TS spécialité DS n° 1 Divisibilité – Division euclidienne
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TS spécialité DS n° 1 Divisibilité – Division euclidienne Congruences 08 Octobre 2010 Remarques : L’usage de la calculatrice est autorisé. La rédaction devra être claire et précise et entrera pour une part importante dans la notation du devoir. Durée du devoir : 1 heure Exercice 1 : Restitution organisée de connaissances : (4 points) Exercice 2 : (4 points) Exercice 3 : (6 points) Question 1 : (ROC) Soit a, b, c, u et v des entiers. Montrer que si a divise b et a divise c alors a divise bu + cv. Question 2 : Soit a et b deux entiers. Montrer que si 3 divise a 3 +b3 alors 3 divise (a+b)3 . Le reste de la division euclidienne de a par 11 est 8, celui de b par 11 est 2. Quel est le reste de la division euclidienne des nombres a + b, ab et a2 par 11 ? 1. a) Montrer que , pour n ∈ IN , 23 n – 1 est un multiple de 7 b) En déduire que 23 n +1 – 2 et 23 n + 2 – 4 sont des multiples de 7 2. En déduire les restes de la division par 7 des puissances de 2. 3. Déterminer le reste de la division euclidienne par 7 de 214 607. Exercice 4 : (6 points) Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie (V) ou fausse (F) et donner une démonstration de la réponse choisie. 1. Soit n un entier naturel. A = 5 2. a est un entier relatif. 2n − ( −23) n est divisible par 24. Si a ≡ 0 [4 ], alors a ≡ 0 [2 ] . 3. Si un entier x est un entier relatif solution de x 2 + x ≡ 0(mod 6) , alors x ≡0(mod3) 4. Soit n un entier naturel. Il existe exactement deux valeurs de n pour lesquelles A = 4n − 1 est un entier n +1 relatif. TS spécialité DS n° 1 Correction Divisibilité – Division euclidienne Congruences Exercice 1 : Restitution organisée de connaissances : Question 1 : (ROC) Voir cours. Question 2 : Soit a et b deux entiers. Si 3 divise a 3 +b3 alors il existe un entier k tel que a 3 +b3 = 3k. (4 points) De plus : ( a + b ) 3 = a 3 + 3a²b + 3ab² + b 3 = a 3 + b 3 + 3( a²b + ab²) = 3k + 3( a²b + ab²) = 3( k + a²b + ab²) avec k + a²b + ab² ∈ Z Donc si 3 divise a +b alors 3 divise (a + b) . 3 3 3 Exercice 2 : Le reste de la division euclidienne de a par 11 est 8, celui de b par 11 est 2. Donc il existe deux entiers q et k tels que a = 11q + 8 et b = 11k + 2. Calculons a+ b : a + b = 11(q + k) + 10 avec 0 ≤ 10 < 11 Le reste de la division euclidienne du nombre a + b par 11 vaut donc 10. Calculons ab : ab = 11(qk + 2q + 8k) + 16 = 11(qk + 2q + 8k + 1 ) + 5 avec 0 ≤ 5 < 11 Le reste de la division euclidienne du nombre ab par 11 vaut donc 5. Calculons a² : a² = 11(11q² + 16q) + 64 = 11(11q²+ 16q + 5 ) + 9 avec 0 ≤ 9 < 11 Le reste de la division euclidienne du nombre a² par 11 vaut donc 9. Exercice 3 : 1°) a) Montrer que , pour n ∈ IN , 2 3 n – 1 est un multiple de 7 (4 points) (6 points) 23 ≡ 1 modulo 7 donc (23)n ≡ 1n modulo 7 donc 23 n – 1 ≡ 0 modulo 7 donc 23 n – 1 est divisible par 7. ème 2 Méthode : Ou bien par récurrence : Initialisation : pour n = 0 23 (0) – 1 = 0 et 0 est bien divisible par 7. Donc la propriété est vraie au rang 0. Hérédité : On suppose que pour un entier naturel n donné 23 n – 1 est un multiple de 7 (c'est-à-dire : 23 n – 1 = 7k avec k entier). On veut démontrer que 23 (n+1) – 1 est aussi un multiple de 7 23 (n+1) – 1 = 23n+3 – 1 = 8(23n) – 1 = 7(23 n ) + 23 n – 1 = 7(23 n ) + 7k par hypothèse de récurrence. 23 (n+1) – 1 = 7(23 n +k) avec 23 n +k entier Par conséquent 23 (n+1) – 1 est aussi divisible par 7 et la propriété est héréditaire. Conclusion : pour n ∈ IN , 23 n – 1 est un multiple de 7 1ère Méthode : b) en déduire que 23 n +1 – 2 et 23 n + 2 – 4 sont des multiples de 7 23 n ≡ 1 modulo 7 donc 23 n × 2 ≡ 1 × 2 modulo 7 donc 23 n + 1 – 2 ≡ 0 modulo 7 donc 23 n + 1 – 2 divisible par 7 23 n ≡ 1 modulo 7 donc 23 n × 4 ≡ 1 × 4 modulo 7 donc 23 n + 2 – 4 ≡ 0 modulo 7 donc 23 n + 2 – 4 divisible par 7 2°) En déduire les restes de la division par 7 des puissances de 2 si p = 3 n alors 2p ≡ 1 modulo 7 (question 1a) si p = 3 n + 1 alors 2p + 1≡ 2 modulo 7 (question 1b) si p = 3 n + 2 alors 2p +2 ≡ 4 modulo 7 (question 1b) Donc les reste possibles de 2p sont 1, 2 ou 4. 3° Déterminer le reste de la division par 7 de 214 607. 14 607 = 3 × 4869 donc 214 607 = (23)4 869 23 ≡ 1 modulo 7 donc (23)4 869 ≡ 14 869 ≡ 1 modulo 7. Le reste de la division de 214 607 par 7 est donc égal à 1. Exercice 4 : 1. Soit n un entier naturel. (6 points) A = 52 n − ( −23) n est divisible par 24 52n = (5²)n = 25n or 25 ≡ 1 [24] donc 52n ≡ 1n [24] De même : -23 ≡ 1 [24] donc (-23)n ≡ 1 [24] Ainsi : A ≡ 0 [24] A est donc divisible par 24. 2. a est un entier relatif. donc : VRAI 52n ≡ 1 [24] Si a ≡ 0 [4 ], alors a ≡ 0 [2 ] : VRAI Si a ≡ 0 [4 ] alors a est divisible par 4 et s’écrit donc 4k avec k entier. L’entier a s’écrit donc 2(2k) avec k entier donc a est divisible par 2 et a ≡ 0 [2 ] 3. Si un entier x est un entier relatif solution de x 2 +x ≡0(mod 6) , alors x ≡0(mod3) : On peut donner un contre-exemple : x = 2. x² + x = 2² + 2 = 6 et donc dans ce cas : x 2 + x ≡ 0(mod6) et FAUX x ≡ 2(mod3) 4. n désigne un entier naturel non nul. Il existe exactement deux valeurs de n pour lesquelles est un entier relatif : VRAI A est un entier relatif si et seulement si (n + 1) divise (4n – 1) ¾ Si n+1 divise 4n–1 alors, comme n+1 divise n+1, n+1 divise 4(n+1)–(4n–1) divise 5 ∈{1;5} d’où n = 0 ou n = 4 ¾ Réciproquement, si n = 0 alors A= −1=−1 et si n = 4, alors A=16−1=3 . 1 4+1 Donc n + 1 Dans les deux cas A est un entier relatif. soit A= 4n−1 n+1 n+1