Chapitre 4 – Fonction de transfert

Chapitre 4 – Fonction de transfert
Chapitre 4 – Fonction de transfert
4.1. Expression de la fonction de transfert
Pour un système linéaire continu et invariant, nous avons vu que la relation entre la sortie s(t)
et l’entrée e(t) est donnée par une équation différentielle linéaire à coefficients constants de la
forme :
d (n)s(t)
d (m)e(t)
ds(t)
de(t)
a0 s(t)a 1
an 
b0 e(t)b1 
bm
dt
dt
dt n
dt m
En prenant la transformée de Laplace de cette équation, on obtient :
a0S(p) + a1[PS(p)-s(0)]+ ...... + an [pnS(p)-pn-1s(0)-..... –sn-1(0)] = b0E(p) +
b1[PE(p)-e(0)]+ ...... + bn [pnE(p)-pn-1e(0)-..... –en-1(0)]
D’où
S(p)
b0 b1 p....bm p m
CI(p)
.
E
(
p
)

a0 a1 p....an pn
a0 a1 p....an p n
Où CI(p) est un polynôme qui dépend des conditions initiales. Sil les conditions initiales sont
nulles alors, CI(p)=0 et nous pouvons exprimer le rapport :
H(p)
S(p) b0 b1 p....bm pm

E(p) a0 a1 p....an p n
n étant l’ordre du système
Ce rapport correspond à la fonction de transfert ou la transmittance opérationnelle du
système. En effet, la transmittance opérationnelle d’un système est le rapport
S(p)
lorsque
E(p)
les conditions initiales sont nulles.
Remarque : On retrouve la même expression que le gain complexe défini pour une entrée
sinusoïdale, en remplaçant p par j.
Le schéma fonctionnel du système de la fonction de transfert H(p) est le suivant :
e(t)
H(p)
s(t)
Figure 4.1 : Schéma fonctionnel d’un système linéaire
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Exemple
Reprenons l’exemple du système du
R
premier ordre constitué par le circuit RC
i(t)
comme l’indique le figure ci-contre. Nous
considérons que c’est un système ayant
une entre e(t) et une sortie s(t) et nous
C
e(t)
supposons qu’il n’y a pas d’impédance qui
charge la capacité. En appliquant la
Figure 4.2 : Circuit RC
deuxième loi de Kirchhoff ainsi que la loi
de Faraday, on obtient :
e(t )  R i ( t )  s (t )
ds(t )
avec i (t )  C
dt
D’où l’équation différentielle du système :
ds (t )
RC
 s (t )  e(t )
dt
Calculons la transformée de Laplace de cette équation différentielle.
Soit RC.pS(p) + S(p) = E(p). D’où
H(p)
s(t)
S(p)
 1
E(p) 1 RCp
Le schéma fonctionnel de ce système se réduit à :
e(t)
1
1 RCp
s(t)
Figure 4.3 : Schéma fonctionnel d’un système du 1er ordre
Remarque : Utilisation de la fonction de transfert
Si on connaît la fonction de transfert H(p), il est possible de calculer la réponse du système à
n’importe quelle entrée selon le schéma de principe suivant :
e(t)
s(t)
L
E(p)
-1
L
H
S(p)=H(p).E(p)
Figure 4.4 : Flot d’utilisation de la transformée de Laplace
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Si e(t) = (t) alors S(p)=H(p). La fonction de transfert est dans ce cas égale à la transformée
de la Laplace de la réponse pulsionnelle.
4.2. Pôles et zéros d’une fonction de transfert
4.2.1. Forme générale
La fonction de transfert se présente sous la forme d’une fraction de deux polynômes en p, le
numérateur N(p) et le dénominateur D(p) qui possèdent des racines. Les racines zi du
numérateur représentent les zéros alors que les racines pi du dénominateur, ils constituent les
pôles de la fonction de transfert H(p). La fonction de transfert se met sous la forme cidessous :
n
H(p)
(pzi )
(p z1 )(p z2 )...(p zn )
C.
(p p j ) (p p1 )(p p2 )...(p pm )
N(p)
C. mi
D(p)
j
Cette expression peut se décomposer en éléments simples pour donner H(p)
i
Sachant que L1[
ai
p pi
ai
] ai e pi tu(t) , le sous-système associé au pôle pi est stable lorsque
p pi
Re(pi)<0. Par conséquent, un système est stable lorsque les pôles de sa fonction de transfert
sont à parties réelles strictement négatives.
4.2.2. Régime transitoire et mode d’une fonction de transfert
(p2)
(p5)(p 2 6p25)
On considère une fonction de transfert H(p)14.
Cette fonction admet :
 un pôle réel (-5) et deux pôles complexes (34j) ,
 un zéro (-2).
En opérant une implantation des pôles et des zéros dans le plan complexe on obtient :
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Im(p)
P2
P1
Z1
0
Réel(p)
P3
Figure 4.5 : Implantation des pôles et des zéros dans le plan complexe
Cherchons la réponse indicielle d’un tel système :
E(p)
E0
(p2)
, soit S(p)14.
p
(p5)(p2 6p25)
En décomposant cette expression en éléments simples, on a :
S(p)
A0 A1
A A p

 22 3
p p5 p 6p25
L-1
s(t)
 A1 e5t  Ae3t cos(4t )
 

Régime établi En exponentiel
oscillatoire

A0

Régime transitoire
Le régime oscillatoire dépend des modes suivants :
La nature des modes est liée uniquement aux pôles de H(p) dont l’implantation sur le plan
complexe donne une représentation concrète de H(p). En particulier :
 Si un pôle apparaît à l’axe des réels négatifs, le système est dit stable.
 Si un pôle appartient à l’axe des réels positifs, le système est instable.
 Deux pôles complexes conjugués conduisent à un mode oscillatoire.
 Le régime transitoire est d’autant plus long que les pôles sont plus proches de l’axe
imaginaire.
 Un pôle beaucoup plus proche de l’axe imaginaire que les autres introduit un mode
dit dominant. En effet, on appelle le ou les modes dominants, le ou les
comportements associés aux pôles les plus proches de l’axe imaginaire. Ce qui
revient à considérer en première approximation des fonctions de transfert d’ordre
1, 2 et éventuellement 3 dont une intégration.
 Le diagramme des pôles et des zéros offre aussi la possibilité pour déterminer
graphiquement les résidus A0, A1, A2, A3, … etc. de calculer aussi la réponse s(t).
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(p2)
(p5)(p2 6p25)
Reprenons notre exemple tel que S(p)14.
S(p)
A0 A1
A3
A2
Calculons graphiquement le terme A2.



p p5 p34j p34j
En se référant à la figure 4.6, on peut déterminer A2, en considérant tous les vecteurs qui
aboutissent à l’image du pôle correspondant au résidu qu’on calculera.
Im(p)
P2
1
P1
0
 2 1
Réel(p)
Z1
P3
Figure 4.6 : Détermination graphique de A2
Soit : A2 14
Z1 P2
, Ce qui donnée :
OP2 .P1 P2 .P3 P2
A2 
Z1 P2
OP2 .P1 P2 .P3 P2
Arg(A2 )1 (0 1 2 )
4.3. Fonction de transfert d’un système asservi
4.3.1. Système asservi
Un système asservi est constitué d’une chaîne d’action et d’une chaîne de réaction. A chacune
de ces deux chaînes, on associe un bloc fonctionnel.
E(p)
+
(p)
H1(p)
S(p)
-
X(p)
H2(p)
Figure 4.7 : Représentation d’un système asservi
X : représente le signal de retour.
 : constitue l’erreur d’asservissement.
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4.3.2. Fonction de transfert d’un système en boucle fermée
Dans ce cas, on a les relations suivantes :
S(p) H1 (p).(p) H1 (p)[E(p) X(p)] et X(p) H 2(p).S(p)
D’où : S(p) H1 (p)[E(p) H 2(p).E(p)] Soit,
H(p)
S(p)
H1 (p)

E(p) 1 H1 (p)H 2(p)
H(p) est dite la fonction de transfert du système en boucle fermée.
4.3.3. Fonction de transfert en boucle ouverte d’un système asservi
On définit la fonction de transfert en boucle ouverte par :
FO(p)
X(p)
 H (p).H 2(p)
(p) 1
4.3.4. Transmittance de l’erreur
Le signal d’erreur est donné par l’expression : (t)e(t) x(t) .
On définit la transmittance de l’erreur par : Err(p)
(p)
E(p)
Or : (p) E(p) X(p) E(p) H1 (p)H 2(p).(p) , d’où : Err(p)
(p)
1

E(p) 1 H1 (p)H 2(p)
4.3.5. Exemple
On considère le montage de la figure ci
contre. En appliquant les lois de Kirchhoff
on obtient :
R
C
S  A(V  V  )
V  E
et
V  
I
(A)
1 I
Cp
+
S (R 1 )I
Cp
s
e
D’où S  A(E V  )
Figure 4.8: Exemple de système asservi
Soit
V  1/ Cp

 1
S R1/ Cp 1 RCp
D’où le schéma fonctionnel du système :
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E(p)
+
(p)
S(p)
A
-
V-(p)
1
1 RCp
Figure 4.9 : Schéma fonctionnel du système
La fonction de transfert en boucle fermée est donnée par l’expression suivante :
FBF(p)
S(p)
A(1 RCp)
 1A 
E(p) 1 1 RCp A1 RCp
II.4. Introduction d’une perturbation
On considère le système asservi suivant :
Z(p)
E(p)
+
(p)
H1(p)
-
+
+
H2(p)
S(p)
Figure 4.10 : Système asservi avec perturbation
Lorsque z=0, on a :
H (p).H 2(p)
S1 (p) 1
E(p)
1 H1 (p).H 2(p)
Lorsque E=0, le schéma fonction du système devient :
Z(p)
+
(p)
-
S(p)
H1(p)
X(p)
H2(p)
Figure 4.11 : Schéma fonctionnel en absence de la consigne
H 2(p)
Z(p)
1 H1 (p).H 2(p)
Ainsi, l’expression de la sortie est donnée par : S2(p)
En présence de e(t) et z(t) à la fois, on applique le théorème de superposition :
H (p).H 2(p)
H 2(p)
S(p)S1 (p) S2(p) 1
E(p)
Z(p)
1 H1 (p).H 2(p)
1 H1 (p).H 2(p)
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