Suites et séries de fonctions MP

Suites et séries de fonctions
MP
∗
17 janvier 2013
Table des matières
1 Convergence simple et convergence uniforme
1.1 La convergence simple . . . . . . . . . . . . . .
1.2 La convergence uniforme . . . . . . . . . . . . .
1.3 Convergence uniforme sur tout compact . . . .
1.4 Conseils pratiques, exercices . . . . . . . . . . .
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2
2
2
5
5
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7
7
9
2 Propriétés des limites uniformes
2.1 Continuité de la limite, interversion des limites ; . . . . . . . . . . . . .
2.2 Intégration sur un segment, interversion des limites et de l’intégration ;
2.3 Lien avec les notions de convergence en moyenne et de convergence
moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Dérivation de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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en
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. 12
. 14
3 Séries de fonctions
3.1 Convergence simple, convergence uniforme des séries de fonctions . . .
3.2 Convergence uniforme et convergence normale . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Continuité de la limite, interversion des limites ; . . . . . . . . . . . . .
3.4 Intégration sur un segment, interversion des limites et de l’intégration ;
3.5 Dérivation terme à terme d’une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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16
16
17
19
22
22
25
4 Questions brèves
30
5 Quelques corrigés
32
∗
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1
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Commençons par définir la notion de limite d’une suite de fonctions selon divers modes
de convergence.
1
1.1
Convergence simple et convergence uniforme
La convergence simple
Dans ce qui suit, (E, N ) désigne un espace normé de dimension finie. A est une partie non
vide de cet espace. Comme d’habitude K = R ou C.
Définition 1 convergence simple
• On dit que la suite des fonctions (fn )n définies sur A, à valeurs dans K converge
simplement vers f si, pour tout x ∈ A, on a
lim fn (x) = f (x).
n→∞
• On dit que la série de fonctions de terme général fn définies sur A, converge simplement
vers S si la suite des sommes partielles
Sn =
n
X
fn
k=1
converge simplement vers S, c’est à dire si pour tout x ∈ A, on a
lim
n→∞
n
X
fk (x) = S(x).
k=0
Exercice 1 premiers exemples
Etudier la convergence simple des suites de fonctions :
1. fn : x → xn , sur l’intervalle [0, 1];
2. fn : x → xn , sur l’intervalle [0, 2];
P
3. Sn : x → nk=0 xk , sur l’intervalle [0, 1[;
P
4. Sn : x → nk=0 xk , sur l’intervalle [0, 1];
P
(−1)k x2k+1
5. Sn : x → nk=0
, sur l’intervalle [0, 1];
(2k + 1)!
1.2
La convergence uniforme
Soit A un ensemble quelconque, on notera dans ce chapitre (et dans les suivants) F(A, K)
l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans K et BK (A) l’espace vectoriel des fonctions
à valeurs dans K, bornées sur A.
Rappelons que, l’on définit une norme sur BK (A), en posant
||f ||∞ = sup |f (x)|.
A
x∈A
On note aussi
||f ||∞ = N∞ (f ).
A
A
On prendra garde, dans la définition qui suit, que ||f − g||∞ peut être définie sans que ni
A
f ni g, mais seulement leur différence, ne soient bornées sur A.
2
Définition 2
Soit (fn )n une suite de fonctions de F(A, K).
• On dit que (fn )n converge uniformément sur A vers une fonction f ssi
les fonctions fn − f sont bornées à partir d’un certain rang et
lim ||fn − f ||∞ = 0.
n→∞
A
Ce qui signifie que
sup |fn (x) − f (x)| = εn
x∈A
est une suite de réels positifs de limite zéro.
• On dit que la série de fonctions de terme général fn converge uniformément sur A
vers une fonction S si
n
X
lim ||
fk − S||∞ = 0;
n→∞
Cela signifie que
sup |
A
k=0
n
X
fk (x) − S(x)|
x∈A k=0
est une suite de réels positifs de limite zéro.
Remarque : On dit que la norme || ||∞ , sur BK (A) est la norme de la convergence
uniforme... mais attention, ce n’est pas une norme sur F(A, K)!
Théorème 1 de la convergence uniforme à la convergence simple
Soit (fn )n , une suite de fonctions bornées sur A. Si la suite (fn )n , converge uniformément
vers f, alors elle converge simplement vers f.
Démonstration : elle frise l’évidence.
Remarque : pour étudier la convergence uniforme d’une suite de fonctions, on commencera par rechercher sa limite simple si elle existe. On pourra parfois étudier les variations
de la fonction différence pour déterminer ses extrema.
Exercice
2 les deux modes de convergence
1. Étudier les deux modes de convergence pour la suite (x → xn )n sur les intervalles
[0, a] avec 0 < a < 1, [0, 1[, et [0, 1].
2. Étudier de la même façon les deux modes de convergence pour la série de fonctions
de terme général x → xn sur l’intervalle [0, a]. Que peut on dire sur [0, 1[, et [0, 1]?
Exercice 3 phénomène de la bosse flottante
Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite des fonctions définies
nx
sur l’intervalle [0, 1], sur un intervalle [a, 1] avec a > 0.
par φn (x) =
1 + (nx)2
3
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.2
0.4
x
0.6
0.8
1
Figure 1 – le phénomène de la bosse flottante
Exercice 4 au kilomètre
Etudier les différents modes de convergence des suites (fn )n sur tout ou partie de l’intervalle I.
x
1. fn (x) = ln(1 + ), x ≥ 0.
n
xn − 1
2. fn (x) = n
, x ≥ 0.
x +1
1 − xn
3. fn (x) = 2n
, x ∈ [0, 1].
x +1
1
, x ∈ R.
4. fn (x) =
1 + (x + n)2
5. g étant une fonction définie sur R, et
g(x)2
fn (x) = q
g(x)2 +
1
n
Exercice 5 fonctions bornées
Soit (fn )n une suite de fonctions bornées sur A.
1. On suppose que (fn )n converge uniformément vers une fonction f. Montrer que f
est bornée, qu’il existe M telle que pour tout n, ||fn ||∞ ≤ M.
2. On suppose que (fn )n converge simplement vers une fonction f. A-t-on les mêmes
conclusions ?
3. On suppose que (fn )n converge simplement vers une fonction f et que, de plus,
il existe M telle que pour tout n, ||fn ||∞ ≤ M. f est elle bornée ?
Théorème 2 Soit (fn )n une suite des fonctions définies sur A qui converge uniformément
vers une fonction f. Si chacune des fonctions fn est bornée, alors f est bornée et il existe
M telle que pour tout n, ||fn ||∞ ≤ M.
4
Démonstration vous l’aurez faite avec l’exercice précédent.
Théorème 3 critère de Cauchy pour la convergence uniforme (pas au programme ?)
Soit (fn )n une suite de fonctions de B(A), qui vérifie le critère de Cauchy pour la norme
de la convergence uniforme. Il existe alors une fonction φ ∈ B(A) telle que (fn )n converge
uniformément vers φ, soit :
lim ||fn − φ||∞ = 0.
n→∞
Cela signifie en particulier que (B(A), || ||∞ ) est un espace complet (ou un espace de
Banach).
Démonstration
En deux étapes :
– pour chaque x ∈ A, la suite (fn (x))n est une suite de Cauchy dans K. On note φ(x) sa
limite.
– Soit ε > 0, il existe N tel que si n ≥ N et n0 ≥ N, ||fn − fn0 ||∞ ≤ ε. On remarque alors
que pour tous n0 et n supérieurs à N, et pour tout x ∈ I,
|φ(x) − fn0 (x)| ≤ |φ(x) − fn (x)| + |fn (x) − fn0 (x)| ≤ |φ(x) − fn (x)| + ||fn − fn0 ||∞ .
On en déduit que |φ(x) − fn0 (x)| ≤ |φ(x) − fn (x)| + ε et, par passage à la limite lorsque
n tend vers l’infini, on prouve que
pour tout ε > 0, il existe N tel que si n0 ≥ N, sup|φ(x) − fn0 (x)| ≤ ε. Cela prouve que
φ est bornée sur I car |φ(x)| ≤ ||fn0 || + ε, et que (fn )n converge uniformément vers φ.
1.3
Convergence uniforme sur tout compact
Définition 3 Soit (fn )n une suite de fonctions définies sur une partie A de E, à valeurs dans K. On dit que (fn )n converge uniformément sur tout compact de A,
lorsque pour tout compact C de A, la suite des restrictions des fonctions fn à C, fn |C est
uniformément convergente.
Exercice
6
1. Montrer que si (fn )n converge uniformément sur tout compact de I, elle converge
simplement sur I;
2. Donner un exemple de suite qui converge uniformément sur tout compact de I, mais
qui ne converge pas uniformément sur I;
1.4
Conseils pratiques, exercices
• convergence simple :
c’est par là que l’on commence ; pour x fixé dans l’ensemble de départ, on étudie la limite
de (fn (x))n .
• convergence uniforme d’une suite de fonctions :
si lim fn (x) = f (x) (limite simple), étudier les variations de fn −f pour estimer ||fn −f ||∞ ;
5
si on n’y parvient pas sur I on peut essayer sur des sous-intervalles (en particulier sur des
compacts) ;
Exercice 7
Etudier convergences simples et uniformes pour les suites :
1. fn (x) = x2 exp(− sin(x/n));
sin(nx))
√ .
2. fn (x) =
n x
Exercice 8
Soit f une fonction de classe de classe C 2 sur R, dont la dérivée seconde est bornée.
Étudier la convergence de la suite de fonctions (φn )n , où
1
− f (x) .
φn (x) = n f x +
n
Exercice
9 lemme de Dini
1. Soit (fn )n une suite de fonctions continues sur un compact K, à valeurs dans R. On
suppose que
– (fn )n converge simplement vers une fonction f sur K ;
– la suite est monotone, ie : pour tout x ∈ K, (fn (x)n est monotone.
Montrer que la convergence est uniforme.
2. Exemple : étudier la suite (fn )n de fonctions définies sur ]0, +∞[ par
f0 (x) =
1
3
t3 4
,
f
(t)
=
+
f (t).
n+1
et − 1
4t
4 n
Corrigé en section 5.
6
2
Propriétés des limites uniformes
2.1
Continuité de la limite, interversion des limites ;
Théorème 4 Soit (fn )n une suite de fonctions de B(A), on suppose que cette suite
converge uniformément vers une fonction f ∈ B(A), alors :
– si, à partir d’un certain rang, les fonctions fn sont continues en a ∈ A, la fonction f est
continue en a.
– si, à partir d’un certain rang, les fonctions fn sont continues sur A, la fonction f est
continue sur A.
Démonstration
Soit ε0 > 0, il existe n0 tel que ||fn0 − f ||∞ ≤ ε0 /3;
Comme fn0 est continue en a, il existe α > 0 tel que
|x − a| ≤ α ⇒ |fn0 (x) − fn0 (a)| ≤ ε0 /3.
Alors
|f (x) − f (a)| ≤ |f (x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − fn0 (a)| + |fn0 (a) − f (a)| ≤ ε0 .
Conséquence importante en pratique, à connaı̂tre et reconnaı̂tre :
Si une suite (fn )n , de fonctions continues converge uniformément vers f sur tout
intervalle compact [a, b − α] ⊂ [a, b], alors f est continue sur [a, b[.
Penser que cela n’entraı̂ne ni la convergence uniforme, ni la continuité sur [a, b], ni même
la convergence uniforme sur [a, b[, comme le montre l’exemple fn (x) = xn sur [0, 1[.
Exercice
10 à propos de complétude*
1. Déduire du théorème qui précède que l’espace vectoriel des fonctions continues sur
[a, b] segment de R, à valeurs complexes est complet pour la norme uniforme.
r
1
x2 +
est
2. Montrer que la suite de fonctions définies sur [−1, 1] par fn (x) =
n
uniformément convergente sur I, et que sa limite n’est pas une fonction de classe
C 1 . (C 1 ([a, b], C), || ||∞ ) est il complet ?
On généralise le théorème précédent de la façon suivante
Théorème 5 interversion des limites
Soient (fn )n une suite de fonctions définies sur A ⊂ E, evn, et a un point adhérent à A, à
valeur dans un evn F complet (par exemple A =]a, b] ⊂ R, avec a réel ou −∞, ou encore
A = [b, a[ avec a réel ou +∞...) On suppose que :
– (fn )n converge uniformément sur A vers une fonction f,
– pour chaque n, fn admet une limite en a :
lim fn (x) = `n ∈ K
x→a
7
alors :
– la suite (`n )n converge,
– la fonction f admet une limite en a,
– cette limite est la limite des `n :
lim f (x) = lim `n
x→a
n→∞
– ce qui s’exprime encore
lim lim fn (x) = lim lim fn (x)
x→a n→∞
n→∞ x→a
(2.1)
C’est pourquoi on parle d’interversion des limites.
Remarques :
- On observe que si a ∈ R, l’existence des limites `n revient à affirmer que les fonctions `n
admettent des ppc en a. On se retrouve alors dans les hypothèses du théorème précédent
à cela près que la convergence de (`n )n et l’existence de f (a) ne sont plus assurées par les
hypothèses.
- La démonstration qui suit suppose que l’espace d’arrivée est un evn complet. Le
théorème devient faux si on remplace F par un evn non complet.
Démonstration :
• On commence par montrer que la suite (`n )n est une suite de Cauchy dans F.
On se donne ε > 0 et un rang Nε à partir duquel ||fn − f ||∞ ≤ ε.
A
Donnons nous p ≥ Nε et q ≥ Nε ; on a alors pour tout x ∈ A,
|`p − `q | ≤ |`p − fp (x)| + |fp (x) − fq (x)| + |fq (x) − `q |.
Comme limx→a fp (x) = `p et limx→a fq (x) = `q , il existe un voisinage de a tel que pour
x ∈ V ∩ A, on a à la fois |`p − fp (x)| ≤ ε et |fq (x) − `q | ≤ ε.
Ainsi avons nous montré que pour tout ε > 0, il existe Nε tel que
p > Nε et q > Nε ⇒ |`p − `q | ≤ 3ε.
• La suite (`n )n est donc convergente dans K (ou F evn complet). Pour montrer que sa
limite ` vérifie limx→a f (x) = `, on reprend quasiment à l’identique la démonstration du
théorème précédent :
soit ε0 > 0, il existe n0 tel que ||fn0 − f ||∞ ≤ ε0 /3.
Comme fn0 est continue en a, il existe un voisinage V de a tel que
x ∈ V ∩ A ⇒ |fn0 (x) − fn0 (a)| ≤ ε0 /3.
Alors
x ∈ V ∩ A ⇒ |f (x) − `| ≤ |f (x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − fn0 (a)| + |fn0 (a) − `| ≤ ε0 .
` est bien limite de f en a./fin
8
Exercice 11
Donner un contre exemple à la formule (2.1) dans le cas d’une suite de fonctions convergeant simplement.
Exercice 12
P
1
On considère ici la fonction ζ(x) = ∞
n=1 x .
n
1. Ensemble de définition ?
2. Continuité ?
3. Limite en +∞?
Exercice
13
On considère ici la fonction µ(x) =
P∞
n=1
(−1)n−1
.
nx
1. Ensemble de définition ?
2. Continuité ?
3. Limite en +∞?
Exercice
14 composées
1. On suppose que (fn )n , suite de fonctions continues, converge uniformément vers f
sur R. Que dire de la suite de terme général fn ◦ fn ? Converge-t-elle simplement,
uniformément ?
2. Même question en cas de convergence simple.
2.2
Intégration sur un segment, interversion des limites et de l’intégration ;
Théorème 6 intégration d’une limite uniforme
Soit (fn )n une suite de fonctions définies sur I = [a, b]. Si les fonctions fn sont continues
et si (fn )n converge uniformément vers une fonction f sur I, alors
– f est continue
Rb
– la suite des intégrales a fn (t) dt converge
– et de plus,
Z b
Z b
f (t) dt = lim
fn (t) dt
n→∞ a
a
Démonstration facile puisque, lorsque a ≤ b,
Z b
Z b
|
fn (t) − f (t) dt| ≤
|fn (t) − f (t)| dt ≤ ||fn − f (t)||∞ |b − a|.
a
a
Remarque si les fonctions fn sont seulement supposées continues par morceaux, on n’a
pas la garantie que la limite uniforme soit continue par morceaux et les conclusions peuvent
ne pas avoir de sens. Par contre si on suppose à la fois que
– les fonctions fn sont continues par morceaux,
– la suite (fn )n converge uniformément vers f, continue par morceaux ,
9
alors, la même démonstration tient la route.
Remarque nous reviendrons sur les suites d’intégrales sur des intervalles quelconques
sur lesquels la convergence uniforme ne permet pas de conclure (théorèmes de convergence
dominée)
Exercice 15
Etudier les suites de fonctions (fn )n et leurs intégrales sur l’intervalle [0, 1] lorsque
fn (x) = nα xn (1 − x) pour α = 1/2, α = 1 puis α = 2.
correction en 5
Exercice
16
1. Donner un contre exemple au théorème d’interversion limite et intégrale sur un intervalle compact (en remplaçant l’hypothèse de convergence uniforme par l’hypothèse
de convergence simple) ;
2. Donner un contre-exemple en considérant un intervalle quelconque mais en conservant l’hypothèse de convergence uniforme ;
10
2.3
Lien avec les notions de convergence en moyenne et de convergence
en moyenne quadratique
Rappelons que l’on définit des normes sur C([a, b], K), espace des fonctions continues sur
[a, b], à valeurs dans K, en posant
b
Z
|f (t)| dt,
||f ||1 =
a
1/2
b
Z
2
||f ||2 =
|f (t)| dt
,
a
et que la norme || k|2 est associée au produit scalaire défini sur C([a, b], K) par :
b
Z
(f |g) =
f (t)g(t) dt.
a
Définition 4 modes de convergences
Soit (fn )n une suite d’éléments de C([a, b], K), espace des fonctions continues sur [a, b], à
valeurs dans K.
– On dit que la suite (fn )n converge en moyenne vers f ∈ C([a, b], K) si
Z n
lim
|fn (t) − f (t)| dt = 0
n→∞ a
ce qui revient à dire que ||fn − f ||1 tend vers 0.
– On dit que la suite (fn )n converge en moyenne quadratique vers f ∈ C([a, b], K) si
Z
2
|fn (t) − f (t)| dt
lim
n→∞
n
1/2
=0
a
ce qui revient à dire que ||fn − f ||2 tend vers 0.
Remarque on peut aussi considérer des fonctions continues par morceaux , mais on
évitera alors de parler de norme puisque ||f ||i = 0 n’implique plus dans ce cas que f = 0.
Théorème
7
On a, pour toute fonction f ∈ C([a, b], K), les relations suivantes entre ||f ||1 , ||f ||2 et
||f ||∞ :
Z
f ≤ ||f ||1 ≤ (b − a)||f ||∞
[a,b] p
||f ||2 ≤ (b − a)||f ||∞
p
||f ||1 ≤ (b − a)||f ||2
11
Théorème 8 Soit (fn )n une suite de fonctions continues sur [a, b].
La convergence uniforme de (fn )n entraı̂ne la convergence en moyenne quadratique ;
La convergence en moyenne quadratique entraı̂ne la convergence en moyenne.
Convergences en moyenne, en moyenne quadratique sur un intervalle quelconque : nous reviendrons sur ces notions de convergence en moyenne, en moyenne quadratique, pour des fonctions intégrables et continue par morceaux sur des intervalles
quelconques...
2.4
Dérivation de la limite
Exercice
17 La limite de la suite (fn )n où fn est définie sur [−1, 1] par fn (x) =
p
x2 + 1/n est elle dérivable ? Cette suite est elle uniformément convergente ?
Théorème 9 dérivation
Soit (fn )n une suite de fonctions telle que
– chaque fn est une fonction de classe C 1 ,
– il existe a ∈ I tel que (fn (a))n converge (on note α sa limite),
– (Dfn )n converge uniformément sur tout segment de I vers une fonction g.
Alors, (fn )n converge uniformément sur tout segment de I vers la primitive de g définie
par
Z
x
f (x) = α +
g(t) dt
a
En d’autres termes :
lim Dfn = g = D( lim fn )
n→∞
n→∞
la convergence étant uniforme sur tout intervalle compact contenu dans I.
Démonstration sans une bonne compréhension de cette démonstration on aurait du mal
à retenir le théorème, donc...
• Comme (Dfn )n converge uniformément sur tout compact sa limite g est bien continue
sur tout
R x compact de I donc en tout point de l’intervalle I. La notation de l’énoncé f (x) =
α + a g(t) dt a bien un sens.
• Le théorème fondamental de l’analyse nous apprend que chaque fonction fn vérifie
Z x
fn (x) = fn (a) +
fn (t) dt
a
• On considère un segment [α, β] ⊂ I, on observe que le segment J 0 = [α0 , β 0 ] = [min(α, a), max(β, a)]
est lui aussi contenu dans I. Pour x ∈ J 0 , nous pouvons majorer
Z x
0
|f (x) − fn (x)| = α − fn (a) +
(g(t) − fn (t)) dt
a
Z
|f (x) − fn (x)| ≤ |α − fn (a)| + a
12
x
|g(t) −
fn0 (t)|
dt
Nous obtenons alors une majoration indépendante de x ∈ [α0 , β 0 ]
|f (x) − fn (x)| ≤ |α − fn (a)| + ||g − fn0 ||
∞
[α0 ,β 0 ]
dont nous déduisons que la norme uniforme sur le segment [α, β] vérifie
||fn − f ||
∞
[α,β]
≤ ||fn − f ||
∞
[α0 ,β 0 ]
≤ |α − fn (a)| + ||g − fn0 ||
∞
[α0 ,β 0 ]
• Ainsi, (fn )n converge uniformément vers f sur tout compact de I. Sa limite f (primitive
de g continue) est de classe C 1 et f 0 = g ce qui s’exprime
D(lim fn ) = lim Dfn .
Exercice
18 mise en œuvre simple
1. Pourquoi s’embarrasse-t-on de l’intervalle [α0 , β 0 ] dans la démonstration ? En quoi
est-ce utile ?
P
P an
cos(nx) lorsque
an est absolument
2. Existence, continuité et dérivabilité de
n
convergente.
13
2.5
Exercices
Exercice 19 de brèves et pertinentes questions
Vrai ou faux ? Justifier ou contre-exempler :
1. une limite simple de fonctions paires (ou impaires, ou périodiques, ou croissantes,
ou continues) est une fonction paire (ou impaire, ou périodique, ou croissante, ou
continue) ?
2. une limite uniforme de fonctions continues (ou de classe C 1 ) est une fonction
continue (ou de classe C 1 ) ?
3. lorsque les deux membres ont un sens, la formule suivante est vraie :
lim lim fn (x) = lim lim fn (x)...
n→+∞ x→a
x→a n→+∞
4. lorsque les deux membres ont un sens, la formule suivante est vraie :
Z 1
Z 1
lim
fn (x)dx =
lim fn (x) dx...
n→+∞
Exercice
0
0
n→+∞
20 convergence uniforme et polynômes
1. Expliquer pourquoi, dans un espace normé, un sev de dimension finie est fermé.
2. Soit (Pn )n une suite de polynômes de degrés do P ≤ d, qui converge uniformément
sur I = [a, b] vers une fonction f ∈ B(I). Montrer que
– la limite f est la restriction d’une fonction polynôme
– (Pn )n converge uniformément sur tout compact de R.
Exercice 21 convergence uniforme et polynômes
Soit f : I = [a, b] → K, et (Pn )n , une suite de polynômes qui converge simplement vers
f sur I. On suppose que a < b et que la suite des degrés des polynômes Pn est majorée,
ie :
∃d ∈ N, do Pn ≤ d.
1. Prouver que la convergence est uniforme et que la limite est un polynôme f de degré
≤ d.
2. Prouver que (Pn )n , converge uniformément vers f sur tout intervalle compact.
3. Qu’en est-il de ces questions lorsqu’on remplace l’intervalle I par un compact de C? 1
indication : introduire une norme N (P ) = max|P (ai )| pour une famille de points (ai )i
bien choisie.
Exercice 22 les polynômes d’interpolation convergent ils ?
Soit f une fonction de classe C 3 sur un intervalle [a, b] de R. On se propose de majorer
l’écart entre f et son polynôme d’interpolation en x1 , x2 , x3 en fonction de M3 (f ) =
supx∈[a,b] |f (3) (x)|.
1. Soit g une fonction de classe C 3 sur [a, b]. On suppose que g est nulle en 4 points
distincts de [a, b]. Montrer qu’il existe t ∈]a, b[ tel que g (3) (t) = 0.
1. êtes vous sûrs des petits détails ?
14
2. Soit Pf le polynôme de R2 [X] tel que Pf (xi ) = f (xi ), i = 1, 2, 3. On pose :
(1) K(x) =
f (x) − Pf (x)
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )
(2) Wx (t) = f (t) − Pf (t) − (t − x1 )(t − x2 )(t − x3 )K(x)
(a) On choisit x distinct des xi . Montrer que Wx (t) est définie sur [a, b] et qu’elle
admet 4 zéros dans cet intervalle.
(4)
(b) Montrer qu’il existe un point c de ]a, b[ en lequel Wx (c) = 0.
(c) En déduire une majoration de l’écart |f (x) − Pf (x)| sur [a, b].
3. Généraliser à n + 1 points
4. Y a-t-il toujours convergence de la suite des polynômes d’interpolation ?
Exercice 23 un exemple simple d’unité approchée
On considère la suite hn des fonctions définies sur R par :

hn (x) = 0,
si x ≤ −1/n



hn (x) = n2 (x + 1/n),
si − 1/n ≤ x ≤ 0
h (x) = n2 (−x + 1/n), si 0 ≤ x ≤ 1/n


 n
hn (x) = 0,
si x ≥ 1/n.
On pose alors
Z
1
hn (t)f (x − t) dt.
f ∗ hn (x) =
−1
1. Écrire f ∗ hn (x) − f (x) comme une intégrale.
2. On suppose quef est lipschitzienne sur R, majorer |f ∗ hn (x) − f (x)|. En déduire que
(f ∗ hn )n converge uniformément vers f sur R.
3. On suppose que f est continue sur R, montrer que (f ∗ hn )n converge simplement
vers f sur R.
4. On suppose que f est uniformément continue sur R, montrer que (f ∗ hn )n converge
uniformément vers f sur R.
15
3
Séries de fonctions
L’étude des séries de fonctions est un cas particulier de l’étude des suites mais, comme
pour les séries numériques, elle permet de mettre en œuvre des moyens spécifiques. Les
séries de fonctions interviennent dans l’études de nombreux problèmes et des fonctions
remarquables sont définies par des séries : fonctions périodiques comme sommes de séries
de Fourier, séries entières, solutions d’équations différentielles...
Adaptons donc les résultats qui précèdent aux cas des séries.
3.1
Convergence simple, convergence uniforme des séries de fonctions
Définition 5 convergence simple
On dit que la série de fonctions de terme général fn définies sur A ⊂ E, converge
simplement vers S si la suite des sommes partielles
Sn =
n
X
fn
k=1
converge simplement vers S, c’est à dire si pour tout x ∈ A, on a
lim
n→∞
n
X
fk (x) = S(x).
k=0
P
On ditPque la série de fonctions
fn est absolument convergente
ssi la série des foncP
n
tions k=0 |fn | est simplement convergente ; dans ce cas la série fn est aussi simplement
convergente.
P
Lorsque la série de fonctions fn converge simplement sur I, les restes sont les fonctions
définies par
∞
X
Rn (x) =
fn (x);
k=n+1
Définition 6
Soit (fn )n une suite de fonctions de F(A, K).
On dit que la série de fonctions de terme général fn converge uniformément sur A
vers une fonction S si
n
X
lim ||
fk − S||∞ = 0;
n→∞
A
k=0
16
Théorème 10 restes, convergence
P simple et convergence uniforme
– Lorsque la série de fonctions
fn converge simplement sur A, la suite des restes est
une suite de fonctions
Pqui converge simplement vers 0.
– la série de fonctions
fn est uniformément convergente sur A ssi
– elle converge simplement sur A,
– la suite des restes converge uniformément vers 0
ie : ||Rn (x)||∞ = sup |
n
X
fk (x) − S(x)|
x∈A k=0
Remarque : comme pour étudier la convergence uniforme d’une suite, on commencera
par rechercher la limite simple d’une série si elle existe. On étudie ensuite le type de
convergence de la suite des restes (dont la cv simple est assurée).
Exercice 24 Étudier la convergence simple et la convergence uniforme des séries de
fonctions :
P
1. Sn : x → nk=0 xk ;
xk
;
k=0
k!
P
(−1)k xk
, sur l’intervalle [0, 1];
3. Un : x → nk=0
k
2. Tn : x →
Exercice
Pn
25 la convergence uniforme et le critère des séries alternées...
1. Étudier la convergence de la série de fonctions
∞
X
(−1)n
n=2
x+n
,
sur un domaine que l’on précisera.
P (−1)n
2. Étudier de la même façon la série
.
nx
3.2
Convergence uniforme et convergence normale
Définition 7 convergence normale
P
On dit qu’une série de fonctions
fn converge normalement sur A, si
– chacune des fonctionsP
est bornée sur A,
– la série numérique
||fn ||∞ converge
P
Théorème 11 Soit
fn une série de fonctions définies sur A, à valeurs dans K, qui
converge normalement sur A.
17
P
– la série de fonction P fn est uniformément convergente sur A;
– la série
P de fonctionP |fn | est uniformément convergente sur A;
– N∞ ( n≥n0 fn ) ≤ n≥n0 N∞ (fn ).
Démonstration elle fait comprendre cette notion ; notons pour fixer les idées :
αk = P
||fk ||∞ , terme général d’une série numérique convergente,
ρn = ∞
k=n+1 αk , reste d’une série numérique convergente.
– une série normalement convergente a des sommes partielles bornées :
|
n
X
k=0
fk (x)| ≤
n
X
|fk (x)| ≤
k=0
∞
X
||fk ||∞ = M
k=0
P
– P
la série n |fk (x)|converge simplement, série à termes positifs majorée (par une constante).
–
n fk (x) est absolument convergente, donc convergente (puisque l’espace d’arrivée
est complet) ;
– on peut donc parler de la série des restes et montrer qu’elle converge uniformément vers
0 ; en effet,
∞
∞
X
X
|Rn (x)| = |
fk (x)| ≤
αk = ρk
k=n+1
k=n+1
qui a pour limite 0 lorsque n → ∞, puisque c’est le reste d’une série numérique convergente.
Remarque : on peut aussi remarquer qu’une série P
normalement convergente
satisfait au
P∞
α
, et comme
f
(x)||
≤
critère de Cauchy uniforme dans BK (A). En effet, || n+p
∞
k
k
k=n
k=n
(BK (A), || ||∞ ) est complet, la série converge pour la norme || ||∞ .
Théorème 12 relations entre les différents modes de convergence
Le schéma suivant résume les
Prelations entre les différents mode de convergence :
%
fn conv. absolt. & P
P
fn conv. normlt.
fn conv. simplt.
P
&
fn conv. unift. %
Démonstration
Exercice
suivantes :
P
1.
fn
P
2.
fn
P
3.
fn
26 On étudiera les différents modes de convergence pour les séries de fonctions
sin nx
; calculer sa somme.
n! √
avec fn (x) = nx2 e−n x ;
1
avec fn (x) =
n + n3 x2
P
1
n
4.
fn avec fn (x) = (−1) ln 1 +
n(1 + x)
avec fn (x) =
18
5.
P
fn avec fn (x) =
(−1)n
x+n
Conseils pratiques pour l’étude d’une série de fonctions
• convergence normale :
Le plus facile, lorsque c’est possible, est d’établir la convergence
normale, on majore ||un ||∞
P
sur I ou sur des sous-intervalles de I pour prouver que
||un ||∞ converge ;
• convergence simple et convergence uniforme :
– Si l’on ne peut établir la convergence normale, on commencera par établir la convergence simple. Une fois cela établi, on peut définir sur l’ensemble de convergence simple
S(x) =
∞
X
uk (x)
k=0
– la convergence simple établit l’existence du reste, que l’on cherchera ensuite à majorer
sur I ou des sous-intervalles
de I pour établir une majoration de sa norme uniforme
P
||Rn ||∞ ; on sait que
un converge uniformément sur I ssi (Rn )n converge uniformément vers 0 sur I.
P
– cas particulier des séries alternées : lorsque la série un (x) est alternée et satisfait
au critère spécial, on dispose de la majoration : |Rn (x)| ≤ |un+1 (x)|... elle permet souvent
d’établir la convergence uniforme ;
3.3
Continuité de la limite, interversion des limites ;
P
Théorème 13 Soit
fn une série de fonctions qui converge uniformément vers une
fonction S définie sur A; alors :
– si toutes les fonctions fn sont continues en a ∈ A, la fonction S est continue en a.
– si toutes les fonctions fn sont continues sur A, la fonction S est continue sur A.
Théorème 14 interversion des limites, cas des séries
Soit (fn )nPune suite de fonctions définies sur I = [a, b[. On suppose que
– la série
fk converge uniformément vers une fonction S,
19
– pour chaque n, fn admet une limite en b :
lim fn (x) = bn ∈ K
x→b
alors :
– la fonction S admet une limite
P en b,
– cette limite est la somme
bk :
lim S(x) = lim
n→∞
x→b
– ce qui s’exprime encore
lim
x→b
∞
X
fn (x) =
k=0
∞
X
k=0
n
X
bk
k=0
lim fn (x)
(3.1)
x→b
Démonstration c’est le théorème 5, la suite des sommes partielles remplaçant les (fn )n
Exercice
27 la fonction ζ de Riemann
On considère la fonction ζ de Riemann, définie sur ζ(x) =
1.
2.
3.
4.
5.
6.
P∞
n=1
1
.
nx
Quel est son ensemble de définition dans R?
Montrer que la série converge uniformément sur [a, +∞[ pour tout a > 1.
Montrer que ζ est continue.
Déterminer sa limite en +∞.
Justifier que ζ décroı̂t sur ]1, +∞[.
Quelle est sa limite en 1 ?
Exercice
28 Soit a un réel tel que 0 < a < 1, et
S(x) =
∞
X
n=1
an
.
1 − xn
1. Justifier la convergence de la série sur [0, 1[.
2. Montrer que S est continue sur [0, 1[.
3. Donner un équivalent de S(x) au voisinage de 1 (factoriser et penser au théorème
d’interversion des limites).
Exercice 29
On se propose dans cet exercice de déterminer la limite de
n n
X
k
.
Un =
n
k=1
On introduit pour cela les fonctions fp définies par
(
p x
fp (x) = 1 −
si x ≥ p
x
fp (x) = 0
si 0 ≤ x ≤ p.
20
1. Montrer que la série de fonctions
P
fp converge normalement sur R+ .
2. Montrer que
Un =
∞
X
p=1
En déduire la limite de (Un )n .
correction en 5
21
fp (n).
3.4
Intégration sur un segment, interversion des limites et de l’intégration ;
Théorème
P 15 Soit (fn )n une suite de fonctions continues sur I = [a, b]. Si la série de
fonctions
fn converge uniformément sur I vers une fonction S, alors
– S est continue
PRb
– la série des intégrales
a fn (t) dt converge
– et de plus,
!
Z b
Z b X
∞
∞ Z b
X
S(t) dt =
fk (t) dt =
fk (t) dt
a
a
k=0
k=0
a
Remarque nous reviendrons sur les intégrales de suites et de séries sur des intervalles
quelconques pour lesquels la convergence uniforme n’est pas une hypothèse suffisante
(théorèmes de convergence monotone, d’intégration terme à terme...)
Exercice
30
1. Montrer que
Z
0
1
1
1+
dt =
ta
n≥0
2
(−1)n
.
+ 1)
X
2n (na
2. On veut maintenant exprimer
Z
1
1
dt.
1 + ta
0
(a) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1[,
Z x
X (−1)n xna+1
1
dt
=
.
a
na + 1
0 1+t
n≥0
P
(b) Montrer que la série de fonctions
n Vn
ou Vn (x) =
(−1)n xna+1
converge
na + 1
uniformément sur [0, 1] et que sa somme est continue.
(c) En déduire une expression de
Z
1
0
3.5
1
dt.
1 + ta
Dérivation terme à terme d’une série
Théorème 16 Soit (fn )n une suite de fonctions définies sur I, telle que
– chaque fn est une fonction
de classe C 1,
P
– il existe a ∈ I tel que
fn (a) converge ;
– la série de terme général Dfn converge uniformément sur tout segment de I vers une
fonction s;
22
Alors,
P
–
fn converge uniformément sur tout segment de I,
1,
– sa somme
P∞ est de classe
P∞C
– s = k=0 Dfn = D ( k=0 fn ) = DS
Corollaire 17 le même pour la classe C p
Soit (fn )n une suite de fonctions telle que
– chaque fn est une fonction de classe C p,
P
P
P (n−1)
– les séries de fonctions
fk , fk0 , ..., fk
, convergent en un même point a,
(n)
(n)
– la série de terme général D fk = fk converge uniformément sur tout segment de I
vers une fonction sn ,
Alors,
P
fn converge uniformément sur tout segment de I, sa somme, S, est de classe C p,
–
P (i)
– pour i = 1, ..., n, fn converge uniformément sur tout segment de I, vers la dérivée
iìme de S :
∞
X
D(i) S =
D(i) fn = si .
k=0
Exercice 31
P an
P
Existence, continuité et dérivabilité de
cos(nx) lorsque
an est absolument convern
gente.
Exercice
32 Soit f définie sur R par
f (x) =
∞
X
1
cosn x sin nx.
n
n=1
1. Justifier la convergence de la série ;
2. Montrer que f est de classe C 1 sur R privé de πZ et calculer f 0 ;
3. Donner une expression de f.
Exercice
33
1. Résoudre l’équation différentielle
y”(t) + y(t) = cos(nt);
P
2. Soit
an , une série absolument convergente.
(a) Pour N ∈ N, on considère l’équation différentielle
y”(t) + y(t) =
N
X
an cos(nt).
n=0
Donner une solution particulière de cette équation, en déduire les autres.
23
(b) Montrer toutes les solutions de l’équation différentielle
y”(t) + y(t) =
∞
X
an cos(nt)
n=0
sont des fonctions de classe C 2 . Exprimer ces solutions.
Exercice 34 équation de la chaleur
On suppose que la série de terme général (an )n est absolument convergente. Justifier que
la somme de la série
2 2
∞
nπ − n π t
X
an sin
x e L2 ,
L
n=0
est solution de l’équation aux dérivées partielles
∂
∂2
u(x, t) − 2 u(x, t) = 0.
∂t
∂x
C’est dans le cours sur les séries de Fourier que nous aborderons plus en détails cette
équation...
24
3.6
Exercices
Exercice
35 à propos de ln(1+x)...
1. Étudier la convergence de la série de fonctions
P
(−1)n xn ;
2. En déduire que, sur ] − 1, 1[,
ln(1 + x) =
∞
X
(−1)n−1
n=1
xn
.
n
3. Montrer que cette série converge uniformément sur tout compact de ] − 1, 1]. En
déduire que
∞
X
(−1)n−1
.
ln(2) =
n
n=1
Exercice
36 On se propose d’étudier la série de fonctions
X xn
n2
.
1. Étudier la convergence simple de cette série ; on notera Li(x) sa somme, là où elle
est définie ;
2. Montrer que Li est continue sur son ensemble de définition ;
3. On rappelle que la série de fonctions
X
(−1)n−1
n≥1
xn
n
converge uniformément vers ln(1 + x) sur tout intervalle compact de ] − 1, 1] (voir
l’exercice 35).
(a) En déduire que
Z
Li(x) = −
0
x
ln(1 − t)
dt
t
sur l’intervalle ] − 1, 1[.
on pourra considérer qu’il s’agit de l’intégrale du ppc par exemple
(b) Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1[,
Li(x) + Li(1 − x) = Li(1) − ln(1 − x) ln x
(c) Montrer que
∞
X
n=1
1
2n n2
Voir corrigé en 5
25
=
π2 1 2
− ln 2;
12 2
Exercice
37 Soit
S(x) =
∞
X
xn
.
1 − xn
n=1
1. Justifier la convergence de la série
2. Montrer que S est continue sur ] − 1, 1[; étudier sa dérivabilité.
Exercice
38 Montrer que
Z
1
xx dx =
0
∞
X
(−1)n+1
n=1
nn
.
Exercice 39 séries alternées
On se propose d’étudier sur [0, +∞[ la somme de la série de fonctions
X
x
(−1)n ln 1 +
n
1. Préciser les ensembles de convergence, la continuité de la limite ;
2. La somme de cette série est elle dérivable ?
Exercice
P (−1)n
n+x
40 Soit S(x) la somme de la série
1. Étudier la convergence de la série sur ]0, ∞[ et la continuité de S;
2. Trouver des équivalents de S(x)
– au voisinage de 0,
– au voisinage de +∞;
3. Montrer que
Z
1
S(x) =
0
Exercice
tx−1
dt.
1+t
41 fonctions ζ et µ de Riemann
P 1
P (−1)n+1
et
.
nx
nx
1. Étudier les différents modes de convergence de ces deux séries.
Pour x réel, on considère les séries de fonctions
2. On posera
∞
∞
X
X
1
(−1)n+1
et
µ(x)
=
.
ζ(x) =
nx
nx
n=1
n=1
Préciser les ensembles de définition, la continuité de ces deux fonctions.
3. Étudier leur dérivabilité.
4. Limites :
(a) Calculer la limite en 0 de µ(x)
(b) Calculer les limites en +∞ de ζ(x) et de µ(x)
(c) Donner un équivalent de ζ(x) lorsque x → 1+ .
26
5. Montrer que
µ(x) = (1 − 21−x )ζ(x).
Exercice
42 On se propose d’étudier la série de fonctions
P
un (x) =
P
1
.
cosh(nx)
1. Étudier la convergence simple de cette série sur ]0, +∞[, puis sur R∗ ; on notera F (x)
sa somme lorsqu’elle converge.
P
2. Étudier la convergence normale de la série de fonctions
un (x) sur [a, +∞[, lorsque
a > 0. En déduire que F est continue.
P 0
3. Étudier la convergence normale de la série des dérivées
un (x) sur un intervalle
1
∗
[a, b] avec 0 < a < b. Montrer que F est de classe C sur R .
4. On souhaite déterminer un équivalent de F (x) au voisinage de +∞. On écrit pour
cela
∞
X
1
1
F (x) =
+
.
cosh(x)
cosh(nx)
n=2
Donner une majoration de la somme R1 (x), et conclure.
Exercice
43 équivalent d’une somme (premier terme)
1. Donner un équivalent en +∞ de
∞
X
n=1
1
.
shnx
2. Donner un équivalent en +∞ de
∞
X
n=1
1
.
n(ln n)x
On pourra aussi s’intéresser aux propriétés des fonctions.
Exercice 44
√
On se propose d’étudier la série de fonctions de terme général fn (x) = e−x n .
1. Montrer que, pour tout a > 0 et tout α ≥ 0,
√
−a n
e
=
n→+∞
o
1
nα
.
2. (a) Étudier la convergence simple de cette série de fonctions ;
P
(b) Montrer que la série
fn converge normalement sur tout intervalle [a, +∞[
lorsque a > 0;
P
3. On note dorénavant S(x) = n≥0 fn (x) pour x > 0.
(a) Montrer que S est une fonction de classe C 1 et exprimer sa dérivée.
(b) Démontrer que S est une fonction de classe C ∞ (on procédera par récurrence
sur k pour établir que S est une fonction de classe C k ) et exprimer ses dérivées
successives.
27
4. (a) Calculer la limite de S(x) en +∞.
(b) Pour un entier naturel fixé N, donner un équivalent de la fonction RN (x) lorsque
x tend vers +∞.
indication : majorer le reste RN +1 en comparant fn (x) à une intégrale de la
fonction g(t) = e−xt sur un intervalle bien choisi...
5. Montrer que S(x) a pour limite +∞ en 0.
Exercice
45 Soit
S:x→
∞
X
2
nxe−nx .
k=0
1. Quel est le domaine de définition de la fonction S?
2
2. On pose un (x) = nxe−nx .
(a) Déterminer ||un ||∞,R .
P
(b) La série de fonctions
un est elle normalement convergente sur R? Est-elle
uniformément convergente ?
(c) Montrer que cette série de fonctions converge uniformément sur un intervalle
[a, +∞[ lorsque a > 0. S est elle continue sur R∗ ?
(d) Étudier également sa dérivabilité.
P
3. En considérant la série
vn où vn (x) est une primitive bien choisie de un , donner
une expression de S à l’aide de fonctions usuelles. Donner un équivalent de S en 0 ;
S est elle continue sur R ? continue par morceaux ?
corrigé en 5
Exercice
46
(−1)n −nx
e
.
n+1
P
1. Étudier les différents modes de convergence de la série de fonctions
fn ;
On considère la suite des fonctions fn (x) =
2. On note S la somme de cette série, est-elle continue sur son intervalle de définition ?
Calculer S(0), si tant est que cela soit défini.
3. Étudier la dérivabilité de S et calculer sa dérivée là où elle est définie ;
indication : penser EDO
Exercice
47
1. Calculer, pour x réel :
Z
∞
X
1 x n −t
t e dt.
n! 0
n=0
2. Calculer, pour a > 0 et b > 0,
Z
0
1
xa−1
dx.
1 + xb
Exercice 48 transformation d’Abel
P
On considère une suite décroissante de fonctions positives (fn )n et une série
gn de
fonctions à valeurs dans C toutes définies sur I ⊂ R.
28
P
1. On suppose que
gn est uniformément convergente
et qu’il existe M > 0 tel que,
P
pour tout n ∈ N, ||fn ||∞,I ≤ M. Montrer que
fn gn est uniformément convergente
sur I.
P
2. On suppose que les sommes partielles de la série
gn sont bornéesPpar une même
constante et que (fn )n converge uniformément vers 0. Montrer que
fn gn est uniformément convergente sur I.
P αn xn P αn xn
P
P einx
3. Exemples :
,
,
avec
α
convergente,
...
n
1 + xn
1 + x2n
n
29
4
Questions brèves
1. Quels sont les énoncés vrais, faux. Pour ces derniers rechercher
des contre-exemples ;
p
n
2
faites votre marché avec les suites (x → x )n , (x → x + 1/n)n ...
(a) si une suite de fonctions paires (fn )n , converge simplement sur I vers f, alors f
est paire sur I ;
(b) si une suite de fonctions croissantes (fn )n , converge simplement sur I vers f,
alors f est croissante sur I ;
(c) si une suite de fonctions strictement croissantes (fn )n , converge simplement sur
I vers f, alors f est strictement croissante sur I ;
(d) si une suite de fonctions strictement périodiques (fn )n , converge simplement
sur I vers f, alors f est périodique sur I ;
(e) si une suite de fonctions continues (fn )n , converge simplement sur I vers f, alors
f est continue sur I ;
(f) si une suite de fonctions continues (fn )n , converge uniformément vers f sur I,
alors f est continue sur I ;
(g) si une suite de fonctions de classe C 1 (fn )n , converge uniformément vers f sur
I, alors f est de classe C 1 ;
2. Énoncer un théorème permettant d’écrire une relation de la forme :
lim lim fn (x) = lim lim fn (x);
n→+∞ x→b
x→b n→+∞
3. Donner un exemple de suite de fonctions pour laquelle cette égalité est fausse ou n’a
pas de sens.
4. Enoncer un théorème permettant d’écrire :
Z b
Z b
lim fn (x) dx = lim
fn (x) dx ;
a
n→+∞
n→+∞
a
5. Peut on affirmer que si (fn ) converge simplement vers f sur I = [a, b] toutes les
fonctions étant cpm, alors
b
Z
lim
b
Z
fn (t) dt =
a
Z
lim fn (t) dt =
a
b
f (t) dt?
a
Penser à des fonctions en escaliers et au phénomène de la bosse flottante...
6. Énoncer un théorème permettant d’écrire :
lim Dfn (x) = D
n→+∞
lim fn (x);
n→+∞
7. Donner un exemple de suite de fonctions pour laquelle cette égalité est fausse ou n’a
pas de sens.
30
Index
Abel
transformation, 27
borne
uniforme, 4
bosse
flottante, 3
convergence
normale, 16
simple, 2, 15
uniforme, 3, 15
sur tout compact, 5, 7
critère de Cauchy
(convergence uniforme), 5
espace
complet, 5
des fonctions bornées, 3, 15
normé, 3, 15
fonctions
ζ et µ de Riemann, 25
limite uniforme
de fonctions continues, 7
phénomène
de la bosse flottante, 3
suite
de Cauchy (norme uniforme), 5
théorème
continuité
d’une limite uniforme, 7
dérivation terme à terme
(série uniformément convergente), 21,
22
interversion
limite uniforme et intégration, 9
interversion des limites, 7
(cas des séries), 18
31
5
Quelques corrigés
Corrigé de l’exercice 9
1. On supposera que (fn )n converge simplement vers 0 et que pour chaque x ∈ K,
(fn (x))n décroı̂t.
On raisonne par l’absurde : on suppose que ||fn ||∞ )n ne converge pas vers 0. Il existe
donc a > 0 et une suite extraite telle que
||fnp ||∞ > a.
Comme chaque fonction est continue sur le compact K, cela revient à dire qu’il
existe une suite (xp ) d’éléments de K telle que |fnp (xp )| > a. Cette suite admet elle
même une sous-suite convergente que l’on notera (xpq )q = (yq ). On note aussi par
commodité gq = fnpq ... Ainsi :
– (gq )q converge simplement vers 0 ;
– (gq (x))q décroı̂t pour tout x ∈ K ;
– (yq )q converge vers y ∈ K;
– gq (yq ) > a pour tout q ∈ N.
Considérons alors r < q, on a
gr (xq ) ≥ gq (xq ) > a.
Lorsque q tend vers +∞, on retient : gr (y) ≥ a, cela contredit le fait que gr (y)
converge vers 0.
2. La suite (fn )n de fonctions définies sur ]0, +∞[ par
f0 (x) =
3
t3 4
1
,
f
(t)
=
+
f (t).
n+1
et − 1
4t
4 n
Corrigé de l’exercice 15.
Pour les deux premières questions, on peut étudier la fonction fn (x) = nα xn (1 − x). Son
n
maximum est atteint pour x =
et vaut :
n+1
n
nn+α
fn
=
.
n+1
(n + 1)n+1
La convergence simple de (fn )n vers 0 est assurée. On regarde séparément x = 0 et x ∈]0, 1].
Lorsque α = 1, 2 la convergence n’est pas uniforme (le maximum calculé ci-dessus ne tend
pas vers 0).
1. Le calcul de l’intégrale montre que, toutefois que, si α = 1,
Z 1
lim
fn = 0,
0
2. ...et que si α = 2,
Z
lim
1
fn = 1.
0
32
Correction de l’exercice 29
1. On écrira, sur ]p, +∞[, fp (x) = ex ln(1−p/x) = eϕp (x) . Sur cet intervalle, les variations
de fp et ϕp sont les mêmes. Or
p
p −2
p −1
ϕ0 (t) = ln 1 −
, ϕp ”(t) = −p2 x−3 1 −
< 0.
+ px−1 1 −
x
x
x
ϕ0p est donc décroissante, positive (sa limite en +∞ est 0), et ϕp croit. Comme
lim∞ ϕp = e−p , on a ||ϕp || = e−p et la série converge normalement sur R+ .
2.
Un =
n n
X
k
k=1
n
=
n−1
X
p=0
n−p
n
n
=
n−1
X
p=0
∞
1−
p n X
=
fp (n).
n
Rassemblons
P nos hypothèses :
– la série
fp converge normalement sur ]0, ∞[;
– chaque fonction fp admet une limite en +∞ : e−p
P
P
e
.
Alors,
fp (x) admet une limite en +∞ : e−p =
e−1
33
p=0
Correction de l’exercice 36
P xn
On se propose d’étudier la série de fonctions
.
n2
1. Convergence simple :
n
x P xn
≤ 1 t.g. d’une série
– si |x| ≤ 1,
est
absolument
convergente
car
n2 n2
n2
convergente.
n
x P xn
= +∞.
– si |x| > 1,
est
grossièrement
divergente
car
lim
n2 n2
P
xn
la série de fonctions
un (où un (x) = 2 ) converge simplement sur [−1, 1]. Sa
n
somme est définie sur [−1, 1]. On note
Li(x) =
∞
X
xn
n=1
n2
.
2. PourP
montrer que Li est continue sur son ensemble de définition, il suffit de montrer
que
un converge uniformément sur [−1, 1].
P
1
Or, la série un vérifie ||un || ∞ ≤ 2 . Elle est donc normalement convergente
[−1,1]
n
sur [−1, 1] donc uniformément convergente. Comme les fonctions un sont continues,
la somme de la série est continue (une limite uniforme de fonctions continues est
continue).
3. On admet que la série de fonctions
X
(−1)n−1
n≥1
xn
ln(1 + x)
n
sur ] − 1, 1] et que la convergence est uniforme sur tout intervalle compact de ] − 1, 1].
(a) • première façon de voir, intégration terme à terme.
Exprimons l’intégrale comme somme d’une série : notons provisoirement
Z x
ln(1 − t)
f (x) = −
dt.
t
0
− ln(1 − t)
admet un ppc à [−1, 1[, f est une fonction
t
− ln(1 − x)
de classe C 1 et f 0 (x) =
sur [−1, 1[.
x 0
Observons que l’on peut écrire f comme somme d’une série :
Comme la fonction t →
∞
∞
n=1
n=1
− ln(1 − t)
−1 X
(−t)n X tn−1
f (t) =
=
(−1)n−1
=
.
t
t
n
n
0
Cette série converge simplement sur [−1, 1[ et coı̈ncide avec f 0 sur cet intervalle.
Retrouvons nous f en l’intégrant terme à terme ?
tn−1
Pour cela notons vn (t) =
.
n
34
P
La série de fonctions
vn converge normalement sur tout segment [−a, a] tel
an−1
que −1 < −a < a < 1 puisque, ||vn || ∞ ≤
.
[−a,a]
n
IL NE S’AGIT PAS DE LA SÉRIE ENVISAGÉE EN 1 ! ! L’étude n’a rien de
superflu.
Si |x| < 1, la série
P
vn converge normalement sur [−|x|, |x|] et l’on a :
Z xX
∞
∞ Z x
X
vn (t) dt =
vn (t) dt,
0 n=1
n=1 0
ce qui donne :
Z
f (x) − f (0) =
x
f 0 (t) dt =
Z
∞
xX
vn (t) dt =
0 n=1
0
∞ Z
X
n=1 0
x n−1
t
n
dt =
∞
X
xn
n=1
n2
.
Soit f (x) = Li(x) sur ] − 1, 1[.
• Autre façon de voir : dérivation d’une limite
P
Li = un est elle dérivable sur [−1, 1[? Si oui, sa dérivée en x est elle f 0 (x)?
– P
Les fonctions un sont de classe C 1 sur R;
–
un converge simplement sur [−1, 1];
P 0
xn−1
– Pour tout n ∈ N∗ , u0n (x) =
. La série
un converge normalement sur
n
tout segment [−a, a], a ∈]0, 1[.
D’après le théorème de dérivation d’une limite Li est de classe C 1 sur ] − 1, 1[
P
xn−1
.
et Li0 (x) = ∞
n=1
n
1 P∞ xn
ln(1 − x)
On reconnaı̂t là la fonction
=
qui est continue sur ]−1, 1[.
x n=1 n
x
On a alors
Z x
ln(1 − t)
Li(x) = Li(0) +
dt
t
0
sur l’intervalle ] − 1, 1[.
• Prolongements de l’égalité à [−1, 1] :
Nous avons donc prouvé que f (x) = Li(x) sur ] − 1, 1[. Comme d’après la
question précédente Li est continue sur [−1, 1] et comme f est de classe C 1 sur
[−1, 1[, on a
Li(−1) = lim Li(x) = lim f (x) = f (−1).
x→−1
x→−1
ln(1 − t)
est intégrable on a encore
t
Z 1
ln(1 − t)
ln(1 − t)
dt = −
dt.
t
t
0
Mais au point 1, comme la fonction t →
Z
Li(1) = lim Li(x) = lim −
x→1
x→1
0
35
x
(b) Pour montrer que, pour tout x ∈ [0, 1[,
Li(x) + Li(1 − x) = Li(1) − ln(1 − x) ln x,
on pourra dériver les deux membres en considérant l’expression intégrale de Li.
Les dérivées sont les mêmes donc
Li(x) + Li(1 − x) = Cste − ln(1 − x) ln x.
On détermine la constante par passage à la limite.
(c) La relation
∞
X
n=1
1
π2 1 2
=
− ln 2
2n n2
12 2
n’est autre que l’égalité précédente en x = 1/2 sachant que
∞
X
1
π2
Li(1) =
=
.
n2
6
n=1
Correction P
de l’exercice 45
−nx2 .
Soit S : x → ∞
k=0 nxe
1. (Le domaine de définition de S est le domaine de convergence simple de la série.
2
Notons un (x) = nxe−nx ).
- Lorsque x = 0 la série converge ;
1
2
2
3
−nx
- Si x 6= 0, lim n un (x) = lim n xe
= 0 donc |un (x)| = o
et la série est
n2
absolument convergente ;
Conséquence : Df = R.
2. (a) Pour déterminer ||un ||∞,R , étudions les variations de notre fonction :
2
-u0n (x) = n(1 − 2nx2 )e−nx ;
√
-une étude r
rapide et on voit que le maximum est |un (±1/ 2n)| donc que
n
||un ||R,∞ =
.
2e
(b) • Il n’y a donc pas de cv normale sur R. car la série des normes diverge
grossièrement).
• Elle n’est pas bon plus uniformément convergente sur R car ||un ||∞ ne tend
pas vers 0, ce qui est une condition nécessaire.
En effet, si (Sn ) converge pour la norme uniforme, ||Sn − Sn−1 || = ||un || → 0).
(c) • Montrons qu’il y a pourtant convergence normale sur [a, +∞[ pour tout a > 0.
1
Lorsque √ < a, la fonction un & sur [a, +∞[ et
2n
2
||un ||I,∞ = nae−na .
36
C’est là le terme général d’une série convergente (onP
l’a vu en étudiant la convergence simple) donc la série des normes converge et
un converge normalement
sur [a, +∞[. Elle converge aussi uniformément et sa somme est continue sur
[a, +∞[ pour tout a > 0, donc sur ]0, +∞[ puis sur R∗ (fonction impaire).
(d) Pour étudier la dérivabilité, pensons au théorème bien connu 2 de dérivation
d’une limite :
1
- si les fonctions
P (un )n sont de classe C sur I ;
- si la série
un (a) converge en un point a ∈ I au moins ;
- si la série
des dérivées converge uniformément sur tout compact de I,
P
Alors
un converge uniformément sur tout compact
elle aussi, sa somme est
!0
∞
∞
X
X
de classe C 1 sur I elle aussi, de plus
un (x) =
u0n (x)...
k=1
k=1
Comme 2 des 3 hypothèses sont claires, vérifions la troisième. On a u0n (x) =
2
n(1−2nx2 )e−nx Dans l’espoir de prouver une convergence normale sur [0, +∞(
étudions les variations de u0n .
2
u0n (x) = n(1 − 2nx2 )e−nx = n(1 − 2z)e−z = φ(z)
r
3
et u” change de signe en ±
. L’étude ressemble alors à la précédente... Il y
2n
a cv normale de la série des dérivée sur tout [a, +∞[ (a > 0) et S est de classe
C 1 sur R∗ ...
3. Expression de S à l’aide de fonctions
usuelles 0
−1
2
2
On observe que un (x) = nxe−nx ) =
e−nx + Kn . Fixons x0 > 0 et posons
2
Z x
Un (x) =
un (t) dt.
x0
P
Comme
un converge uniformément sur [x0 , x] pour tout x > 0 on a (lire de droite
à gauche pour justifier) :
∞
X
k=1
Un (x) =
∞ Z
X
k=1
x
Z
un (t) dt =
x0
∞
xX
x0 k=1
Z
x
un (t) dt =
S(t) dt.
x0
2
Comme
P
Un est géométrique, vous savez finir et S est la dérivée de
sur R∗ (toujours par imparité).
2. n’est-ce pas ?
37
−e−x
2(1 − e−x2 )