Pile ou face

Festival Science et Cité
Institut de mathématiques
6 mai 2001
Pile ou face
A. R. Nack
Deux joueurs, Ali et Baba, fixent chacun un triplet de P (pile) et F (face), puis une pièce
est lancée un certain nombre de fois, jusqu’à ce que l’un des deux triplets apparaisse.
Gagne celui qui voit apparaı̂tre son triplet. Si on expérimente un peu, on constate
qu’il y a des triplets qui, en moyenne, sortent plus tôt que d’autres. Par exemple, si
le premier choisit P F F et le deuxième F F F , le premier gagne, à la longue, 7 parties sur
8. Demandons-nous lesquels, parmi les huit triplets
P P P, P P F, P F P, P F F, F P P, F P F, F F P et F F F
garantissent les meilleures chances de gagner.
Supposons, par exemple, que Ali et Baba choisissent respectivement F F P et P F P . Soit
an la probabilité que le n-ème coup donne la victoire à Ali et bn la probabilité qu’il la
donne à Baba. Nous supposons, bien sûr, que la pièce n’est pas truquée et qu’on a donc
la même chance, à chaque coup, d’obtenir pile ou face. Pour calculer an et bn introduisons
les série formelles
a(z) = a1 z + a2 z 2 + a3 z 3 + · · · et b(z) = b1 z + b2 z 2 + b3 z 3 + · · ·
et cherchons des relations entre les suites de P et F qui nous permettent de calculer a(z)
et b(z). Le déroulement d’une partie de pile ou face est décrite par une suite de P et de
F , telle que
PPFPFFFPFPF .
Nous pouvons “calculer” avec de telles suites, en déclarant que la somme de deux suites
telles que P P F P F F F P et F F F P P F s’obtient simplement en écrivant formellement un
signe + entre elles
PPFPFFFP + FFFPPF
et qu’on les multiplie en les collant l’une à l’autre:
PPFPFFFPFFFPPF .
Il est commode d’introduire aussi une suite fictive “sans lettres”, notée 1. La multiplication d’une suite par 1 revient à lui coller la suite sans lettres, c’est-à-dire à la laisser
inchangée. Ces règles nous permettent de calculer avec des sommes finies ou infinies de
suites comme si elles étaient des nombres, en faisant toutefois attention au fait que les
produits — contrairement à ce qui se passe avec les nombres — dépendent de l’ordre des
facteurs.
Soit A la somme (infinie!) de toutes les suites qui donnent la victoire à Ali, c’est-à-dire
celles qui se terminent par F F P , qui ne contiennent pas P F P et qui ne contiennent pas
1
F F P avant la fin. Soit B la sommes de toutes les suites qui donnent la victoire à Baba.
On aura donc
A = FFP + FFFP + PFFP + FFFFP + FPFFP + PFFFP + PPFFP + ···
et
B = PFP + FPFP + PPFP + FPPFP + PPPFP + FPPPFP + ··· .
Soit enfin C la somme de toutes les suites qui apparaissent avant la victoire de Ali ou de
Baba, c’est-à-dire celles qui ne contiennent ni F F P ni P F P :
C = 1+F +P +F F +F P +P F +P P +F F F +F P F +F P P +P F F +P P F +P P P +· · · .
Nous allons maintenant établir des relations entre les sommes A, B et C. Remarquons
tout d’abord que si on enlève la dernière lettre à une suite de A ou de B, on obtient une
suite de C. D’autre part, si nous multiplions une suite de C par F ou par P nous obtenons,
selon les cas, une suite de A, de B ou de C. Comme chaque suite n’est contenue que dans
une des sommes A, B ou C, on a
1 + CF + CP = A + B + C .
Si on multiplie une suite de C par F ou par F F , on obtient encore une suite de C, tandis
que si on la multiplie par F F P on obtient une suite de A. On a donc
A = CF F P .
Par contre, si on multiplie par P F P une suite S de C, il se peut que la suite SP soit déjà
une suite de A ou de B. Nous avons ainsi
CP F P = B + BF P + AF P .
Considérons une suite quelconque de P et F , par exemple F F F P P F . Si nous remplaçons
chaque F et chaque P par 12 z, nous obtenons le monôme ( 12 )6 z 6 , dont le coefficient est
précisément la probabilité d’obtenir, en six coups, la suite F F F P P F . Si nous faisons de
même avec chaque terme de A nous obtenons une série de puissances en z
2
4
1
an z n
a(z) = z 3 + z 4 + z 5 + · · · =
8
16
32
n=0
∞
dans laquelle le coefficient de z n est la probabilité an qu’en n coups on obtienne une suite
de A, c’est-à-dire une suite qui donne la victoire à Ali. Soient b(z) et c(z) les séries qu’on
obtient en remplaçant F et P par 12 z dans B et dans C respectivement. Les trois relations
ci-dessus entre A, B et C deviennent
a(z) + b(z) + (1 − z)c(z) = 1
1 3
z c(z) = a(z)
8
1 3
1
1
z c(z) = (1 + z 2 )b(z) + z 2 a(z)
8
4
4
On pourrait maintenant résoudre ce système et trouver une formule explicite pour la
probabilité que le n-ème coup donne la victoire à Ali, à Baba ou à aucun des deux. Mais
nous nous contentons de calculer la probabilité que chacun d’eux a de gagner, sans nous
2
soucier de quand cela arrive. La probabilité que Ali gagne s’obtient en faisant la somme
des probabilités qu’il gagne au premier coup (qui est évidemment 0), au deuxième coup
(encore 0), au troisième coup (cette fois c’est a3 = 18 ) au quatrième et cætera, c’est-à-dire
en calculant
a1 + a2 + a3 + · · · = a(1) .
De même pour Baba, dont la probabilité de gagner sera
b1 + b2 + b3 + · · · = b(1) .
En faisant z = 1 dans le système d’équations ci-dessus on trouve immédiatement que
a(1) + b(1) = 1 (un des deux gagne à coup sûr) et b(1) = 35 a(1), ce qui signifie que, sur un
grand nombre de parties, Baba en gagne environ 3/8 et Ali 5/8. En examinant les autres
27 couples possibles de triplets, on constate qu’il n’y a aucun triplet imbattable.
Voici un tableau (tiré de [1]) qui donne, pour chaque triplet, une triplet qui le bat. Les
flèches vont du triplet gagnant vers le perdant (dans [1] c’est l’inverse) et disent de combien
l’un bat l’autre.
F F FJd
JJ
JJ7:1
JJ
JJ
PFF o
3:1
P: F P
tt
t
tt
tt
tt
2:1
2:1
3:1
FFP
t
tt
tt
t
t
tz t 2:1
P PO F
2:1
FPF
/
F P PJ
JJ
JJ
JJ
7:1 JJ$
PPP
Il est donc facile, pour Baba, de gagner, s’il laisse Ali choisir son triplet en premier.
Forcément, la relation
le triplet A bat le triplet B
n’est pas transitive. Par exemple, on lit sur le diagramme que F P P bat P P F , qui bat
P F F , qui bat F F P . On s’attendrais donc à ce que F P P batte F F P . Pourtant, toujours
selon le diagramme, c’est le contraire qui arrive.
Pour en savoir plus, on peut consulter:
1. Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway and Richard K. Guy: Winning Ways for Your
Mathematical Plays, Academic Press, 1982.
2. Ronald R. Graham, Donald E. Knuth et Oren Patashnik: Mathématiques concrètes,
International Thomson Publishing, 1998.
3. Martin Gardner: On the paradoxical situations that arise from nontransitive relations,
Scientific American 231, 4 (octobre 1974), pages 120–124.
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