiere periode est kgale a :
a -.
Le coefficient de correlation entre le rendement de l'actif et le taux sans risque est egal
pour une periode a -01 /o.En identifiant ce coefficient de correlation avec la mesure effectuke
sur le marche, on en dkduit la valeur de ol et donc, d'aprts les formules 10, 11, et 12, la
valeur de 02, a l'instant prtsent. On obtient :
Comme dans le modtle de CRR, afin d'assurer, en I'absence de corrklation, la
convergence du modtle de Kishimoto vers le modtle de Black et Scholes, on pose
;= exp(+)
et ;i=
'.
I1 ne reste plus qu'a estimer y, en calant le prix theorique de l'actif contingent sur la valeur
de marcht. Cependant si l'objectif est de valoriser un actif qui n'est pas c6tB sur le march&,y
ne peut Ctre estime par ce calage. Identiquement a l'estimation des parametres du modtle de
Ho et Lee gknCralisC, la recherche se simplifie sous l'hypothtse des anticipations locales. La
probabilitk pl de hausse de la structure par terme des taux d'intkret est alors egde a n. La
combinaison des formules 9 et 11 permet de deduire uO.
32.
En inversant la fonction definie par la formule 15
'",on en dkduit la suite rkcurrente des un.
11 - EXTENSION
DU MODELE A DEUX ACTIFS RISOUES SOUS-JACENTS
Afin d'assurer au modele un champ d'application le plus vaste possible, une extension a
deux actifs risques est proposie. L'approche skquentielle permet d'inclure autant d'actifs
sous-jacents que souhaitis, les limites du modele etant toutefois liees au temps de calcul
nicessaire.
1 - Processus d'evolution des taux d'interst et des actifs risques
Les hypotheses H1 a H3 et H5 de la section preckdente sont reprises ici. En outre :
(H4) durant la premiere sous-pkriode, le risque de taux d'intirit prend place et, a la fin de
cette sous-ptriode, les facteurs d'actualisation ont deux valeurs possibles. Pendant les deux
sous-ptriodes suivantes, les facteurs d'actualisation restent inchangks.
Le rendement de chacun des actifs risques est suppose corrClC avec les taux d'interet selon
le processus sequentiel suivant :
(H6-1) Si, pendant la premiere sous-ptriode, de I'instant n a l'instant n +
une hausse de la
structure par terme se produit, les prix de I'actif 1 et de l'actif 2 sont respectivement
/P," , et si une baisse se produit ces prix sont multipliCs
multipliCs par u:, / P F et
x,
par d,?,14." et d,'" 14"
'I.
a l'instant n + g , une
(H6-2) Si, pendant la deuxikme sous-pbiode, de l'instant n +
hausse de la composante specifique de I'actif 1 se produit, son prix est multiplii par un
S'il s'agit d'une baisse, son prix est multiplie par d l . Pendant cette mCme
facteur note il.
sous-periode, le prix de l'actif 2 reste inchange.
(H6-3) Si, pendant la troisieme sous-periode, de l'instant n + a I'instant n + 1, une hausse
de la composante sptcifique de l'actif 2 se produit, son prix est multiplie par un facteur
note i2.S'il s'agit d'une baisse, son prix est multiplii par d 2 . Pendant cette mCme souspiriode, le prix de l'actif 1 reste inchange.
L'evolution du prix des actifs sous-jacents est representee par le schkma suivant :
&(n.i&)
/
\
S2(n+lR,i+lj,)= U$Sl(n,ij,)
- S2(n+3i4,i+Ij,)= Uu\2(n,ij,)
',"
P,"
,
S~(n+l,i+L&+l)=u9"i2~2,n,i&)
P,"
\
S2(n+l,i+ l j,)= -d2S2(n,i
u2;- jl)
P,"
SA>+l/2,ijd= dcs,(n,ij,)
PP
-
S2(n+3,4,ij2)=G~l(n.ij2)
P,"
/
\
Sdn+l ,i &+I)= d,:&(n.~J2)
P,"
S,(n+I,ij,)= d,"d,~,(n,ij2)
p,"
Premiere sous-ph'ode
Deux~&me
sous-pdriode
Troisi+me sous-pdriode
jgure 3. Evolution duprix des act$ sous-jncents
Rappelons que l'absence d'opportunite d'arbitrage entre les obligations sans risque de
dkfaut, a permis de montrer la relation suivante :
n h(n,z) + (I - n)h*(n,7 ) = 1 pour tout n,r.
De meme, la constitution de portefeuilles d'arbitrage composes d'un actif risque et d'une
obligation permettent d'ktablir la proposition suivante :
Proposition 5 : u : ~d, ; ; , u& et d;.i doivent ve'rifier les relations
33
n u ; f i + ( l - n ) d d ; f=i 1
nu;,i
+ ( 1 - n ) d&
=1
34
pour tout (n,i), ou n est la probabilite' risque-neutre de hausse de la fonction
d 'actualisation.
Les variances des rendements des actifs risques sur une periode [n,n+l] peuvent &re
decomposees en deux composantes. On obtient :
2
O ? = O t T +OI,S
2
2
2
'T2 = O ~ . T+OZ,S
35.
ok,r2disigne la variance du rendement de la composante dependante des taux de I'actif k,
et p la probabilite reelle de hausse des facteurs d'actualisation.
ok,s2designe la variance du rendement de la composante specifique de I'actif k, pk la
probabiliti rkelle de hausse de la composante specifique de l'actif k.
Les correlations entre les rendement des actifs risques et le taux sans risque de defaut sont
donnies, pour une periode [n,n+l], par :
(H7) Le prix de I'actif 1, comrne celui de l'actif 2, est entikrement dCterminC par le nombre de
hausses des facteurs d'actualisation et par le nombre de hausses du prix des actifs
'.
Cette hypothese est equivalente 9 :
Nous nous plaqons, pour la suite de l'analyse, dans le cas ou la sensibilite de I'actif au taux
l'intCrCt est independante de I'Ctat i de la structure par terme des t a m dlinter&t. On pose
2 - Valorisation d'un actif contingent
Soit C(n,ij I,jz) le prix d'un actif contingent aux taux d'intCrCt et a deux actifs risquks, a
l'instant n pour l'etat (ij 1 jz). Ce prix evolue suivant le schema suivant :
Premitre sous-pkriode
Deuxitme sous-pdriode
Troisibme sous-pkriode
Jigure 4. Evolution de I'actifcontingent
(demonstration en annexe)
Le prix de l'actif contingent a la date n apparait donc comme l'esperance de sa valeur a la
date n+l actualisee au taux sans risque.
La procedure de calcul du prix de l'actif contingent est strictement identique a celle
pr6senke dans la section prec~dknte.Elle consiste simplement A calculer de proche en proche
la valeur de l'actif tout en introduisant les conditions intermediaires.
S'il n'y a ni flux ni condition intermediaire jusqu'a la maturite de l'actif contingent, il est
egalement possible de calculer son prix sans developper tout l'arbre de retour. Ce calcul
repose sur la valorisation d'un actif d' Arrow-Debreu.
(demonstration en annexe)
'roposition 6 : Le prix A(n,i,jlj2) d'un actif ddrrow-Debreu, qui distribue unfranc
i I'instant n si et seulement si l'e'tat (id1 J 2 ) se produit e d donndpar :
avec les conditions limites :
gt(k,l,O) = gl(k,O,l) = 1
et g ( k , u , v ) = O s i u o u v < O .
La valeur de I'actif contingent, sans flux ni condition intermediaire, est alors donnee par :
ou + ( i j I j 2 )est la fonction de paiement de l'actif contingent a l'instant N, pour l'etat
111 - APPLICATION
A LA VALORISATION D'UNE OPTION SUR MAXIMUM DE DEUX ACTIFS
Une option europkenne sur le maximum de deux actifs donne a son ditenteur le droit, mais
uon I'obligation, d'acheter (call) ou de vendre (put) a I'Ccheance, a un prix convenu d'avance,
celui dont le prix est le plus eleve.
STULZ (1982) a propose une formule analytique d'tvaluation de ce type d'option. Son
modele, construit sur le principe de celui de Black et Scholes, suppose une courbe des taux
plate et des taux d'interet constants au cours du temps. I1 ne permet donc pas de valoriser
convenablement une option sur deux actifs dont les rendements sont correles avec les taux
d'interet. L'approche developpee dans la section pricedente permet non seulement de prendre
en compte cette correlation, mais aussi de valoriser une option de type americain.
- La courbe des taux d'interet est supposCe suivre un processus de deformation dtcrit par le
mod& de Ho et Lee genCralisC.
- Soient S I et Sz les prix des actifs 1 et 2 sous-jacents a l'option.
- Les rendements de ces deux actifs sont supposes corrtles avec les taux d'interet. On
considere de plus que le prix des deux actifs suit le processus dicrit par les hypothtses (H6I), (H6-2) et (H6-3).
- Soit N le nombre de periodes jusqu'a I'tchkance.
Pour obtenir la valeur actuelle de l'option, il suffit de specifier les conditions terminales.
Dans le cas d'une option d'achat sur maximum, la vaieur a I'Cchtance est :
Les processus d'evolution de S1 et S2 permettent de connaitre l'ensemble des valeurs
terminales des actifs 1 et 2. A partir de ces valeurs et des conditions terminales, la valeur de
l'option a I'echeance est connue. La valeur actuelle de l'option europeenne peut donc &tre
obtenue en utilisant de proche en proche la relation rCcurrente. Si l'option est amkricaine, il
suffit de rajouter les conditions intermediaires a I'equation 39, lors du calcul de I'arbre de la
valeur de l'option.
Cependant, si I'option est de type europeen, il n'y a pas de flux avant I'echeance de
I'option. Le resultat ttabli pour la valorisation d'un actif d'Arrow-Debreu peut donc &tre
utilisi.
Soit A(N,ijlj2) le prix d'un actif d'Arrow-Debreu qui distribue 1 franc A I'instant N si et
seulement si I'Ctat de la nature (ijl,jz) se produit. Le prix de cet actif est donnt par la
proposition 6.
La valeur d'une option europeenne est alors donnee par :
N
C = x
N
N
46.
z~(~,i,j1,j2)d(i,j1,j~)
1=0jI=0 j2=0
ou 4(ij l j 2 ) est la fonction de paiement
des conditions terminales
a I'instant N, pour 1'Ctat (ijlj2), dtterminee partir
Application numirique :
Les paramktres retenus sont les suivants :
K=100, Taux court terme=6%, Taux 10 ans=8%, a
, ,
= 0.03, ale,,, = 0.02
I4
,
as,= 0.3, psi = -0.2, cS2= 0.3, ps2 = -0.3, x = 0.5, T=lan.
Le graphique suivant dicrit la valeur de l'option d'achat europtenne sur maximum de
deux actifs pour differentes valeurs initiales de S1 et S2.
1 Valrur dc I'option d'achat ror maximum dr drux ar6b
I m fonction dcs valcurr initial- d u drux actifr sow-inrents
I
figure 5. Valeur de l'option d'achat sur maximum de deux acti$
en fonction des valeurs initiales des deux act$ sous-jacents.
A partir de ce graphique, il est possible de selectionner plusieurs plans permettant une
rneilleure visualisation. Les plans correspondant a S 1 = 0 ou S2=0 decrivent des courbes
proches de celles obtenues pour une option sur un seul actif corrtlt avec les taw. I1 vient :
Valeur de I'option sur maximum
120 r
-+
SI*
-
- -S 2 4
- --- -.
-Max@-YO)
figure 6 Plans de la valeur de l'option sur maximum de deux actiji
Pour une valeur de l'un des actifs nulle, la valeur de l'option donnte par le modble ne
s'tcarte que tres Itgerement de celle fournie par le modde de CRR. Ainsi, par exemple, pour
S2=0 et psi=-0.6 l5 la valeur d'une option a parit6 sur SI dtpasse de 3% seulement celle
fournie par le rnodtle de CRR.
En revanche, dks lors que la valeur de I'actif 2 n'est plus nulle, la valeur de l'option sur
maximum est suptrieure a celle d'une option sur un seul actif, comme le rtvkle la figure 7.
Valeur de I'optnan rur rnrrmmurn
I SO
I
+S24
--
- S2=50
C
S2-100
.
S2=I50
S2=200
fgure 7 V i e w de 1'0~~i0n
sur rnaximumpour dGrentes valeurs de jbctg2
Les paramBtres utilisis sont les mimes que pour la$gure 5.
A present, la valeur de l'option sur maximum, avec S2=0, est comparte a celle obtenue en
choisissant Sl=S2. Nous mesurons ainsi I'importance de l'introduction d'un deuxibme actif
dont les caracteristiques sont quasiment identiques a celles dn premier actif sous-jacent.
Vnleur dr I'ophon
I 50
104
I
50
.
D
0 h
0
m
50
100
---- - -- Sl vanablc S 2 4
*
SI=S2
I50
S1
200
---- V a l a u1truWuc dc lophon
sw un acuf
1
-
Fzgure 8 Valeur de l'option sur maxzmum pour dgirentes valeurs de l'actifd
La valeur de I'option sur maximum n'est pas, bien s h , le double de celle sur un seul actif,
mais I'introduction d'un deuxieme actif augmente considkrablement les possibilitts de gain a
I'tchtance. Ceci se traduit par une valeur de l'option sur maximum sensiblement supkrieure a
celle de I'option sur un actif. Pour Sl=S2=100, la valeur de l'option sur maximum est egale A
25.13, alors que celle d'une option sur un seul actif n'est que de 14.63, soit prbs de 72% de
plus.
Naturellement, le modele permet d'kaluer tout aussi bien des options de vente que des
options d'achat, des options sur le minimum de deux actifs que des options sur le maximum.
Si les actifs sous-jacents distribuent des dividendes, les prockdures habituelles de la mkthode
binomiale peuvent Ctre appliquees. De mCme, l'exercice anticipk des options amkricaines
peut &treenvisagt.
CONCLUSIONS
ET PERSPECTIVES
L'approche dCveloppte dans cet article permet de valoriser de nombreux actifs
contingents. Son caracttre discret lui confere une grande souplesse d'adaptation. La
procedure d'estimation des parametres souligne la rtelle optrationnalite du modde.
De futurs developpements doivent permettre d'integrer un processus d'evolution des taux
avec force de rappel sur les taux, comme celui de Hull et White [1990].
Par ailleurs, ce modele permet le calcul d'une duration effective. Celle-ci reflete la
sensibilite du prix d'un actif comportant un risque de defaut a une variation de la gamme des
taux sans risque de dtfaut. Avec la gestion de bilan et du risque de taux d'interCt, un vaste
champ d'application s'offre donc au modele. Ainsi, la valorisation d'une obligation du
secteur privt, d'un pr&timmobilier et le calcul de leurs durations effectives ont tte rtalistes.
Les conclusions montrent notarnment que la duration de Macaulay surestime le risque de taux
d'inttrkt en gestion de bilan.
BIBLIOGRAPHIE
SELECTIVE
AUGROS J.C. , Les options sur t a w d'intBbf :dynamique des t a w et Pvaluafron, Ed. Economica, Paris, 1989.
AUGROS J.C. et GAY P., << Modele d'kvaluation a taux d'interet stochast~quesd'une option sur contrat a
terme obligataire : application a la mesure des paramitres du modile binomial n, Confirence Internationale de
I'AFFI, 28, 29 et 30 juin 1989.
BLACK F., SCHOLES M., ((The Pricing of Options and Corporates Liabilities n, Journal of Political
Economy, Vol. 81, 1973, pp 637-654.
BONNASSIEUX M., BRUNEL V., (( Un modele de Ho & Lee gentralisk D, Colloque AFlR Rome, 1993, pp
57-74.
COX J.C., ROSS S.A., RUBINSTEIN M., (< Option Pricing a Simplified Approach )),Journal ofFinancrals
Economics,
Vo1. 7, 1979, pp 229-263.
HO T.S.Y., Strategic Frxed-Income Investment, Dow Jones - Irwin Homewood, Illinois, 1990.
HO T.S.Y., LEE S.B., e Term Structure Movements and Pricing lnterest Rate Contingent Claims n, Journal of
Frnance, Vol. 41. 1986. pp 101 1-1029.
HULL J., WHITE A., (( Pricing lnterest Rate Derivative Securities n, Review ofFinancialStudies, 3.4. 1990,
pp 573-592.
KlSHlMOTO N., (( Pricing Contingent Claims under lnterest Rate and Asset Price Risk n, Journal of Finance,
Vol. 44, N03, 1989, pp 571-589.
MACAULAY F., (( Some Theoritical Problems Suggested by the Movements of lnterest Rates. Bond Yields
and Stock Prices in the US Since 1856 n NBER, New York; 1938.
QUERUEL M., (( L'analyse du risque de taux d'interSt dans un dtablissement bancaire )), These de Doctorat,
Universite Lyon 1, Decembre 1996.
STULZ R.M.. a Options on the Min~murnor the Maximum of two Risky Assets )). Journal of Frnanc~alEconomrcs, Vol
10, 1982, pp 161-185.
'
En prenant 6(k)=6k, on retrouve le modkle de Ho et Lee.
La fonction h est une fonction de perturbation a la hausse ; elle doit donc Stre superieure a 1 quels que soient n
et r. Ceci implique que la fonction 6(k) est une fonction decroissante. Ceci n'a pas ete pris en compte par
Bonnassieux et Brunel. Nous pensons neanmoins que cette hypothese est essentielle. Sous des hypotheses
suppltmentaires, elle permet de plus, comme precise infra, une coherence entre la volatilite des taux futurs et
celle des taux aujourd'hui.
Cette formule differe de celle produite par Bonnassieux et Brunel, dont I'equation ne permet pas, contrairement
a c e qu'ils affirrnent, de voir le modele de Ho et Lee comme un cas particulier.
Nous avons repris les termes utilises par Kishimoto : une (( hausse de la structure par terme n correspond a une
hausse de la fonction d'actualisation et donc a une baisse des taux d'interst !
' Bien que la seconde sous-periode soit considtree de longueur
(( petite n, le terme ;
reprksente la hausse de la
composante specifique de I'actif sur la totalite de la periode et non pas sur la seconde sous-pkriode. Ce
ddcoupage de la pkriode en deux sous-pkriodes de longueur differente est une astuce permettant de separer la
composante dependant des taux, de la composante specifique de l'actif.
Pour une methodologie d'estimation des paradtres du modele de Ho et Lee, voir I'article de AUGROS J.C. et
GAY P., (( Modele d'6valuation a taux d'interdt stochastiques d'une option sur contrat a terme obligataire:
application a la mesure des parametres du modele binomial D. Conference Internationale de I'AFFI, Paris, 28,
29 et 30 juin 1989.
"ous cette hypothbse, toutes les obligations rapportent le taux sans risque au cours d'une pkriode, et ce quelle
que soit leur maturite. La probabilite reelle p, de hausse des facteurs d'actualisation est alors 6gale A n. La
volatilitt actuelle annualis6e du taux d'interdt de maturitt k devient
( k ) = -noii2 ,/=
l n ( ~ ( k ) " ~ o"
) , no est le nombre de periodes par an. En inversant cette
alors: or,
formule on obtient directement la formule 29.
' Si on choisit une volatilite identique pour toutes les maturites, comme le suppose Ho et Lee, on aboutit a
6(k)=sk. En rempla~antS(k) par 6k dans la formule 4 dkfinissant h, on aboutit la formule proposde par Ho et
Lee. Bonnassieux et Brunel donnent pour I'estimation de S(k) une formule similaire A la formule 29, A la
difference pr&sque le terme k n'apparait pas au numtrateur; on a alors 6(k)=S. En remplaqant dans la formule
definissant h, on aboutit a h(n,r)=l. Ce qui ne correspond pas A la formule proposee par Ho et Lee.
" Cene condition est toujours verifiee dans le modele de Ho et Lee, puisque la volatilitk est constante quelle que
soit la maturite.
'
-
' En I'absence de correlation, on obtient
o2= u,,
-
et on retrouve la formule de u ,proposee par
Cox-Ross-Rubinstein, permettant d'assurer la convergence de la volatilite du modele vers la volatilite utilisee
par Black et Scholes.
Cette fonction est une fonction monotone, ce qui assure qu'il est equivalent de se donner u") ou u ( ~ ' ' )pour
definir la m&mesuite u(').
L'instant n+1/2 n'est pas situe A une demi periode de I'instant n. I1 s'agit juste d'une convention d'ecriture
permettant de classer les instants dans I'ordre d'apparition, a savoir : n, n+1/2, n+3/4, n. La premibre sousperiode [n, n+1/2] est tres longue par rapport aux deux suivantes (voir HI).
Par hausse du prix de I'actif, nous entendons hausse de la composante spkcifique du prix de I'actif.
Les probabilites q, et q2 sont analogues A la probabilite binomiale implicite ou probabilite risque-neutre
introduite par Cox-Ross-Rubinstein, en se rappelant que le taux d'interdt est nu1 sur les deux dernieres sousperiodex
''pour les maturites intermediaires, les taux d'interet et les volatilites ont ete interpolkes, de manikre lineaire,
entre la valeur correspondant au court terme et celle de la maturite 10 ans. Le nombre de pas de la
discretisation est de 120 par an. Cette structure de volatilite est compatible avec la condition 30.
" Pour cet exemple numerique (S2=0), la valorisation d'une option sur maximum de deux actifs equivaut alors a
la valorisation d'une option sur un seul actif correle avec les taux.
'"
"
''
"
140
ANNEXE
Proposition 1
Demonstration :
On constitue, i I'instant (n,i), un portefeuille d'arbitrage compose d'un zero-coupon de
maturite r et d'un nombre H d'actifs risques. La valeur initiale de ce portefeuille est donc :
47.
4 " (7) + HS
A la fin de la premiere sous-pkriode, ce portefeuille peut prendre, deux valeurs :
48.
un
P."oh(n,r-l)+
HS'
encasdebaissedestaux
4"
6"
I1 est possible de choisir H de telle fagon que la valeur a la fin de la premiere sous-pkriode de
ce portefeuille soit unique. On pose :
Puisque la valeur finale de ce portefeuille est connue, et qu'il y a absence d'opportunite
d'arbitrage, il doit donc rapporter le taux sans risque sur la periode. Son rendement est alors
Cgale a P;" . On obtient :
Aprks simplification, on en deduit :
H = qn(s)
1-h(n,r-1)
u ; s -S
En Cgalisant les d e w valeurs de H (equations 49 et 51), on aboutit i :
En utilisant l'tquation 3, il vient :
KU:
+(I-n)dr = l
CQFD
Equation 14
Demonstration :
Puisque ;
et d , les facteurs de hausse et de baisse de la composante specifique de l'actif, sont
constants au cows du temps et que u =
II'hypothkse 7 est satisfaite pour la composante
specifique de I'actif. L'indkpendance du chemin suivi est alors equivalente i la condition
suivante : une hausse de la composante dependant des taux suivie d'une baisse est Cgale i une
baisse suivie d'une hausse. Ce qui se traduit par l'equation suivante :
g,
Apres simplification, on obtient :
En utilisant la dtfinition de P," (tquation 8), il vient :
En remplaqant dans 55, on aboutit 9 :
.
.
La relation 53 donne la relation entre u," et d?, et permet d'tcrire :
CQFD
Proposition 2
Dtmonstration :
Les parambtres x , &(I), ...& ( n + ~dtfinissent
)
un processus unique d'tvolution de la structure
par terme des taux d'inttrst. 11 suffit donc de montrer que u,d ,et U dtfinissent un unique
processus d'tvolution du prix de l'actif.
L'equation 58 donne :
u,?+'
"u
' 6(n + 1)
6(n + 1)
+ nu:+' - n ------us'
6(n)
S(n)
La donnee de U permet de deduire, a partir de I'tquation prtctdente, une unique valeur pour
chacun des u , ~pour
- ~ i=O, ...N-2. Le m&meraisonnement applique de proche en proche permet
de dtfinir ui"pour tout (n,i).
La donnte des paramktres x , G(l), ...G(n+r),U dtfinit donc entierement la composante
dependante des taux de l'actif. De plus ;,;suffisent a dkterminer la composante sptcifique de
l'actif. On en dtduit donc que le processus d'tvolution de I'actif est entitrement dttermint
par les parametres n, &(I),...8(n+~),;,d, et U, et que ce processus est unique.
CQFD
Proposition 3
Dtmonstration :
L'indtpendance du chemin suivi (Hypothese 7) permet de choisir un chemin pour calculer le
prix de S A I'instant n pour l'ttat (ij). On choisit i hausses de la composante dtpendant des
taux pendant les i premieres periodes, et j hausses de la composante sptcifique pendant les j
premieres periodes. La valeur de S a l'instant (n,i j ) s'tcrit donc :
Le terme
i J2"-j donne directement F2 ;il reste a montrer que :
En calculant le produit des facteurs d'actualisation des n phiodes et en utilisant la dtfinition
de pik(equation 8), il vient :
P(n) h(0, n - 1)...h(n - 2,l) S(n - I)"-'-'
pk = P i + 1 h(0, i). ..h(i - 1,l) 6(i). ..S(n - 2)
En remplaqant dans l'tquation 61, on obtient directement le resultat.
CQFD
:
+
I
Equation 20
Dtrnonstration
Soit, a l'instant (n,ij), un portefeuille compose d'une obligation sans coupon, notee P," ( r ) ,
et d'un nombre H d'actifs contingents. La valeur initiale du portefeuille est donc donnee
par 4"( r ) + HC(n, i, j ) .
A la fin de la premiQe sous-periode, le portefeuille peut prendre deux valeurs :
( T- 1) + HC(n + x , i, j ) en cas de hausse des lam
en+'
63.
x
PI:;' ( r - 1) + HC(n + ,i + 1,j ) en cas de baisse des taux
H est choisi de telle faqon que la valeur finale de ce portefeuille soit unique. En utilisant les
equations 1 et 2, on en deduit :
L'absence d'opportunite d'arbitrage implique que ce portefeuille sans risque doit rapporter le
taux sans risque sur la periode. I1 vient :
On en deduit la valeur de H suivante
En Cgalisant les deux valeurs de H (equations 64 et 65), on obtient :
h(n, 7 - 1) - 1
-- 1 C ( n , i , j ) - ~ , " c ( n + % , i + l , j )
h*(n,r-1)-h(n,r-1)
4" c ( n + ) : , i + l , j ) - ~ ( n + x , i , j )
Or d'aprts la relation 3, on a :
En remplaqant dans 66, on obtient :
C h i ,j)
Pin
(x-l)[C(n+):,i+l,j)-C(n+):,i,j)]=---Aprts simplification, il vient :
~(n+):,i+l,j)
C(n,i,j)= en[n~(n+):,i+l,j)+(l-n)~(n+):,i,j)]
68.
En appliquant a la deuxikme sous-periode la relation rtcurrente Ctablie par Cox-RossRubinstein, et en la combinant a I'equation prtctdente on obtient l'equation 20.
CQFD
Proposition 4
D6monstration :
Cette demonstration se fait par recurrence.
Nous allons donc dkmontrer la relation pour n=l quel que soit le couple (ij)
lerCtape : n=l
La proposition 4 dome :
A(l,i, j ) = P(l)g1(1,l-i,i) x n'(l-n)'-iqJ (I-q)'-'
On en dCduit :
A(1,1,1) = P(l)g'(1,0,1) x n q = P(1)nq
A(1,1,0) = P(l)gl(l,O,l) x n(1 -q) = P(l)n(l-q)
A(1,0,1) = P(l)gl(1,1,0) x (1 - n)q = P(1)(1- n)q
A(l,O,O) = P(1)gt(1,l.O) x (1 - n)(l -q) = P(l)(l - n)(l -q)
La relation risque neutre 20 donne directement ce resultat puisque I'actif d'Arrow-Debreu ne
prend la valeur 1 que si 1'Ctat ij se produit.
La relation est donc vraie pour n=l.
2eme&ape : n auelconaue
La relation est supposCe vraie it 1'Ctape (n-1). I1 faut montrer qu'elle est vraie a 1'8tape n.
I1 existe quatre noeuds pour lesquels la valeur de l'actif d'Arrow-Debreu n'est pas nulle en n1,9 savoir :
(n-1,i-1 j-I), (n-1, i-1j), (n-1,ij-l), (n-l,i,j).
La relation risque neutre 20 donne la valeur de l'actif d'Arrow-Debreu en chacun de ces
noeuds. On obtient :
V(n-1,i-1,j-l)= q 5 ' n q
71.
V(n-1,i-l,j)=
V(n-l,i, j-1)
e!;'n(l-q)
=
4n-'(l-n)q
(1 - n)(l -q)
V(n - l,i, j ) = tn-'
La relation &ant supposee vraie ti l'instant n-I, on en dCduit la valeur de l'actif a l'instant 0
avec la formule suivante :
A(n,i,j)=V(n-1,i-1,j-l)A(n-1,i-1,j-1)
72.
+V(n-1,i-l,j)A(n-1,i-1,j)
+V(n-l,i, j-l)A(n-l,i, j-1)
+V(n-l,i, j)A(n-l,i, j )
En remplapnt A et V par leurs expressions (formules 24 et 71), il vient :
En remplaqant
c,'-~
+ c,'::
41;'
el
par
leur definition (equation 8), et en utilisant la relation
= C,J , on obtient apres simplification :
4 n , i , J)
En utilisant la relation 27 et en remplapnt dans ['equation prbcedente, on obtient la formule
24. La proposition 4 est donc vraie au rang n. La proposition Ctant vraie pour n=l, elle est
vraie quel que soit n.
CQFD.
Equation 39
Demonstration
Pour etablir cette relation, plusieurs portefeuilles d'arbitrage sur chacune des sous-periodes
sont successivement constitues.
Sur la derniere sous-ptriode [n+3/4,n+l], l'incertitude porte sur l'actif S* et I'actif contingent.
On peut donc choisir un portefeuille compose d'un actif Sz et d'un nombre H d'actifs
contingents C. Au debut de cette sous-periode, il existe quatre valeurs possibles de C suivant
I'etat de la nature. Les 4 Ctats suivants sont distingues :
( n + % , i + l , i l , j 2 h ( n + % , i + l , j l + l , j ~ ) (, n + % J . j l & ) , ( n + % , i , j l + l , j 2 )
Soit I'Ctat (n + %, i + 1,jl ,jZ) .
Le premier portefeuille a donc la valeur initiale suivante :
S2+ ~ c ( n + % , i + l , j l , j * )
En n+l, ce portefeuille peut prendre
deux valeurs :
u2S2 + H C ( n + l , i + l , j l , j 2 +1)
-
d 2 S 2+ H C ( n + 1 , i + 1 , j l , j 2 )
I1 est possible de choisir H de telle sorte que la valeur en n+l du portefeuille soit unique. On
obtient alors :
L'absence d'opportunite d'arbitrage entre ce portefeuille et un placement au taux sans risque
implique un rendement de ce portefeuille egal au taux sans risque sur la sous-periode. Le t a w
d'interst Ctant nul, on en dCduit la relation suivante :
S2 + ~ ~ ( n + x , i + l , j ~ , j +~ H) C= ( &
n +~l ,~i + l , j l , j 2+1)
78.
Ce qui implique :
En Bgalisant les d e w valeurs de H (equations 77 et 79), on obtient :
c ( n + g , i + l , j 1 j, 2 ) = q 2 C ( n + 1 , i + 1 , j lj2
, +1)+(1-q2)C(n+l,i+l,jl,j2)
avec
80
Un raisonnement strictement identique permet d'etablir les relations suivantes :
Sur la deuxiitme sous-periode, l'incertitude porte sur la composante specifique de l'actif S I .
En n + ).:, il existe deux valeurs possibles de l'actif contingent, il convient donc de constituer
deux portefeuilles d'arbitrage.
En ( n + ,i + 1, j l ,j 2 ) , on constitue un portefeuille compose de l'actif risquC S I et d'un
nombre H d'actifs contingents; sa valeur initiale est donc :
Sl + ~ c ( n + % , i + l , j l , j ~ )
85.
Un raisonnement identique a celui developpe plus haut permet d'obtenir la relation :
C(n+%,i+l, j l , j ~ ) = q ~ c ( n + % , i + l , +
j ll , j 2 ) + ( l - q l ) c ( n + % , i + 1 , j l , j 2 ) 86.
avec
X
1-21
87.
91 = i l
L'etablissement de cette formule ne fait pas intervenir I'Ctat i de la structure par terme. On en
ddduit alors, pour le noeud ( n + ).:,i, j l ,j 2 ) ,la formule suivante :
~ ( n + ) . : , i , j l , j ~ ) = q ~ ~ ( n + %+, il , j 2l ) + ( l - q l ) c ( n + % , i , j I , j 2 )
La combinaison des equations 80,82 et 86 conduit a :
~ ( n + ~ , i + l , j ~ , j ~ ) = ~ ~ ~ ~ ~+ 1( , nj 2++ Il ), i + l , j ~
+ q l ( l - q 2 ) C ( n + l , i + l j, l +1, j 2 )
+ ( I - q I ) q 2 C ( n + 1 , i + l , j l, j 2 + I )
+(I-ql)(l-q2)C(n+1,i+1,jl,j2)
88.
89.
La constitution d'un portefeuille d'arbitrage compose d'une obligation sans risque de dCfaut
et de I'actif contingent permet d'itablir la relation :
I1 suffit de se reporter a la demonstration de la formule 68.
La combinaison des equations 89, 90, 91 donne la formule 39.
CQFD
Proposition 6
Demonstration
Cette demonstration se fait par recurrence sur n.
n=l
Vi, j,, j,, la proposition 6 donne :
A ( 1 i j lj )
=~
2
( l ) ~ ( l , l - i , i ) n ~ ( l - r ) ~I-jl~ ql
~i ~
((1 -l q-2~) ' ~
- j 2)
92'
A(1,1,1,1) = P ( W q 1 q 2
93.
On en diduit :
A(1,1,1,0) = W b q l (1- 9 2 )
A(1,LOJ) = W ) r ( l- 91 192
A(1,1,0,0) = P ( l ) n ( l-ql
-92
A(1,0,1,1) = P(1)(1- ~ ) 9 1 9 2
A(1,0,1,0) = P(1)(1- z)ql U-92)
A(1,0,0,1) = P(1)(1- n)(1- 91192
A(1,0,0,0) = P ( N 1 - 4 ( 1 - 9 1 -92
La relation risque-neutre 39 donne directement ce rtsultat. La proposition 6 est donc vraie
pour n=l .
n ~uelconque
En supposant que la proposition est vraie a 1'6tape n-1, il est possible de montrer qu'elle I'est
Cgalement a l'etape n.
8 noeuds permettent a I'etape n-1 d'arriver au noeud (n,ij),
(n-1,i-l,jl - l , j 2 -l),(n-1,i-l,jl -l,j2),(n-1,i-l,jl,j2 -l),(n-1,i-l,jl,j2),
( n - l , i , j l - l , j 2 - l ) , ( n - l , i , j l -l,j2),(n-l,i,jl,j2-l),(~-l,i-~,j~,j~).
La valeur de I'actif d'Arrow-Debreu en chacun de ces noeuds est donnke par la relation
risque-neutre 39. On obtient :
La valeur initiale de I'actif d7Arrow-Debreu est donnee par :
A ( n , i , ~ ~ , j ~ ) = V ( n - 1 , i - l-1,j2
, j l - l ) A ( n - 1 , i - l , j l -1,j2 -1)
+ V ( n - 1 , i - l , j l , j 2 - l ) A ( n - 1 , i - l , j l , j 2 -1)
+V(n-1,i-l,jl -l,j2)A(n-1,i-l,jl - l , j 2 )
+V(n-1,i-I, j l , j 2 ) A ( n - 1 , i - l , j l , j 2 )
+ V ( n - l , i , j l - l , j 2 - l ) A ( n - l , i , j , - l , j 2 -1)
+ V ( n - l , i , j l , j 2 - l ) A ( n - l , i , j l , j 2 -1)
+ V ( n - l , i , jl - 1,j 2 ) A ( n - l , i , jl -1, j 2 )
95.
+V(n-l,i,jl,j2)A(n-I,i,jl,i2)
La proposition 6 &ant supposke vraie i I'etape n-1, on peut remplacer A et V par leurs
expressions.
On obtient :
A(n,i,jl , j 2 ) =
96.
~ i ~ \ ~ ! ; ~ ~ ( n - l ) ~ ~ ( n - l , i - l ;x nn, i@
(l-n)n-iq/1(l-q~)n-~1q{2(l-q2)n-'2
JI-I
j2
j l Cj2-1
-I.
x [ c , J ! l c , J Z l + c n ~c,_,+cn-1
l
jl-lcj2-I
+cn-1
I-.
I
+ C ; _ ~ P , " - ' P ( ~l -) ~ ~ ( l n, i ;-n , 6 ) x n i ( l - n)"-'q{l(l - q l ) n - j 1 q { 2 ( l - g 2 ) n - j 2
[cjl
c,././iIC~2
n-I cJ2
n-I
n-I
ji-I
l2-I
+Cn-l Cn-I I
En simplifiant les termes entre crochets, l'equation prectdente s'ecrit :
+
+ C J I n-I CJ2-I
n-I
97.
A ( n L il,i 2 =
ci::P,'"' ~
.
.
( -nl ) H l ( n- 1,i - 1 ; ~ , 6x) n i ( l - ~ ) " - ' c , " c ; ~ ~ / ' ( I - q l )
n-jl
12
q;! (1 -q2)n-'2
+ C ~ - 1 4 n - 1 ~- (l )nH l ( n - l , i ; n , 6 ) x ~ ' ( 1 -z ) " - ' c ; ~ c ; I ' ~ ~-{q~l () ~n - ~ 1 q : 2 (-l q2)"-j2
En remplapnt H I , P,"_;' et
par leurs expressions, il vient :
98.
Apres simplification et en utilisant la relation 44, on obtient :
.
.
A(n,i, j l , j 2 ) = ~ ( n ) n ' ( l - z ) ~C- ' ~ C , J I C , J ~ ~ ~q '2j2( ( ~
1 --q ~2 T
~ )J~2
- ~99.
'
g3(n,n-i,i)h(O,n-1) ...h(n-2,l)
X
c:,
La proposition 6 est donc vraie au rang n.
CQFD.