exercices - Université de Poitiers

UNIVERSITÉ DE POITIERS
Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées
Mathématiques
PREMIÈRE ANNEE DE LA LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES
UE 2L02 « algèbre linéaire »
►Plan du cours
►Exercices
►Enoncés des épreuves écrites des années
2004-2005, 2005-2006 et 2006-2007
1
PLAN DU COURS
Référence : Mathématiques pour le DEUG. Algèbre 1er année, cours et exercices,
François Liret et Dominique Martinais. Dunod.
Chapitre 1 : MATRICES
1 Définitions et règles de calcul
1.1 Définitions
1.2 Opérations sur les matrices
1.3 Propriétés des opérations
1.4 Matrices inversibles et matrice inverse.
1.5 Matrice transposée, propriétés.
2 Matrices élémentaires
2.1 Définitions
2.2 Opérations élémentaires sur les colonnes
2.3 Opérations élémentaires sur les lignes
3 Utilisation des opérations élémentaires
4 Systèmes d’équations linéaires
4.1 Matrices inversibles et systèmes d’équations linéaires.
4.2 Méthode de Gauss.
4.3 Méthode de calcul de l’inverse d’une matrice.
Chapitre 2 : DETERMINANT D’UNE MATRICE
1 Définition
1.1 Définition
1.2 Exemples.
2 Propriétés du déterminant
2.1 Cas des matrices triangulaires et des matrices élémentaires.
2.2 Propriétés de forme alternée.
2.3 Déterminant d’un produit, de l’inverse et de la transposée.
3 Utilisation du déterminant
3.1 Inverse d’une matrice
3.2 Systèmes linéaires « inversibles », formules de Cramer
2
Chapitre 3 : ESPACES VECTORIELS
1 Règles de calcul
1.1 Opérations
1.2 Espace vectoriel produit
2 Sous-espace vectoriel
2.1 Définitions.
2.2 Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs
2.3 Intersection et somme
2.4 Sous-espace vectoriel supplémentaire.
3 Indépendance linéaire
4 Bases et dimension
4.1 Définitions.
4.2 Théorème de la base incomplète
4.3 Applications
4.4 Dimension.
5 Sous-espaces vectoriels de dimensions finies
Chapitre 4 : APPLICATIONS LINEAIRES
1 Définitions et premières propriétés
1.1 Définitions
1.2 Somme d’applications linéaires
1.3 Projection et symétrie
1.4 Application linéaire et image d’une base.
1.5 Applications linéaires et matrices
1.5 Composition et Isomorphismes
2 Application linéaire et sous-espace vectoriel
2.1 Image d’un sous-espace vectoriel
2.2 Noyau d’une application linéaire
2.3 Théorème de la dimension
3 Matrice d’une application linéaire.
3.1 Définition
3.2 Opérations.
3.3 Changement de bases.
3.4 Déterminant d’un endomorphisme
3
EXERCICES
Feuille 1 : matrices
Feuille 2 : déterminants
Feuille 3 : espaces vectoriels
Feuille 4 : applications linéaires
4
Feuille 1 : EXERCICES SUR LES MATRICES
5
6
7
8
9
Feuille 2 : EXERCICES SUR LES DÉTERMINANTS
10
11
12
Feuille 3 : EXERCICES SUR LES ESPACES VECTORIELS
13
14
15
16
Feuille 4 : EXERCICES SUR LES APPLICATIONS LINÉAIRES
17
18
19
20
ANNÉE 2004-2005
Contrôle
Examen
Examen de seconde session
21
Contrôle de Mathématiques du mardi 1er mars 2005, 8h15-10h15.
Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés.
A. Questions de cours :
Soit A = (aij ) 1≤i≤n , 1≤j≤n une matrice carrée à n lignes et n colonnes.
Pour 1≤i≤n , 1≤j≤n , qu’appelle t’on cofacteur du coefficient aij ?
Donner la définition de la comatrice de A.
Quelle est la relation entre A et sa comatrice ?
B. Exercices:
1
⎛ 1
⎞
−
0⎟
⎜
2
⎜ 2
⎟
0
1⎟
1. Soit A = ⎜ 0
1
⎜ 1
0⎟
⎜ 2
⎟
2
⎠
⎝
Calculer tA.A, A est-elle inversible et quel est son inverse ?
2. Soient a, b et c trois nombres réels. Résoudre le système suivant d’abord par la méthode du
pivot de Gauss, puis en utilisant les formules de Cramer :
x + 2y + z = a
2x + 3y – z = b
3x + y – z = c
⎛1 2 1 ⎞
⎜
⎟
Montrer que la matrice ⎜ 2 3 − 1⎟ est inversible et calculer son inverse.
⎜ 3 1 − 1⎟
⎝
⎠
3. Soient a, b, c et d quatre nombres réels et soit U le déterminant suivant :
1 1 1 1
a b c d
U=
.
a2 b2 c2 d 2
a 3 b3 c3 d 3
Expliquer pourquoi ce déterminant est nul si deux des réels a, b, c ou d sont égaux.
Calculer U sous forme factorisée.
4. Calculer le déterminant suivant :
1 −2 3
−1 3
2
2 − 4 −1
3 −3 4
0
1
−1
0
22
Epreuve de Mathématiques du vendredi 20 mai 2005, 9h-12h.
Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés.
B. Questions de cours :
Soit E un espace vectoriel sur un corps K ( avec K = Q, R ou C), de dimension n.
Soit f est un endomorphisme de E, c'est-à-dire une application linéaire de E dans E.
1) Donner la définition des sous-espaces vectoriels suivants : Im f, Ker f.
Quelle relation existe-t-il entre les dimensions de ces deux sous-espaces vectoriels de E ?
2) Si B = (e1, e2,…, en) une base de E, qu’appelle t’on matrice de f dans la base B ?
3) Soit B’ = (e’1, e’2,…, e’n) une autre base de E. On pose A = Mat(f, B ) et A’ = Mat(f, B’ ).
Donner et démontrer la relation existant entre A et A’.
4) Démontrer que les matrices A et A’ ont le même déterminant.
B. Exercices:
⎛1 −1 0⎞
⎜
⎟
5. Soit A = 2 ⎜ 0 1 1 ⎟ , montrer que A est inversible et calculer son inverse.
⎜ 2 0 1⎟
⎝
⎠
6. Calculer le déterminant des matrices suivantes :
⎛0
⎜
⎜3
⎜2
⎜
⎜1
⎝
1
0
3
2
2
1
0
3
3⎞
⎟
2⎟
,
1⎟
⎟
0 ⎟⎠
et
⎛1 a1
⎜
⎜1 1
⎜1 1
⎜
⎜: :
⎜1 1
⎜
⎜1 1
⎝
a2
a1
1
:
1
1
...
a2
a1
:
...
...
a n−2
...
...
.
1
1
a n −1 ⎞
⎟
an−2 ⎟
a n −3 ⎟
⎟
: ⎟
a1 ⎟⎟
1 ⎟⎠
7. Dans l’espace vectoriel E des applications de R dans R, montrer que l’ensemble F des
applications paires, et l’ensemble G des applications impaires sont des sous-espaces
vectoriels, et qu’ils sont supplémentaires.
23
8. Soient f et g les deux applications de R3 dans R2 définies par :
f(x, y, z ) = (2x+y+z , x-z)
et
g(x, y, z ) = (x² - y² , y + z ).
Les applications f et g sont-elles linéaires ? Si oui, donner une base de leurs images et de
leurs noyaux.
9. Soit
E = (e1, e2, e3) la base canonique de R3, et h une application linéaire de R3 dans R3
dont la matrice dans la base canonique E est :
⎛ 3 − 2 2⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 2 −1 4⎟ .
⎜1 −1 4⎟
⎝
⎠
On pose F = (u1, u2, u3) où u1, u2 et u3 sont des vecteurs de R3 dont les coordonnées dans la
base canonique sont :
u1 = (1, 1, 0) ,
a) Montrer que
u2 = (-2, 0, 1) , et u3 = (0, 1, 1).
F est une base de R3.
b) Ecrire la matrice de h dans la base
F . On désigne par B cette matrice.
c) Soit n>1 un nombre entier. Calculer Bn.
d) Calculer les vecteurs hn(e1), hn(e2), hn(e3), ainsi que la matrice An.
24
Epreuve de Mathématiques du vendredi 17 juin 2005, 9h-12h.
Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés.
C. Questions de cours :
Soit E un espace vectoriel sur un corps K ( avec K = Q, R ou C), de dimension n.
1) Qu’appelle t’on base de E ?
2) Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
- Que signifie l’expression « F et G sont supplémentaires » ?
- Donner une condition nécessaire et suffisante, utilisant les dimensions de F et de G, pour
que F et G soient supplémentaires.
D. Exercices:
10. Dans R4 on considère les vecteurs u1, u2, u3, u4 et u5 donnés par :
u1 = (0, -1, 1, 1) , u2 = (1, 0, 2, 1) , u3 = (1, 2, 1, 0) , u4 = (2, -1, 3, 2) , et u5 = (6, 2, 8, 2).
Soit E le sous-espace vectoriel de R4 engendré par les vecteurs u1, u2 et u4, et F le sousespace vectoriel de R4 engendré par u1, u3 et u5.
a) Pour chacun des sous-espaces vectoriels E, F, E + F et E∩F, donner une base.
b) Déterminer un supplémentaire de E dans R4 .
11. Calculer les déterminants suivants :
+ 2 +1 + 2 + 3
+3 +2 +2 −3
−1 +1 −1 +1
+1 −1 + 3 −1
1
1
1
et
M
1
1
1
1
0
M
0
0
1
0
O
O
L
L
L
L
O
O
0
0
1
0
M
0
1
0
1
0
M
0
0
1
25
12. a) Trouver les nombres réels x, y, z et t vérifiant le système suivant :
2x – y – z - 2t = 1
x - y - z - 2t = 0
2x – y – z - 2t = 1
x – y – z - 2t = 0
b) On considère la matrice A de M4(R) définie par :
⎛ 2 −1 −1 − 2⎞
⎜
⎟
⎜1 −1 −1 − 2⎟
A= ⎜
2 −1 −1 − 2⎟
⎜
⎟
⎜1 −1 −1 − 2⎟
⎝
⎠
On désigne par f l’endomorphisme de R4 dont la matrice, dans la base canonique est A.
Déterminer une base du noyau de f et une base de son image.
13. Soit E un espace vectoriel sur un corps K ( avec K = Q, R ou C), on désigne par f un
endomorphisme de E.
a) Montrer que :
Ker( f ) ⊆ Ker ( f o f ) et Im ( f o f ) ⊆ Im ( f ) .
b) En déduire que si E est de dimension finie alors on a:
Im ( f o f ) = Im ( f ) si et seulement si Ker( f ) = Ker ( f o f ) .
26
ANNÉE 2005-2006
Contrôle
Examen
Examen de seconde session
27
Contrôle de Mathématiques du mercredi 24 mai 2006, 14h-16h.
Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés.
E. Questions de cours :
Soit A = (aij ) 1≤i≤n , 1≤j≤n une matrice carrée à n lignes et n colonnes.
Que signifie la terminologie : « A est inversible » ?
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A soit inversible.
Démontrer que s’il existe une matrice carrée B, à n lignes et n colonnes, telle que AB = I,
alors A et B sont inversibles.
F. Exercices:
14. Soit x un nombre réel et soit D(n) le déterminant de la matrice (aij ) 1≤i≤n , 1≤j≤n définie par :
aii = 1+x²,
aij = x si |i-j|=1,
aij =0 dans les autres cas ;
1. Exprimer D(n) en fonction de D(n-1), D(n-2) et x.
2. En déduire que D(n) – D(n-1) = x2n-4 (D(2) – D(1))
3. En déduire la valeur de D(n) .
15. Résoudre le système suivant en fonction du paramètre réel m :
x + my +
z= 1
mx + y + (m-1) z = m
x+ y+
z = m+1
16. On dit qu’une matrice carrée A est nilpotente, s’il existe un entier k tel que Ak = 0,
a) Montrer qu’une matrice A = (aij ) 1≤i≤n , 1≤j≤n telle que aij = 0 pour i ≤ j est nilpotente.
b) Soient deux matrices carrées A et B telles que AB = BA.
Vérifier que pour tout entier n on a :
( A + B) n
Ap Bq
= ∑
n!
p + q = n p! q!
En déduire que si de plus A et B sont nilpotentes alors leur somme A+B est une matrice
nilpotente.
c) Si A est qu’une matrice carrée nilpotente, telle que Ak = 0 pour un entier k,
on définit alors l’exponentielle de la matrice A, noté eA , par :
1
1
1
1
eA = I +
A+
A2 +
A3 + …+
Ak-1
(1)!
(2)!
(3)!
(k − 1)!
Démontrer qui si A et B sont deux matrices nilpotentes telles que AB = BA, alors on a :
eA+B = eA eB .
28
Epreuve de Mathématiques du 15 juin 2006
Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés.
G. Questions de cours :
- Donner la définition du déterminant d’une matrice carrée et énoncer quelques unes de ses
propriétés.
- Qu’appelle t’on base d’un espace vectoriel sur R ?
- Soit h est une application R-linéaire de Rn dans Rn, donner des conditions nécessaires et
suffisantes pour que h soit bijective.
H. Exercices:
⎛0 1 1⎞
⎜
⎟
17. On désigne par M la matrice suivante : ⎜ 1 0 1 ⎟ .
⎜1 1 0⎟
⎝
⎠
Calculer M 2 – M .
En déduire que M est inversible et calculer M
-1
.
18. Déterminer le noyau et l’image de l’application linéaire f de R3 dans R4 dont la matrice A
dans les bases canoniques est :
⎛2 1 −1⎞
⎜
⎟
2⎟
⎜1 −1
A= ⎜
4 5 − 7⎟
⎜
⎟
⎜0
3 − 5 ⎟⎠
⎝
Donner une base des espaces vectoriels Im f et Ker f .
Compléter la base de Im f en une base de R4.
19. Une application linéaire p de Rn dans Rn est appelée projecteur si pop = p .
a- Montrer que si la matrice A d’une application linéaire de Rn dans Rn dans la base
canonique est de la forme:
⎛1
⎜
⎜0
⎜M
A= ⎜
⎜0
⎜0
⎜
⎜0
⎝
0
1
M
0
0
0
K 0
0 0
O M
K 1
L L
L L
K
K
L
L
0
0
0⎞
⎟
0⎟
M⎟
⎟
M⎟
0 ⎟⎟
0 ⎟⎠
Alors cette application linéaire est un projecteur.
b- Soit p un projecteur de Rn dans Rn .
• Montrer que si un vecteur x est dans l’image de p, alors p(x) = x.
29
En déduire que
Im(p) ∩ Ker(p) = {0}.
Montrer que Rn = Im(p) ⊕ Ker(p) .
• Soit (e1, e2, …, ek) une base de Im(p).
Montrer qu’il existe des vecteurs
ek+1, …, en de Ker(p) tels que (e1, e2, …, ek, ek+1,…, en)
n
forment une base de R .
Ecrire la matrice de p dans cette base.
c- Donner un exemple de deux projecteurs p et q de Rn dans Rn (n>1) tels que p+q soit un
projecteur.
d- Soient p et q deux projecteurs Rn dans Rn tels que poq + qop = 0.
Vérifier alors que p+q est un projecteur et que poq = qop = 0.
Monter que : Ker(p+q) = Ker(p) ∩ Ker(q) et que Im(p) ∩ Im(q) = {0}.
En déduire que : Im(p+q) = Im(p) ⊕ Im(q) .
.
30
Epreuve de Mathématiques du 30 août 2006
La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements seront des éléments majeurs
d'appréciation de la copie.
Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés.
I. Questions de cours :
Soit (e1, e2, …, en) une base de Rn, et soit f est une application R-linéaire de Rn dans Rn .
- Qu’appelle t’on matrice de f dans la base (e1, e2, …, en) ?
On note Mat(f, (e1, e2, …, en) ) la matrice définie ci-dessus.
Soit (e’1, e’2, …, e’n) une autre base de Rn., et soit P la matrice dont les colonnes sont les
coordonnées de (e’1, e’2, …, e’n ) dans la base (e1, e2, …, en ) .
- Exprimer la matrice Mat(f, (e’1, e’2, …, e’n) ) en fonction de la matrice Mat(f, (e1, e2, …,
en) ) et de la matrice P .
- Démontrer que les matrices Mat(f, (e1, e2, …, en) ) et Mat(f, (e’1, e’2, …, e’n) ) ont le
même déterminant.
Soit R2 muni de sa base canonique (ε 1, ε
rotation, centrée à l’origine, d’angle θ.
2
). Donner dans cette base la matrice de la
J. Exercices:
⎛2 −1
⎜
0
⎜1
20. On désigne par M la matrice suivante : ⎜
2 −2
⎜
⎜1 −1
⎝
1 1⎞
⎟
1 1⎟
.
3 0⎟
⎟
1 2 ⎟⎠
Montrer que M est inversible et calculer son inverse.
2. Soit n un entier naturel non nul.
On désigne par E la matrice carrée à n lignes et n colonnes dont tous les éléments valent 1.
Soient a1, a2, …, an n nombre réels, on désigne par Diag(a1, a2, …, an ) la matrice carrée,
diagonale, dont les éléments de la diagonale sont successivement a1, a2, …, an .
31
On désigne par ∆n le déterminant de la matrice E+Diag(a1, a2, …, an ) .
1.
2.
Calculer ∆2
1 + a1
1
=
et ∆3 =
1
1 + a2
1 + a1
1
1
1
1 + a2
1
1
1
1 + a3
Pour n>1 démontrer la relation :
∆n = an ∆n-1 + a1.a2…an-1
En déduire la valeur de ∆n
21. Soit f l’application linéaire de R3 dans R3 définie par :
f (x,y,z) = (x-y+z, x+z, 2x-y+2z)
Déterminer l’image et le noyau de cette application f.
Donner une base de Im(f) et de Ker(f) .
Donner une base (e1, e2, e3) de R3 telle que la matrice de f dans cette base s’écrive :
⎛0 0 0⎞
⎜
⎟
Mat(f, (e1, e2, e3) ) = ⎜ 0 1 0 ⎟ .
⎜0 0 2⎟
⎝
⎠
32
ANNÉE 2006-2007
Contrôle
Examen
Examen de seconde session
33
Contrôle de Mathématiques du mardi 20 mars, 8h15-10h15.
Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés.
A. Questions de cours :
1) Soit E un R- espace vectoriel de dimension n et soient F et G deux sous-espaces vectoriels de
E.
- Que signifie l’expression « F et G sont supplémentaires » ?
- Donner une condition nécessaire et suffisante, utilisant les dimensions de F et de G, pour
que F et G soient supplémentaires.
2) Dans l’espace vectoriel des fonctions de R dans R, montrer que le sous-espace vectoriel des
fonctions paires et le sous-espace vectoriel des fonctions impaires sont supplémentaires.
B. Problème :
On note M3(C) le C- espace vectoriel des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients dans C.
La matrice unité d’ordre trois est notée I.
⎛a b b⎞
⎜
⎟
Soit E l’ensemble des matrices de M3(C) de la forme M(a,b) = ⎜ b a b ⎟ avec a et b dans C.
⎜b b a⎟
⎝
⎠
1) Montrer que E est un espace vectoriel. Préciser la dimension et une base de E.
Calculer le produit M(a,b).M(a’,b’) où a, b, a’ b’ sont dans C.
En déduire que si A et B sont deux matrices de E alors A.B est dans E et A.B = B.A.
2) Exprimer le déterminant de M(a,b) sous forme factorisée.
3) Calculer l’inverse de M(a,b) quand elle est inversible et montrer alors que l’inverse est dans
E. On considère, dans C3, le système :
ax + y + z = a² – 3
x + ay + z = 2a – 4
x + y + az = –2
Pour quelles valeurs de a le système est-il de Cramer ? Résoudre en ce cas le système avec
les formules de Cramer.
Résoudre le système dans les autres cas.
4) On pose A = M(1,-1) .
Montrer que, pour tout entier n, il existe deux entiers un et vn tels An = un A + vn I .
Préciser les relations de récurrence donnant un et vn en fonction de un-1 et vn-1.
34
Examen de Mathématiques du lundi 14 mai, 8h15-11h15.
L’usage de tout document et de tout matériel électronique est interdit.
La qualité de la rédaction et la rigueur des justifications seront prises en compte dans
l’appréciation de la copie.
Exercice 1. Calculer le rang de la matrice suivante :
0
1
1
0 −1 −1
1 −1
1
1
0 −1
1 −1 −1
0
Cette matrice est-elle inversible ?
Exercice 2. Soit a un paramètre réel quelconque. Résoudre le système suivant :
x + 3y + 7z = 8
−2x − 6y + 3z = a
3x + 9y + 5z = 8
Exercice 3. Calculer les deux déterminants suivants :
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
4
5
2
3
4
5
1
2
5
6
3
4
5
6
1
2
6
7
4
5
6
7
(Indication : on évitera de développer directement)
Exercice 4. Soit E un K-espace vectoriel engendré par un nombre fini de vecteurs.
(a) Donner la définition d’une base et de la dimension de E.
Dans la suite on fixe E = R4.
Soient u1 = (1, 2, 5, 8), u2 = (4, 6, 1, 0), u3 =(2, 2,−9,−16), v1 = (1, 4, 2, 3), v2 = (2, 8, 4, 6) et
v3 = (2, 8, 5, 8) des vecteurs de R4. Notons F le sous-espace vectoriel de R4 engendré par u1, u2 et
u3 et G le sous-espace vectoriel de R4 engendré par v1, v2 et v3.
35
(b) Déterminer une base de F et une base de G.
(c) En déduire les dimensions de F et de G.
(d) Calculer la dimension de F + G.
(e) R4 est-il la somme directe des sous-espaces vectoriels F et G ?
Exercice 5. Soit f l’endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base canonique Ε 4 de R4 est :
⎛0
⎜
⎜3
Mat (f, Ε4 ) = ⎜
2
⎜
⎜4
⎝
1 3 3⎞
⎟
2 0 16 ⎟
.
1 −1 9 ⎟
⎟
3 1 22 ⎟⎠
(a) Soit (x, y, z, t) un vecteur R4, exprimer f(x, y, z, t).
(b) Donner une base du noyau de f .
(c) En déduire le rang de f .
(d) Soit g l’application de R3 dans R4 définie par :
g(u, v, w) = ( u, v, -2u+ v, w).
Vérifier que g est linéaire. Expliquer pourquoi g ne peut pas être surjective.
Calculer les matrices de g et de fog lorsque R3 et R4 sont munis de leur base canonique.
(e) Montrer que l’image de g et le noyau de f sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans
R4 . .
36
37
38