La Transformation en Z

1
La Transformation en Z
La Transformation en Z
Partie 1
Signal causal discret
Suite de Dirac
Echelon unité discret
Rampe unité causale discrète
Parabole unité causale discrète
Signal géométrique
Suite retardée
Suite en avance
Définition de la transformation en Z d'un signal causal discret
Exercice de prise en main
Solution de l'exercice de prise en main
Transformée en Z de la suite de Dirac
Transformée en Z de l'échelon unité discret
Transformée en Z de la rampe unité causale discrète
Transformée en Z de la parabole unité causale discrète
Transformée en Z du signal géométrique
La Transformation en Z est linéaire
La multiplication par le signal géométrique
La Transformation en Z de la suite retardée
La Transformation en Z de la suite en avance
Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3. Exercice 4.
Table des matières
Signal causal discret..................................................................................................................2
Suite de Dirac............................................................................................................................ 3
Echelon unité discret.................................................................................................................4
Rampe unité causale discrète................................................................................................... 5
Parabole unité causale discrète................................................................................................6
Signal géométrique....................................................................................................................7
Suite retardée.............................................................................................................................8
Suite en avance.......................................................................................................................... 9
Explication concernant la définition de la Transformée en Z........................................... 11
Transformée en Z de la suite de Dirac.................................................................................. 15
Transformée en Z de l'échelon unité discret........................................................................ 16
Transformée en Z de la rampe unité causale discrète........................................................ 17
Transformée en Z de la parabole unité causale discrète..................................................... 18
Transformée en Z du signal géométrique............................................................................. 19
La transformation en Z est linéaire.......................................................................................20
Exercice 1................................................................................................................................. 21
La multiplication par le signal géométrique.........................................................................22
Exercice 2................................................................................................................................. 23
La Transformation en Z de la suite retardée....................................................................... 24
Exercice 3................................................................................................................................. 25
La Transformation en Z de la suite en avance..................................................................... 26
Exemple de transformation d'une suite en avance.............................................................. 27
Exercice 4................................................................................................................................. 28
2
Signal causal discret
Une suite numérique x : n → x(n ) est définie pour tout entier n (positif ou négatif).
Une telle suite est appelée signal causal discret lorsque :
x(n ) = 0 pour tout entier n négatif.
Exemple 1
La suite numérique suivante n'est pas un signal causal.
x(n ) = 2n − 1 :
....x( −2) = −5, x(−1) = −3, x(0) = −1, x(1) = 1,.......
Exemple 2
Rappelons que la fonction U est l'échelon unité avec la définition suivante:
0 si t < 0
U( t ) = 
1 si t ≥ 0
1
On fabrique à l'aide de la suite précédente un signal causal discret noté par exemple y :
y(n ) = x(n ) × U(n )
0 si n < 0
y (n ) = 
 y(n) = 2n − 1
Exercice
Vérifier que la suite numérique définie par n → u n = y (n ) est arithmétique, donner sa
raison et son terme d’indice 0.
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3
Suite de Dirac
La suite de Dirac est le signal causal discret d défini de la manière suivante:
d : n → d(n )
d(n ) = 0 si n ≠ 0 et d(0) = 1.
La suite de Dirac retardée de k (k est un entier positif) est le signal causal discret
d k défini de la manière suivante:
d k : n → d( n − k )
dk (n ) = 0 si n ≠ k et dk (n ) = 1 si n = k
Au lieu de valoir 1 en 0 elle vaut 1 plus tard, en k
Somme de suites de Dirac retardées
On se donne une suite finie de p entiers positifs que l'on peut noter : (k 1 , k 2 ,..., k p ) .
On obtient un nouveau signal causal discret que l'on peut noter d k 1 ,k 2 ,..., k p :
p
d (k 1 , k 2 ,..., k p ) : n →
∑ d k i (n )
i =1
Si les k i sont tous distincts :
1 si n = k i pour i = 1,2,...., p
d k 1 , k 2 ,..., k p (n ) = 
0 si n ≠ k i pour i = 1,2,...., p
Combinaison linéaire de suite de Dirac retardées
Soit x1 , x 2 ,..., x p une suite de p nombres réels on construit un signal discret causal de
la manière suivante:
p
∆ : n → ∑ x i × d k (n )
i
i =1
Si les k i sont tous distincts :
 x i si n = k i pour i = 1,2,...., p
∆ (n ) = 
 0 si n ≠ k i pour i = 1,2,...., p
(
)
Exercice
Donner les valeurs possibles de ∆ (n ) si
p
p
p
i
1)∆ : n → ∑ i × d i (n ) 2)∆ : n → ∑ 2 × d i (n ) 3)∆ : n → ∑ i × d i (n )
2
i =1
i =1
i =1
On donnera à p la valeur 2 pour commencer, puis une valeur entière quelconque.
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4
Echelon unité discret
L'échelon unité discret est la suite numérique notée e : n → e(n ) telle que pour tout
entier n:
e(n ) = U(n )
0 si n < 0
e(n ) = 
1 si n ≥ 0
L'échelon unité discret est bien un signal causal discret.
Soit f une fonction numérique elle permet de fabriquer le signal causal discret:
f ∗ : n → f ∗ (n ) = f (n ) × e(n ).
Exemple
A partir de la fonction x → sin( πx) on fabrique le signal causal discret:
s : n → cos(nπ ) × e(n )
0 si n < 0

s(n ) =  + 1 si n est pair
 − 1 si n est impair

s(n ) = ( − 1) n e(n )
Echelon unité retardé de k (k est un entier positif)
e k : n → e(n − k )
e k (n ) = 0 si n < k et e k (n ) = 1 si n ≥ k.
Il faut attendre k unités pour que l’échelon soit mis à 1.
Un exemple amusant (N est un entier positif)
k=N
S N = ∑ ek
k =1
S N (0) = 0, S N (1) = 1, S N ( 2) = 2, S N ( 3) = 3.......S N ( N ) = N, S N (n ) = N si n > N
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Exercice
Pour les entiers p et q positifs tels que p < q décrire la suite c : n → e(n − p ) − e(n − q ) .
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5
Rampe unité causale discrète
La rampe unité causale discrète est la suite numérique notée r telle que :
0 si n < 0
r (n ) = 
.
n si n ≥ 0
n désigne un entier.
Cette rampe unité causale discrète est aussi définie par :
r(n ) = n × e(n ) .
Rampe unité causale discrète retardée de k (k est un entier positif)
rk : n → rk = (n − k ) × e(n − k )
rk (n ) = 0 si n < k et rk (n ) = n − k si n ≥ k.
Un exemple amusant (N est un entier positif)
TN =
∞
∑ rk
k =1
TN (0) = 0,
TN (1) = r1 (1) = 0.
n −1
n −1
n − 1 ( n − 1) n
2
Si n ≥ 2 : TN (n ) = ∑ rk (n) = ∑ ( n − k ) = ∑ i =
= Cn
2
k =1
k =1
i =1
TN ( 2) = r1 ( 2) = 1
TN ( 3) = r1 ( 3) + r2 ( 3) = 2 + 1
TN (4) = r1 ( 4) + r2 (4) + r3 (4) = 3 + 2 + 1
Exercice
Pour les entiers p et q positifs tels que p < q décrire la suite
m : n → m(n ) = rp (n ) − rq (n ) .
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Début
6
Parabole unité causale discrète
La Parabole unité causale discrète est la suite numérique notée p telle que :
0 si n < 0
p( n ) = 
.
n 2 si n ≥ 0
n désigne un entier.
Cette suite est aussi définie par :
p(n ) = n 2 × e(n ) .
Parabole unité causale discrète retardée de k (k est un entier positif)
p k : n → p k = (n − k ) 2 × e(n − k )
p k (n ) = 0 si n < k et p k (n ) = ( n − k ) 2 si n ≥ k.
Exercice
A partir de quelle valeur de n a-t-on p 5 (n ) ≥ r(n ) ?
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Début
7
Signal géométrique
g b : n → b n × e(n )
si n < 0
0
g b (n ) = 
b n si n ≥ 0
Il est évident que le réel b est choisi non nul et différent de 1.
Remarque
On a déjà rencontré ce signal pour b=−1.
Exercice
i =n
∑ g b (n) si b ≠ 0 et b ≠ 1
i=0
Voir, si nécessaire, le chapitre concernant les suites géométriques.
Exprimer en fonction de n ≥ 0 S b (n ) =
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8
Suite retardée
Soit s un signal causal discret, ce signal s’écrit pour l’entier n :
s(n ) = x(n ) × e(n ).
Si k est un entier positif on obtient la suite retardée de k à partir de s :
s k : n → x(n − k ) × e(n − k )
Cette suite est encore un signal causal discret :
si n < 0 alors n − k < 0 puisque k > 0 x(n − k ) × e(n − k ) = 0
0 si n < k
s k : n → x(n − k ) × e(n − k ) = 
 x(n − k) si n ≥ k
Début
9
Suite en avance
Soit s un signal causal discret, ce signal s’écrit pour l’entier n :
s(n ) = x(n ) × e(n ).
Si k est un entier positif on obtient la suite avancée de k à partir de s :
s k : n → x(n + k ) × e(n + k )
Cette suite n’est pas en général un signal causal discret :
si n < 0 alors n + k ≥ 0 si n ≥ −k et pour n = −1, n = −2,........, n = −k il se peut que :
x(n + k)e(n + k) ≠ 0 sauf si x(0) = x(1) = x(2) = ....... = x(k − 1) = 0.
Exemple
Si e est l’échelon unité discret :
0 si n < −3
e 3 (n ) = e(n + 3) = 
1 si n ≥ −3
........., e 3 ( −4) = 0, e 3 ( −3) = 1, e 3 ( −2) = 1, e 3 ( −1) = 1, e 3 (0) = 1, e 3 (1) = 1,......
n
−4 −3 −2 −1 0 1 2
e(n )
0 0 0 0 1 1 1
e 3 (n ) 0 1 1 1 1 1 1
Si r (n ) = n × e(n )
0 si n < −3
r 3 (n ) = (n + 3)e(n + 3) = 
n + 3 si n ≥ −3
........., r 3 ( −4) = 0, r 3 ( −3) = 0, e 3 ( −2) = 1, e 3 ( −1) = 2, e 3 ( 0) = 3, e 3 (1) = 4,......
n
r (n )
r 3 (n )
−4 −3 −2 −1 0 1 2
0 0 0 0 0 1 2
0 0 1 2 3 4 5
Début
10
Définition de la transformation en Z d'un signal causal discret
Une suite numérique x : n → x(n ) est définie pour tout entier n (positif ou négatif).
Rappelons qu’une telle suite est appelée signal causal discret lorsque :
x(n ) = 0 pour tout entier n négatif.
Définition
Au signal causal discret x : n → x(n ) il correspond la fonction X : z → X( z ) où z
représente la variable complexe.
La fonction X est définie de la manière suivante :
X : z → X( z ) =
La fonction z → X( z ) =
∞
 1
x(n ) × 
 zn
n=0
∑
∞
 1
x(n ) × 
 zn
n=0
∑





 s’appelle la transformée en Z du signal


x : n → x(n ) .
La transformée en Z n'est définie que si la suite x est causale x(n ) = 0 si n < 0.
Autre notation
X : z → X( z ) =
∞
∑ x(n) × x − n
n=0
Exemples
1) La suite de Dirac d est le signal causal discret d défini de la manière suivante:
d : n → d(n ) 1avec les valeurs suivantes : d(n ) = 0 si n ≠ 0 et d(0) = 1.
1
D( z ) = d(0)
= 1 . La fonction D est constante et vaut 1.
z0
2) L’échelon unité discret e : E( z ) =
∞
∑
1
.
n
z
n=0
∞
1
R
(
z
)
=
3) La rampe unité discrète r :
∑ n× n .
z
n=0
Début
11
Explication concernant la définition de la Transformée en Z
Question
Pour quelles valeurs de z la fonction X : z → X( z ) =
∞
 1 
 est-elle définie ?

n
z 
∑ x(n) × 
n= 0
Réponse
N
Lorsque la limite suivante existe Lim N → ∞
 1
x(n ) × 
 zn
n=0
∑

.


Illustration à l’aide d’un exemple
Soit q un nombre complexe ou réel, on connaît l’égalité de Fermat :
2
3
N × (1 − q ) = 1 − q N + 1

 1 + q + q + q + ........ + q 



En effet, on s’en rend compte rapidement ainsi :
 1 + q + q 2 + q 3 + ........ + q N  × (1 − q )


1 + q + q 2 + q 3 + ........ + q N −  q + q 2 + q 3 + q 4 ........ + q N + 1  = 1 − q N + 1 .


Un raisonnement rigoureux s’effectue par récurrence : la formule est vraie pour N=1 :
(1 + q ) × (1 − q ) = 1 − q 2 .Si la formule est vraie pour N, elle est encore vraie pour N+1,
cela se vérifie facilement, donc la formule est vraie pour tout entier positif N non nul.
1 − q N +1
Si q ≠ 1 : 1 + q + q 2 + q 3 + ........ + q N =
1−q
1 − q N +1
1
=
1− q
1−q
N
N
∞
1
Si q < 1 : lim N → ∞ ∑ q n existe et lim N → ∞ ∑ q n = ∑ q n =
1− q
n=0
n=0
n=0
Si q < 1 : lim n → ∞ q N + 1 = 0 donc lim n → ∞
Soit q =
1
1
: si
< 1 lim N → ∞
z
z
N
1
∑  z 
n=0
n
existe et
∞
1
∑  z 
n=0
n
=
∞
∑
n=0
1
=
zn
1
1
1−
z
=
z
z −1
∞
0 si n < 0
1
1
Si e(n ) = 
alors la fonction z → E( z ) = ∑ e(n ) ×
est définie pour
<1
n
z
1 si n ≥ 0
z
n=0
c' est à dire pour z > 1 et E( z ) =
z
si z > 1.
z −1
La transformée en Z du signal e : n → e(n ) est définie pour z > 1 par E( z ) =
z
.
1− z
12
Exercice de prise en main
Pour chacun des signaux discrets x suivants écrire explicitement :
∞
 1 

A) ∑ x(n ) × 

n
z 
n=0
1
1
1
1
B) x(0) + x(1) + x( 2) 2 + x( 3) 3 + x(4) 4 + ...
z
z
z
z
1) e est l’échelon unité, x (n)=e (n−2)
2) r est la rampe unité discrète
n − 2 si n ≥ 0
3) x(n ) = 
0 si n < 0
4) x(n ) = (n − 2)e(n − 2)
n − 2 si n − 2 ≥ 0
=
0 si n − 2 < 0
5) 2n e(n )
6) 2n − 1 e(n − 1)
 2 n − 1 si n ≥ 0
7) x(n ) = 
0 si n < 0
 2 n + 2 si n ≥ 0
8) x(n ) = 
0 si n < 0
9) x(n ) = 2 n + 2 e(n + 2)
Question
Ce signal est-il causal ?
10) s(n ) = 2 n e(n )
x(n ) = s(n + 3)
Question
Ce signal est-il causal ?
10) s(n ) = 2 n e(n ) si n ≥ 3
s(0) = s(1) = 0
x(n ) = s(n + 2)
Question Ce signal est-il causal ?
Début
13
Solution de l'exercice de prise en main
Signal x
1) x=e
1) x (n)=e (n−2)
r
n − 2 : n ≥ 0
x(n ) = 
0 : n < 0
x(n ) = (n − 2)e(n − 2)
n − 2 si n − 2 ≥ 0
=
0 si n − 2 < 0
X( z ) =
E( z ) =
∞
 1
∑ x(n) ×  n
z
n=0
∞
∑




1
zn
 1

(
n
−
2
)
×
∑
 n
z
n=0
x(1) x( 2) x( 3) x(4)
+
+
+
+ ...
z
z2
z3
z4
E( z ) = 1 +
n=0
∞ 1
∞ 1
0
0+ + ∑
= ∑
n
n
z
n= 2 z
n= 2 z
Remarque
∞ 1
1 ∞
1
∑ n = 2 ∑ n− 2
z n=2 z
n=2 z
1 ∞ 1
1
=
=
E( z )
∑
z 2 n=0 zn z 2
∞
 1 
∑ n ×  n 
n=0  z 
∞
x(0) +




∞
 1 
∑ (n − 2) ×  n 
z 
n=2
Remarque
∞
 1 
∑ (n − 2) ×  n 
z 
n=2
 1 
1 ∞

=
(n − 2)
∑

2
n
−
2
z n=2
z

1 1
+
...
z z2
1
1
1
+
+
+ ...
z2 z3 z4
1 
1 1 
=
1
+
+
...

z z 2 
z2 
=
1
E( z )
z2
1 2
3
4
+
+
+
+ ...
z z2 z3 z4
−2−
1 1
2
+
+
+ ...
z z3 z4
1
2
+
+ ...
z3 z4
=

1  1 2

+
+
...
z

2
2
z 
z

 1 
1 ∞

 = 1 R( z )
=
n
×
∑


z 2 n=0  zn  z 2
2 n e(n )
∞ n  1
∑ 2 × 
 zn
n=0




1+
2 4
8
16
+
+
+
+ ...
z z2 z3 z4
14
2 n − 1 e(n − 1)
∞ n −1  1 

× 
∑ 2

n
z 
n =1
∞
 1 

= ∑ 2 n × 

n
+
1
z

n=0
1 ∞ n  1 
=
∑ 2 ×

z n=0
 zn 
1 2
4
8
16
+
+
+
+
+ ...
z z 2 z 3 z4 z5

1
2 4
8
16
=  1 + +
+
+
+ .. 
z
z z 2 z 3 z4

∞ n −1  1 

× 
∑ 2

n
z 
n=0
∞ n+ 2  1 

× 
∑ 2

n
z 
n=0
∞ n+ 2  1 

× 
∑ 2

n
z 
n=0
4+
8 16 32 64
+
+
+
+ ...
z z2 z3 z4
4+
8 16 32 64
+
+
+
+ ...
z z2 z3 z4
10) s(n ) = 2 n e(n )
x(n ) = s(n + 3)
Question
Ce signal est-il causal ?
Non, ce signal n'est pas
causal car x (–3), x (–2),
x (–1) sont des réels non
nuls.
∞ n+ 3  1
× 
∑ 2
 zn
n=0






8 16 32 64
2 ×  4 + +
+
+
+ .. .
z z2 z3 z4


10) s(n ) = 2 n e(n ) si n ≥ 3
s(0) = s(1)) = 0
x(n ) = s(n + 2)
Question
Ce signal est-il causal ?
Oui, compte tenu des
conditions initiales :
s (0)=0, s (1)=0, s (2)=0
qui impliquent:
x (–2)=s (0)=0,
x (–1)=s (1)=0
∞ n+ 2  1
× 
∑ 2
 zn
n=0




4+
 2n − 1 si n ≥ 0
7 ) x(n ) = 
0 si n < 0
 2n + 2 si n ≥ 0
8) x(n ) = 
0 si n < 0
9) x(n ) = 2 n + 2 e(n + 2)
Question
Ce signal est-il causal ?
Non, ce signal n'est pas
causal car x (–2), x (–1)
sont des réels non nuls:
1 1 2
4
8
+ +
+
+
+ ....
2 z z 2 z 3 z4
x( −2) = 2 0 = 1,
x( −1) = 21 = 2.
8 16 32 64
+
+
+
+ ...
z z2 z3 z4
Début
15
Transformée en Z de la suite de Dirac
La suite de Dirac est le signal causal discret d défini de la manière suivante:
d : n → d(n ) ; d(n ) = 0 si n ≠ 0 et d(0) = 1.
Sa transformée en Z est :
∞
1
1
D : z → D( z ) = ∑ d(n ) ×
= d( 0 ) ×
.
n
0
z
z
n=0
Donc la transformée en Z de la suite de Dirac est la fonction constante :
D : z → 1.
La Transformation en Z associe à la suite de Dirac d la fonction constante 1.
Début
16
Transformée en Z de l'échelon unité discret
L'échelon unité discret est la suite numérique notée e telle que pour tout entier n:
e(n ) = U(n )
0 si n < 0
e(n ) = 
1 si n ≥ 0
Sa transformée en Z est la fonction de la variable complexe z définie par:
∞
1
E : z → E( z ) = ∑
n
n=0 z
Expression fonctionnelle de E
Si z > 1 alors E(z) existe et :
E(z) =
z
z −1
Explications
Formule de Fermat
2
N × (1 − Z ) = 1 − Z N + 1

 1 + Z + Z + .......... + Z 



On vérifie cette formule en développant:
 1 + Z + Z 2 + .......... + Z N  × ( 1 − Z ) =


1 + Z + Z 2 + .......... + Z N − Z − Z 2 − .......... − Z N − Z N + 1 = 1 − Z N + 1
Remarque
Pour être précis on démontre cette formule par récurrence.
Application de la Formule de Fermat
n = N n 1 − Z N +1
Si Z ≠ 1 :
∑ Z =
1− Z
n=0
n=N
1 − ZN+1
1
Si Z < 1 : Lim N → ∞ ∑ Z n = Lim N → ∞
=
1− Z
1− Z
n=0
n= N
∞
∞ n
1
Lim N → ∞ ∑ Z n = ∑ Z n
Si Z < 1 :
.
∑ Z =
1− Z
n=0
n=0
n=0
∞  1 n
1
1
1
z
Si < 1 ⇔ z > 1 : ∑   =
=
=
1 z −1 z −1
z
n=0  z 
1−
z
z
Début
17
Transformée en Z de la rampe unité causale discrète
La rampe unité causale discrète est la suite numérique notée r telle que :
0 si n < 0
r (n ) = 
.
n si n ≥ 0
n désigne un entier.
Cette rampe unité causale discrète est aussi définie par:
r(n ) = n × e(n ) .
Sa transformée en Z est la fonction de la variable complexe z définie par:
∞
1
R : z → R( z ) = ∑ n ×
zn
n=0
Expression fonctionnelle de R
z
Si z > 1 alors R(z) existe et :
R(z) =
( z − 1) 2
Explications
E : z → E( z ) =
∞
∑
n=0
Si z > 1 alors E(z) existe et :
E(z) =
1
zn
z
z −1
Dérivons la fonction :
z −1− z
1
E' (z) =
=−
( z − 1) 2
( z − 1) 2
On utilise un théorème non démontré ici qui affirme :
∞
∞
1
pour z > 1 : E( z ) = ∑
existe et sa dérivée est : E' (z) = ∑
n
z
n=0
n=0
∞
1
1
1
E' ( z ) = − ∑ n ×
=−
.
n
2
z
( z − 1)
z
n=0
Il en résulte que :
∞
1
z
R( z ) = ∑ n ×
=
z n ( z − 1) 2
n=0
Début
 1

 n
z
'
∞

 = ∑ − n× 1

zn +1
 n=0
19
Transformée en Z du signal géométrique
g b : n → b n × e(n )
si n < 0
0
g b (n ) = 
b n si n ≥ 0
Il est évident que le réel b est choisi non nul.
Sa transformée en Z est la fonction de la variable complexe z définie par:
∞
1
G : z → G( z ) = ∑ b n ×
zn
n=0
Expression fonctionnelle de G
Si z > b alors G(z) existe et :
z
G(z) =
z−b
Explications
∞
∞ b n
1
1
1
z
 
n
G( z ) = ∑ b ×
= ∑   =
=
=
b z−b z−b
zn n=0  z 
1−
n=0
z
z
Début
20
La transformation en Z est linéaire
Si x et y sont deux signaux causaux discrets alors pour tout couple de réels a et b le
signal w=ax+by est encore causal discret, avec la définition suivante :
w : n → w(n ) = ax(n ) + by (n )
W, X, Y représentent les Transformées en Z respectives des signaux w, x, y.
∞
 1
w(n ) × 
 zn
n=0
∞
 1 

X : z → X( z ) = ∑ x(n ) × 

n
z 
n=0
W : z → W( z ) =
∑




Y : z → Y( z ) =
∞
 1
y (n ) × 
 zn
n=0
∑




La linéarité de la transformée en Z s’exprime par :
W = aX + bY : z → W(z) = aX(z) + bY(z).
Explications
∞
 1
W : z → W( z ) = ∑ w(n ) × 
 zn
n=0
∞


 = ∑ ( ax(n ) + by (n )) ×  1

 n
 n=0
z
∞
 1
= a ∑ x(n ) × 
 zn
n=0
= aX(z) + bY(z).




∞


 + b ∑ y (n ) ×  1

 n

z
n=0




21
Exercice 1
Exercice 1
Donner les expressions des transformées en Z des « polynômes » :
s(n ) =  an 2 + bn + c e(n ), v(n ) = bn + c


Solution
z(z + 1)
z
z
S(z) = a
+b
+c
3
2
z −1
( z − 1)
( z − 1)
S( z ) =
az ( z + 1) + bz ( z − 1) + cz ( z − 1) 2
( z − 1) 3
S( z ) =
cz 3 + ( a + b − 2c ) z 2 + ( a − b + c ) z
( z − 1) 3
V( z ) =
bz ( z − 1) + cz ( z − 1) 2 bz + cz ( z − 1) cz 2 + ( b − c ) z
=
=
( z − 1) 3
( z − 1) 2
( z − 1) 2
Aller à l'exercice 2
Début
22
La multiplication par le signal géométrique
Le signal causal discret défini par
si n < 0
0
g b : n → b n × e(n ) : g b (n ) = 
b n si n ≥ 0
1peut se nommer signal géométrique causal discret.
Si x est un signal causal discret quelconque sa transformée en Z est la fonction X de la
variable complexe z:
∞
 1 

X : z → X( z ) = ∑ x(n ) × 

n
z 
n=0
On obtient un nouveau signal causal discret:
y : n → b n × x(n ) × e(n ).
Sa transformée en Z est la fonction de la variable complexe z définie par:
∞
1
Y : z → Y( z ) = ∑ b n × x(n ) ×
.
zn
n=0
Expression fonctionnelle de Y à partir de X
Si z > b alors Y(z) existe et :
z
Y(z) = X 
a
Explications
n
∞
∞
∞
1
1
b
z
Y( z ) = ∑ b n × x(n ) ×
= ∑ x(n ) ×   = ∑ x(n ) ×
= X  .
n
z
b
zn n=0
n=0
n=0
z
 
b
Remarque
La transformée en Z de l'échelon unité e est
z
E : z → E( z ) =
.
z −1
Donc la transformée en Z du signal
n → b n × e(n )
1est
z
z
z
z
z → E  = b = b =
(Ce qui a déjà été démontré)
 b 1− z b − z b − z
b
b
Début
23
Exercice 2
Exercice 2
Partie A
Donner les transformées en Z, notées respectivement X, Y et V des signaux suivants:
1) x : n → 2 n × e(n ) 2) y : n → 2 n × n × e(n ) 3) v : n → 2 n × n 2 × e(n)
Partie B
A l'aide du résultat de l'exercice 1 donner la transformée en Z du signal
s : n →  n 2 + n + 1  × e(n )


En déduire la transformée en Z, W, du signal
w : n → 2 n  n 2 + n + 1  × e(n )


Vérifier les calculs avec les résultats de la Partie A
Solution
l'exercice 3
Partie A
z
z
z
2
1) X( z ) =
2 ) Y( z ) =
= 2×
2
z−2
( z − 2) 2
z

−
1


2

zz

 + 1
2 2
 = 2 × z( z + 2)
3) V ( z ) = 
3
( z − 2) 3
z

 − 1
2

Partie B
A l'aide de l'exercice 1 on exprime la transformée en Z du signal
s : n → s(n ) =  an 2 + bn + c e(n )


cz 3 + ( a + b − 2c ) z 2 + ( a − b + c ) z
S( z ) =
( z − 1) 3
3 z
z
  +
z3 + z
2 z 3 + 4z
 z   2
a = b = c = 1 : S( z ) =
W ( z ) = S  =
=
3 ( z − 2) 3
 2  z
( z − 1) 3

 − 1
2

z
z
z ( z + 2 ) z 3 + 4z
+ 2×
+ 2×
=
z−2
( z − 2) 2
( z − 2) 3 ( z − 2) 3
Début
aller à
24
La Transformation en Z de la suite retardée
s(n ) = x(n ) × e(n ).
Appelons S sa transformée en Z:
∞
 1
S : z → S( z ) = ∑ x(n ) × e(n ) × 
 zn
n=0
∞



 = ∑ x(n ) ×  1 

 n
 n=0
z 
Si k est un entier positif on obtient la suite retardée de k à partir de s :
s k : n → x(n − k ) × e(n − k )
Cette suite est encore un signal causal discret :
si n < 0 alors n − k < 0 puisque k > 0 x(n − k ) × e(n − k ) = 0
Sa transformée en Z est la fonction de la variable complexe z définie par:
∞
1
S k : z → S k ( z ) = ∑ x(n − k ) × e(n − k ) ×
.
n
z
n=0
Expression fonctionnelle de S k à partir de S
Sk ( z ) =
1
zk
× S( z )
Explications
∞
1
S k : z → S k ( z ) = ∑ x(n − k ) × e(n − k ) ×
.Puisque x(n − k )e(n − k ) = 0 si n < 0 :
n
z
n=0
∞
1
1 ∞
1
S k ( z ) = ∑ x(n − k )
=
∑ x(n − k )
zn zk n =k
zn−k
n=k
∞
1 ∞
1
1
1
Sk (z ) =
; S( z ) = ∑ x(n )
donc : S k ( z ) =
× S( z ).
∑ x(n )
zk n=0
zn
zn
zk
n=0
Exemple:la Transformée en Z de la suite de Dirac retardée de k (k est un entier
positif)
d k : n → d(n − k )
1
1
d k (n ) = 0 si n ≠ k et d k (n ) = 1 si n = k : D( z ) = 1; Dk ( z ) =
× D( z ) =
zk
zk
On pouvait s'y attendre car:
∞
1
1
d k (n ) = 0 si n ≠ k et d k (n ) = 1 si n = k D k ( z ) = ∑ d k (n ) ×
=
.
n
z
zk
n=0
1
z −1
La Transformée en Z l'échelon unité retardée de k (k est un entier positif)
1
1
z→
×
z k −1 z − 1
La Transformée en Z l'échelon unité retardée de 1 : z →
Début
25
Exercice 3
Partie A
Donner les transformées en Z, notées respectivement A, B et C des signaux suivants:
1) a : n → 2 n − 3 × e(n − 3)
2) b : n → 2n − 3 × (n − 3) × e(n − 3)
3) c : n → 2 n - 3 × (n − 3) 2 × e(n - 3)
Partie B
A l'aide du résultat de l'exercice 2 donner la transformée en Z du signal
h : n → 2 n − 3  (n − 3) 2 + n − 2  × e(n − 3)


(En remarquant que n–3+1=n–2).
Solution
Partie A
x : n → 2 n × e(n )
y : n → 2n × n × e(n )
v : n → 2 n × n 2 × e(n)
z
1
z
1
1
1
A(z) =
×
=
×
A(z) =
z−2
z3 z − 2 z2 z − 2
z 2 ( z − 2)
z
z
2
1
2
2
2 ) Y( z ) =
= 2×
B(z) =
×
B(z) =
2
( z − 2) 2
( z( z − 2) ) 2
z 2 ( z − 2) 2
z

 − 1
2

zz

 + 1
2 2
 = 2 × z ( z + 2 ) C(z) = 2 × ( z + 2)
3) V ( z ) = 
3
( z − 2) 3
z 2 ( z − 2) 3
z

 − 1
2

1) X( z ) =
Partie B
w : n → 2 n  n 2 + n + 1  × e(n ) h(n ) = 2n − 3  ( n − 3 ) 2 + n + 1 − 3  × e(n − 3)




3 z
z
  +
2 z 3 + 4z
 z  2
W ( z ) = S  =
=
3
 2  z
( z − 2) 3

 − 1
2

1 z 3 + 4z
H( z ) =
×
z 3 ( z − 2) 3
Début
26
La Transformation en Z de la suite en avance
Soit s un signal causal discret, ce signal s’écrit pour l’entier n :
n → x(n ) × e(n ).
Si k est un entier positif on obtient la suite avancée de k à partir de s :
s : n → x(n + k ) × e(n + k )
Cette suite n’est pas en général un signal causal discret :
si n < 0 alors n + k ≥ 0 si n ≥ −k et pour n = −1, n = −2,........, n = −k il se peut que :
x(n + k)e(n + k) ≠ 0 sauf si x(0) = x(1) = x(2) = ....... = x(k − 1) = 0.
Si x(0) = x(1) = x(2) = ....... = x(k − 1) = 0 1la Transformée en Z du signal
s : n → x(n + k )e(n + k )
1 est la fonction:
S : z → S( z ) = z k X( z )
X étant la Transformée en Z du signal:
n → x(n ) × e(n ).
X est la Transformée en Z du signal s : n → x(n )e(n )
S k est la Transformée en Z du signal : n → x(n + k)e(n + k)
S k ( z ) = z k × X( z ) − z k × x( 0) − z k − 1 × x(1) − ....... − z k − 1 × x(k − 2) − z × x(k − 1)
Explications
∞
1
S k : z → S k ( z ) = ∑ x(n + k ) × e(n + k ) ×
.
n
z
n=0
∞
∞
∞
1
1
1
S k ( z ) = ∑ x(n + k )
= z k ∑ x(n + k )
=z k ∑ x(n )
zn
zn+k
zn
n=0
n=0
n=k
∞
∞
1
x(1) x( 2)
x(k − 1)
1
Comme : X( z ) = ∑ x(n )
= x(0) +
+
+ .....
+ ∑ x(n )
:
n
2
k
−
1
n
z
z
z
z
z
n=0
n=k
∞
1
x(1) x( 2)
x(k − 1)
= X( z ) − x(0) +
+
+ .....
∑ x(n )
z
zn
z2
z k −1
n=k
∞


1
x(1) x( 2)
x(k − 1)  
S k ( z ) = z k ∑ x(n )
= z k ×  X( z ) −  x(0) +
+
+ .....


z
zn
z2
z k −1  

n=k

S k ( z ) = z k × X( z ) − z k × x(0) − z k − 1 × x(1) − ....... − z k − 1 × x(k − 2) − z × x(k − 1)
27
Exemple de transformation d'une suite en avance
r : n → r(n ) = ne(n ) vérifie : r(0) = 0.
La Transformée en Z de la rampe r est :
z
R:z →
z −1
Appelons s la rampe en avance de 1:
s : n → (n + 1)e(n + 1) est causal discret.
Appelons S la Transformée en Z du signal causal s:
S( z ) = z × E( z )
z2
S( z ) =
z −1
Début
28
Exercice 4
Exercice 4
Ecrire les transformées en Z des signaux causaux suivants:
1)λ : n → ( n + 1) 2 e(n + 1)
2)µ : n → (n + 1)ne(n + 1)
On commencera par transformer le signal:
n → n(n − 1)e(n ) =  n 2 − n e(n )


3) p : n → 2 n + 1 × (n + 1) × e(n + 1)
4) q : n → 2 n + 1 × (n + 1) 2 × e(n + 1)
Réponses
Signal
Transformée en Z
2
1)λ : n → ( n + 1) × e(n + 1)
z 2 ( z + 1)
z→
( z − 1) 3
2)µ : n → (n + 1) × n × e(n + 1)
3) p : n → 2 n + 1 × (n + 1) × e(n + 1)
4) q : n → 2 n + 1 × (n + 1) 2 × e(n + 1)
z 2 ( z + 1)
z2
z→
−
( z − 1) 3 ( z − 1) 2
2×
z2
( z − 2) 2
z 2 ( z + 2)
2×
( z − 2) 3
Début