Carte de distance, dilatation et axe median

Transcription

Questions
Qu’est-ce que le “centre” ou “milieu” d’une forme ?
un objet 3D
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
son axe médian
1/31
Carte de distance, dilatation et axe median
Jean Cousty & Hugues Talbot
ISBS 2004-2014
Morphologie Mathématique
2/31
Plan de la séance
1 Carte de distance
2 Dilatation & carte de distance
3 Axe médian
3/31
Carte de distance
Distance
Définition
Une application d de E × E dans R est une distance sur E si
1
2
3
4
∀x ∈ E , d (x, x) = 0
∀x, y ∈ E , x 6= y =⇒ d (x, y ) > 0 (positive)
∀x, y ∈ E , d (x, y ) = d (y , x) (symétrie)
∀x, y , z ∈ E d (x, z) ≤ d (x, y ) + d (y , z) (inégalité triangulaire)
4/31
Carte de distance
Exemples de distance sur Z2
3
y
2
1
x
0
0
1
2
3
4
5
6
x = (xi , xj ) = (2, 1) et y = (yi , yj ) = (5, 3)
5/31
Carte de distance
3
y
2
1
x
0
0
1
2
3
4
5
6
x = (xi , xj ) = (2, 1) et y = (yi , yj ) = (5, 3)
Distance euclidienne
p
de (x, y ) =
(yi − xi )2 + (yj − xj )2 =
√
9+4=
√
13 ≈ 3, 6
5/31
Carte de distance
3
y
2
1
x
0
0
1
2
3
4
5
6
x = (xi , xj ) = (2, 1) et y = (yi , yj ) = (5, 3)
p
de (x, y ) =
(yi − xi )2 + (yj − xj )2 =
√
9+4=
√
13 ≈ 3, 6
Distance de Manhattan
d4 (x, y ) = |yi − xi | + |y2 − x2 | = 3 + 2 = 5
5/31
Carte de distance
3
y
2
1
x
0
0
1
2
3
4
5
6
x = (xi , xj ) = (2, 1) et y = (yi , yj ) = (5, 3)
p
de (x, y ) =
(yi − xi )2 + (yj − xj )2 =
√
9+4=
√
13 ≈ 3, 6
Distance de Manhattan
d4 (x, y ) = |yi − xi | + |y2 − x2 | = 3 + 2 = 5
Distance de Tchebychev
D8 (x, y ) = max(|yi − xi |, |yj − xj |) = max(3, 2) = 3
5/31
Carte de distance
Réseau non-orienté
Un réseau R = (E , Γ, `) est non-orienté si
(E , Γ) est un graphe symétrique
→
−
2 ∀(x, y ) ∈ Γ `(x, y ) = `(y , x)
1
5
x
7
5
5
11
5
5
7
5
5
5
5
7
y5
5
6/31
Carte de distance
Réseau non-orienté
Un réseau R = (E , Γ, `) est non-orienté si
(E , Γ) est un graphe symétrique
→
−
2 ∀(x, y ) ∈ Γ `(x, y ) = `(y , x)
1
Si R est non-orienté, alors
∀x, y ∈ E , Lx (y ) = Ly (x)
5
x
7
5
5
11
5
5
7
5
5
5
5
7
y5
5
6/31
Carte de distance
Distance géodésique
Propriété
Soit R = (E , Γ, `) un réseau non-orienté à longueurs strictement
positives
Soit dR l’application de E × E dans R définie par
∀x, y ∈ E , dR (x, y ) = Lx (y ) = Ly (x)
7/31
Carte de distance
Propriété
positives
∀x, y ∈ E , dR (x, y ) = Lx (y ) = Ly (x)
Alors, l’application dR est une distance sur E
7/31
Carte de distance
Propriété
positives
∀x, y ∈ E , dR (x, y ) = Lx (y ) = Ly (x)
Alors, l’application dR est une distance sur E
Définition
Si R = (E , Γ, `) est un réseau non-orienté à longueurs strictement
positives, la distance dR est appelé distance géodésique (dans R)
7/31
Carte de distance
Exemple de distance géodésique
Longueur des arêtes rouges : 1
(horizontale et verticale)
√
Longueur des arêtes bleues : 2
(diagonale)
8/31
Carte de distance
Exemple de distance géodésique
y
x
Longueur des arêtes rouges : 1
(horizontale et verticale)
√
Longueur des arêtes bleues : 2
(diagonale)
√
dR (x, y ) = 2 2 + 1 ≈ 3, 8
8/31
Carte de distance
Carte de distance
Définition
Soit X ⊆ E et d une distance sur E
La carte de distance à X (pour la distance d ) est l’application DX
de E dans R définie par
∀y ∈ E , DX (y ) = min{d (x, y ) | x ∈ X }
9/31
Carte de distance
Exemple : Carte de distance géodésique
0
7
5
5
0
x
5
5
10 5
7
5
11
5
5
5
5
5
7
10 5
5
7
y5
11
X : sommets blancs
DX : nombres en gras, italique rouge
10/31
Carte de distance
Carte de distance géodésique : algorithme
Exercice. Proposer un algorithme
dont les données sont
un réseau R = (E , Γ, `) non-orienté à longueurs strictement
positives, et
un sous-ensemble X ⊆ E de sommets
et dont le résultat est
la carte de distance DX à X (pour la distance géodésique dR )
Indication. Modifier un algorithme connu
11/31
Carte de distance
Réseau à longueurs uniformes
Définition
Un réseau à longueurs uniformes est un réseau (E , Γ, `) tel que
→
−
∀u ∈ Γ , `(u) = 1
12/31
Carte de distance
Exemple 2 : Carte de distance dans un réseau à longueur
uniformes
Exemple au tableau
Remarque.
d4 = dR où R est le réseau à longueurs uniformes sur Z2 donné par
l’élément structurant Γ4
d8 = dR où R est le réseau à longueurs uniformes sur Z2 donné par
l’élément structurant Γ8
13/31
Carte de distance
Illustration en image
X (en nooir)
14/31
Carte de distance
Carte de distance à X (distance d4 )
14/31
Carte de distance
Carte de distance géodésique dans un réseau à longueurs
uniformes : algorithme
Exercice. Proposer un algorithme
dont les données sont
un réseau (E , Γ, `) non-orienté à longueurs uniformes, et
un sous-ensemble X ⊆ E de sommets
et dont le résultat est
la carte de distance DX à X (pour la distance dR )
Indication. Modifier l’algorithme TRANS pour obtenir un algorithme en
0(n + m)
15/31
Carte de distance
Comparaison de cartes de distance
Cartes de distance à X ⊆ Z2 , contenant un unique point localisé au
centre de l’image
d4
d8
distance géodésique
de
(graphe rouge
et bleu)
16/31
Dilatation & carte de distance
Rappel : opérateur de voisinage
Soit d une certaine distance sur E
δr ,d est l’opérateur défini par
∀X ∈ P(E ), δr ,d (X ) = {x ∈ E | ∃y ∈ X , d (x, y ) ≤ r }
δr ,d (X ) peut être considéré comme un voisinage de X (de taille r ,
pour la distance d )
X
ψr ,d (X )
δr?,d (X )
δr ,d est une dilatation algébrique car il commute avec l’union
17/31
Rappel : dilatations par élément structurant
Définition
Soit Γ une application de E dans P(E )
(E , Γ) est donc un graphe
La dilatation (morphologique) δΓ par Γ est l’opérateur qui à
tout X ∈ P(E ) fait correspondre l’ensemble
δΓ (X ) = X ⊕ Γ = ∪{Γ(x) | x ∈ X }
18/31
Rappel : dilatations par élément structurant
Définition
Soit Γ une application de E dans P(E )
(E , Γ) est donc un graphe
La dilatation (morphologique) δΓ par Γ est l’opérateur qui à
tout X ∈ P(E ) fait correspondre l’ensemble
δΓ (X ) = X ⊕ Γ = ∪{Γ(x) | x ∈ X }
Exemple (dilatation itérée, i ∈ N)
1
δΓ0 (X ) = X
2
δΓ1 (X ) = δΓ (δΓ0 (X )) = δΓ (X )
3
δΓ2 (X ) = δΓ (δΓ1 (X )) = δΓ (δΓ (X ))
4
δΓi (X ) = δΓ (δΓi−1 (X )) = δΓ (. . . δΓ (X ) . . .)
18/31
Application voisinage et carte de distance
Propriété
Soit d une distance quelconque sur E , soit r ∈ R
∀X ⊆ E , δr ,d (X ) = {x ∈ E | DX (x) ≤ R}
∀X ⊆ E , δr?,d (X ) = {x ∈ E | DX (x) > r }
19/31
Application voisinage et carte de distance
Propriété
Soit d une distance quelconque sur E , soit r ∈ R
∀X ⊆ E , δr ,d (X ) = {x ∈ E | DX (x) ≤ R}
∀X ⊆ E , δr?,d (X ) = {x ∈ E | DX (x) > r }
Conséquence
Etant donné la carte de distance DX , δr ,d (X ) peut être calculé
en O(n) (où n = |E |)
19/31
Dilatation par un élément structurant symétrique
Propriété
Soit R = (E , Γ, `) un réseau non-orienté à longueurs uniformes
∀X ⊆ E , δΓ (X ) = δd1R (X )
∀X ⊆ E , ∀r ∈ N, δΓr (X ) = δdr R (X )
20/31
Dilatation par un élément structurant symétrique
Propriété
∀X ⊆ E , δΓ (X ) = δd1R (X )
∀X ⊆ E , ∀r ∈ N, δΓr (X ) = δdr R (X )
Conséquence
δΓr (X ) peut donc être calculé en temps O(n + m), où n = |E |
→
−
et m = | Γ |
20/31
X (in black)
21/31
Carte de distance à X (distance d4 )
21/31
./Figures/zebreDilation.mov
dilatations itérées : {ΓN (X )}
21/31
Axe médian
Axe médian : analogie des feux de prairies
./Figures/feudeprairie.avi
Introduit par Blum dans les années dans les années 60
Première notion de squelette d’une forme
Fournit des informations utiles sur la forme à analyser
22/31
Axe médian
Boule
Définition
Soit d une distance sur E , x ∈ E et r ∈ R
δr ,d (x) = δr ,d ({x}) est la boule de rayon r centrée en x (pour d )
23/31
Axe médian
Boule
Définition
x
δd0R (x) = δΓ0 ({x})
Réseau R non-orienté à longueurs
uniformes
23/31
Axe médian
Boule
Définition
x
δd1R (x) = δΓ1 ({x})
uniformes
23/31
Axe médian
Boule
Définition
x
δd2R (x) = δΓ2 ({x})
uniformes
23/31
Axe médian
Boule
Définition
x
uniformes
δd3R (x) = δΓ3 ({x})
23/31
Axe médian
Boule maximale
Définition
Soit d une distance sur E , soient X ⊆ E , x ∈ E et r ∈ R
δr ,d (x) est une boule maximale dans X si
δr ,d (x) ⊆ X
0
0
∀y ∈ E , ∀r 0 ∈ R, si Γr (x) ⊆ Γr (y ) ⊆ X , alors Γr (x) = Γr (y )
24/31
Axe médian
Boule maximale
Définition
δr ,d (x) ⊆ X
0
0
X en rouge et noir
Une boule qui n’est pas
maximale dans X
uniformes
24/31
Axe médian
Boule maximale
Définition
δr ,d (x) ⊆ X
0
0
X en rouge et noir
uniformes
Une boule maximale
dans X
24/31
Axe médian
Boule maximale
Définition
δr ,d (x) ⊆ X
0
0
X en rouge et noir
uniformes
Une boule maximale
dans X
24/31
Axe médian
Axe médian
Définition
Soit d une distance sur E et soit X ⊆ E
L’axe médian de X , désigné par AM(X ), est l’ensemble des centres
des boules maximales dans X
25/31
Axe médian
Axe médian
Définition
Soit d une distance sur E et soit X ⊆ E
L’axe médian de X , désigné par AM(X ), est l’ensemble des centres
des boules maximales dans X
25/31
Axe médian
Exercice
Calculer l’axe médian de l’ensemble X composé des points noirs
Utiliser la distance géodésique dR dans le réseau à longueurs
uniformes
26/31
Axe médian
Axe médian : illustration en image
27/31
Axe médian
Utilisation de l’axe médian en imagerie médicale
Colloscopie virtuelle
./Figures/ct.mov
Série d’images 2D composant un scanner 3D du colon
28/31
Axe médian
./Figures/segmentation.mov
Extraction du colon
28/31
Axe médian
./Figures/paths.mov
Axe médian du colon
28/31
Axe médian
./Figures/colono.mov
Colloscopie virtuelle : la caméra virtuelle suit l’axe médian
28/31
Axe médian
Calcul de l’axe médian
et X ⊆ E
Soit DX la carte de distance à X pour la distance géodésique dR
Le point x ∈ E est un maximum local DX si
∀y ∈ Γ(x), DX (y ) ≤ DX (x)
29/31
Axe médian
Calcul de l’axe médian
et X ⊆ E
Soit DX la carte de distance à X pour la distance géodésique dR
Le point x ∈ E est un maximum local DX si
∀y ∈ Γ(x), DX (y ) ≤ DX (x)
Propriété
L’axe médian de X est l’ensemble des maxima locaux de DX
29/31
Axe médian
Rappel : fermeture transitive de {x}
Algorithme TRANS ( Données : (E , Γ), x ∈ E ;
ˆ ({x}))
Résultat : Z = δΓn−1
X := {x} ; Y := ∅ ; Z := {x} ;
Pour chaque i de 1 à n − 1 Faire
Tant que ∃x ∈ X Faire
X := X \ {x} ;
Pour chaque y ∈ Γ(x) Faire
Si y ∈
/ Z Alors Y := Y ∪ {y } ; Z := Z ∪ {y } ;
X := Y ; Y := ∅ ;
30/31
Axe médian
Rappel : longueurs des plus courts chemins
Algorithme DIJKSTRA ( Données : (E , Γ, `), n = |E |, x ∈ E ;
Résultat : Lx )
S := ∅ ;
Pour chaque y ∈ E Faire Lx [y ] = ∞ ; S := S ∪ {y } ;
Lx [x] := 0 ; k := 0 ; µ := 0 ;
Tant que k < n et µ 6= ∞ Faire
Extraire un sommet y ? ∈ S tel que Lx [y ? ] = min{Lx [y ], y ∈ S}
k + + ; µ := Lx [y ? ] ;
Pour chaque y ∈ Γ(y ? ) ∩ S Faire
Lx [y ] := min{Lx [y ], Lx [y ? ] + `(y ? , y )} ;
31/31

Carte de distance, dilatation et axe median

Transcription

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