L3 Mathématiques Université Joseph Fourier Topologie A 2013
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L3 Mathématiques Topologie A Université Joseph Fourier 2013-2014 Feuille d’exercices 4 Densité Exercice 1 On considère l’espace métrique (R2 , d∞ ). 1) Soit A = [0, 1] × [0, 1]. Est-ce que Q2 ∩ A est dense dans A ? 2) Même question lorsque A = {(x, λx) | x ∈ [0, 1]}, où λ ∈ [0, 1] est un paramètre fixé. Exercice 2 Soit a ∈ [0, 1]. 1) Est-ce que l’ensemble des fonctions nulles en a est dense dans (C([0, 1], R), || · ||2 ) ? 2) Même question dans (C([0, 1], R), || · ||∞ ). Exercice 3 Déterminer les valeurs d’adhérence des suites (un ) suivantes, dans E = (R2 , d∞ ): a) un = (n, (−1)n ), b) un = ((−1)n , (−1)n+1 ), c) un = (1/n, cos(n)), d) un = (cos(n), sin(n)). Exercice 4 Soit (E1 , d1 ) et (E2 , d2 ) deux métriques, (E, d) leur espace métrique produit. 1) Soit (xn ) = (x1 n , x2 n ) une suite de E. Que peut-on dire des valeurs d’adhérence de (x1 n ), (x2 n ) et de (xn ) ? 2) Soit A ⊂ E1 , B ⊂ E2 . Que peut-on dire des propriétés de densité de A, B et de A×B ? Exercice 5 Soit l’espace vectoriel des matrices à coefficients réels, muni de la norme ||(aij )|| = supij |aij | 1) Montrer que le sous-ensemble GLn (R) ⊂ Mn (R) des matrices inversibles forme une partie dense de Mn (R). (on pourra considérer, pour tout A ∈ Mn (R), t 7→ A + tIn ) 2) En déduire que pour tout A, B ∈ Mn (R), on a χ(AB) = χ(BA), où χ est le polynôme caractéristique. 3) Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables sur C est dense dans Mn (R). 4) Que peut-on dire de l’ensemble On (R) des matrices orthogonales ? des projecteurs ? Homéomorphismes, équivalence de distances Exercice 6 (Projection stéréographique) Soit S2 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 2 + x2 2 + x3 2 = 1} la sphère unité de (R3 , d2 ). On note n le point (0, 0, 1). On définit, pour tout x ∈ S2 \ {n}, f (x) ∈ P = {(x1 , x2 , 0) ∈ R3 } comme l’intersection de la droite (nx) et du plan P. 1) Montrer que f : S2 \ {n} → P est un homéomorphisme, les espaces étant munis des distances induites par celle de (R3 , d2 ). 2) En déduire que S2 et R2 ne sont pas homéomorphes. 3) La construction précédente se généralise t’elle en dimension supérieure ? 1 Exercice 7 Soit f : (Rn , || · ||∞ ) → (Rn , || · ||∞ ) une application bijective et continue. On suppose que lim ||f (x)|| = +∞, ||x||→∞ montrer que f est un homéomophisme. Exercice 8 1) Les propriétés suivantes sont-elles transportées par un homéomorphisme f : (X, dX ) → (Y, dY ) ? a) (un ) est une suite convergente de (X, dX ). b) (un ) est une suite bornée de (X, dX ). c) (un ) est une suite de Cauchy de (X, dX ). d) A ⊂ X est une partie dense de (X, dX ) 2) Mêmes questions avec une application bi-lipschitzienne. Exercice 9 Soit (X, d) un espace métrique, et f : X → X une bijection. On définit une distance f ∗ d sur X (tiré en arrière de d par f ) en posant f ∗ d(x, y) = d(f (x), f (y)). a) Montrer que d et f ∗ d sont topologiquement équivalentes si et seulement si f est un homéomorphisme. b) Montrer que d et f ∗ d sont équivalentes si et seulement si f est bi-lipschitzienne. Applications linéaires continues Exercice 10 Soit E = C([a, b], R). Pour s ∈ [a, b] fixé, on définit δs : E 7→ R, par δs (f ) = f (s). δs est une forme linéaire sur E, appelée mesure de Dirac au point s ou fonctionnelle évaluation en s. 1) Etudier la continuité de δs , lorsque E est muni de || · ||∞ ou || · ||1 . 2) Même question pour s 7→ δs , lorsque E ∗ est muni de la norme triple associée. Exercice 11 Soit E l’espace vectoriel des P suites réelles u = (un ) bornées, et F le sous espace vectoriel des suites u telles que |un |P converge. Pour u ∈ E, on pose ||u||∞ = supn |un |, et pour u ∈ F , on pose ||u||1 = |un |. On fixe a ∈ E, et on considère l’application f : E → E qui envoie u sur au = (an un )n . 1) Montrer que f est une application linéaire continue, et calculer sa norme. 2) Montrer que f (F ) ⊂ F , et calculer la norme de la restriction f|F quand on prend la norme || ||1 sur F . Exercice 12 Soit E = C([0, 1]; R) l’espace vectoriel des fonctions continues de [0, 1] dans R, muni de la norme de la convergence uniforme. Pour tout f , g ∈ E, on note f g la fonction produit de f et g. On dit qu’une forme linéaire ϕ est multiplicative si ϕ(f g) = ϕ(f )ϕ(g) pour tout f et g de E. Pour x0 ∈ [0, 1], on définit l’application δx0 : E → R par δx0 (f ) = f (x0 ). 2 1) Montrer que δx0 est une forme linéaire continue multiplicative. 2) Déterminer |||δx0 |||. 3) Soit ϕ une forme linéaire non identiquement nulle, continue et multiplicative. Montrer que ϕ(1) = 1 (1 désigne la fonction constante égale à 1). 4) Montrer que si f ∈ E est telle que f −1 (0) = ∅, alors f ∈ / Ker(ϕ) (considérer l’inverse g de f défini par g(x) = 1/f (x)). 5) Montrer que si F = {f1 , . . . , fn } est une partie finie de Ker(ϕ), alors Z(F ) := ∩f ∈F f −1 (0) est non vide (considérer g = f12 + . . . + fn2 ). 6) En déduire que Z(Ker(ϕ)) 6= ∅. 7) Montrer que E = Ker(ϕ) ⊕ R1. En déduire que ϕ = δx0 pour un élément x0 ∈ Z(Ker(ϕ)). Exercice 13 Soit E = C ∞ ([0, 1]; R) l’espace vectoriel des fonctions continues de [0, 1] dans R, et D l’endomorphisme de dérivation. 1) Montrer qu’il n’existe aucune norme sur E pour laquelle D soit continu. (On pourra considérer la fonction x 7→ eαx ). 2) Soit F le sous espace vectoriel des fonctions polynômiales. Trouver une norme sur F pour laquelle D|F soit continu. Exercice 14 Soit (E, || · ||) un espace vectoriel normé. Soit ψ une forme linéaire non nulle continue sur E. On note H = Ker(ψ). · ||y|| (On pourra utiliser 1) Montrer que pour tout x, y ∈ E \ H, on a d(x, H)| ≤ |ψ(x)| |ψ(y)| une décomposition en somme directe de E). 2) En déduire que pour tout x ∈ E, |ψ(x)| = |||ψ|||d(x, H). 3) On fixe a ∈ E tel que ψ(a) 6= 0. Montrer qu’il y a équivalence entre : (i) il existe b ∈ H tel que d(a, b) = d(a, H); (ii) il existe x 6= 0 tel que |ψ(x)| = |||ψ||| · ||x||. 4) Montrer que ces conditions sont vérifiées lorsque E est de dimension finie. Exercice 15 Soit E = C([0, 1]; R) l’espace vectoriel des fonctions continues de [0, 1] dans R, muni de la norme de la convergence uniforme. On fixe g ∈ E, et on considère R1 l’application ϕ : E → R définie par ϕ(h) = 0 g(x)h(x)dx. 1) Montrer que ϕ est une forme linéaire continue. 2) Déterminer la norme |||ϕ||| lorsque g est une fonction positive, puis lorsque g est la fonction x 7→ x − 1/2. 3) (∗ ) Que vaut |||ϕ||| pour une fonction g ∈ E quelconque ? 4) On note en la fonction monôme en (x) = xn restreinte à [0, 1], et on suppose que ϕ(en ) = 0 pour tout n ∈ N. En utilisant le théorème de Stone-Weierstrass, montrer que Ker(ϕ) = E. En déduire que g = 0. 3