Analyse des mécanismes

Analyse des mécanismes
Théorie des mécanismes
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1. Définitions
1.1. Degré de mobilité d’un mécanisme
Le degré de mobilité d’un mécanisme se note m et correspond au nombre mu de
paramètres à imposer pour obtenir une configuration géométrique donnée du système
augmenté du nombre de mouvements mi que pourraient avoir certaines pièces du
mécanisme.
Exemple
L12
1
L01
2
L23
θ
L30
3
Y
X
0
Figure 1
Pour obtenir une configuration donnée du mécanisme, il suffit d’imposer θ.: mu = 1.
Les liaisons L12 et L23 sont des liaisons rotules la pièce 2 a donc une mobilité en
rotation autour de l’axe passant par le centre des deux rotules. On qualifie cette mobilité
d’interne : mi = 1. Elle n’a aucune influence sur la loi entrée-sortie du mécanisme.
La mobilité de ce mécanisme est m = mu + mi = 1 + 1 = 2.
1.2. Degré d’hyperstatisme ( ou d’hyperstaticité) d’un mécanisme
Le degré d’hyperstaticité se note h. Il correspond au nombre d’inconnues statiques
(Ns) du mécanisme diminué du nombre de relations indépendantes (rs) entre ces
inconnues.
Le degré d’hyperstaticité h, correspond aussi au nombre de conditions géométriques
et/ou dimensionnelles qu’il faut imposer au mécanisme pour que celui-ci fonctionne
correctement.
Lorsque h = 0, on qualifie le système d’isostatique.
Lorsque h > 0, on qualifie le système d’hyperstatique.
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Exemple :
L1
1
L2
O
Figure 2
La pièce 1 est guidée par rapport à la pièce 0 par deux liaisons « pivot glissant ».
Pour que le mécanisme fonctionne correctement, il faut :
- que l’entraxe des deux cylindres de 1 soit le même que l’entraxe des deux
alésages de 0. Ce qui fait 1 condition dimensionnelle.
- que les axes des deux alésages de 0 soient parallèles ce qui fait 1 condition
géométrique.
- que les axes des deux cylindres de 1 soient aussi parallèles ce qui fait 1 nouvelle
condition géométrique.
Au total, il faut imposer 3 conditions pour que le système fonctionne correctement. Le
degré d’hyperstatisme h est donc égal à 3.
1.3. Isostatisme ou hyperstatisme (isostaticité ou hyperstaticité) ?
Un mécanisme isostatique présente les avantages suivants :
- Il est constitué de pièces plus faciles à réaliser du point de vue des contraintes
dimensionnelles et géométriques.
- Il se prête aussi beaucoup mieux aux calculs de mécanique car on a l’assurance
que les surfaces de liaison sont bien en contact.
Il présente les inconvénients suivants :
- Il est souvent moins rigide qu’un mécanisme hyperstatique
- Il est parfois plus complexe en termes de nombre de pièces.
Un système hyperstatique est à l’inverse constitué de pièces plus « difficiles » à réaliser
du fait des contraintes dimensionnelles et géométriques. Les calculs de mécanique sont
plus complexes, il faut faire intervenir la déformation des pièces. Il est, en revanche,
souvent plus rigide et comporte généralement moins de pièces pour une même fonction.
On peut régler les problèmes dus à l’hyperstaticité :
- en donnant des jeux suffisants dans les liaisons quand cela est possible,
- en prévoyant des dispositifs de réglage,
- en faisant de l’appairage,
- en combinant les trois propositions précédentes.
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2. Etude des chaînes de solides indéformables
2.1. Graphe des liaisons
Dans le graphe de liaisons d’un mécanisme, les solides sont représentés par des cercles
dans lesquels on indique le repère du solide et les liaisons sont représentées par des arcs
joignant ces cercles.
Exemple : graphe de liaisons associé au mécanisme de la figure 1 :
L12 : liaison rotule
L12
L23 : liaison rotule
1
2
L01
r
L01 : liaison pivot d’axe z
L23
L03
0
3
r
L03 : liaison glissière d’axe x
Figure 3
2.2. Liaison équivalente
La liaison équivalente à un ensemble de liaisons situées entre deux solides (S1) et (S2)
est une liaison théorique qui a le même comportement que cette association de liaisons,
c’est à dire qui transmet la même action mécanique et qui autorise le même mouvement
relatif de ces deux solides.
2.2.1.
Torseur de la liaison équivalente à un ensemble de liaisons en parallèle
L1
L2
Leq
S1
Li
S2
S1
S2
Ln
Torseur statique
F ig ure 5
{ } le torseur statique de la liaison équivalente (torseur des
Notons, pour simplifier, Feq
efforts transmissibles de S1 à S2 par la liaison équivalente) et {Fi } le torseur des efforts
de S1 sur S2 transmissibles par la liaison Li. Alors :
n
{ F } = ∑{ F }
eq
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i =1
i
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Torseur cinématique
{ }
Notons, pour simplifier, Veq le torseur cinématique de la liaison équivalente et {Vi }
le torseur cinématique de la liaison Li. Alors :
{V } = {V } = {V } = ... = {V } = ... = {V }
eq
1
2
i
n
Hyperstaticité, mobilité.
On montre que :
h = Ns – rs
m = 6 – rs
Exemple :
y
L1
L2
S2
x
O
S1
figure 6
L1
S1
S2
L2
Torseur statique de la liaison équivalente :
0 0 


{F1} =
{F2 } =
Y1 M1 
Z N r r r
r
1  x,y,z
∀M∈( O,x )  1
X1 0 


0 0 
0 0  r r r
r
x,y,z
∀M∈( O,x ) 
{F } = { F } + { F }
eq
{F }
eq
1
2
X eq L eq 
0 0 
X1 0 






= Yeq M eq 
= Y1 M1 
+ 0 0 
Z
0 0  r r r
r r r
N eq  r r r O  Z1 N1 x,y,z
eq
x,y,z
O
O
x,y,z
X eq = X1 L eq = 0 


= Yeq = Y1 M eq = M1 
Z = Z N = N r r r
1
eq
1 
 eq
O
x,y,z
5 équations statiques indépendantes et 5 inconnues statiques
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X 0 
{Feq } = Y M 
Z N  r r r
x,y,z
O
(
r
)
Torseur statique correspondant à celui d’une liaison pivot d’axe O, x .
Torseur cinématique de la liaison équivalente :
ωx1 vx1 
{V1} = 0 0 
0
r r r
0 x,y,z
O
 ωx 2 0 
{V2 } = ωy 2 vy 2 
ωz vz  r r r
2
2  x,y,z
∀M 
{V } = { V } = { V }
eq
1
2
ωx eq vx eq 
ωx1 vx1 
 ωx 2 0 






0 
= 0
= ωy 2 vy 2 
ωy eq vy eq 
ωz vz  r r r
0
ωz vz  r r r
r r r
0 x,y,z
eq
eq 
2
2  x,y,z
O
O
O
x,y,z
ωx eq = ωx1 = ωx 2
 ωy = 0 = ω y
2
 eq
ωz eq = 0 = ωz 2
⇒
 vx eq = vx1 = 0
 vy eq = 0 = vy 2

 vz eq = 0 = vz 2
ωx 0 


⇒ {Veq } = 0 0 
0 0  r r r
x,y,z
0
(
r
Torseur cinématique d’une liaison pivot d’axe O, x
)
Hyperstaticité, mobilité
Ns = 5
rs = 5
⇒
h=5–5=0
et m = 6 – 5 = 1
Le système est isostatique et a une mobilité de 1
2.2.2.
Torseurs de la liaison équivalente à un ensemble de liaisons en série
N liaisons sont dites en série si elles sont disposées l’une à la suite de l’autre par
l’intermédiaire de N+1 solides.
On dit également que les N+1 solides assemblés par les N liaisons en série constituent
une chaîne continue ouverte.
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L1
L2
S0
Li
Li+1
S1
Ln
Si
Sn
Leq
S0
Sn
Torseur statique :
{F } = {F } = {F } = ... = {F } = ... = {F }
eq
1
2
i
n
Torseur cinématique :
n
{V } = ∑{ V }
eq
i
i =1
Exemple :
z
S2
y
L2
O
S1
L1
S0
S0
S1
L1
S1
L2
Torseur statique de la liaison équivalente :
0 L1 
{F1} = 0 M1 
Z 0 r r r
x,y,z
∀M  1
X 2 0
{F2 } = Y2 0
 Z 0 r r r
x,y,z
O 2
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Figure 7
S2
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{F } = { F } = {F }
eq
1
2
X eq L eq 
0 L1 
X 2 0






= 0 M1 
= Y2 0 
Yeq M eq 
Z
Z 0 r r r
r r r
N eq  r r r 0  Z1 0 x,y,z
eq
x,y,z
O 2
0
x,y,z
⇒
0
⇒
X eq = 0 = X 2 Leq = L1 = 0 


Yeq = 0 = Y2 M eq = M1 = 0 
Z = Z = Z N = 0
r r r
1
2
eq
 eq

x,y,z
0 0 
{Feq } = 0 0
Z 0 r r r
x,y,z
O 1
r
( )
Torseur statique d’une liaison ponctuelle de normale O, z
Torseur cinématique de la liaison équivalente :
0
vx1 

{V1} = 0 vy1 
 ωz 0  r r r
1
x,y,z
∀M 
 ωx 2 0 
{F2 } = ωy 2 0
 ωz 0  r r r
2
x,y,z
O
{V } = { V } + { V }
eq
{V }
eq
1
2
ωx eq vx eq 
0
vx1 
 ωx 2 0 






vy1 
= ωy eq vy eq 
= 0
+  ωy 2 0 
ωz vz  r r r
 ωz 0  r r r

r r r
eq
eq 
1
x,y,z O ωz 2 0 x,y,z
O
O
x,y,z
ωx eq = ωx 2
vx eq = vx1 


vy eq = vy1 
= ωy eq = ωy 2
ωz = ωz + ωz vz = 0  r r r
eq
1
2
eq
x,y,z
O
ωx vx 
{Veq } = ωy vx 
ωz 0  r r r

x,y,z
O
r
( )
Torseur cinématique d’une liaison ponctuelle de normale O, z .
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2.3. Chaîne continue fermée
Une chaîne continue ouverte dont les deux solides extrêmes ont une liaison entre eux
constitue une chaîne continue fermée.
Notons p le nombre de liaisons constituant une chaîne continue fermée.
L1
1
2
L5
L2
5
L4
3
L3
4
Approche statique
Soit :
- Ns le nombre d’inconnues statiques des p liaisons. Ns =
p
∑ ns
i =1
i
- rs le nombre d’équations scalaires indépendantes entre les Ns inconnues statiques
On définit le degré d’hyperstaticité h de la chaîne continue fermée par :
h = Ns – rs
(1)
Approche cinématique
Soit :
- Nc le nombre d’inconnues cinématiques des p liaisons. Nc =
p
∑ nc
i =1
i
- rc le nombre d’équations scalaires indépendantes entre les Nc inconnues
cinématiques.
On définit le degré de mobilité m de la chaîne fermée par :
m = Nc – rc
(2)
Synthèse
Pour chaque liaison i, nsi + nci = 6 car le nombre d’inconnues du torseur statique au
centre d’une liaison est le complément à 6 du nombre d’inconnues du torseur
cinématique.
Pour p liaisons :
p
p
p
∑ nc + ∑ ns = ∑ ( nc
i =1
i
i =1
i
i =1
i
+ nsi ) = 6.p
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⇒
Nc + Ns = 6.p (3)
Analyse des mécanismes
On montre d’autre part que le degré de mobilité est :
m = 6(p-1) – rs
(4)
En éliminant rs entre les relations (1) et (4) on obtient :
h = Ns + m – 6(p-1)
(5)
En éliminant Ns entre les relations (3) et (5), on obtient :
h = m + 6 – Nc
(6)
2.4. Chaîne complexe
Définition
Une chaîne complexe est une chaîne cinématique constituée de plusieurs chaînes
continues fermés imbriquées.
Nombre cyclomatique d’une chaîne complexe.
On appelle nombre cyclomatique d’une chaîne complexe le nombre de chaînes
continues fermées indépendantes appartenant à cette chaîne complexe. On note ce
nombre γ.
Soit p le nombre de solides et L le nombre de liaisons de la chaîne complexe on montre
que :
γ = L − p +1
(10)
Approche statique
On définit le degré d’hyperstaticité de la chaîne complexe par :
h = Ns – rs
(11)
Approche cinématique
Le degré de mobilité de la chaîne complexe est :
m = Nc – rc
(12)
Synthèse
L
L
L
i =1
i =1
i =1
∑ nci + ∑ nsi = ∑ ( nci + nsi ) = 6.L
⇒
Nc + Ns = 6.L (13)
On montre d’autre part que le degré de mobilité de la chaîne complexe est :
m = 6(p-1) – rs
(14)
En éliminant rs entre (11) et (14), on obtient :
h = Ns + m – 6(p-1)
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(15)
Analyse des mécanismes
En éliminant Ns entre les relations (13) et (15), on obtient :
h = 6L – Nc + m – 6(p-1) = m + 6(L - p+1) – Nc
Soit :
h = m + 6γ - Nc
3. A retenir absolument
3.1. Liaisons en parallèle
n
{ F } = ∑{ F }
eq
i
i =1
{V } = {V } = {V } = ... = {V } = ... = {V }
eq
1
2
i
n
3.2. Liaisons en série
{F } = {F } = {F } = ... = {F } = ... = {F }
eq
1
2
n
{V } = ∑{ V }
eq
i =1
i
3.3. Degré de mobilité
m = Nc – rc
m = mu + mi
3.4. Degré d’hyperstaticité
γ = L − p +1
h = Ns – rs
h = Ns + m – 6(p-1)
h = m + 6γ - Nc
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i
n
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4. Applications
4.1. Etau
Y
4
L34
L14
3
L12
2
L23
A
B
L13
1
C
1 : Mors fixe
2 : Vis de commande
3 : Mors mobile
4 : Pièce
X
L12 : Liaison pivot (ns = 5, nc = 1)
L13 : Liaison glissière (ns = 5, nc = 1)
L14 : Liaison plane (ns = 3, nc = 3)
L23 : Liaison hélicoïdale (ns = 5, nc = 1)
L34 : Liaison plane (ns = 3, nc = 3)
Tracer le graphe des liaisons :
2
L12
L23
L13
1
3
L14
L34
4
Par une étude cinématique, déterminer le degré de mobilité de la chaîne complexe
et le degré d’hyperstaticité.
Nombre cyclomatique :
γ = L − p +1
γ = 5 − 4 +1 = 2
Il donc faut trouver deux chaînes continues fermées indépendantes faisant intervenir
toutes les liaisons. Choisissons :
(1) – (2) – (3) – (1)
et
(1) – (3) – (4) – (1)
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Expression des torseurs cinématiques
Tous les torseurs gardent leur forme en A
ω21 0 
{V2 /1} = 0 0
0 0  r r r
x,y,z
A
0 v31 
{V3 /1} = 0 0 
0 0  r r r
x,y,z
A
ω41 0 
{V4 /1} = 0 vy 41 
0
r r r
vz 41 x,y,z
A
ω23 p '.ω23 
{V2 / 3} = 0 0 
0 0
r r r
x,y,z
A
ω34 0 
{V3 / 4 } = 0 vy34 
0
r r r
vz34 x,y,z
A
Chaîne (1) – (2) – (3) – (1) :
{V1/ 2 } + {V2 / 3} + {V3 /1} = {0}
−ω21 + ω23 = 0
v31 + p '.ω23 = 0
Chaîne (1) – (3) – (4) – (1) :
{V1/ 3} + {V3 / 4 } + {V4 /1} = {0}
ω34 + ω41 = 0
− v13 = 0
− vy34 + vy 41 = 0
− vz34 + vz 41 = 0
Les 6 équations cinématiques sont indépendantes donc rc = 6.
Il y a 9 inconnues cinématiques donc Nc = 9
On en déduit : m = Nc – rc = 9 – 6 = 3
h = m + 6 γ - Nc
h = 3 + 6x2 – 9 = 15 – 9 = 6
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4.2. Mécanisme de réglage
L1
1
2
L6
L4
5
L5
L2
3
L3
4
Liaison
Type
ns
nc
L1
Pivot
5
1
L2
Hélicoïdale
5
1
L3
Pivot glissant
5
1
L4
Glissière
5
1
L5
Plane
3
3
L6
Glissière
5
1
γ = L − p +1 =
6 –5 + 1 = 2
m = 1, il suffit d’un paramètre pour obtenir une configuration géométrique donnée du
système.
h = Ns + m – 6(p-1) = 27 + 1 – 6(5-1) = 28 – 24 = 4
h = m + 6γ - Nc = 1 + 6x2 – 9 = 13 – 9 = 4
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4.3. Ouvre barrière
L1
1
2
L2
L4
L3
7
3
Liaison
Type
ns
nc
L1
Pivot
5
1
L2
Pivot
5
1
L3
Linéaire annulaire
2
4
L4
Pivot
5
1
Mobilité : = 1, il suffit de fixer 1 paramètre pour obtnir une configuration géométrique
donnée du système.
Il n’y a pas de mobilité interne.
h = m + 6 γ - Nc = 1 + 6 x 1 – 7 = 0
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