Le nombre pi

1. Définitions du nombre Π
Ÿ Première définition de Π
Π est le rapport de la circonférence au diamètre:
c = 2 Π1
r = Π1 d
c
d
c
Π1 =
circonférence
=
d
diamètre
bn = côté du polygone inscrit à n côtés
hn = apothème du polygone inscrit à n côtés
pn = périmètre du polygone inscrit à n côtés: pn = n bn
Bn = côté du polygone circonscrit à n côtés
Pn = périmètre du polygone circonscrit à n côtés:
Pn = n Bn
Figure pour n = 12
r
bn
hn
Bn
bn
Bn
bn
Bn
On démontre d’abord les propositions suivantes qui se fondent sur la géométrie élémentaire des polygones
réguliers:
lim hn = r
n®¥
lim HPn - pn L = 0
n®¥
La longueur d’arc du cercle est, par définition, la limite de la suite pn , ce qui définit le nombre Π1
lim pn = 2 Π1 r
n®¥
et les suites pn et Pn ont une limite commune
lim pn = 2 Π1 r = lim Pn
n®¥
n®¥
2
pi.nb
Ÿ Deuxième définition de Π
Π est le rapport de l'aire du disque à l'aire du carré dont le coté est le rayon:
A = Π2 r2
A
r2
A
Π2 =
aire du disque de rayon r
=
r2
aire du carré de côté r
Aire des polygones inscrit et circonscrit:
1
an = n
1
bn hn =
2
1
pn hn
2
1
An = n
Bn r =
2
Pn r
2
Passages à la limite:
1
lim an =
n®¥
2
1
lim An =
n®¥
2
H2 Π1 rL HrL = Π1 r2
H2 Π1 rL r = Π1 r2
L'aire du disque étant encadrée par les aires des polygones inscrit et circonscrit, son aire est
Π1 r2
ce qui établit que
Π2 = Π1
Ÿ Troisième définition de Π
Le volume d'une boule est
4
V=
Π3 r3
3
De ce point de vue, le volume d'une boule de rayon 1 est V1 =
4
3
Π3 . Considérons une demi-boule de rayon 1 et
déterminons une approximation par défaut au moyen d'un empilement de n disques de même épaisseur h =
Coupe pour n = 5
Le rayon du i-ème cylindre vérifie ri2 + Hi hL2 = 12 d'où ri =
1 - Hi hL2 =
1 - InM
i 2
1
n
pi.nb
Rayon du i-ème cylindre. Fig. pour i = 3
ri
ih
1
Le volume de l'empilement de cylindres est donc
Π r21 h + Π r22 h + Π r23 h + .. + Π r2n = Π h I r21 + r22 + r23 + .. + r2n M =
1
1
1-
Π
2
2
2
+1-
n
n
= Π -Π:
1
3
n
2
1
2
n
2
1
+
n
n
2
+1-
3
+
n
n
n
2
n 2
+ ... + 1 - K O =
n
n 2 1
+ ... + K O
>
n
n
n
1
Dans cette expression, la valeur de Π est celle qui apparaît dans l'aire du disque. La dernière accolade
représente un volume que nous représentons graphiquement comme suit:
Pour n tendant vers l'infini, ce volume tend vers une pyramide dont la base est un carré de côté 1 et la
hauteur est de 1; son volume est donc
Π -Π:
1
2
1
2
2
1
+
n
n
1
3
3
+
n
n
1
× 12 × 1 = 3 . Le volume de l'empilement de cylindres tend donc vers
n
2
n 2 1
+ ... + K O
>
n
n
n
1
1
®
Π -Π
2Π
=
3
3
3
4
pi.nb
qui représente le volume de la demi-boule. Le volume de la boule de rayon 1 est
2Π
4
V1 = 2 ×
=
3
Π
3
Il s'ensuit que Π3 = Π.
Ÿ Quatrième définition de Π
L'aire d'une sphère est
A = 4 Π4 r2
De ce point de vue, l'aire d'une boule de rayon 1 est A = 4 Π4 .
Sans démonstration: Π4 = Π.
2. Calcul numérique du nombre Π
Ÿ Chez les Egyptiens
Vers 2700 ans avant J.-C. , les Egyptiens, selon qu'ils calculaient des longueurs ou des aires, utilisaient deux
valeurs distinctes de Π. La circonférence d'un cercle était déterminée de la manière suivante: C = 3 d ce qui
correspond à Π = 3. Mais, pour calculer l'aire d'un disque, ils procédaient comme suit: A = I
correspond à
16 2
Π=I 9 M
> 3.1605.
8d 2
M
9
ce qui
Ÿ Chez les Grecs
r
bn
hn
Bn
bn
Bn
bn
Bn
Périmètres des polygones inscrit et circonscrit à 12 côtés
2Π
24 r SinB
24
6
3
2 I- 1 +
3
Π=
DΠ =
2 I- 1 +
F £ 2 Π r £ 24 r TanB
24
3 M r £ 2 Π r £ 24 I2 -
2 I- 1 +
12 I2 -
2Π
3 M £ Π £ 12 I2 3 M + 12 I2 2
3 M-3
2 I- 1 +
2
Π = 3.16 ± 0.06
3M
3M
F
3 Mr
3M
> 3.16061
> 0.0547809
Ÿ Calcul numérique de Π à 100 chiffres (vers 1700)
On met au point une méthode de calcul efficace mais malheureusement trop longue à expliquer ici (ce
développement pourrait faire l'objet d'un travail de maturité).
pi.nb
5
Grégory, 1671
La réciproque de la fonction tangente est exprimée au moyen d'une série
arctan HxL = x -
x3
x5
x7
+
x9
-
3
5
+
7
x11
-
9
x13
- ...
+
11
13
Machin, 1706
1
Π
1
= 4 arctan
- arctan
4
5
239
Calcul numérique des 100 premiers chiffres (il suffit de prendre les 70 premiers termes de la série):
x3
x-
x5
+
x7
x9
5
+
x11
-
x13
+
x15
x17
-
+
x19
-
x21
+
x23
-
x25
+
x27
-
x29
+
x31
+
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
x33 x35
x39 x41 x43 x45 x47 x49 x51 x53 x55 x57 x59
+
+
+
+
+
+
+
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
x61 x63 x65 x67 x69 x71 x73 x75 x77 x79 x81 x83 x85 x87
+
+
+
+
+
+
+
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
81
83
85
87
x89 x91 x93 x95 x97 x99 x101 x103 x105 x107 x109 x111 x113
+
+
+
+
+
+
89
91
93
95
97
99
101
103
105
107
109
111
113
x115 x117 x119 x121 x123 x125 x127 x129 x131 x133 x135 x137 x139
+
+
+
+
+
+
115
117
119
121
123
125
127
129
131
133
135
137
139
3
-
-
7
x37
On obtient l'approximation de Π suivante:
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998
„
6280348253421170676778279277
L'erreur est
- 3.043201588 ´ 10-100
Ÿ Aujourd'hui
Avec des méthodes plus performantes encore et des ordinateurs, on peut calculer des millions de décimales de
Π.
La formule suivante, découverte en 1997 par David Bailey, Peter Borwein et Simon Plouffe
Π=â
¥
n=0
4
2
-
8 n+1
1
-
8 n+4
1
1
8 n+6
16
n
8 n+5
Le principe du calcul est le suivant: le nombre Π est approché par une suite de nombres rationnels.
La somme des 18 premiers termes suffit pour déterminer les 25 premiers chiffres caractéristiques du nombre Π
6
pi.nb
n
Coefficient
Terme
Valeur numérique approchée
0
47
15
106
819
829
19 635
316
15 225
857
69 597
3802
466 785
5273
911 547
776
179 645
1787
533 715
11 126
4 165 161
4519
2 072 385
16 228
8 947 437
19 139
12 491 175
1486
1 133 055
25 681
22 621 131
29 312
29 539 125
3687
4 214 903
37 294
48 002 745
47
15
53
6552
829
5 026 560
79
15 590 400
857
4 561 108 992
1901
244 729 774 080
5273
15 293 220 913 152
97
6 027 885 936 640
1787
2 292 288 470 384 640
5563
143 113 842 220 597 248
4519
2 278 611 404 728 565 760
4057
39 351 244 081 172 840 448
19 139
3 515 953 192 213 728 460 800
743
2 551 413 037 895 138 672 640
25 681
1 630 024 274 276 786 808 815 616
229
266 064 784 685 701 005 312 000
3687
77 751 236 936 510 610 234 933 248
18 647
7 083 954 814 804 326 482 297 487 360
3.133333333333333333333333
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
3.141422466422466422466422
3.141587390346581523052111
3.141592457567435381837005
3.141592645460336319557021
3.141592653228087534734378
3.141592653572880827785241
3.141592653588972704940778
3.141592653589752275236178
3.141592653589791146388777
3.141592653589793129614171
3.141592653589793232711292
3.141592653589793238154766
3.141592653589793238445978
3.141592653589793238461732
3.141592653589793238462593
3.141592653589793238462641
3.141592653589793238462643
Voir aussi Calcul numérique du nombre Π à plus de 120 décimales:
http://www.deleze.name/marcel/culture/pi/decimales/index.html
3. Transcendance du nombre Π
Ÿ Les problèmes de quadrature
Considérons par exemple le problème de la quadrature du parallélogramme:
un parallélogramme étant donné, construire - avec la règle et le compas - un carré de même aire.
1°
2°
3°
le parallélogramme est transformé en un rectangle de dimensions p, q;
au moyen du théorème de la hauteur, on construit h tel que h2 = p q;
le carré de côté h est solution.
Ÿ La quadrature du cercle
Un disque étant donné, construire - avec la règle et le compas - un carré de même aire.
Pendant des siècles, de nombreux mathématiciens ont effectué de nombreuses recherches sur ce problème, sans
succès.
En 1882, l'allemand Ferdinand Lindemann démontra que Π est un nombre transcendant (c'est-à-dire qu'il ne
vérifie aucune équation à coefficients entiers). Une conséquence de ce théorème d'algèbre est que le problème
de la quadrature du cercle n'a pas de solution.
Une autre conséquence est que Π est un nombre irrationnel (en particulier Π ¹ 3.1416 et Π ¹
22
).
7
pi.nb
Ÿ Lien hypertexte vers la page mère: Les mathématiques dans la culture générale
http://www.deleze.name/marcel/culture/
7