Corrigé des exercices facultatifs du TD 4

ADP1 © Mireille Lagarrigue Université Paris Descartes 2009-2010 Licence de Psychologie
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CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS
TD ADP1 SEANCE 4
Dossier "Déficience"
1) n = 30 pour les 2 groupes. Les classes sont d'amplitudes différentes donc...Utiliser la
densité (rappel : densité = effectif/amplitude).
Durée des erreurs
(0 ;100)
(100 ; 200)
(200 ; 300)
(300 ; 500)
(500 ; 600)
(600 ; 1000)
Durée des erreurs
(0 ; 100)
(100 ; 200)
(200 ; 300)
(300 ; 500)
(500 ; 600)
(600 ; 1000)
Nombre de déficients
masculins
8
3
3
4
4
8
Amplitude
Nombre de déficients
féminins
7
0
2
2
7
12
Amplitude
Densité
(×100)
8
3
3
2
4
2
100
100
100
200
100
400
Densité
(×100)
7
0
2
1
7
3
100
100
100
200
100
400
Densité
8
6
4
2
0
0
100
200
300
500
600
1000
Durée des erreurs (classes) - Garçons
D e n s ité
8
6
4
2
0
0
100
200
300
500
600
1000
D u r é e d e s e r r e u r s (c la ss e s) - F ill e s
La classe (100 ; 200) est inexistante chez les filles. Les filles sont plus nombreuses pour les
classes (500 ; 600) et (600 ; 1000) et moins nombreuses pour les classes (0 ; 100) et (300 ;
500). Globalement, la durée des erreurs est plus longue chez les filles.
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2) Pour les garçons : le rang médian est 15.5 (30/2 +1/2). La classe médiane est (300 ; 500).
Pour les filles : la classe médiane est (500 ; 600).
3) Le rang du premier quartile est 8 (30/4 + ½). Pour les garçons, la classe contenant Q1 est
(0 ; 100). Pour les filles, la classe contenant Q1 est (200 ; 300).
Le rang du troisième quartile est 23 (3 × 30/4 +1/2). Pour les garçons, la classe contenant Q3
est (600 ; 1000). Pour les filles, la classe contenant Q3 est (600 ; 1000).
Dossier "Internet"
On a relevé l'âge de 100 personnes utilisant régulièrement Internet. On a obtenu les résultats
suivants :
Amplitude
Densité
Classes d'âge
Effectifs
(8 ; 23)
15
15
1
(23 ; 28)
10
5
2
(28 ; 48)
50
20
2.5
(48 ; 53)
10
5
2
(53 ; 68)
15
15
1
Première étape lorsque l'on affaire à un tel tableau : calculer l'amplitude des classes.
Exemples
pour la classe (8 ; 23) : 23 – 8 = 15
pour la classe (28 ; 48) : 48 – 28 = 20
On s'aperçoit immédiatement que les classes ne sont pas de même amplitude… Donc, ceci
implique qu'il faut calculer la densité. Lors de la construction de l'histogramme, mettre les
effectifs en ordonnées n'est absolument pas pertinent (à l'exam si "effectifs" en ordonnées
alors que les classes sont d'amplitudes différentes = 0 !).
Amplitude
15
; exemples pour la classe (8 ; 23) : densité =
Rappel : Densité =
=1
Effectif
15
20
Pour la classe (28 ; 48) : densité =
= 2 .5
50
1) Représenter ces données sous forme d'un histogramme et indiquer les légendes :
Attention ! En abscisses, on doit respecter l'amplitude des classes.
Commentaires : la forme de la distribution est symétrique, "bien équilibrée" (nous verrons la
Loi Normale plus tard).
D ensité
.................
.................
2.5
2
1
8
18
28
.........................................
38
 ges
Le mode se situe à la classe (28 ; 48).
48
58
68
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2) Il nous faut construire le tableau des effectifs cumulés pour trouver la classe médiane
Pour cette question et les suivantes, les résultats seront présentés arrondis à 2 décimales.
Classes d'âge
Effectifs
Effectifs
cumulés
(8 ; 23)
15
15
(23 ; 28)
10
25
(28 ; 48)
50
75
(48 ; 53)
10
85
(53 ; 68)
15
100
RAPPELS:
Les effectifs cumulés s'obtiennent en additionnant l'effectif d'une classe concernée à celui
observé ou effectué précédemment.
Exemple : on démarre à 15, effectif observé pour la classe (8 ; 23) ; on ajoute l'effectif 10
observé pour la classe (23 ; 28), on obtient un cumul égal à 25. A ce cumul, on ajoute l'effectif
50 observé pour la classe (28 ; 48), on obtient l'effectif cumulé 75, et ainsi de suite, jusqu'à
obtention de l'effectif total égal à 100.
Recherche de la classe médiane
Le rang médian est n/2+1/2 = 100/2+0,5= 50,5.
La classe médiane est donc la classe (28 ; 48).
3) Classe du premier quartile et classe du troisième quartile.
Le rang du premier quartile est ¼ (100) + ½ = 25,5
Donc la classe du premier quartile est la classe (28 ;48)
Le rang du 3ème quartile est ¾ (100)+ ½ =) 75,5
Donc la classe du 3ème quartile est la classe (48 ; 53)
MOYENNE
1) Calcul de la Moyenne
UTILISATIO8 DES CALCULETTES. VOIR FICHE SUR LE
SITE PIAGET
1) Formules de la moyenne classique (équipondérée)
On veut calculer la moyenne de 4 notes : 4, 12, 16, 20.
Pour ce faire, il suffit de calculer la moyenne "classique" (équipondérée), qui est un cas
particulier de moyenne pondérée où tous les coefficients de pondération sont égaux.
∑ xi
La formule habituelle de la moyenne équipondérée est m = i∈I
n
1
Si l’on note pi = , le poids relatif de chaque individu on peut écrire: Moy = ∑ p i x i
n
i∈I
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La formule de la moyenne peut s’écrire : 4 + 12 + 16 + 20 (formule traditionnelle), ou:
4
1  1
 1
 1

 × 4 +  × 12 +  × 16 +  × 20
4  4
 4
 4

= 1 + 3 + 4 + 5 == 13
1, 3, 4 et 5 sont les contributions absolues de chaque individu à la moyenne.
2) Dossier Moyenne Exercice 1: Moyenne pondérée par des coefficients αk Matière
Maths
Philo.
Français
Sc. Vie Terre
LV1
8ote
08
13
08
03
12
Coeff
1
5
3
1
4
Question: Cet élève a-t-il obtenu son bac?
Formule de calcul
Moy = ∑ α i x i
∑
α
i
Moy = [(1 × 8) + (5 × 13) + (3 × 8) + (1 × 3) + (4 × 12)] / (1+5+3+1+4) = 148 / 14 = 10.57
La réponse est OUI.
(pour info σ = 2.95)
Formule de définition:
A la formule précédente on peut préférer une autre formule, moins précise pour les calculs,
mais peut-être un peu plus intuitive:
On définit le poids relatif: pi =
αi
∑α i
Ajouter dans le tableau de données une colonne poids relatif
On peut alors donner la formule suivante de la moyenne pondérée : Moy = ∑ pi ⋅ xi
Ce qui donnerait ici:
Moy = (1/14 × 8) + (5/14 × 13) + ... + (4/14 × 12) = 10.57 (à condition de ne pas prendre des
valeurs arrondies pour les poids relatifs)
3/ Dossier Moyenne Exercice 2 - Moyenne pondérée par les effectifs Dans un groupe de TD, la distribution d'effectifs des âges est la suivante
k
18
19
21
22
23
Age (x )
7
15
5
2
2
Effectif (nk)
On veut connaître l’âge moyen dans ce groupe.Formules de calcul
On note:
xk l'ensemble des valeurs observées pour la variable "Age"
nk le nombre d'individus d'âge xk.
Moy = m =
∑
K
nk x
n
k
27
1
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m = [(7×18) + (15 × 19) + (5 × 21) + (2 × 22) + (2 × 23) + (1 × 27)] / 32
donner la réponse : m = 20 ans environ (19.78) (remarque σ = 1,948)
Formule de définition
Si l’on note f k = nk , le poids relatif de la classe d'âge k on peut écrire:
n
Moy = m =
∑ fk x
k
K
m = [(7/32×18) + (15/32 × 19) + (5/32 × 21) + (2/32 × 22) + (2/32 × 23) + (1/32 × 27)]
4/ Dossier Moyenne Exercice 3 - Moyenne et moyenne pondérée Soient les notes suivantes
obtenues par 8 élèves répartis en 2 groupes:
g1 (n1=5)
5 6 7 2 0
g2 (n2=3)
9 13 14
Faire calculer la moyenne générale des n = 8 notes (sans considération des groupes): m = 7
g1
g2
Faire calculer la moyenne de chaque groupe : m = 4.00 et m = 12.00
g1
g2
Faire calculer la moyenne globale à partir des 2 moyennes m et m .
Constater que calculer une moyenne pondérée est le seul moyen de retrouver la moyenne
générale des n = 8 notes.
5/ Dossier Moyenne Exercice 4 - "Referendum"
Suite à un référendum, on ne connaît que les résultats de la Province et de l'Ile de France
séparément. Qui a gagné, le OUI ou le NON? Organiser un vote rapide à main levée.
OUI
Province
45%
Ile de France 60%
France
?
NON
Nb Suff. Exprimés
55%
15 Millions
40%
5 Millions
?
20 Millions
60 + 45
La moyenne équipondérée des % de OUI (
= 52.50 ) conduit à penser, à tort, que le
2
OUI a gagné.
Calcul à partir des effectifs :
Calculer alors le nombre de OUI en Province (6.75M) et le nombre de OUI en Ile de France
(3M), puis le total de OUI (9.75M). Calculer le % de OUI sur l'ensemble des électeurs
9.75
(
= 48.75% ).
20
C'est en fait le NON qui a gagné!
Calcul à partir des pourcentages :
Le seul moyen de retrouver ce nombre à partir des pourcentages est de calculer la moyenne
pondérée des % de OUI:
(15 × 45%) + (5 × 60%)
Moy =
= 48. 75%
20
Ce que l'on peut présenter différemment (avec la notion de poids relatif):
15
5
3
1
Moy = ( × 45%) + ( × 60%) = ( × 45%) + × 60%) = 48.75%
20
20
4
4
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Toute famille de pondérations proportionnelle conduit au même résultat (15.000.000,
5.000.000), (15, 5), (3, 1), (0.75, 0.25)...
6/ Dossier Moyenne Exercice 5 - Du bon choix des pondérations –
On tire au hasard, parmi la population française, 1000 individus de plus de 18 ans. On mesure
leur taille. Parmi ces 1000 individus, on a 400 Femmes et 600 Hommes.
On a, pour chacun des deux groupes, les moyennes des tailles (mF et mH):
nF = 400 et mF = 1,67 ; nH = 600 et mH =1,75
1/ calculer la moyenne des tailles des 1000 individus.
Dans ce cas, on calcule une moyenne pondérée par les effectifs:
Moy = (0,40 × 1,67) + (0,60 × 1,75) = 1,718 ≈ 1,72
2/ Estimer la moyenne des tailles de la population française, sachant que les femmes et les
hommes représentent chacun 50% de la population.
La meilleure estimation est, dans ce cas, obtenue en calculant une moyenne pondérée par les
pourcentages de ces deux sous-populations:
Moy = (0,50 ×1,67) + (0,50 × 1,75) = 1,71 = (1,69 + 1,75) / 2
7/ Dossier Moyenne Exercice 6 - Un vieux problème... (d'après H. Rouanet)
"Qui sont les meilleurs ? Les filles ou les garçons ?"
Ci-après les résultats à une épreuve passée dans deux sections : Littéraire et Scientifique :
En section Littéraire :
- Garçons (n = 30) ; Moy = 12
- Filles (n = 10) ; Moy = 11
En section Scientifique :
- Garçons (n = 10) ; Moy = 16
- Filles (n = 30) ; Moy = 15
Alors... Qui sont les meilleurs ????
Corrigé
Dans chaque section, les garçons réussissent mieux cette épreuve, mais...
( 30 × 12 ) + ( 10 × 16 )
= 13
Moy des 40 garçons :
40
( 10 × 11) + ( 30 × 15 )
Moy des 40 filles :
= 14
40
Toutes sections confondues, les filles sont meilleures que les garçons !.