TSPhysiquePartie D_1 - Lycée Polyvalent VIOLLET le DUC

Physique
Partie D :
EVOLUTION TEMPORELLE DES SYSTEMES MECANIQUES
1/ 5
RAPPELS notions 1ère S
Référentiel
Repère
Système matériel
Centre d’inertie G
(centre de gravité)
Vecteur position OG
Trajectoire
Vecteur vitesse instantanée
G
d OG
vG =
( v G en m.s-1 )
dt
Poids ≈ force d’attraction
gravitationnelle exercée par la Terre :
r
r
P = m g ( P en N)
m Terre
avec g =
(R Terre + z) 2
Force de rappel exercée par un
ressort :
r
F = − k OG
Poussée d’Archimède exercée par un
fluide :
r
r
A = − µ fluide Vdéplacé g
Force de contact d’un support plan :
R = RN + RT
dv G
dt
a G en m.s-2
Vecteur accélération instantanée a G =
Détermination graphique de
aG
Voir Mathématiques appliquées aux sciences physiques p.7
sur le site http://www.ac-versailles.fr/etabliss/lyc-viollet-le-duc/
Lois de Newton :
1ère (principe d’inertie) : dans un référentiel galiléen
r
r
F
=
0
⇔
v
=
0
ou cst
∑ ext
G
ème
2 : dans un référentiel galiléen
∑F
= m aG
m : masse du système matériel (en kg )
ext
∑F
: somme vectorielle (résultante) des forces extérieures
exercées sur le système à l’instant t (Fext en N )
ext
a G : vecteur accélération du centre d’inertie G à l’instant t
( a G en m.s-2 )
3ème : (principe des actions réciproques)
pour deux systèmes en interactions : FAsurB = − FBsurA
avec réaction normale R N tjs
perpendiculaire au plan et réaction
tangentielle R T (ou frottements f )
qui s’oppose au vecteur vitesse
Comment faire ?
enregistrement, chronophotographie
vidéo + aviméca + tableur-grapheur (excel)
capteur de position + cassy + tableur-grapheur
mouvement rectiligne uniformément accéléré :
r
a et v 0 colinéaires ; a = cste
exemple : chute libre
Voir Mathématiques appliquées aux sciences physiques p.8
sur le site http://www.lyc-violletleduc.ac-versailles.fr/
Il faut intégrer !!!
r
O i
x
ax = cste > 0 ou < 0
vx = ax t +vx0
x = ½ ax t² + vx0 t + x0
Conditions initiales : en t = 0 , v = 0 f = 0
chute
verticale avec frottement dans un fluide :
v
r
f = − k v avec k> 0 pour des vitesse relativement faibles
(d’autres modélisations sont possibles)
⇒ a0 =
g
Régime établi (asymptotique) :
dv
=0
dt
m − m fluidedéplacé
v = cte vlimite =
g
k
r r r r
alors P + A + f = 0
O
r
g
m
Phase transitoire : v donc f mais a 0
r r r
r
dv
P+A+f = ma ⇒ m
+ k v = ( m − m fluidedéplacé )g
dt
r
f
r
A
m − m fluidedéplacé
v
a0 t
vlimite
r
P
z
O
t
τ
vlimite = a0 τ
Méthode d’Euler
Voir Mathématiques appliquées aux sciences physiques p.9
sur le site http://www.lyc-violletleduc.ac-versailles.fr/
mouvement parabolique dans un champ de pesanteur uniforme :
r
r r
chute libre avec a = g = cst mais avec a et v 0 non colinéaires qui définissent le plan de la trajectoire à partir de G0
r r
accélération a = g
projection sur Ox : ax = 0
r
r
g=-g k
z
Oy : ay = 0
Oz : az = - g
Flèche
G0
r
dv r
vitesse (primitive de l’accélération) telle que
=a
dt
v0
α
Portée
O
 0 
 
 0 
− g
 
dv x
projection
sur
Ox
:
= a x = 0 ⇒ vx = cste
x
dt
or en t = 0, vx = v0 cosα donc vx = v0 cosα quel que soit t
dv y
projection sur Oy :
= ay = 0
⇒ vy = cste
dt
or en t = 0, vy = 0 donc vy = 0 quel que soit t
dv Z
projection sur Oz :
= a z = − g ⇒ vz = - g t + cste
dt
or en t = 0, vz = v0 sinα donc vz = - g t + v0 sinα à l’instant t
 v 0 cos α 

dOG r 
position (primitive de la vitesse) telle que
=v
0

dt
 − g t + v sin α 
0


dx
projection sur Ox :
= v x = v 0 cos α
⇒ x = v0 cosα t + cste
dt
or en t = 0, x = 0 donc x = v0 cosα t à l’instant t
dy
projection sur Oy :
= vy = 0
⇒ y = cste
dt
or en t = 0, y = 0 donc y = 0 quel que soit t
dz
= v z = − g t + v 0 cos α
projection sur Oz :
dt
⇒ z = - ½ g t2 + v0 cosα t + cste
or en t = 0, z = z0 donc z = - ½ g t2 + v0 cosα t + z0 à l’instant t


v 0 cos α t




ainsi le mouvement s’effectue dans le plan y = 0 et OG
0
 1

 − g t 2 + v 0 sin α t + z 0 
 2

1
g
trajectoire : portion de parabole d’équation : z = −
x 2 + tan α x + z 0
2 ( v 0 cos α) 2
flèche (hauteur maximale) zmax lorsque vz = 0 ⇒ t et x pour zmax …
portée (distance point de départ - point de chute sur le sol) xmax lorsque z = 0 …
flèche et portée dépendent des conditions initiales (angle de tir et valeur de la vitesse)
lois de Kepler dans un référentiel héliocentrique
(à propos du système solaire) :
1ère : L’orbite des planètes est une ellipse dont le
soleil est un foyer.
2ème : Le rayon vecteur SP balaie des aires égales
pendant des durées égales.
T2
3ème :
= cste indépendante de la planète P considérée,
a3
Voir
Mathématiques appliquées aux sciences physiques
P en t + ∆t
p. 10
P en t
S
2a
dépendant seulement de l’astre attracteur S
avec T : période de révolution de P autour de S
et a : demi longueur du grand axe de l’ellipse.
lois descriptives, que j’énonce
sans les expliquer, en me
basant sur les observations et
les mesures de Ticho Brahé :
lois empiriques
La vitesse de P
augmente quand P se
rapproche de S …
mouvement circulaire uniforme :
r r
repère orthonormé mobile de Frénet (P ; τ , n ) attaché au solide étudié dans le référentiel héliocentrique
(étude du mvt des planètes du système solaire) ou géocentrique (étude du mvt de la lune ou d’un satellite de la Terre)
r
r
n
O
r
θ
τ
P
axe de
référence des
angles
r d v r v2 r
( mvt plan : a =
τ +
n )
dt
r
r
r
mvt circulaire : r = cste et v = v τ
mvt circulaire et uniforme : v = cste (en m.s-1)
r
(attention : v ≠ cst )
v=rω
dθ
avec vitesse angulaire ω =
= cste (en rad.s-1)
dt
2πr 2π
=
durée d’un tour (en s)
période T =
v
ω
r
r d v v2 r
dv
= 0 mais attention a =
=
n ≠ 0
dt
dt
r
v2
accélération centripète
a=
= ω2 r (en m.s-2)
r
cas des satellites naturels ou artificiels en mouvement circulaire :
hypothèse : seule force exercée sur le satellite de masse m : attraction gravitationnelle
r
r
mM
mM r
M r
F = − G 2 u OP = + G 2 n = m a (2de loi de Newton) donc a = G 2 n
r
r
r
2
r
r dvr v
r
dv
M r v2 r
or : a =
τ +
n
donc
= 0 : mvt uniforme et a = G 2 n =
n
dt
r
dt
r
r
accélération centripète indépendante du satellite (la masse m n’apparait pas dans la formule)
dépendant de l’astre attracteur (de masse M) et du rayon r de la trajectoire du satellite.
GM
d’où v =
(tous les satellites du même astre avec le même r ont la même vitesse v)
r
T2 4 π2
ème
la 3 loi de Kepler est alors vérifiée : 3 =
rapport de même valeur pour tous les satellites
GM
r
du même astre attracteur de masse M
cas d’un satellite géostationnaire :
− dans l’hypothèse précédente, trajectoire circulaire centrée sur O centre de la Terre
− géostationnaire donc toujours à la verticale du même point de la surface de la Terre, d’où
trajectoire centrée sur l’axe de rotation de la Terre décrite en T = 23h 56min 4s (période
sidérale)
⇒ orbite dans le plan de l’équateur à l’altitude z = r - RT ≈ 36 000 km
les systèmes oscillants : oscillations libres (plus ou moins amorties)
pendule simple :
isochronisme des petites oscillations
pseudo-période T ≈ T0 = 2π
dispositif solide-ressort :
vertical :
l
l’amplitude du mvt dépend des conditions initiales
l’amortissements est dû aux frottements
θ
r
r
r
r
F= −kx i =−P = −mg
avec x = l – l0
x allongement en m
k raideur du ressort en N.m-1
r
F force de rappel en N
l
O
r
i
r
F
G
r
P
horizontal :
O
r
g
l0
en statique (équilibre)
g
en dynamique
θ
x
l > 10 d
r
j
solide S
de dimension
caractéristique d
de masse m
r
F
r
i G
O
x
l0
position d’équilibre : x = 0
G en O (ressort ni étiré ni comprimé)
oscillations de G autour de O :
r
r r
P + RN = 0
r
r
F=−kx i
si x > 0 : Fx = - k x < 0
si x < 0 : Fx = - k x > 0
r r r r
si f ≠ 0 : f et v de sens contraire ; oscillations amorties
r r
si f = 0 : oscillations sinusoïdales
r
r
r
d2 x r
d2 x
k
m
F= ma = m
i
avec F = − k x i
donc
+
x =0
soit T0 = 2π
2
2
m
dt
dt
k
2π
de solution x = x0 cos (
t ) avec les conditions initiales : en t = 0 : x = x0 > 0 et v = 0
T0
les systèmes oscillants : oscillations forcées :
Un excitateur impose à l’oscillateur (alors appelé résonateur) un mouvement sinusoïdal de période
Te (de fréquence fe = 1 /Te en Hz ou s-1).
L’amplitude du mouvement diminue quand l’amortissement augmente.
Cette amplitude est maximale pour Te = Tr période propre du résonateur : il y a résonance.
(phénomène recherché pour les instruments de musique ...
mais qui peut malheureusement conduire à des ruptures
d’ouvrages de génie civil …)
Cas d’une résonance aigue :