Planche d`exercices 20 Exercice 1 ( ). Vous retrouvez une vieille

Planche d’exercices 20
Exercice 1 (]). Vous retrouvez une vieille carte au trésor d’un de vos ancêtres pirates. Il y est
écrit : allez à l’ı̂le X, partez de la cabane, aller jusqu’à l’aulne en comptant vos pas. Ensuite tournez
de 90 degré à gauche, et faites le même nombre de pas jusqu’à un point g 0 .
De même partez de la cabane jusqu’au figuier et comptez les pas. Ensuite tournez de 90 degré
à droite et faites le même nombre de pas jusqu’à un point g 00 . Le trésor est caché au milieu t de
[g 0 , g 00 ].
Vous vous rendez sur l’ı̂le X. Vous trouvez l’aulne et le figuier, mais aucune trace de l’ancienne
cabane (supposée ponctuelle !) Comment trouvez-vous quand même le trésor ?
Exercice 2 ([). On note z1 et z2 les deux solutions dans C de l’équation du second degré z 2 −
6z + 12 = 0, et plus précisément z1 celle dont la partie imaginaire est négative.
Déterminer l’unique rotation R de centre 0 qui transforme z1 en z2 .
Les résultats sur les similitudes directes se prouvent avec l’écriture complexe : fC (z) = az + b.
Exercice 3 ([). Soit f : P → P une similitude directe.
a) (Résultat de cours) Montrer que si A, B, C sont trois points du plan qui sont alignés, alors
f (A), f (B), f (C) sont aussi alignés. En déduire que l’image d’une droite par une similitude directe
est une droite.
b) Montrer de même que l’image d’un cercle par une similitude est un cercle.
N.B. : Bien sûr ce résultat s’applique en particulier aux rotations, translations, homothéties.
Chapitre C3 : équations algébriques dans C
Exercice 4. [ a) Résoudre l’équation z 2 − 4iz − 3 = 0.
b) Résoudre l’équation 2z 2 − 2iz + 4 − 20i = 0.
Nous avons un nouvel ami, qui s’appelle (en maths !) j = e2iπ/3 .
Ce qu’il faut bien retenir pour calculer avec j : • j 3 = 1
• 1 + j + j 2 = 0. Et cela suffit !
Exercice 5 (Dans C géométrie et algèbre se mêlent...). \ Soient a, b, c les affixes de trois points
A, B, C du plan. On note j = e2iπ/3 .
a) Montrer que le triangle ABC est équilatéral direct si, et seulement si,
a + jb + j 2 c = 0, .
b) Montrer que le triangle ABC est équilatéral (direct ou indirect) si, et seulement si,
a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc.
c) Déterminer la C.N.S. sur z ∈ C pour les points A(i), M (z) et N (iz) forment un triangle
équilatéral.
Exercice 6. [ Soit z =
1
et n ∈ N∗ ; calculer les racines n-ièmes de z.
6 + 6i
Exercice 7. \
a) Résoudre dans C l’équation
1 + iz n
) = i.
1 − iz
1 + iz
.
1 − iz
b) Vérifier que toutes les solutions sont réelles. Comment pouvait-on le savoir à l’avance ?
Indication (dont il faudra se souvenir !) Poser Z =
Exercice 8. ([ : Source Bac 86) On considère l’équation suivante z 4 − 8z 3 + (23 − 2i)z 2 + (−28 +
8i)z + 12 − 6i = 0.
a) Montrer que cette équation admet deux solutions réelles et les déterminer.
b) En déduire toutes les solutions de cette équation dans C.
c) On note z1 , . . . , z4 les quatre solutions de l’équation et pour i = 1, . . . , 4 on note Mi le point
d’affixe zi dans le plan muni d’un repère.
Montrer que M1 , M2 , M3 , M4 est un parallélogramme.
MPSI 1
Semaine du 16 décembre 2013
Planche d’exercices 20
Pour faire une étoile à cinq branches
Ou à six ou même davantage
Il faut d’abord faire un rond
Pour faire une étoile à cinq branches... Un rond !
On n’a pas pris tant de précautions
Pour faire un arbre à beaucoup de branches
Arbres qui cachez les étoiles !
Arbres !
Vous êtes pleins de nids et d’oiseaux chanteurs
Converts de branches et de feuilles
Et vous montez jusqu’aux étoiles !
Robert Desnos, La géométrie de Daniel (1939)
Exercice 9. Noël approche, vous voulez fabriquer des jolies étoiles à cinq branches. Bien sûr vous
les voulez parfaites, donc fabriquées à partir de pentagones réguliers parfaits i.e. tracés à la règle
et au compas sans vilaine valeur approchée de 2π/5 ou de son cos). Comment faire ?
On va voir qu’il suffit de trouver une écriture de cos(2π/5) avec des racines carrées. Or : Sachant
que z = e2iπ/5 vérifie l’équation 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 = 0, en déduire :
(i) 1 + 2 cos(2π/5) + 2 cos(4π/5) = 0 et
(ii) une équation du second degré vérifiée par y = cos(2π/5) et
(iii) finalement une expression avec des radicaux (i.e. des racines carrés) de cos(2π/5).
En déduire explicitement la construction.
Exercice
10. Calculer pour n ∈ N, les sommes suivantes où les ... s’arrêtent quand on dépasse
n
.
n
“n” “n”
+ ···
+
p=1+
6
3
“n” “n” “n”
q=
+
+
+ ···
1
4
7
“n” “n” “n”
r=
+
+
+ ···
2
5
8
“n” “n”
a=1+
+
+ ···
2
4
“n” “n” “n”
b=
+
+
···
1
3
5
Exercice 11. \ Résoudre pour z ∈ C l’équation : z 7 = z̄
Exercice 12. ]
a) Soit (G, .) un groupe abélien (dont la loi est donc notée multiplicativement) fini de cardinal
n
n
Y
ai .
On note G = {a1 , . . . , an } et P =
i=1
(i) Montrer que pour tout x ∈ G,
n
Y
(xai ) = P .
i=1
(ii) En déduire que pour tout x ∈ G, xn = e le neutre de G.
b) Déduire du a) une preuve, différente de celle faite au C1, du petit théorème de Fermat.
c) Déduire du a) que les groupes (Un , ×) sont les seuls sous-groupes finis de (C∗ , ×).
MPSI 1
Semaine du 16 décembre 2013