Le régime transitoire

Etude des dipôles R, L et C en régime transitoire
I Présentation des dipôles L et C et du régime transitoire
1) Condensateur
u
du
du
u (t )²
dq
q
et P  Cu
 E (t )  C
 cte
et u   i  C
dt
dt
2
dt
C
Propriétés :
 La tension aux bornes d’un condensateur est toujours continue.
 En régime continue (permanent) i=0=> le condensateur se comporte comme un
interrupteur ouvert.
 Un condensateur réel a des défauts qui peuvent se représenter par une très grande
résistance en parallèle dit résistance de fuite. i  Cdu / dt  u / R
du du1 du2
1
1
1
1
1


 (  )i 


 Deux condensateurs en série u  u1  u2 
dt
dt
dt
C1 C2
Cs C1 C2

Deux condensateurs en parallèle i  i1  i2  C1
du
du
du
 C2
 (C1  C2 )
 C p  C1  C2
dt
dt
dt
2) Bobine
uL
di
di
i(t )²
et P  Li  E (t )  L
 cte
dt
dt
2
Propriétés :
 Le courant qui traverse une bobine est toujours continu.
 En régime continue (permanent) u=0=> la bobine se comporte comme un interrupteur
fermé.
 Une bobine réelle a des défauts qui peuvent se représenter par une très petite
résistance en série dit résistance de fuite. u  Ldi / dt  Ri


di
di
di
 L2  ( L1  L2 )  Ls  L1  L2
dt
dt
dt
di di di
1 1
1
1 1
 
Deux bobines en parallèle i  i1  i2   1  2  (  )u 
dt dt dt
L1 L2
Ls L1 L2
Deux bobines en série u  u1  u2  L1
3) Régime transitoire
Dans un circuit comprenant des dipôles passifs linéaires et des sources connues par leur force
électromotrice ou leur courant de court-circuit, on cherche à déterminer l’évolution temporelle d’une
tension ou d’un courant du circuit. Prenons u(t) par exemple.
Avec les lois de l’électrocinétique (i(t)=Ldu(t)/dt , i=cdu/dt , u=ri , u=e-ri…) et les méthodes d’analyse de
réseau (voir chapitre précédent ) on aboutit , par définition d’un circuit linéaire, à une équation
différentielle à coefficients constants dont u(t) est solution.
Alors nous avons vu que : u(t)=uh(t)+uP(t) où
 uh(t) est la solution homogène de l’équation différentielle sans second membre que l’on appellera
régime transitoire car il disparaît rapidement,
 up(t) est la solution particulière de l’équation différentielle que l’on appellera régime permanent.
Dans ce chapitre, nous nous intéressons de près au régime transitoire qui précède le régime permanent.
II Charge et décharge d’un condensateur
1) La charge
Le condensateur étant supposé déchargé, à t=0, on ferme
l’interrupteur.

A t>0 : loi des mailles : e(t)=E=Ri(t)+q(t)/C (1) et
i(t)=dq/qt 
dq q(t ) E

 avec   RC homogène à un
dt

R
temps :

q(t )  qh (t )  q p (t )  Ae
t

 CE

Résoudre une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants , entraîne
l’apparition d’une constante que l’on ne peut déterminer qu’à partir d’une condition initiale.
La recherche des conditions initiales est un problème plus délicat en électrocinétique
qu’en mécanique, il faut bien y réfléchir.
Ici pour t<0 q(t)=0 et la tension ,donc la charge aux bornes d’un condensateur étant
toujours continue q(t=0-)=q(t=0+) =>0=A+CE =>A=-CE

Finalement q(t )  CE (1  e  )  u (t ) 

Remarques :
 La tangente
à
t
l’origine
t
t

q
dq E  
 E (1  e  ) et i 
 e
c
dt R
droite
d’équation
du
E
u (t ) 
(0)  t  t coupe le régime permanent u=E
dt
R



en t    RC qu’on appelle constante de temps du
circuit dont on peut démontrer qu’elle est
homogène à un temps. u(5)=99%E. u()=63%E. En
TP C1,00nF et R1,00k =>   1s.
 augmente avec R (difficulté à charger) et avec C (on augmente le « réservoir »).
La présence du condensateur n’interdit pas la discontinuité du courant .
Interprétation du comportement pour t   : u  E ; q  CE ; i  0 d’une part. D’autre part
, en régime permanent le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert d’où
le circuit devient ouvert d’où on retrouve i=0 et u=E .
2) Aspect énergétique de la charge
Si on revient à l’équation (1) en la multipliant par i(t), on obtient un bilan de puissance au cours de
la charge :
Ei(t) = Ri²(t)+u(t)Cdu/dt qui s’interprète aisément : la puissance délivrée par le générateur est
consommée par le condensateur qui « emmagasine » une tension , et consommée (perdue) par la
résistance sous forme d’effet Joule .
Rque : Cudu/ dt  d (Cu ² / 2) / dt
Il est plus pertinent de faire un bilan énergétique entre l’instant initial et t, en intégrant la
t
puissance au cours du temps :

0
t

Ei(t )dt  Ri²(t )dt 
0
T
 C dt dt
0
q dq

t
Pendant la charge q(t )  CE (1  e  )  u (t ) 
t
t

q
dq E  
 E (1  e  ) et i 
 e donc :
c
dt R
t



 CE ²
Energie fournie par le générateur : G (t )  Ei(t )dt  Eq(t ) t
0


q ² t  CE ²


2C
2
CE ²
Energie perdue dans la résistance : G  C 
2
Energie consommée par le condensateur : C (t ) 
Conclusion : Lors de la charge d’un condensateur, la moitié de l’énergie est perdue par effet
Joule.
3) La décharge
Le condensateur étant supposé chargé ,à t=0, u(0)= E
(q(O)=CE) on ferme l’interrupteur.

A t>0 : loi des mailles : e(t)=0=Ri(t)+q(t)/C et
i(t)=dq/qt 
dq q(t )

 0 avec   RC
dt


q(t )  qh (t )  q p (t )  Ae
t


Détermination de la constante à partir d’une condition initiale.
Ici pour t<0 q(t)=CE et la tension ,donc la charge aux bornes d’un condensateur étant
toujours continue q(t=0-)=q(t=0+) =>CE=A

Finalement q(t )  CEe

t

t
 u (t ) 
t

q
dq
E 
 Ee  et i 
 e 
c
dt
R
Remarques :
du
E
(0)  t  t coupe le régime permanent u=E
dt
R

La tangente à l’origine droite d’équation u (t ) 

en t    RC qu’on appelle constante de temps du circuit dont on peut démontrer qu’elle
est homogène à un temps. u(5)=99%0.
La présence du condensateur n’interdit pas la discontinuité du courant .

Interprétation du comportement pour t   : u  0; q  0; i  0 d’une part. D’autre part ,
en régime permanent le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert d’où le
circuit devient ouvert d’où on retrouve i=0 et u=0 .
III Etablissement du courant dans une bobine
1) Etablissement du courant
A t=0- : i =0
 Analyse rapide : A t=0+ : i(0)=0 par continuité du courant qui
traverse une bobine d’où ur=0 et uL=E
Pour t , le régime étant continu, la bobine se comporte comme un fil d’où uL=0 et i=E/R.

di
di i
E
L
E
  avec   d’où
R
dt
dt 
L
t
E
 E / R  (1  e  ) en tenant compte de la condition initiale.
R
A t>0 Ri  L
i(t )  Ke
t

t
d’où u(t )  Ee

Remarques :
 La tangente à l’origine coupe le régime
permanent i=E/R en t    L / R constante de
temps de ce circuit. i(5)=99%E/R.
 La présence de la bobine n’interdit pas la
discontinuité de la tension .
 On retrouve les valeurs en régime continu .
2) Arrêt du courant
Désormais le régime permanent précédent étant supposé atteint, on éteint à t=0 la source
 Analyse rapide : A t=0+ : i(0)=E/R par continuité du courant qui traverse une bobine d’où
ur=E et uL=-E
Pour t , le régime étant continu, la bobine se comporte comme un fil d’où uL=0 et i=0.

di
di i
L
0
  0 avec   d’où
dt
dt 
R
E t
 e  en tenant compte de la condition
R
A t>0 Ri  L
i(t )  Ke
t

t
initiale d’où u(t )   Ee

.
3) Aspect énergétique de l’établissement du courant
Si on revient à l’équation (2) en la multipliant par i(t), on obtient un bilan de puissance au cours de
la charge :
Ei(t) = Ri²(t)+Li(t)di/dt qui s’interprète aisément : la puissance délivrée par le générateur est
consommée par la bobine qui « emmagasine » un courant , et consommée (perdue) par la
résistance sous forme d’effet Joule .
Il est plus pertinent de faire un bilan énergétique entre l’instant initial et t, en intégrant la
puissance au cours du temps :
Pendant la charge i(t )  Ke
t


t
t
T
0
0
0
 Ei(t)dt   Ri²(t)dt   iL dt dt
di
t
t
E
(1  e  ) et u (t )  Ee  donc :
R
t


Energie fournie par le générateur : G (t )  Ei(t )dt 
0
t

E² 
t   (e   1)]
R 


t

Li ² LE ²

(1  e  )²
2
2R²

Energie consommée par la bobine :  L (t ) 

Energie perdue dans la résistance : G  C
L’énergie fournie par le générateur est consommée par l’effet Joule et la bobine .
III Cas d’un circuit L,C en régime libre : comportement oscillateur
A t=0- u=q0 / C et i=0
1) Mise en équation
di q
d ²u
A t>0 L
  E  LC
 u  0 d’où
dt C
dt ²
d ²u
1


 0 ²u  0 avec 0 ² 
pulsation propre du circuit 
dt ²
LC


La solution est une oscillation non amortie purement sinusoïdale de période T=2/0 .
u(t )  U cos(t   )  q0 / C cos O t avec i(0)  0et u(0)  q0 / C
Rque :
 Si le condensateur ou la bobine ne sont pas chargés , il ne se passe rien u=i=0
 La résistance d’un circuit ne pouvant jamais être parfaitement nulle, cette situation ne
peut être obtenue que si on adjoint au circuit un montage avec un AO qui se comporte
comme une résistance négative et annule la résistance totale.
Aspect énergétique :
Reprenons
L
di q
du
di
d Li² Cu ²
  E  uC
 Li  0  (

) qui s’interprète comme : énergie
dt C
dt
dt
dt 2
2
emmagasinée est constante et se répartie alternativement entre condensateur et bobine.
partie emmagasinée dans la bobine, dans le condensateur, et perdue par effet joule dans la
résistance.